Các chuyên đề bám sát đề thi THPT quốc gia nguyên hàm và tích phân

NGƯT. ThS. LÊ HOÀNH PHÒ
■
■ ;• ỉ■. : .' aĩ l t i ặ y l
V
1
V.
■ ỉỉl
■ ■■
■■ ■■■■■

■

3

*■

■

■
■■ ■

C á c ch uyên đề I
ã ■_■ ■ z

X

^

■ ■■

■■ i ■

■■ I

_______

I M Sũĩ ĐỀ THI

ã M a i a i o ;


Th.s NHÀ GIÁO ƯU TÚ
LẺ H O À N H P H Ò

CÁC CHUYÊN ĐỀ
BÁM SÁT ĐẾ THI THPT QUỐC GIA

NGUYÊN HÀM
TÍCH PHÂN

N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I HỌC Q UỐ C G IA H À N Ộ I


LỜI NÓI ĐẦU
Các Em học sinh thân mô"n!
Nhằm mục đích giúp các bạn h(x: sinh lớp 12 chuẩn bị thật tôt cho KY THI
TRUNG HỌC PHÔ THÒNG QUỐC GIA đạt điểm khá, điểm cao để trúng
tuvển vào các trường Cao đẳng, Đại học mà mình đã xác định nghề nghiệp cho
tưcing lai, theo định hướng mới.
Bộ sách này gồm 8 cuô'n cho 8 chuyên đề, để các om tiện dùng trong ôn
luyện theo chướng trình học và trước kỳ thi:
- KHẢO SÁT HÀM SỐ

- HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MỦ LÔGARIT
- NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
- SỐ PHỨC VÀ T ổ HỢP
- HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
- TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
- LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHANG
- PHƯƠNG TRÌNH VẢ BẤT đ Ẳn G THỨC
Cuốn NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN gồm có 18 phần nhỏ để liện
luyện lập theo chủ đề. 'lư các kiến thức và phương pháp giải 'loán căn bản
và nâng cao dần dần, kếl hợp ôn tập Toán lớp 10 và 11, bố sung và mở rộng
kiến Ihức và phương pháp giải khác nhau, luyện tập thêm Toán khó, Toán
tổng hợp, các bạn ròn luyện kỹ năng làm bài và lừng bước giải đúng, giải
gọn các bài lập, các bài toán trong kicm tra, thi cử.
Dù dã cố gẩng kiếm tra trong quá trình biên tập song cũng không tránh
khỏi những sai sót mà tác giả chưa thấy hết, mong dón nhận các góp ý của
quý bạn dọc, học sinh dể lần in sau hoàn thiện hơn.
Tác giả
LÊ HƠÀNH PHÒ


Ồ N Đ Ạ O H ÀM VÀ VI PH ÂN
Đạo hàm của các hàm số tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm Xo thuộc khoảng đó.
Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ s ổ -------- -— — khi X dần đến Xo được gọi là
X-Xo
đạo hàm của hàm sổ đã cho tại điểm Xo, kỉ hiệu f'(xo) hoặc y'(xo), nghĩa là:
f'(xo)=

lim

f(x )-f(X p )

X-Xn

Nếu đặt Ax = X - Xo là số gia của biến số và Ay =^f(xo + Ax) -f(xo) là số gia của
hàm so thì ta có:
= I, f(x .+ A x )-f(x „ ) ^ ^
Ax->0
Ax
Ax->0 Ax
Phương pháp tính đạo hàm tại điểm Xo theo định nghĩa
Tinh giới hạn lim -------- ——,
X - X()

Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn thì đạo hàm tại điểm Xo là:
f(x )-f(x j
f'(xo) = lim
x -x „
Hoặc ta thực hiện hai bước sau:
Tỉnh sổ gia của hàm số Ay =f(xo + Ax) - f(xo) trong đó Ax là số gia của biển số
tại Xo.
Tim giới hạn lim

.
Ạx
'
'
'
. Av
Nêu giới han này tôn tai hữu han thì đó là f'(xo) cân tìm: f'(xo) = lim — , còn

Ax->0

ngược lại thì hàm sổ không có đạo hàm tại đó.
Quan hệ giữa đạo hàm và tinh liên tục
Nếu hàm sổ y =f(x) có đạo hàm tại điểm Xo thì
nó liên tục tại điểm XoỶ nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm sổ y =f(x) tại điếm Xo là hệ
sổ góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm sổ tại điếm
Mo(xo; f(xo)).


Nếu hàm sổ y = f(x) có đạo hàm tại điểm Xo thì tiếp luyến của đồ thị hàm sổ tại
điểm Mo(xo;f(xo)) có phương trình là: y = f'(xo)(x - Xo) + f(xo).

Ỷ nghĩa cơ học của đạo hàm
Vận tổc tức thời v(to) tại thời điểm to (hay vận tốc tại to) của một chuyển động
cổ phương trình s = s(t) bằng đạo hàm của hàm số
s = s(t) tại điểm to, tức là: v(to) = s'(to).
Đạo hàm của hàm so trên một khoảng
Hàm sổ f gọi là có đạo hàm trên khoảng K nếu nó có đạo hàm f Ỵx) tại mọi
điếm X thuộc K. Kỉ hiệu y' =f'(x).
Đạo hàm của một số hàm sổ thường gặp
( c ) ' = 0 (c l à h ằ ng số )

(x)'= l

( x ”) ' = n x ” ' ' ( n

(ứ ')' = n u " ' ' . u '

e N , n > 2)

t ì
(V x) =

( x > 0)

2v u

Đạo hàm của hàm sổ lượng giác
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx

