Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán t1

Hưóìig dẫn giải
Bài 1.
X > -1

1) Phương trình

+ (m - 2 )x -4 = 0

(*)

Phương trình (*) luôn có hai nghiệm:
X,

2 - m■+'Jm -4 m + 20 2 -m -V m ^ -4 m + 20
= ----- =------ --------------- > 0; X , = -------------- -------------- < 0

Phương trình dã cho có hai nghiệm <=>(*) có hai nghiệm phân biệt không
nhỏ hơn -1
<=>X2 > - l o 4 - m > Vm^ - 4m + 20
o \

[m < 4
[(4 - m)^ > ni^ - 4m + 20

o m < -l.

Vậy m < 2 là những giá trị cần tìm.
2) Phương trình o ^2x^ - mx =
^
(2) có nghiệm <=> A =

- 4 o I^

4_0

(1)
(2)

Ịx2-mx+ 4 = 0

- 16 > 0 <=>l m l> 4 (*).

Khi đó (2) có hai nghiệm là:

X ,j 2 =

.

Nghiệm x^ thỏa mãn (1)
o (m + yỊm^ - 16 )^ - 16 > 0 o
o

+ mVm^-16 - 16 > 0

-16(Vm^ -16 + m) > 0 <=>

m = ±4

í m - 1 6 > -m

Tương tự

X2

o

m = -4
m >4

=4
m < -4
m

thỏa mãn (1); o

Vậy |m| > 4 thì phương trình đã cho có nghiệm.
^ 1 4

1

4

Í2x + 1 > 0

3) Phương trình đã cho tương đương <
[3x2 _ ( m - 4 ) x - l = 0 (*)
Để phương trinh có hai nghiệm thực phân biệt thì (*) cớ hai nghiệm thực
A = (m - 4)2 +12 > 0
lớn hơn hoặc bàng

+- > 0

4

hay

í

í

o m >—.

2

+ — X , + — >0
V ^ 2 V 2 2
X,

4) Phương trình c> \/x'* - 13x + in = 1 - X
- TI - 333


jx < 1

jx < 1

ịx"* - 13x +m =(1- x)‘^ [4x^ - 6x^ - 9x =1- m
Xét hàm số f(x) =4x^ - 6x^ - 9x với X <1
X = —

2

Ta có: f '(x) = 12x^ - 12x - 9 => f '(x) = 0 <=>

1'
2

X = - —

Bảng biến thiên:
X '

-1/2
0

-c o

f(x )

+

1
-

5
f(x)
^ '^ ^ '" ^ ^ ^ ^ 1 1

-00

Dựa vào bảng biên thiên suy ra phưong trình có nghiệm
„ , _ 5 _

3
2

2

5) Điều kiện: 0 < X < 4 .
Khi đó phương trình o f(x) = (xVx + Vx + 12)(V5-x - V 4 -x ) = m
(Vì Vs -

X -

\/4 -

0)

X

Xét hàm số f(x) = (xVx + 7x + 12)(V5 -

X

- yjế - x) với X e D = |^0;4j .

Ta có; f'(x) = (-^Vx+-—= != = )(—^ — -----^ — )
2

2Vx + 12

2V4-X

2 n/ 5 - x

Do 0 < y jế - x < yỊS-X => --- ^
-----}
>0
2V4-X 2 v 5 -’x
=> f '(x) >0 Vx 6 [0;4). Vậy f(x) là hàm đồng biến trên D
^ 2 S i S - 2) = f(0) < f(x) < f(4) = 12
Vậy phương trình đã cho có nghiệm o 2>/3(V5 - 2) < m < 12.
6) Phương trình <=> m(\/x^ + 2 - 1) = X o m = ■
x^ + 2 - 1
(do Vx^ + 2 - 1 > 0 Vx ).
Vx^ +2 - 1 - Xét hàm số f(x) =

x"' +2

f'( x ) = .

x^ + 2 - 1
f '( x ) =

2-\/x-= +2
f ’( x )

Vx^ +2(Vx^ + 2-1)2
334 - TI

x^ + 2 - i r
= 0 <=> X

=


Bảng biến thiên;
4~2

+0 0

f(x)
4~2

+00

f(x)
Dựa vào bảng biến thiên => -V 2 < m < s .
7) Xét hàm số:f(x) = 7x^ +X + 1 2x + l

Ta có; f'(x) =

2 ^X
1^2
X + -

2

- x + 1 xác định trênD
2 x -l

+1

+ X

'
^2 , 3
'X - 0 + T
2
4

2 \/x^
1
2

- X +

1

/(x + ^1^2
r
2

X ——

3
4

<í^ X

= 0 thay vào (1) ta

thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình f'(x) = 0 vô nghiệm => f ’(x) không đổi dấu trên M,
mà f '(0) = l> 0 = > f ( x ) > 0 V xeR .
Mặt khác;
2x
limf(x) = lim —=
I
= 1 v à l im f ( x ) = - l
x-»+oo
x-»+ou / 2 + x - |-l + V x ^ - x + l
x-*-oo
-------------------------

—

Bảng biến thiên:
— 00

X

+CXD

f'(x)

+

f(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm
<!=>- 1 < m < 1
8) Điều kiện: X > 0

Xét hàm số f(x) = t/x^ + 1 - ^fx với
Ta có: f '(x) = — —
f 1)^
^

f '( x ) =

0 <=> x V x

=

X e

D = [0; +c»)

^

---- .
2VÍ

\/(x ^ + 1 ) ^

X® =

(x^ + 1 ) ^

o

x^

=

X^ + 1

Phương trình này vô nghiệm =ỉ> f ’(x) không đổi dấu trên D, mà
f'(l) = ^

2^

- -

2

< 0 ^ f'(x) < 0 Vx G D

- T ỉ - 335


Mặt khác:
lim f(x) = lim

,

---- ,

---- ;

