Các bài toán luyện tập lớp VIII

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi lớp VIII
Đề bài:
Bài 1.a) Giả sử
2 2
19x y− =
và
3xy =
thì lúc đó giá trị của
x y
+
là bao nhiêu?

b) Tìm giá trị của
x y−
nếu
3 3
45x y− =
và
( )
6xy x y− =
Bài 2. a) Giải phương trình:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
99 98 97 2 99
1 1 2 1 2 ... 2x x x x x x+ + + + + + + + + +
b) Tam thức bậc hai
2
0ax bx c+ + =
tồn tại bao mấy nghiệm nếu?
a c b+ =
Bài 3, a) Trong tam giác nhọn ABC, BH là đường cao, AM là trung tuyến, góc
MCA lớn gấp đôi góc MAC. Giả sử BC = 10cm tính đoạn AH.

b) Trong tam giác ABC, A
1
, B
1
và C
1
là trung điểm các cạnh BC, AC và AB tương
ứng. Giả sử A
1
A và B
1
B là phân giác của tam giác A
1
B
1
C
1
tính góc của tam giác ABC.
Bài 4 a) Tổng của 3 số khác nhau bằng 6, còn tổng của tích hai số bất kỳ trong ba
số đó bằng 9. Chứng minh rằng ba số đó đều là số dương.
b) Trong các số tự nhiên khác nhau có thể chọn ra nhiều nhất là bao nhiêu số để
tổng 3 số bất kỳổtong các số đã chọn đều là số nguyên tố.
-----------------------------------------------
ThầyNguyênXuânTranh.THCSYên lạc.0809
1
Định hướng lời giải:
Bài 1. a) Trả lời: Bằng 5 và -5.
Xét
( )
2

2 2
2 19 6 25x y x y xy+ = + + = + =
, lấy căn bậc hai là xong.
b) Trả lời bằng 3.
Cách 1. Nhân đẳng thức thứ hai với 3, rồi lấy đẳng thức thứ nhất trừ đi ta có:
( )
3
3 2 2 3
3 3 27 3x x y xy y x y x− + − = − = ⇔ =
Cách 2. Giả sử
;x y a xy b− = =
. Khi đó
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
3 3 2 2 2
3 3x y x y x xy y x y x y xy a a b− = − + + = − − + = +
Ta có
3
3
6
6
3 45
18 45
ab
b
a

a ab
a

=
=


⇔
 
+ =


+ =

vậy
3
27a =
, thành thử
3a
=
.
Bài 2 a) trả lời
1,5x = −
Theo công thức:
( )
( )
1 2 2 1
...
n n n n n n
a b a b a a b ab b

− − − −
− = − + + + +
ở bài toán của ta
1a x= +
,
2b x= +
,
100n =
. Vì
1 0a b− = − ≠
nên ta nhân cả hai vế của phương trình với
( ) ( )
1 2 1x x+ − + = −
ta có:
( ) ( )
100 100
1 2 0 1 2x x x x+ − + = ⇔ + = +
. Giải phương trình
này ta được
1,5x = −
b) Trả lời có hai nghiệm phân biệt.
Cách 1.
0a c b a c b a b c+ = ⇔ + = ± ⇔ + + =
hay
0a b c− + =
.
Giả sử
( )
2
F x ax bx c= + +

thì khi đó
( )
1a b c F+ + =
và
( )
1a b c F− + = −
Trong trường hợp thứ nhất tam thức có nghiệm là
1
và
c
a
Trong trường hợp thứ hai tam thức có nghiệm là
1−
và
c
a
−
Hai nghiệm này không thể trùng nhau được vì đã có
a c≠
Cách 2. Xét
( )
2 2
2
4 4D b ac a c ac a c= − = + − = −
. Bởi vì
a c≠
nên
0D >
.
Lúc đó tam thức có hai nghiệm phân biệt.

Câu 3 a) Trả lời AH= 5cm
Nối đoạn HM, nó chính là trung tuyến của tam giác BHC, bởi thế nó banừg một nửa của
BC. Giả sử
MAC
α
∠ =
thì
2MCA
α
∠ =
, Vì MC= MH nên tam giác HMC cân suy ra
MHC MCH
α
∠ = ∠ =
. Và vì
MHC
∠
là góc ngoài của tam giác AHM nên
AMH MHC MAH
α
∠ = ∠ − ∠ =
. Vậy tam giác AHM cân suy ra
ThầyNguyênXuânTranh.THCSYên lạc.0809
2
5( )
2
BC
AH HM cm= = =
b) Trả lời: Các góc của tam giác ABC bằng 60
0

.
Ta có
1 1 1
AB A C
là hình bình hành mà lại có đường chéo là phân giác nên nó là hình
thoi, nên
1 1 1 1
A B A C=
.
Tương tự
1 1 1
BA B C
cũng là hình thoi nên
1 1 1 1
B A B C=
, vậy tam giác
1 1 1
A B C
là tam
giác đều nên tam giác
ABC
cung là tam giác đều.
Câu 4 a) Giả sử
6a b c
+ + =
và
9ab bc ca
+ + =
.
Khi đó

( ) ( ) ( )
2
2
9 9 6 9 6 3 0ab c a b c c c c c= − + = − − = − + = − ≥
Chứng minh tương tự
0bc ≥
và
0ca ≥
Ta phải chứng tỏ ba số này không có số nào bằng 0. Thật vậy nếu
0a
=
thì từ đẳng thức
( )
2
3ab c= −
suy ra
3c
=
nhung khi đó
6a b c
+ + =
suy ra
3b
=
, là điều trái với giả thiết
ban đầu. rằng các số này là khác nhau mà. Vậy
0a ≠
,
0b ≠
và

0c ≠
Và ta nhận được các bất đẳng thức cùng dấu. Vì
0a b c
+ + >
nên
0a
>
;
0b
>
và
0c
>
.
b) Trả lời 4 số
Bốn số thoả mãn điều kiện bài toán là 1, 3, 7, 9.
1+3+7=11; 1+3+9=13; 1+7+9 =17; 3+7+9=19 là những số nguyên tố.
Giả sử ta chọn được 5 số. Khảo sát trường hợp chia hết cho 3. Nếu trong các số chia ba dư
1 thì tổng cua chúng chia hết cho 3. Nếu chia ba dư0, 1, 2 thì tổng của chứng cũng chia hết
cho 3. Vầy không thể là số nguyên tố.


------------------------------------------
ThầyNguyênXuânTranh.THCSYên lạc.0809
3