(sinu)' = u'.cosu
(cosu)' = -u'.sinu

(lanx)' = — — = I + ían^x
cos X

/
u' —
ựanu)
= ——
cos u
—u'
(cOtuỴ = ----r—
sin u

(cotx)' = — ^ = -(ỉ + cot^x)
sin X

Các quy tắc tính đạo hàm
(u + v / = u’ + v'
(u -v )' = u '-v '
(u . v / = u'.v + u.v'

Tông hai hàm sổ:
Hiệu hai hàm số:
Tích hai hàm so:

u'.v - u.v'

Thương hai hàm số:

Hàm sổ hợp:
f'x = f'u- u'x
Vi phân của hàm số
Vi phân của hàm sổ y = f(x) lại điểm Xo ứng với sổ gia Ax được kí hiệu df(xo)
là: df(xo) =f'(xo)àx
Nếu f có đạo hàm f ' thì vi phân của hàm so flà d y = y'dx.
Chú ỷ:
1) Đê linh đạo hàm hay vi phân cùa một hàm số, ta phải xác định dạng cùa hàm
số sau đó vận dụng công thức và quy tắc để tinh. Có thể chia tách, viết lại dạng, khai
triên, nâng lũy thừa, mũ hóa, logarit hóa....để chuyến dạng tinh đạo hàm.
2) Đổi với hàm hợp nhiều hàm số liên tiếp thì làm dần từng bước, có thể đặt
hàm sổ trung gian nếu cần.
3) Đạo hàm của tổng, hiệu nhiều hàm số
(u ± v ± ... ±w )' = u' ± v' ± ... ±w'.
4) Đạo hàm của tích nhiều hàm so:

(uvw)' = [(uv)w]' = (uv)'w + (uv)w'
= (u'v + uv')w + uvw' = u'vw + uv'w + uvw'.
Bài toán 1.1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau;
a) y = --------với X

2 x -l

b) y = -y/3-x với X < 3.

—

2

Giải
a) Cho X

—

sổ gia Ax thì

Ay = f(x + Ax) - f(x) =

lim
ÂÍToạx

1

1

2(x + A x )-l 2 x - l

11________ 11
2x + 2 A x -l 2 x - l

lim ------------- ?-----------= -----Ãr^ô(2x-l)(2x + 2A x-l) (2x-l)^

Vậy y = —------- ^ với
(2 x -l)-

2

.

-2Ax
(2 x-l)(2x + 2Ax-1)


b) Cho X < 3 số gia Ax.
-A x

Ay = f(x + Ax) - f(x) = -v/3 - X- Ax - -v/3-x =

■ v / 3 - x - Ax + V 3 - X

lim
= lim ■
= ---- ,
= — ...
^ ^ “Ax ữ^-*o^2-x-Á x+ ^J3-x 2V3-X
-1
v ớ i X < 3.

Vậy y' =
2V3-X

Cách khác: lim

X- X
Xo,

= lim ----------- ^
^^•'0
X - Xq

= lim1 ----------- lim

.x-»x“ (x-Xo)(v3-x+ 7 3 - X 0)

— ■-.
2^3-Xo

-1

v ớ i X < 3.
-X
Bài toán 1.2: Chứng minh nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm Xo thì liên tục
tại đó.
Giải
■
Ay
• Giả sử hàm sô f có đạo hàm f'(xo) tức là lim — = f'(xo)
Ax^o Ạx

Vậy y' =

2 V3

Ta có: lim Ay = lim — .Ax = lim — . lim Ax = f '(xo) .0 = 0
Ax->0

Ax-^0 Ạ y

Ax^O Ạ x

Ax->0

Do đó: lim (f(x)-f(X o)) = lim Ay = 0
X->X|J

Ax^O

Suy ra lim /(x ) = f(xo). Vậy hàm số f liên tục tại điểm Xo.
X-*Xq'
Bài toán 1.3: Chứng nũnh hàm số y =

không có đạo hàm tại X= 0.
Giải

Cho X= 0 số gia Ax, ta có; Ay = f(0 + Ax) - f(0) = .^ỊAxỊ
lim — = lim —---- = lim ----- =
Ax^o* Ax Ax->0* Ax
Ax->0* J|A x|

+00

Vậy không tồn tại đạo hàm tại X= 0.
Bài toán 1.4: Chứng mirủi hàm số:
í2x khi X < 0
f(x) = <
•;
_ có đạo hàm tại X= 0.
sin 2x khix> 0
8


Giải
Hàm sổ xác định và liên tục trên R.
khi X < 0
lo
o
irU„.nên
[2 cos 2x
khi X > 0

Ta có f'(x)

Vậy f có đạo hàm tại

lim/'(x) = 2 = lim/'(x).

= 0 là f ’(x) = 2..

X

x ^ -2

Bài toán 1.5: Tìm a, b để hàm số: f(x)

khix < 0

x^ + ax + b khi

X

>0

có đạo hàm tại X = 0, khi đó tính f '(0).
Giải
Hàm số có đạo hàm tại X = 0 thì liên tục tại X = 0 nên
lim f (x) = f (0) => lim (x^ + ax + b) = -2 ^ b = -2.
x-»0*

x->0*

f (x )-f(0 )
x"+ax
■= lim
= Iim(x + a) = a .
x->0*
x^o*
X- 0

Ta CÓ lim

,,„ f ( x ) - f ( 0 ) ,,.„ x '
^
lim ------------^ ^ = lim — = lim X = 0
x->0"
X —0
x->0“ X
x->0'
Từ đó suy ra điều kiện tồn tại đạo hàm tại X = 0 là a = 0 và b = -2.
Khi đó f '(0) = 0.
Bài toán 1.6: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm Xo
a) y = 7 + X - x“, Xo = 1

b) y = — - — + — + ; r , Xo = 0.