— -/= = 0

x“ +-^ t/(x^ + 1)^ + t/x^Cx^ +1)2 + ^x^(x2 +1) + \/x®

0 < f(x) < f(0) = 1
9)

- 2x^

-

Vx 6 D =» phương trình có nghiệm
0 < m < 1.
X > 1
2x - m^ + 3m2 + 1 = X - 1 <í+
x^ - 3x2 - m^ + 3m2=0

Phương trình (1) <í+ x^ - 3x2 _

- 3m2

Xét hàm số f(x) = x^ -3x2, ^ ^ [l;+oo),f'(x) = 3x2

_ Q

X
X

= 0 (L)
=2

Lập bảng biển thiên và suy ra PT có hai nghiệm phân biệt khi
m^ - 3m2 + 2 < 0

- 4 < m^ - 3m2 < -2 o

^ m G ( - l ; l - > / 3 ) U ( l ; l + x/3).

m^ - 3m2 + 4 > 0
Bài 2. Điều kiện: - 4 <

X

<1

Đặt V4 - 3x - x2 = t với t e 0;

và có x2 + 3x = 4 - 12

Phương trình (1) trờ thành:
m(4 —

= 4m - 1 +>

+ 1 = mt^ <+ t + — = m (2)
t2
(do t = 0 không là nghiệm).

Phương trình (1) có nghiệm +> phương trình (2) có nghiệm t
Xét hàm số f(t) = t V — liên tục trên
2

G

và có

r -2
3/ A

Lập BBT của hàm số f(l) trên 0;:
Từ BBT suy ra phương trình (2) có nghiệm t e 0;
3

m>

Vậy m > — thì phương trình (1) có nghiệm.
Bài 3.
1) Điều kiện:- 5 <
336 - T I

-

X

<4.

khi và chỉ khi



X

—oo

—1
-

f(x )

2

0

+

-hoo

0

+

-t-oo

f(x )

-2 7 ^ ^ --—

Dựa vào bảng biến Ihiên suy ra phưong trình có hai nghiệm phân biệt
- m > - 2 7 <=> m < 27 .
X < 9 .

2) Điều kiện: 0 <
Phương trình

o 9 + 2^Jxiư- x) = -x^ + 9 x + m o 2 —m = x(9 —x) - 2yjx{9 —x) .

Đ ặ tt = 7 5 ^ ^ o < t < í ± ^ = l .
2

Ta có phương trình: 2 - m =

2

- 2t = f(t)

(1).

Phương trình dã cho có nghiệm <=> (1) có nghiêm t e [0;—]
2

'

9

Xét hàm sô f(t) vớ it e [0 ;-], cóf'(t) = 2t - 2 > 0
2
Bảng biến thiên;

3) Điều kiện:-3 <
Đặt
t=

Vs

+

X

+

X <

V e - X

f'(t) = 0

6.

=>

= 9 + 2 Ậ 3 + x)(6 - x) =ỉ> V(3 + x)(6 - x) =

^2 _ 0
Phương trình đã cho trở thành: t --------- = m

- 2t = 9 - 2m (2).

2

Xét hàm số t(x) = \/3 +

X +

X ^

t'(x)
b
== ■
-

,

2Vx + 3
=> t '( x ) =

0 <í=> %/e -

X =

Vx + 3 <í=> X

Ta có bảng biến thiên của t(x):

338 - 7 / -

í

t = 1.

3

= —

2

—

------

2 v 6 -x

2


X

^
2

t’(x)
t(x)

+

6

0

-

3

3

Dựa vào bàng biến thiên ^ t
Suy ra (1) có nghiệm
Xét hàm số f(t) =

G

[3;3\/2].

(2) có nghiệm t e [3;3\/2].
- 2t với 3 < t < 3V2 , có

f'(t) = 2 t - 2 > 0 vt G [3;3V2]
=4> f(t) là hàm đồng biến trên [3;3V2]
^ 3 = f(3) < f(t) < f(3^/2) = 18 - 6V2 vt G [3;3V2].
Vậy phương trình có nghiêm o 3 < 9

2m < 18

6a/2

2

^
4) Điều kiện: X > 2.
Ta thấy X = 2 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế
phương trình cho
m
X

+2

+2

- 4 , ta được:
4 |ii± ^ = 2 (*).
X - 2

Đ ặtt = f ^ > 0 = > t ^ x - 2 ) = x + 2 ^ x = ^^^ + ^ ^ > 2
t^ -l
> 0 <í=>t > 1 .
t" -l
Khi đó (*) trở thành: m - + 2
t

t = 2 4=> m =

r +2t
= f(t)
2t + l

(3).

Phương trình dã cho có nghiệm o (3) có nghiệm t > 1.
Xét hàm số f(t) với t > 1, có;
> 0 vt > 1 ^ f(t) > f(l) = 1 vt > 1 .
(2t + l)^
/
Vậy phương trình có nghiệm <=> m > 1.
5) Điều kiện: -1 < X < 8

f'(t) =

Đặt t =
^ 9<

+ 1 -I- Vs -

X

>0

= 9 + 2^/õ^^ 1)(8 - x ) < 9 + x + l + 8 - x = 1 8

^ 3 < t < 3^/2 .

TI - 339


Phương trình đã cho trở thành: t +
Xét hàm số f(t) =

-9

m

+ 2t —9 = 2m (1)

+ 2t - 9, t e [3;3V2]

f '(t) = 2t + 2 > 0, vt G [3;3%/2] vậy hàm số đồng biến trên [3;3\Í2] suy ra

min f(t) = f(3) = 6, raax f(t) = f(3\/2) = 9 + 6\Ỉ2
[3;372Ị
[3;3s/2]
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm
t e [3;3>^] <=>6<2m<9 + 6 N /2 o 3 < m < ^ +
•
2

.