Giải
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu
a) y’ = (7)' + (x)' - (x^)' = 1 - 2x. Vơi Xo = 1 thì f '(1) = 1 - 2 = -1.
4
3 ,
2 , _
b ) T a c ó y = —X
- ^ —X
+ 1 —X
+ 7Ĩ

4

1

3

2

nên y' = —.4x^ - - ,3x^ + —.2x = x^ - x^ + X. Với
4
3
2
Bài toán 1.7:Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
X

_

, 3

_ 3x-8

a)y = x + - b ) y =
X

1-

---X

Giải
a) Tập xác định D = R \ {0}.
Ta có y = X +

3

—
X

3
nên y' = 1 - ^
X

x '- 3
x^

Xo

= 0 thì f '(0) = 0.


b) Tập xác định D = R \ {1}.
3 x -8
3(l-jc) + (3x-8)
Ta có y —---- nên y' = ^
^
1 -x
(1 -x )^

-5
^
ạ-xÝ

Bài toán 1.8: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) f(x) =

ax^+bx^+c
(a + b)x

^

b)f(x)

J_ b
ax — t +
X

V
7

Giải
a) Tập xác định D = R \ {0}.
c 1
■X +■
-x +
a+b
a+b
a+bx
,
^ 2a
b
c
2ax^+bx^-c
nên t (x)= —
+ ---------------— y =------ -——;— .

a +b
a + b {a + b)x
{a + b)x
b) Tập xác định D = R \ {0}.

Ta có: f(x) =

í ỡ
f'(x)= 4 o x ----r + 3c

. 2
3ax

= 121 ax^ - - ^ + 3c
X J

ax +
x"* )
V

Bài toán 1.9: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) y = Vx’ - 2x

b)y

V x^-2x + 3
2x + l

Giải
a) Điều kiện x ^ - 2 x > 0 « x < 0 hoặc X > 2.

Ta có f'(x) =
2vx^ - 2 x

Vx^ -2 x

b) Vì x^ - 2x + 3 > 0 với mọi X nên điều kiện:

X^

2 x -2
2 VÃ

r(2x + l)-V x^ -2X + 3.2
■2x + 3
(2x + l)^

^ (x -ĩ)(2 x + l) - 2 (x ^ - 2 x + 3)
(2x + l ) V x '- 2 x + 3

3 x -7
(2x + l ) V x '- 3 x + 3 ’

Bài toán 1.10: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
1
7 fa) y = —X -V x

,.
b)y

x’

Vx
^ 6

Giải
a) D = R.
10


\Với
r ' • X f\0, ta có:' y =

* - vx
^ I nêny I =_ —
^ -----}==
^ = —V—
VX 1

ĩ

3

3ìJ 7

b) Tập xác định D = (-oo; - Vó ) u ( Vó ; +oo).
2 x \x ^ -9 )
Ta có; y
--------- 11WÌ1
nên Jy'=
—
Ị--------- .

x '- 6
( x '- 6 ) V x '- 6
Bài toán 1.11: Tính đạo hàm của mồi hàm số sau:
b ) y = ỉ | í í i ± ^ ( a * b + k K ;k .Z )
sin(x + b)
Giải

a) y = cos2x - 2x + 5.

a) Tập xác định D = R.
Ta có y = cos2x - 2x + 5 nên y ' = -2(sin2x + 1) .
b) Hàm số gián đoạn tại các điểm X = -b + kn (k e Z).
T’

_ sin(x + a)

Ta có y =

nên
sin(x + b)
sin(x + b)cos(x + a)-sin(x + a)cos(x + b) _ sin(b-a)
^
sin^(x + b)
sin^(x + b)
Bài toán 1.12: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
b) y = 7x - sinx. tan ^ .

a) y = sin^x + 4x + 1

2

Giải
a) Tập xác định D = R.
Ta có y = sin X + 4x f 1 nên y ' = 2sinxcosx + 4 = sin2x + 4.
b) Ta có y = 7x - sinx . tan

.

sin X
_
X
X
— —= 7 - cosx.tan — - tan —.
2X
2
2
2cos

Nên y ' = 7 - cosxtan_

2

X, ,

, ^ - X

2 X _ .

= 7 - ta n ^ (l + cosx) = 7 - 2tan^.cos ^ = 7 - sinx.
2

2

2

Bài toán 1.13: Tim đạo hàm của các hàm số sau:
5x + l
,b)Xy _= cot. V/X2 .+1 1 .
a) y = tan2

Giải
1

a)y’ =
cos

5jc+ 1 l

5x +1
2

2cos

5
5jc+ 1

11


b)y' =

-1

r^V^r"^) =
^ (ĩ+ cot^ Vx~ +1).
sin^ Vx^ +1
Vx^ +1
Bài toán 1.14: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
_ (3m - l)x - m.2 + m
m
b) y = X + 2 +
a)y
X+ m
x ^
Giải
a) Tập xác định D = R \ {-m}. Ta có;
(x + m)(3m -1) - [(3m - l)x - m^ + m] _ 4m^ - 2m
™\2 •
(x + m)
(x +, m)
b) Tập xác định D = R \ { 1}.
^ ~

m
x ^ -2 x + l - m
mọi X
(x -iỵ
(x -iỵ
Bài toán 1.15: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
Ta có y' = 1 -

--------- = ----------- ^------------- , VỚI

a) f{í) = t + ^|t^ + \ - 3

b) / ( 0 =

1.

60/'
36/- +25

Giải
a) Tập xác định D = R.
T
^Jí^=+ ỉ^+ í.
Tacó' / ’(/) = l + - p ^= = —
b) Tập xác định D = R.
60/‘
3000t
nênf'(t)^
36/' +25
(3 6 t'+ 2 5 r
Bài toán 1.16: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
Ta có; /"(/) =

a) y = (3x - l).e’‘

b)y

2 ^ -2 2" + 2'

Giải
a) y' = 3.e" + (3x - l).e" = (3x +2).e’‘.
{2^ ln2 + 2~’‘ ln2)(2^ +2~’‘)-(2 ’‘ -2~’‘)(2’‘ ^2-2-^^ ln2)
^
(2'‘+2-’‘)'
^ (2’‘ + 2 -’‘) '- ( 2 ’‘ - 2 ' ’‘) '. 2 ^
41n'2
-ln'2 = (2’‘ +2-’‘)'
“ (2’‘ +2-’‘) ' '
Bài toán 1.17: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (3x - 2)ln'x
12

b) y = ln(x + Vx' + a ' ).


Gỉăi
a) Điều kiện X > 0. Ta có y = (3x - 2 )ìn \ nên y' = 31n\ +
X

b) Tập xác định D = R.
I+

Ta CÓy = ln(x + Vx^ + a ^ ) nên y' = —

Ị.... .... 1

=

I

^

.

Bài toán 1.18: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
a)y = (4 x + lf
b)y==logx5.
Giải
'

= / / 1

a) Ta CÓ y = (4x+l)

^>"(4.t+lT

—€

v.ln(4x+l)

4x
'"‘''*^'\(x.ln(4x + 1))' = (4x + l)T(ln(4x +1) + - ^ ) .
4x + l
Cách khác: y = (4x+l)’‘ nên Iny = ln(4x+l)’‘ =x.ln(4x+l).
'
' y'
4

Lây đao hàm 2 vê: — = 1,ln(4x +1) + X. - — —
y
4x +1

nêny’ =

Suyra:y’ = e^'"'"*^'\(x.ln(4x + l))’ = (4x + l)L(ln(4x + l) + - ^ ) .
4x + l
b) Ta có y = logx5.

1
logị

với X >0. X 5Ế 1.
X

1

D ođóy’=

^ ^ = ------,
logj X
x.lnS.logịX

Bài toán 1.19: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm với mọi X và thoả mãn:
f^(l + 2 x ) - x - f \ l -x ).T ín h f'(l).
Giải
Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:
4f(l + 2 x ). f '(1 + 2x) = 1 + 3f ^(1 - x ) . f '(1 - x).
Thế X= 0: 4f(l) , f '(1) = 1 + 3f^(l). f '(1) (*)

Thếx = 0 vàof^(l +2x) = x - f \ l -x )= > f^ (l) = - f \ l ) .
=> f
+ f(l)) = 0 ^ f(l) = 0 hoặc f(l) = -1.
Với f(l) = 0 thì (*): 0 = 1 (loại)
Với f(l) = -1 thì (*): -4 f'(1) = 1 + 3 f'(1) => f '(1) = — ■
13


Bài toán 1.20: Cho hàm sổ y = f(x) có đạo hàm với mọi X và ihoả mãn:
2f(x)= 1 +x.f'(x).
Tính đạo hàm tại điểm M(l; 1).
Giăi
Lấy đạo hàm 2 vế, ta có; 2f'(x) = f ^(x) + 3xf ^(x). f'(x).
Thế X = 1 và ta có f(l) = 1 nên: 2 f'(1) = 1 + 3 f'(1)
f '(1) = “1V ậ y f‘(l) = -1.
Bài toán 1.21: Tính vi phân của mỗi hàm sổ sau;
b)y = 3x+ 12+Vx .
a) y = 4x^ + 3x - 1
Giải
a) Tập xác định D = R. Ta có y' = 12x^ + 3.
Do đó vi phân dy = (12x^ + 3)dx.
b) Điều kiện: X > 0. Với X >0 thì y' = 3 +

2y[x

) dx.
24 x
Bài toán 1.22: Tính vi phân của mỗi hàm số sau:
b)y = (x '+ l)(5 -3 x ').
a)y = (x-2)(x + 1)

Giải
a) Tập xác định D = R.
y' = (x - 2Ỵ (x^ + 1) + (x - 2)(x^ + 1)' = l.(x^ + 1) + (x - 2)3x^ = 4x^ -6x^+1.
Do đó vi phân dy = (4x^ - 6x^ + l)dx.
b) Tập xác định D = R.
y’ = 2x(5 - 3x^) + (x^ + l)(-6x) = -12x^ + 4x = -4x(3x^ - 1).
Do đó vi phân dy = - 4x(3x - 1) dx.
Bài toán 1.23: Tính vi phân của mỗi hàm số sau;
x ^ -3 x + 4
X
b)y
a)y =
x^ - x + 1
1+ x'
Giải
a) Tập xác định D = R.
1 -x '
, _ 1(1 + x ^ )-2 x .x _ 1-x^
. Do đó vi phân dy
dx
^
(1 + x ') '
" (1 + x ') '
(1 + x^)^
Do đó vi phân dy = (3 +

b) Ta có: x^ - X + 1 > 0 với mọi X.