6) Đặt: t = ^

+ 4x I m > 0, phương trình đã cho trờ thành:
9
t = 2 (n)
t+ t-6 =0o
Ịt = -3 (1)

Với t = 2 =>• \/x^ + 4x + m = 2 <í=> x^ + 4x + m = 16 <=> - m = x^ + 4x - 16

Xét hàm số: f(x) = x'' + 4x - 16 => f '(x) = 4x^ + 4 , f '(x) = 0 X = - 1
Từ bảng biến thiên suy ra PT có nghiệm khi: -m > -1 9 o m < 19 .
7) Điều kiện: X > 2
Ta có:

n/ x

-

1+

—

3x + 2

+

(m + 3)Vx - 2

= 0

^ (x - l)2 + 4 m ^ '-l)(x -2 ) + (m + 3)t/(x - 2)2 = 0
ệl—— ^ + (m + 3)fl- — ^ + 4m = 0 ( 1 )
x -2
x -1

(vì

X

= 2 không là nghiệm).

= f í l + - ^ > l,Vx > 2
2 V X- 2
Phương trình (1) trỏ’ thành:
m “t“ 3
ọ
_
9 _
t H---------- h 4m = 0

+ 4mt + m + 3 = 0 < ^ f ^ + 3 :
t

Đặt: t =

X -

-m(4t +1)

2

o -m = — ^ = f(t)
4t + l

(vì

t > 1)

^
r
2(2 r I t - 6 ) „
Ta có: f (t) = —-----^— ::r-- = 0
(4t I l)-"

t=^
2
t = - 2 (loại)

Từ bảng biến thiên suy ra PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi PT(2) có
nghiệm

3
3
t > 1 o —m > —o m < ——.
4
4
8) Điều kiện: X e Ị-5 ;-3 ] u Ị3;5|

340 - TJ

-


t =

- 9 + V25 -

=> 16 <

= 16 + 2V(x^ -9 )(2 5 - x2) < 32

<Í4> 4 < t < 4^/2

Phương trình trở thành:
0
0
16 - r
mt + 1 - 16 = 5m o m(t - 5) = 16 — ^ m = ------ —
t-5
t-5

4;4V2 ,t

5
t = 2 (1)
t = 8 (1)

,2

-t^ + lO t-1 6

f(t)

f'(t) = o < í^ - f + I 0 t - I 6 o

(t - 5)"

Phương trình có nghiệm khi m e ( - 00; -8yỈ2] u [ - 8; + 00).
9) Điều kiện; - 2 < X < 2
t = s l á - x ^ + ^4 + x2 ^ 8 <

= 8 + 2 > /l6 -x ^ < 16

t e [2V2;4]

Phương trình đã cho trờ thành:
- 2(m - l)t + 2m - 8 = 0 -Í4- -2 m = ---- —— - = ĩ (t)
t+1
Xét hàm số: f(t) =

t +1

=> f'(t) =

(t +1)"

> 0,vt e [2>/2;4]

4^/2
Suy ra: min f (t) = f(2V2) = _ , *max
**— f(t) = f(4) = 0
[2^:4]
1 + 2V2 [2V2;4]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
o ---- l 2 ^ < _ 2 m < 0 < ^ 0 < m <
I + 2V2 ’
I + 2V2
Bài 5.
1) Đặt t = Vx^ - 2x + 2 = ^/(x - 1)2 + 1 ^ t € [1;2] ^ x e [ 0 ] l + S ]
Khi đó (1) trở thành: m(t + l ) < t ^ - 2 o m <
Xét hàm số f(t) trên[1; 2], ta có: f ’(t)
(1) có nghiệm x G [0;1 + ^/3]

-2
t+1

ư + 2t + 2

f(t) (1.1).

> 0 vte[l;2]

(t +1)2

(1.1) có nghiệm t

G [1;2]

■í=>m < maxf(t) = f(2) = —.
[1;2]

3

2) Đặt t = V(4 + x)(6 - x) ^ 0 < t <

^ ^

— - = 5.

Khi đó bất phương trình trở thành: t < 2 4 - t 2 + m < :» t2 + t< m + 24 (*).

77-341


Yêu cầu bài toán o (*) nghiệm đúng vt e [0;5].
Xét hàm số f(t) =
|0;5|.

+ 1 v ớ it e [0;5], ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên

Suy ram axf(t) = f(5) = 3 0 .

[0;5]

Vậy (*) nghiệm đúng vt e 10; 5] <4- m + 24 > 30 <=> m > 6 .
3) Đặt t = \Jx^ - 3x + 2,x e |3;+oo)
/ 2x

Ta có: t ' =

2-\Ị x ^

3_ ^ ^

^ [3;+oo)nên

X

e [3;+oo) => t e [sỈ2;+oo)

- 3x + 2

Bất phương trình trở thành: t + \Ịt^ + 2 > m (1)
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi

X

> 3 khi và chỉ khi (1)

đúng với mọi t > 4 2 .
Xét f(t) = t +

+2, t > 4 2 .

Ta CÓ: f '(t) = 1 + , ^
> 0, vt > V2 suy ra
+2
min f(t) = f(V2) — 2 + 42 .
[■s/2;+ou)
Vậy (1) nghiệm đúng với mọi t>^/2<=;>m<2 + ^/2.
4) Đặt t = >/x + V 3-X => 3 <
t+m

-3

—3 < 0

= 3 + 2Vx(3 - x) < 6 ^ t 6 [%/3; n/6]
m(t —3 ) < 6 —2t<í=>m<

6 -2 t
r - 3

6-2t

Xét hàm số f(t) = ------- ,vt e (Vs; Vẽ , ta có:
- 3
f'(t) =

2Ư - 12t + 6

^

< 0 , VteịV3;V6

(t^ - 3)^
0 2'\/0
Nên m < f(Võ) = ---- -— là những giá tri cần tìm.

342 - TI -

,vt e (>/3;n/6]


C H Ư Ơ N G 4. P H Ư Ơ N G TRÌNH, BÂT P H Ư Ơ N G TRÌNH,
______ HỆ P H Ư Ơ N G TRÌ N H M Ũ V Ả LOGARIT_______
Chuyên đê 1. Phương trình, bất phướng trình m ũ
I. Tóm tắt lí thuyết
1. PhưoTig trình - bất phưong trình mũ CO’ bản
Cho a là số thực dưcmg khác 1. Ta có:
•
o f(x) = g(x).
f(x)
_
• a
= b = a log„ b o f(xj = log b .
• a,f(x)
‘'“' = b®*** <=> f(x) = g(x)log^ b .
(1)

+) Nếu a > Ị thì (1) <=> f(x) > g(x)
+) Nếu 0 < a < 1 thì (1) <=> f(x) < g(x)
H a y ( l ) o |^ ^ ^

Ị(a-l)(f(x ) - g(x)) > 0
Để giải phương trình - bất phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển
về các phương trình - bất phương trình cơ bản trên.
2. Một sổ ph ưong pháp giải phương trình - bất phương trình mũ
1.2. Phưong trình đặt ẩn phụ
Dạng 1: Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là: Pía*^'*’) = O.VỚi dạng này
ta đặt t = a^‘*', t > 0 và chuyển về phương trình F(t) = 0 , giải tìm nghiệm
dương t của phương trình, từ đó ta tìm được X.
Ta thường gặp dạng:
+ p = 0 . Với bất phương trình ta
cũng làm tương tự.
Dạng 2:
+ n.b‘^'’‘*+ p = 0, trong đó a.b = 1 .
Đặt t =
Dạng 3:

= -.
t
+ n.(a.b)"’‘' + p.b^“’‘' = 0 .

Chia 2 vế phương trình cho

và đãt t =

,
b

t > 0.

Ta có phương trình: mt^ + nt + p = 0 .

2.2. Phương pháp hàm số
Trong một số phương trình - bất phương trình để giải nó ta cần dựa vào
tính chất của hàm số. Một số tính chất thường hay áp dụng

- Tỉ - 343


Tính chất 1; Nêu hàm sổ y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến)
trên (a;b) thì sô nghiệm của phương trình: f(x) = k (trên (a;b)) không lứiiều
hơn một và f(u) = f(v) o u = V với Vu, V € (a;b).
Chứng minh: Ta giả sử f là hàm đồng biến trên (a;b)
+) Nếu u > V => f ( u ) > f ( v )
+) Nếu u < V => f(u) < f(v)
Tính chất 2: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn
nghịch biến); hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng
biến) trên D thì sổ^^nghiệm trên D của phương trình; f(x) = g(x) không nhiều
hơn một.
Chứng minh: Giả sử f đồng biến còn g nghịch biến trên D và
3Xq e D : f(Xo) = gCxp).
Nếu

X

> X q ^ f(x)

* Nếu

X

< X q => f(x) < f(Xp) = gCxg) < g(x) => PT:f(x) = g(x) vô nghiệm

*

Vậy

X = Xq

>

í

(x q ) =

gtx^)

>

g(x) = > PT;f(x)

=

g(x) vô nghiệm

là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x).

Tính chất 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến( hoặc luôn nghịch biến)
trên D thì f(u) > f(v) <=> u > V (u < v) Vu, V e D .
Tính chất 4: Cho liàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên
khoảng (a;b). Nếu f(a) = f(b) thì phương trìrh f'(x) = 0 có ít rủiất một
nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Chứng minh: Giả sử phương trình f ’(x) = 0 vô nghiệm trên (a;b).
Khi đó f '(x) >0 Vx e (a; b) (hoặc f '(x) < 0 Vx e (a; b )).
Suy ra f(b) > f(a) (hoặc f(b) < f(a)).
Điều này trái vói giả thiết f(a) = f(b).
Vậy phương trình f '(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a;b ).
Từ định lí này, ta có được hai hệ quả sau:
Hệ quả 1: Nếu Ị)hương trình f(x) = 0 có m nghiệm thì phương trình
f '(x) = 0 có m - 1 nghiêm.
Hệ quả 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp k liên tục trên
(a;b). Neu phirơng trình f ‘'"’(x) = 0 có đúng m nghiệm thì phương trình
f ‘'^"^’(x) = 0 có nhiều nhất là m + 1 nghiệm.
Thật vậy: Giả sứ phuơng trình f '‘""^’(x) = 0 có nhiều hơn m+1 nghiệm thì
phưcmg trình f '(xj = 0 có nhiều hơn m nghiệm, điều này trái với giả thiết bài
toán.
Từ hệ quả 2 =i> nếu í'’(x) = 0 có một nghiệm thì f(x) = 0 có nhiều nhất
hai nghiệm.

344 - Tì -


II. Các ví dụ minh họa
1. Các ví dụ cơ bán
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
/

1)

\X -3x+2

1 ^

= 64

2) (7-473)^*^-^ =(2 + ^/3)*■^

2

2n/2 y

x+l +, 4^-^
^X-2 =
_ rjX-l +, 4aX+2
3) 3*^1

4) 3’‘'.2* = 1 .
Lòi giải

T.,
. .
_-^(x2-3x+2)
6(2x~ )
a/ ,
\
1) Phưcmg trình « 2 2
=2
2 <=>- _ Ị x ^ - 3 x + 2j = 6

2’

o

Vậy

X

+ 5x - 24 = 0 o

X

= 3, X

2

= -8 .

= 3,x = -8 là nghiệm của phưomg trình đã cho.