, _ (2x - 3)(x^ - X + 1) - (x^ - 3x + 4)(2x - 1) _ 2x' - 6x + 1
(x" - x + 1)^

(x^ - x + 1)^
14


^
...
,
2x' - 6 x + l .
Do đó vi phân dy = —;--------- ~ơx.
( x ^ - x + lỹ
Bài toán 1.24: Tính vi phân cùa mỗi hàm số sau:
ax + b
..
ax^ + bx + c
b)y
a)y
a'x^ +b'x + c'
cx + d
Giải
, , a(cx + d) - c(ax + b)
ad - bc
(cx + d)^
(cx + d)^
^ ., . , . ,
ad -b c ,
Do đó vi phân dy = ----------r dx
{cx-vdÝ
b)y'

_ (2ax + b)(a'x' + b'x + c') - (ax^ + bx + c)(2a'x + b')

(a'x^+ b'x + c')^
(ab'-a' b)x' + 2(ac'-a' c)x + bc'-b' c*•
(a'x^ + b'x + c 'r

• 1 - .1 _ (ab'-a'b)x~ +2(ac'-a'c)x + bc'-b'c ,
Do đó vi phân dy =
^— dx .
{a'x^+h'x + c'Ý
Bài toán 1.25: Tính vi phân của mỗi hàm số sau:
a) y = Vx (x - 3)

b) y =
Giải

a)D = [0; +oo). Với X > 0, ta có: y' = —
2Vx

^•

- 3) + Vx =

2x

^

Do đó vi phân dy = ----- ------- d x .
2x
b) Tập xác định D = R. Ta có f'(x) =
Do đó vi phân dy = (■

-

1

.

r-l)d x .

Bài toán 1.26: Tính vi phân của mỗi hàm số sau:
b) y = X^Í4~-X^
Giải

a) y = Vx^ - 2 x + 5

a) D = R. Ta có y' =

x -1
^Jx^ - 2 x + 5

. Do đó vi phân dy

x -1

dx.

^jx' -2 x + 5
15


b) Điều kiện -2 < X < 2.

-X

_ -2 (x " - 2 )

V4 -x^

V4 -:

Với - 2 < X < 2 thì: y' = V 4 -x ^ + X
dx.

Do đó vi phân dy = —

Bài toán 1.27: Tính vi phân của mồi hàm số sau:
a) y = cos^x + 14x -9 b) y = 8sin^— + sin2x - 2x.
Giải
a) Ta có y = c o s \ + 14x - 9 nên y ' = - 2sinxcosx + 1 4 = 1 4 - sin2x.
Do đó vi phân dy = (14 - sin2x)dx.
b) Tập xác định D = R.
y’ = 4sinx + 2cos2x - 2 = 4sinx(l - sinx)
Do đó vi phân dy = 4sinx(l - sinx) dx.
Bài toán 1,28: Tính vi phân của mỗi hàm số sau:
a) y = x^Ve'*’’ +1

b) y = x’ - 5’' + x’‘.
Giải

a) Tập xác định D = R.
y =2 x V ^ +

= 2x[(x + l)e‘» + 1]
/„ 4 x , ,
Ve'* +1
Ve^^+l
J„4 x

Do đó vi phân dy

, ,

2xị(x + l)e'* + 1 ]
‘dx
le ■■■+1

b) Điều kiện X > 0.
Ta có y = x^ - 5* + X* = x’ - 5* + e*'"* nên
y' = 7x^ - 5*ln5 + e*'"*(lnx + 1) = 7x^ - 5*ln5 + x*(lnx + 1).
Do đó vi phân dy = (7x^ - 5*ln5 + x*(lnx + l).)dx.
Bài toán 1.29: Tính vi phân của mỗi hàm số sau:
a) y = VV^”+ĩ.log 3 x^

b)y

ln(x^+l)

Giải
a) Điều kiện x> 0.
, ,_ x lo g 3 X'
2yjx-+l ^
, _ xlog 3 X^ 2ylx^+l _ ,

Ta có y =
H-----^------. Do đó vi phân dy = (
.. + — -—^— ) dx.
Vx^+1
x\n3
Vjc^+1
b) Tập xác định D = R \ { 0}.

16


Ta có y' =

—
x '+ l

ln(x^+l)

. Do đó vi phân dy = (

X

X

—
+1

ln(x^+l)

)dx.

BÀI TẬP
Bài tập 1.1: Chứng minh hàm sổ: f(x) = 1 x^ +4x - 5 I không có đạo hàm lại X = 1.
HD-ĐS
Dùng định nghĩa, giới hạn 2 bên khác nhau.
Bài tập 1.2; Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số:
b) y = -J2 x-1 tại X = 4 .
HD-ĐS
a)76
b )l.
Bài tập 1.3 : Tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = x^ - 4x tại Xo = 2

a )y -

x^ +1

b)y^

1+ x
V l-X

HD-ĐS
a)y'

-1
2 ^ x \x ^ +1) ’

b) y'
"

3 -x
2^(1-x )

Bài tập 1.4: Tính đạo hàm của các hàm số:
5 x -3
N _ 2x
a)y =
b) y = 2
X -1
X + X+1
HD-ĐS
-2(y^ +1)
-5 x +ÓX + 8
h )Ý
a)y'
{x^ +x + l)^
Bài tập 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số:
^
sm JC
b) y = tan^x + C0t2x
a) T =
- -X
ị/cosx
HD-ĐS
2c o s ^X - 3 cos X. Vcos X + 1
3sin^ X
b)y'
3cosx.Vcosx
cos’ x

Bài tập 1.6: Tính vi phân của mỗi hàm số sau:
a) y'=

a) y = (2x + 1)" - tane’^

;in-^ix '
sm

b) y = ịỊìn^ 5x .