2) Ta có 7 - 4 V3 = (2 - Vs)^ và (2 - V3)(2 + >/3 ) = 1 nên phưomg trìiứi đã
cho tương đương với
(2 <=> X

= 1, X

= (2 -

o 6 x ^ - 4 = 3- xo6x^ +x- 7 = 0

- là nghiêm của phương trình đã cho.
G

3) Phương trình <=> 3.3’' - —.3’' = 4^.4’' - — .4’'
255
4Ì
8 ox = ----.4* 0 Í —
<=> —.3
3
16

X
=

128
là nghiệm của phương
0 X = lo g .
765
i [76bJ
3

trình đã cho.
4) Lấy lôgarit cơ sô 3 hai vế ta có:
logg 1^3’'^ .2” j = logg 1 o x^ + X logg 2 = 0<=>x = 0,x = - logg 2
Là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau
1) 27*

1

sVi

^4x-2

4x2-5x-1

2)

^

1

xx2-3

vv^y
Lời giải

3,(4x-2)
o 3(x^
1) Bất phương trình o 33(x2-x+1) < 3 2

/
- X -

1) < -3(2x - 1 )

o x ^ + x < 0 c i > - l < x < 0 là nghiệm của bất phương trình.
2) Do 0 < ^ < 1 nên bất phương trình đã cho tương đương với
V2

-r/-3 45

X

4x^ - 5x - 1 >

- 3 c:> 3x^ - 5x + 2 > 0 o
X

2

Vậy T =

>1
2■
< ^
3

u [l;+oc).

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
1) 16’' - 5.2^’'“^ +1 = 0
2) 4* - 29.10’‘”^ + 25* = 0 .
Lời giải
r.4*= 2
1) Phương trình <^> 2.4^* - 5.4* + 2 = 0 o

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

1

4* = i2

X

v2y

o

X

2

=±—.

3) Phương trình < > 10.25* - 29.10* + 10.4* = 0 o 10

o

1

<=> X = ± —

v2y

-2 9

+

v2y

= ±1.

v2y
Vậy phương trình có nghiệm X = ±1 .
Ví dụ 4. Giải các bất phương trình
1) 3* +9.3’* -1 0 < 0
2) 5.4* +2.25* -7.10* < 0 .
Lời giải
1) Đ ặ t t = 3*; t >0 ta có bất phương trình
t + —- 1 0 < 0 o t ^ - lot + 9 < 0 o l < t < 9
t
ol<3* <3o0Vậy nghiệm cua bất phương trình là 0 < X < 2 .
2) Chia hai vế cho 4* ta có bất phương trình:
'5 '
"
.2 .
Đặt t =

'5^
+5<0.
7Í
.2 .

v2y

Suy ra 1 <

;t>0tađược:

^5^

2 t^ - 7 t + 5 < 0 o l < t < —.

< -o0
2
v2y
Vậy nghiệm ciia bất phương trình là 0 < X

346 - TI -

<

1.

10

=

0


2. Các ví dụ phân loại
Ví dụ 5. Giải các pluĩơng trình - bất phưcmg trình sau
1) 2* + 2*-^^ + 2^ = 3=^ + 3=^-^^ + 3*^
2) (Vĩõ + 3 ) ^ < (Vĩõ - 3 ) ^
3) (x^+l)l

x^-5x+4

2x^+x+l

(
1^
4) X + —
l
2;
Lời giải

= (x'^ + 1)’'"^

l-x

f

1^
< X2 + —
2j

1) Ta có phương trình
<=> 2’^ + 2.2’' + 4.2’' = 3’' + 3.3’' + 9.3’'
13
7

7.2’' = 13.3’'

—

o

X

, _ 13
= log, —
^3 7

2) Ta có i4ĩÕ + 3)(n/ĨÕ -3 ) = 1=>VĨÕ-3 = (>/ĨÕ + 3)~^
Bất phương trình <=> (a/ĨÕ + 3)=^-! < (^/ĨLÕ + 3)
X - 3
X + 1
2x^ - 10
^
o ---- - < - —- <í>--------------- < 0
x -1
x+3
(x -l)(x + 3)
< X < -Võ

<=>

1 < X < Vs
3) Phương trình <r>

x’' +1 = 1
- 5x + 4

= X

=0
j X > -4
X

o

o

+4
x=0
íx > -4
ì(x^ - 4 x + 8)(x^ -6 x ) = 0

|(x^ -5 x + 4)^ -(x + 4)^ =0

<Í5> X = 0, X = 6 là nghiệm của phương trình đã cho.
4) Vì x^ + —> 0 nên ta có các trưòng hợp sau
2
1 =1
^ 1
• x2 + —
lcí>x = ±
4~2

x^ + - > 1
2x + x + l > l - x
x^ + - < 1
2x + x + l < l - x

X

X>

< -1

42
2x'^ + 2x > 0
1

' ' V2
«
9
2x^ + 2x < 0

—

^ V2
- TI - 347


Vậy nghiệm của bất phương trình là:
Xe ( - o o ; - n u [ - ^ ; 0 1 u [ ^ ; + o ũ ) .
n/2
V2
Chú ỷ: Ta có thể giải bài toán trên như sau:
Bất phương trình <=> (x^ - —)(2x^ + 2x) > 0 .
2
Lập bảng xét dấu ta cũng tìm được tập nghiệm như trên.
Ví dụ 6 . Giải phương trình:
/

^2x+V x+2 ^ 2*^ — ^2+\/x+2 ^

(trích đề thi ĐH Khối D - 2010).
Lòi giải
Điều kiện: X > - 2 .
Phương trình o
<r>

(42X-2 _ 4^^ 2*^ (1 _ 42^-2) = 0
42X-2 ^ 4
_ i ỊỊ^4 '^ ^ 2 - 2*' j = 0 o

4 \ / x +2 + 2 _ 2 * ^

• 42 x-2 = l o 2 x - 2 = 0 o x = l
• 4'^-^^ = 2’'"* <i> 2n/ x + 2 + 4 = x^
o (x^ - 8) - 2(Vx + 2 - 2) = 0
<=> (x - 2)(x^ + 2x + 4) —
=0
Vx + 2 + 2
2

o (x - 2) x + 2x + 4 ■

0 (*)

Vx + 2 + 2
x^ + 2x + 4 = (x + 1)^ + 3 > 3

Do

=> X + 2x + 4 -

<1

Vx + 2 + 2
= > (*)< = > X = 2 .
Vậy phương trinh đã cho có hai nghiệm

>0

Vx + 2 + 2

X

= l,x = 2 .

Chú ỷ: Ta có thể giải phương trình 2n/ x + 2 + 4 = X® (1) như sau
Ta thấy (1) có nghiệm thì

X > ^

.

Xét hàm số f(x) = x^ - 2^x + 2 - 4, X e [ ^ ; +00)
o

1

.

,

,

Có f(2) = 0 và f'(x) = 3x - ,
> 0 , suy ra hàm sô f(x) đông biên
Vx + 2
trên [^;+Q 0) .
Suy ra (1) có ntỉhiệm duv nhất X = 2 .
Ví dụ 7. Giải các phương trình - bất phương trình sau

348 - Tỉ -


2x~x^

í n\ x^-2\
1)

3

+7

I3 j

2) 97x^-2x- x _ rj 2>/:/x'“- 2 x - x - l < 2

-6 = 0

v2j

3) 2^=* -6 .2 ’' ----- ^ + 1 ^ = 1.
2’'
Lời giải
x„2'- 2 x
Í2Ì

1) Phương trình c> 3 í -

-6

+7

=

0

l3 j

l3 j

x^ -2 x

, t > 0 ta có phương trìiứi:

Đặt t =
v3y

3t^ + 7t - 6 = 0 o t = — (nhận); t = -3 (loại)
3

x^-2x
Ta có t = - o
3

= - ^ o x ^ - 2 x - 2 = 0 o x = l±>/3.
3

3

2) Bất phương trình o 3 .9' ^ - 2x-x _7 gVx^-2x-x < Q
Đặt t =

> 0 , ta có bất phương trình

3 t ^ - 7 t - 6 < 0 o t < 3 o Vx^ - 2x
x^ - 2x > 0
<=> • X + 1 > 0

-

X

< 1 <=>

<0 V X >2
o
■X > -1
X> - 1 / 4
X

o

x^ - 2 x < (x + 1)^

-— < X
X

4
>2

2x < X + 1
<0

■

3) Đặt t = 2*,t > 0 ta có:
t ^ - 6 t - — +— = l o (t^ -4 -)-6 (t--)-l = 0
t'
t
t3
t
Đặt y = t - —, ta có:
t
,/ oA/

4
^ 7 o^
t - 2 ( t - -2) 20 + 6 = y(y" +6)
+^ +2
t

t
V
/
Nên ta có phương trình:
q
2
y ^ - l = 0 o y = l c í > t - —= 1
t
« > t ^ - t - 2 = 0 o t = 2 o x = l.
Vậy phương trình có nghiệm X = 1 .
Ví dụ 8. Giải các phương trình - bất phương trình sau
1) (7 + 4^3)’' - 3(2 - Vs)* + 2 < 0
2) g-*^+2x+i _ 34 I52x-x2 ^

=0
- Tỉ - 349


3) 2 .3 '^ + ^ +9^^2 > 9'/ĩ

4) S.S’^+4.12*-18*-2.27* = 0.
Lời giải

1) Ta có: 7 + ềVã = (2 + ^/3)^ và (2 - yÍ3)(2 +-s/ã) = 1 nên đặt
t = (2 + \/3)*,t >0 ta có bất phưong trình:
t ^ - —+ 2 < 0 o t ^ + 2 t - 3 < 0 c 5 > ( t - l)(t^ + t + 3 ) < 0 c í > t < l
t
o (2 + ^/3)* < 1 o

X

<0.

2) Phương trình o 9.9^*“*^ -34.15^*“*^ +25.25^*’*^ = 0
^ n2(2x- x2)
^ n2*-*^
0 9 -3 4 4
+25 = 0

Đặt t =

,t > 0 . Ta CÓ phương trình:

v5y

9t^ - 34t + 25 = 0 o t = 1; t = — .
/ \2x-x*^
• t =1o

= l o 2 x - x ^ = 0 o x = 0;x = 2.

v5y

/ \2x-x‘=

_ ^25 o_ ^3
• t. =
9

^3^ ^

o x ^ - 2 x - 2 = 0 o x = l±%/3.
v5y

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: x = 0;x = 2;x = 1 ± V i .
3) Điều kiện: X > 0 . Chia hai vế BPT cho 9'^ ta được:
2.3^"'^ + 3 .9 ^ ’'^ >1.
■ Đặt t = 3 ^

, t > 0, ta có bất phương trình:

3t^ + 2t - 1 > 0 o t > - o 3 ^ “'^ > 3'^ o Vx - Vx > -1

3

4) Phương trình o 3

í

2x

+ 4.

v3y
Đặt t =

v3y

-2

v3y

=

0

.

v3y

,t > 0 la được:

3t^ + 4C - t - 2 = 0 o ( t + 1)(3C + t - 2 ) = 0 o t = —o x = l .
3
Vậy nghiệm cúa phương trình là X = 1 .
350 - T I

-


Ví dụ 9. Giải các phương trình sau
1) 5’‘ +3.7’^ = 2.13’‘
í

2) 3*+2* =3x + 2
Lời giải
í n

r \

1) Phương trình o

2

+3

3) 3* = Vsx^ +1 .

( 1)

vl3y
/ g
77Y
Do hàm số f(x) = - ^ + 3.
là hàm nghịch bÌÉ
biến và f(l) = 2 nên (1)
ll3j
ll3j
có nghiệm duy nhất X = 1 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất X = 1 .
số f(x)
ftx) = s’' + 22^"
^^ - 3x - 2
2) Xét hàm sô
vl3y

Ta có: f '(x) = 3^ In 3 + 2’^In 2 - 3 => f "(x) = 3* In^ 3 + 2* In^ 2 > 0
Từ đó suy ra f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.
Mặt khác f(0) = f(l) = 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm
X = 0, X = 1 .
3) Từ phương trình ta có s’' > 1 => X > 0

Xét hàm số f(x) = 3’" - Vsx^ + 1, ta có:
8x

f'(x) = 3M n3-

f"(x) = 3* In ^S -

x/s x^ +1
192x

f " ’(x) = 3’‘ ln^3

V (x 2 + l ý

>0, Vx > 0

Suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất 3 nghiệm trên [0;+ooỊ.
Mà

f (0) = f i- =f(l) = 0 nên

x = 0,x = —,x = l

21

2

là ba nghiệm của

phương trình đã cho.