HDĐS
a) dy = (27x(2x+l)''‘'-(l+tanV )e’‘)dx b) dy =

,.. dx .
5ựln- 5x

17


Bài tập 1.7: Tính vi phân của mỗi hàm số sau:
a) y = log^(~x^+5x + 6)
b) y = cosx.e^'®"^.
^
^

HD-ĐS
-2 x + 5
_
-4 x + 10
(-x^+5x + 6)lnV3 ~ (-x^+5x + 6)ln3

2
^ ^
,
b) y' = - sinx.e^'“ ’‘ ^------.e^ 2 tan X =___e 2 tan X ị ------ sinx
cosx
vcosx
y
Bài tập 1.8 : Tính vi phân của mồi hàm số sau:
b)y = 3

a) y = xVx^-iõc + 1

1+ X

HD-ĐS
4x + 3x + 2

dx
b) dy
.dx.
2^Jx^ +JC + 1
3\Jx^
Bài tập 1.9: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm frên R. Chứng minh:
a) Nếu f chẵn thì f ' lẻ.
b) Nếu f lẻ thì f ' chẵn.
lỉD-ĐS
a) Neu f chẵn trên R thì với mọi X 6 R: f(-x) = f(x).
Lấy đạo hàm 2 vế thì được: f'(-x ). (-x)' = f'(x)
=> -f'(-x) = f ’(x)=> f'(-x) = -f'(x ). Vậy f ' lẻ.

b) Nếu f lẻ trên R thì với mọi X e R; f(-x) = -f(x).
a) dy

NGUYÊN HÀM CỦA H ÀM

số

Định nghĩa nguyên hàm
Cho K là một khoảng (a;h), nửa khoảng (a;bj, [a,b) hay đoạn [a;b].
Hàm số F(x) gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu: F'(x) = f(x),
bíc e K .
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì họ các nguyên hàm của f(x)
là: I f(x)dx = F(x) + c, c là hằng số bất kì.
Bảng các nguyên hàm
J dx = X + c ị kdx = kx + c với k là hằng sổ
1

I

[ —dx = ln\x\ + c [ —dx = ln\u\+ c
18


Với aỉ>i-J: í x° .dx = —---- + C" [ u^.u'.dx = ----+ c
^
a +1
•'
a +1
J cosxdx = sinx + c I cosu.u'.dx = sỉnu + c
J sinxdx = -cosx + c I sinu.u'.dx - -cosu + c

t
dx
^ ỉ
u'
,
_
——— = tanx -1 c
— — dx = lanu + c
^ cos X
cos u
r
dx
„ f
m', ,
^
— ^— = - cotx + c
——— dx = -cotu + c
ịe^dx = e'‘ +c ịe " .u 'd x -e “+c
ịa ^ d x - —— hc ịa'‘.u'xix = —— c (a>0, a ĩà 1)

•'
Ina
•'
Incr
Tính chất cơ bản
Nếu fv à g là hai hàm sổ liên tục trên K thì:
j ư i x ) + g{x))dx =j f{x)dx + j g{x)dx
J ( / (x) - g{x))dx = j / (x)dx - J g{x)dx
J k f {x)dx =kị f (x)dx với mọi số k

Chú ỷ :
1) Để chứng minh F(x) là một nguyên hàm của f(x) ta chứng minh
F'(x) = f(x) với mọi X thuộc D.
2) Đe tính nguyên hàm, ta phối hợp dùng bảng công thức với các biến đổi chia
tách hai nguvên hàm, thêm hớt, khai triển tích so, hằng đẳng thức, nhân chia
m

lượng liên hợp, viết mũ phân sổ
3) Đặc hiệt để tinh nguyên hàm, có khi ta viết hùm so cần tìm nguyên hàm
thành đạo hàm của một hàm số khác:
Ị f(x).dx =J (g(x))'xỏr = g(x) + c .
Bài toán 2.1: Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) sau đây;
1
H--- , f(x) =
a) F(x) = 1-cot
2 4y
1 + sin X
b) F(x) f(x) =
cos3x.
Giải
a) Ta có F(x) = 1-cot —+ —1, —+ — ^ k n .
\ 2 A) 2 A
19


1

nên F '(x) =

1 „1.! X+ -^ 1+sinx

1-co
I
\2 A)
V 2y
Vậy F(x) một nguyên hàm của f(x).
_ _sin3x Ị-^ _
b) Ta có F(x) =
D=R
Nên F '(x) =
. 3cos3x = f(x), V X e D .
Vậy F(x) =
là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = 3e*‘"^’‘. cos3x.
Bài toán 2.2: Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) sau đây:
a) F(x) = xlnx - X, f(x) = Inx.
T
2sin ^^ + ^-

b) F(x) = ln(x + Vl + x ' ) + c ; f(x) =

a) Ta có F(x) = xlnx -

X,

Vl + x^
Giải
D = ( 0; + 00 )

Nên F ’(x) = Inx + X . —- 1 = Inx = f(x), V X

D => đpcm.

6

X

b) Ta có F(x) = ln(x + Vl + X^ ) + c , D = R

1+
Nên F '(x) = ---- Vx^
Ị +1 =
= f(x), V X e D => đpcm.
x + vx^+1 vx^+1
Bài toán 2.3: Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) sau đây:
1

X

a) F(x) = In tan^ + c,f(x)
2

b) F(x) = In tan

2

4

sinx

+ c,f(x) =

1

cosx
Giải

X

a) Ta có F(x) = In tan^ + c , tan — ^ 0
2

2

2

^

2

+ kTT
.