Ví dụ 10. Giải các phưong trình sau
sm

1) e

X—

4

2) 5* + 2=^ = 4=^ + 3"
Lời giải

= tau X

1) Đặt a = sinx, b = cosx => a, b e (-1;1).

Từ phương trình ta thấy a.b > 0 .
s/2
-^a
Ta có phương trình: e 2 * * = —<z> - —
b

72,
-^b

a

b

<=> f(a) = f ( b ) .

2

Trong đó

f(t)

= ----- ,

t

e

\ ỈOl, có

f'(t)

=•

7lt-7
V

2

<0

-r/-35l


Nên f(t) là hàm nghịch biến trên mỗi khoảng (-1;0) và (0;1)
Kết hợp với điều kiện a.b > 0 ta suy ra f(a) = f(b) o a = b

tan x = l o x = —+ k n , k e z .
4
2) Phương trình o 5* - 4=^ = 3=^ - 2* (1)
Giả sử X = a là nghiệm của (1)
Xét hàm số f(t) = (t + 1)“ - 1“ , ta có: f(4) = f(2)
Suy ra f'(t) = 0 có ít nhất một nghiệm t = c e (2;4)
a =0
a =0
=>a(c + lj
-a .c “ ' = 0 o
<=>
a -l
a =1
(c +1)“-' = c
<=>

sin X

Vậy

X

=

cos X

<=>

= 0, X >=1 là hai nghiệm của phương trình đã cho.

III. Bài tập vận dụng
Bài l.| Giải các phương trình sau
2X^+3x-4 _ ^x-1

1) 2*^^* ==(272)*'
g2x^+x+5 = 27^*'"^

2)

3) (V2 - D* + (^/2 + D* - 2n/2 = 0

4) (3 + >/5)* + 16(3 - Võ)* = 2*^®

5) (7 + 4n/3)* - 3(2 - ^/3)* +2 = 0
1
7) 2.4* +6* =9*

6) 3.4* +2.10* =5.25*

4) (2 + 7ã)®*^^ = (2 - 73)®*^®
^
42
x-1 g3-x ^
272 .0,125
5) 72 *^^
2*2+x - 4.2*'-* - 2'^* + 4 = 0
6)
^x^-3x+2 _|_^x^+6x+5 _ ^2x^+3x+7 ^ Y
ĨL
Bài 2.| Giải các phương trình sau

1) 25* -5*^^ + 4 = 0
2)
+2*^’' -1 7 = 0

1 1

8) 8* + 18* = 2.27

Bài 3,| Giải các bất phương trình sau
<(0,125) 3x+2

1) 3*^^ +5*^^ > 3*^2 +5*^^

2)

3)
5)
7)
8)

4) (^/ĨÕ + 3)*-l <(VĨÕ-3)*+3

3*'-^* <2*“^
3*+9.3"*-10 <0
25.2* -10* +5* >25
(x/ỹ^^W3)* +(>/7 7 4 7 3 )* >14.

v2y

6) 5.4* +2.25* -7.10* <0

Bài 4.| Giải các phương trình sau
x-l

1) 8 ^ = 36.3^'*
352 - TI -

2) 2*.5 * = 10



3x"

o

X

+ 4 o 3x^9 - 2 x - 8 = 0 o x = 2, x = 4 .

Vậy nghiệm của phương trình là s = Ị - —, 2 | .
2) Phương trình
o

= 2^*"^ o x'^ + 3x - 4 = 2x - 2
<ĩí>x^+x-2 = 0 o x = l;x = - 2 .

Vậy nghiệm của phương trình là s = |- 2 , l Ị .
3) Phương trình o

<=> 2x^ + X+ 5 = 3(2x +1)

1

9

o 2x^ - 5 x + 2 = 0 o x = 2, x = — .

Vậy nghiệm của phương trình là s = |2. I •
4) Ta có: (2 + V3)(2 - ^/3) = 1
Suy ra phương trình
o

(2 +

(2 - Vi) = (2 + Vs)"^.

= (2 + x/3)’®*'® o 3x + 1 = -5x - 8 ■» X =

8

.

Vậy nghiệm của phương trình là s = ■!-—
x+l

4x-2

3

x+1 4x-2

3 g

5) Phương trình o 2 2 .2 3
= 22.2'^ 0 2 2 "^ 3 "^ * = 2 2
62
o X = — là nghiệm của phương trình.
,x
6) Phương trình c> 2*^ *.2^’‘ -4.2*

_ 2^’‘ + 4 = 0.

o 2*^"* (2^* - 4) - (2^* - 4) = 0 <r> (2^* - 4)(2*^‘* -1 ) = 0
<=>

2^* =4
2* ■* = 1

<=>

=1
x =0
X

.2
J „ , o , - .2 , /? „ , c _ o „ 2
7) Ta có: x^
- 3x
+ 2 + x^ + 6x + 5 = 2x^ + 3x + 7 nên phương trìiứi đã
cho

o

4ị x^-3x+2

1 4i X

+6x4-5

- 1 =0.

Giải phương trình này ta được
phương trình đã cho.
Bài 2.

X

= ±1; X = 2; X = -5 là các nghiệm của

1) Phương trình o 5^* - 5.5* + 4 = 0 o

5* =1
5* =4

354 - TI

-

X

o

X

=0
= logg 4


> 0 . Ta có phương trình:

2) Đặt t =

+ 16t -1 7 = 0 o t = l,t = -17 loại
Với t = 1 <=> 2’'^^ = lci>x + 3 = 0 o x = -3 là nghiệm của phương trình đã
cho.
> 0 => - = (yÍ2 - D*. Ta có phương trình:

3) Đặt t = (\Ỉ2 +
t + —- 2 V = 0 <=>

- 2\Ỉ2t + l = 0 <=>t = V 2 ± l .
t
Phương trình có hai nghiệm X = ± 1 .
4) Chia hai vế phương trình cho 2* ta được phương trình:
2

3 + ^/5

+ 16

Í3-S

■8 = 0

X

Đặt t =

Í3 + V ẽì
2

V

,t >

0

/

=>

Í 3 - S ]
V

2

y

= - nên ta có phương trình
t

t + — - 8 = 0 o t ^ - 8 t + 16 = 0 o t = 4

t
o

3 + Vs

=4

o

X

=

4.

5) Đặt t = (2 + > /3)\t> 0= > (2-N /3)’‘ = - và (7 + 4 n/3)* =
Ta có phương trình:
t ^ - - + 2 = 0 o t ^ + 2 t - 3 = 0 o ( t - l)(t^ + t + 3) = 0 o t = l .
Vậy nghiệm của phương trình là
6) Chia hai vế cho 25’‘ ta có:

X

=0.

2x

+2
- 5 = 0 o ^ĩ } = 1 <=> X = 0 ,
v5y

v5/
v5y
Vậy X = 0 là nghiệm của phương trình đã cho.

3.

I 7) Điều kiện:
i

\
1

X ít 0
^

1

Chia hai vế cho 9^ ta được:
2 1
2 1
'2 'X '2 'X
' 2' X ' 2'
+
= 1 <=> 2
-1
.3 .
.3 .
.3 .
.3;
Đặt t =

/ 2 >-

=

0.

, t > 0 ta có phương trình

v3y
- T ỉ -355


2t^ + t - l = 0<=>t = Ậ.

Hay

^2 ^

1 1

= — o

— = lo g

X

v3y

1

2

2

.

— <=> X = l o g j — l à

- z

.
nghiệm của phưorng trình

cho.
Bài 3.
1) Bât phương trình
25.5* -5.5* > 9.3* -3.3* o 20.5* >'6.3* o
v3y
1

_ „

10

3
3

2) Bất phương trình
^ ^ n2x^+1 ^ ^ n3x+2

o —
< —

/ 1 A9x+6
o 2x + 1 > 9x + 6

v2 y

o 2x^ - 9 x - 5 > 0 o x e (- 00; - —] u [5;+oo).
3) Bất phương trình o x^ - 4x < (x - 4) logg 2
<=> (x - 4)(x - logg 2) < 0 o logg 2 < X < 4 .

4) Bất phương trình
Ci> (^/ĨÕ + 3 ) ^ < (Vĩõ + 3 ) " ^ o
2{x^ - 5 )

(x -l)(x + 3)

X- 1

X+ 3

<0

^ 0 « X e (-3; ~ S ) u (1; S ) .

5) Đặt t = 3*, t > 0 ta có bất phương trình:
- lOt + 9<0<=>l6 ) Chia hai vế của bất phương trình cho 4* ta có
v2 y

v2 y

+5 < 0 o 1 <
v2y

< — <=>02

7) Bất phương trình o (2* - 1)(5* - 25) < 0 o
bất phương trình đã cho.
8) Đặt t =
1

—+ t > 14 o
t

+ 4 V3 j ,t > 0 ta có bất phương trình
9

- 14t + 1 > 0 <=>

Từ đây, ta tìm được |x| > 2.
356 - TI -

0 < X < 2 là nghiệm của

t > 7 + 4^/3

t<7-4^/3’

đã


Bài 4.
1) Điều kiện: X ít -2
Phương trình
o

2^ =

o 2^ =

o
X

<=> (x - 4)(x + 2 + log„ 2) = 0 <=>

2) Điều kiện:
o

X

- X -

X

2=4-

+2

X

=4

X

= -2 - logg 2

X

x^l
+ - — - log, 5 = 1 + log„ 5
X
X
1 ± ựl + 4 log2 5

ìt 0. Phương trình o

log2 5 = 0 <=> X

X

3) Phương trình
x +4 >0

<=> X - 5x + 4

= X

+ 4 <=>

x ^ - 5 x + 4 = x + 4 o x = 0,x = 6 .
x^ - 5x + 4 = - X

-

4

4) Đặt t = 2’‘ , t >0.
Ta có; 2t^ - 7t^ + 7t - 2 = 0 o (t - l)(2t^ - 5t + 2) = 0
<=>t = l , t = 2,t = —. Phương trình có 3 nghiệm X = ±1; X = 0 .
2
5) Phương trình o (^/x - 3) j2\lx^-3 oVx-^-a
0 giải phưcmg trình
này ta được các nghiệm:
X =

9; X

=

±2 .

7Ĩ-1
6) Điều kiện: X > 0 . Phương trình o 3.2'^ ^ - 8.2 2 +4
^
Đặt t = 2 2 , t > 0
ta có phương trình

=

0.

'

3t^ - 8t + 4 = 0 o t = 2, t = 4 .. ..
3
Từ đó ta tìm được X = 9; X = (3 - 2 log2 3)^ .
7) Điều kiện; xeỊ-oo;-^/5 u
Ta có phương trình:
•

t

=2

o

2*“''=^

• t =4 o 2 ^

=2

o

t^ - 6 t
X

+°°) • Đặt t =
+ 8 = 0 o t = 2,t

-1 =4 ^ 5 o

=

> 0.
4.

| x - l >0
<=> X

= 3.

(x-1)^ =x^ - 5

r~ị
X- 2 > 0
® = 4 o x - 2 = Vx^ - 5<=><
„

„

(x - 2 ) 2 = x2 - 5

9
o x = —.
4
TI - 357