1

2cos^ —
F'(x)

,

X

tan—
2

1
X

2

2

2cos—sin —
^x

b) Ta có F(x) = In tan --- !--2 4
20

1

X .

sinx

, V X e D => đpcm.


-

v2

2cos

—

u

2

4

1

Nên F '(x) =

2cos

7Ĩ

íế O<=>—+ —

Điều kiện: tan

4

, _

n

—+ Ả:;r.
2

1

fx

7t^
r x 71^
—+ — tan — + —
12 4J
4J

7Ĩ^
+ — sin

4j

—

l2

+-

4J

cosx

■ í X+ —
sin
l
2j

■, V X e D => đpcm

.
’
' ì '
-1 <
*
_
+ 6x + 1
X +10
Bài toán 2.4: Chứng minh răng các hàm sô: F(x) = ------ ------ và G(x) = ---------2 x -3
2 x -3
đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số, chỉ ra hàm số đó.
Giải
,

^

A

-r ^ t

^
- 1 7 / N_ +6x + l
Ta có F(x) = ———-----, X
2 x -3

\

3

, _ 2 x '- ó x - 2 0
— nên F (x) = --------- — 7,—
2
(2 x -3 )'

x^ + Ó X + 1 x H lO
_
Và F(x) = ------ ------= - —^---- + 3 = G(x) + 3.
2 x -3
2 x -3
Vậy F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của hàm số: f(x) =
,

,

1

2x - 6 x - 2 0
(2x-3)^
,

2

Bài toán 2.5: Chứng minh răng các hàm sô: F(x) = — -r— và G(x) = 10 + cot
sin X
đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số, chỉ ra hàm số đó.
Giải
-2sinxcosx
2cosx
1

,x ^ k 7T nên F'(x)^
Ta có: F(x)
sin'’ X

s in ^ X

Và G(x) = 10 + corx,

X

k 7Ĩ

s in ^ X

-1

2cosx

s in ^ X

s in ^ X

nên G'(x) = 2cotx

Vậy F(x), G(x) đều là một nguyên hàm của f(x) =

X

F’(x)

sin X

Bài toán 2.6: Tìm nguyên hàm của hàm số:
a) f(x) = 3x^ + ^ .

b) f(x) = 2x^ - 5x + 7.
Giải

a)T acó Jf(x)dx = jỊ^3x^+ — dx - x ^ + — + c .
y
4
21


4

^

^

b) Ta có J f (x)dx = j(2x^ - 5x + 7)dx = ------— + 7x + c ,
Bài toán 2.7:Tìm nguyên hàm của hàm số:
b) f(x) = X+

a)f(x) = 3x^- 4 - + - X

X

{ 2 -x Ỹ

Giải
a)

Tacó í í 3x^ - - ^ + — dx = x^+ —+ ln|x| + c .
•' V
X
xj
X

-------- :r^dx ——X + -------h c .
Ựl -XỸ
2
2 -x
Bài toán 2.8: Tính:
b) Ta có J(

a) I = Ị (Vx + Vx )dx .

b )ĩ= f [ - ^ — ^ d x .

Giải
í \
w
2 - 3 a) Ta có j(Vx + ịfx)dx = I x ' + x ' dx = -x ^ + - x ^ + c .
7
1^

b)Tacó í í - 7 = — ^ \ l x = í - ^ - x ^ ix = 2^Ịx - —ằỊ x ^ + c .
7x
1

2
Bài toán 2.9: Tìm nguyên hàm của hàm số:
a) f(x) = cosx - 3sinx.
b) f(x) = tan^x.
Giải
a) Ta có |(cosx-3sinx)íủ: = sinx + 3cosx + C .
b ) Tacó fta n ^ x d x = [í— ---- l]dx = tan X •'vcos X J
Bài toán 2.10: Tỉm nguyên hàm của hàm sổ:
a) f(x) = sinSx

X+ c .

b) f(x) = cos —.
Giải

r

a)T acó J sinSxcử =

11
^
r
X
X
cos5x + C . b )T acó J cos—dx = 2sin—+ c

Bài toán 2.11: Tính:
a) I = Jsin3xcos2xdx
22

b)I = [ .

^— ^-dx .

•' sin xcos^ X


Giải
a) Ta có I = |sin3xcos2xdx = —|(sin x + sin5x)dx = - —(cosx + —cosSx) + c.
b) Ta có sin^x + c o s \ = 1 nên

1
^sin"xcos^x
sm"xcos^x
Bàiì toán 2.12: Tính:

1

-^(co^x

sm x j

a )I= lỊ^ e * -4 -jdx-

dx = tanx - cotx + c .

b )I= jlO 'M x .
Giải

a) Ta có

- — jdx = j (e’‘ + 2e“’‘)dx = e’‘ - 2e-" + c .

b ) Tacó flO'Mx = flOO’‘dx = - ^ + C = - i ^ + C
J
J
InlOO
21n l0
Bài toán 2.13: Tính; a) I = j

+ y ) d x b) I = ị ( 2 - e ^ Ý d x .
Giải

a ) Tacó í(x ^ + 3'^)íử = —
■'
4
b) Ta có |( 2

+ ^ —+ c .
ln3

= I (4 - 4e ' + e^'‘)dx = 4x - 4e ' + —

+c .

Bài toán 2.14: Tính: I = |(ln X+ \)dx.
Giải
Ta có I = j(ln x + \)dx= |í l . l n x + x.— đx = Ị (x.lnx)’dx = x.lnx + c.
V

^J

Bài toán 2.15: Tính: I = j(l + tanxỵe^’‘dx .
Giải
Ta có: |(1 + tan)^e^’‘dx = J (1 tan'x+2tanx)e"’‘dx = j (tanx.e^’‘)'dx = tanx.e^’' + c.
23


BÀI TẬP
Bài
ài tập 2.1: Chứng minh: F(x) = |x| - ln(l + |x|) là 1 nguyên hàm của f(x) = —

.

1+x

HD-ĐS
Dùng định nghĩa và xét dấu X.
Bài
ài tập 2.2: Chứng minh: F(x) =—ị \ nx + ^Jl + x^ +JcVl + x^ j là 1 nguyên hàm
của f(x)= ^J\ + x^ .
HD-ĐS
Dùng định nghĩa nguyên hàm.
Bài tập 2.3: Tìm nguyên hàm của hàm số:
a) 'f(x) = x^ - 6x .
b) f(x) - 2x^ - x^ + 9.
HD-ĐS
a) Jf(x)dx = —— 3x^+C.

Bài tập 2.4: Tìm nguyên hàm của hàm số:

1 4
b) f(x) = 3 +
a)f(x)= - T - - HD-DS
a) I =

n
— — + 9x
+ cn .
2 3

b) jf(x)dx

-41n|x| + c .

(x -\y -

1

b )I= 3x---- — + c .
x -\

X

Bài tập 2.5: Tính:
a) I = J (yíx + ‘ị x)d x .
HD-ĐS
1

^

2

^

a) I(Vx + Ax)dx = I JC- + Ax dx = —x^ + 2x^ + c .
3

1
—-X
X

\\

dx = \n\x\

2

vx + c .

Bài tập 2.6: Tìm nguyên hàm của hàm sổ;
a) f(x) = 4cosx +sinx.
b) f(x) = cot^x.
HD-ĐS
a) I = 4sinx - cosx..
24


b) [cot^ xdx = [ í — \ ---- 1 ctc = - (-cotx - x + c .
•'
■'vsin X j

Bài tập 2.7: Tính:
a ) I - j ( x + e")íừ

b )I= j(l-3")^ứ!x.
HD-ĐS

a) ị{x + e’‘)dx = —x^ +e’‘ + c .
b) Í(l-3 ')'íih : = [(1-2.3^ + 9 ')íử = x - ^ + — + c .
•'
^
ln3 ln9
Bài tập 2.8: Tính:
a) I =Ịx.e''úỏc

a) I = (l+x)e’‘ + c

b) I = Ị(inx)í/x .
HD-ĐS
b) I = x.lnx -

X

+ c.

P H Ư Ơ N G P H Á P N G U Y Ê N H À M Đ ổ l BIẾN

số

VÀ NGUYÊN HÀM TỪNG PHAN
Phương pháp nguyên hàm đối biển số

Dạng I: Nếu X = u(t) có đạo hàm liên lục trên K thì:
j f{x)dx = ị f{u{t)).u\t).dt.
Dạng 2: Neu í = v(x) cỏ đạo hàm liên tục trên K và có
f(x)dx = g(l)dt thì: j f{x)dx = ị g{t)dí.
Chú ỷ:
1) Sừ dụng các công thức mở rộng kx với k ^0.
2) Mở rộng công thức X thành u kèm sẵn du = u'.dx, lim ý dấu cộng trừ và hệ
so nhân chia.
Nếu I /( x ) dx = F(x) + c thì j f (w) du = F(u) + c
3) Chọn đặt biến thích hợp, biến u mà biểu thức có sẵn u
25


Phương pháp nguyền hàm từng phần
Neu các hàm sổ u(x), v(x) cỏ đạo hàm liên tục trên K thì:
J udv = ÍÍV - 1 vdu.
Chú ý:
1) Chọn đặt u và dv để đưa về nguyên hàm cỏ công thức
2) Chọn đặt u và dv đế đưa về nguyên hàm đơn giản hơn, giảm bậc hơn, dùng
nguyên hàm từng phần liên tiếp 2 hay nhiều lần hoặc dạng vòng tròn lặp lại
nguyên hàm ban đầu,...
3} Các dạng hàm hỗn họp e^.sinx, e^cosx, P(x).e^, x.lnx, x^.lnx, P(x).lnx,.......
đều dùng phương pháp từng phần, có thế đặt u, dv liên tiếp nhiều lần.
Bảng công thức nguyên hàm
ị dx = x + c

j kdx = Ảx + c với k là hằng số

í —dx = l n \ x \ + c

[ —dx=^ln\u\+C

^ X

Với a

^

u

-ỉ:
.

í jc".£ừ=

v “ +'

---- + c
a +1

í u".u'.dx =

—+ c
a +1

I cosxdx = sinx + c

I cosu.u'.dx = sinu + c

j sinxdx = -CO-VX + c

j sinu.u'.dx = -cosu + c

r
•’

dx
„
——5— = íanx + c
cos X

í

sin X

•’

■CGtX

+c

I e ' dx = e’‘ +c

[ —^ — dx ~ tanu + c
[ — — dx = -coíu + c
•’ sin u
ị e “.u'dx = e" +c

[a“.u'dx = —— hc (a> 0,a^]).
+c

J
In /7
Ina
Bài toán 3.1: Tìm nguyên hàm của hàm số:
a) f(x) = (2x + 1y
b )f(x )-(x -9 )\
Giải
í a"‘dx =

1

a) Đổi biến u = 2x + 1 thì du = 2xdx => dx = —du
^
2
f (2x + lÝ dx= —f u‘^du = —
J
2-'
2 10
26

+c