Rèn luyện tư duy học sinh qua bài toán tính tích phân

RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC TỔ
CHỨC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH TRƯỜNG HỢP
DẠY HỌC TÍNH TÍCH PHÂN
Training thinking for students through the organization of solving problems in
different ways: case of teaching students to calculate integrals
TÓM TẮT
Một trong những nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên dạy học Toán hiện nay là
rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh. Để hoàn thành được nhiệm vụ này, giáo
viên có thể tổ chức các hoạt động khám phá chohọc sinh khi dạy học kiến thức mới và
thông qua hoạt động dạy học giải các bài toán. Đặc biệt, có một cách hữu hiệu để rèn
luyện tư duy cho học sinh là tổ chức giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau. Dựa trên
tư tưởng này, chúng tôi triển khai thực nghiệm cho HS lớp 12 giải bài toán bằng nhiều
cách khi tính tích phân.
Từ khóa: rèn luyện tư duy, giải toán bằng nhiều cách, tính tích phân.
ABSTRACT
An important task of the mathematics teacher is to train and to develope thinking for
students. To accomplish this task, teachers can organize activities for students to
discover new knowledge and activities of solving problems. In particular, there is an
effective way to train students to think is that teachers can organize activities of solving
problems in many different ways. Based on this idea, we implement an experiment for
students in class 12 to calculate integrals in various ways.
Keywords: train thinking, solve problems in different ways, calculate integrals
1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Hoạt động giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau có ý nghĩa quan trọng trong dạy học
toán. Một trong các ý nghĩa ấy là giúp học sinh (HS) phát triển được tư duy. Bởi lẻ, để
1


có thể giải được nhiều cách, người làm cần phải biết huy động thật nhiều kiến thức liên
quan, từ đó họ tiếp tục phân tích, tổng hợp, đánh giá các dữ kiện của bài toán và sau
cùng là tìm ra lời giải thích hợp. Quá trình ấy buộc HS phải sử dụng các thao tác tư duy

cần thiết và suy luận hợp lí. Thực tế, sách giáo khoa (SGK) 12 cung cấp cho HS nhiều
kiến thức hữu hiệu để tính tính phân. Vấn đề đặt ra, các em có thực sự khai thác hết các
kiến thức ấy để tính tích phân chưa. Qua đây, có một số câu hỏi cần nghiên cứu như
sau:
- Việc giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau có các ý nghĩa gì trong dạy học toán?
Mối quan hệ với việc rèn luyện tư duy ra sao?
- Sách giáo khoa toán hiện hành có thực sự cung cấp đầy đủ kiến thức về tích phân để
tạo điều kiện cho các em sử dụng chúng nhằm giải toán theo nhiều cách khác nhau hay
không?
- Học sinh có thực sự khai thác hết các kiến thức cần thiết trong SGK để tiến hành tính
tích phân bằng nhiều cách hay không? Hiệu quả của chúng ra sao?
Mục tiêu của bài báo sẽ đi tìm câu trả lời cho ba câu hỏi trên và xem xét tính đúng đắn
của giả thuyết nghiên cứu H: “Khi dạy học tính tích phân, giáo viên có thể tổ chức các
hoạt động giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, từ đó góp phần rèn luyện và phát
triển tư duy cho học sinh”.
2 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
2.1. Phân tích, tổng hợp các tài liệu
Chúng tôi phân tích, tổng hợp các nội dung của chủ đề nguyên hàm – tích phân trong
các SGK hiện hành và sách tham khảo sau đây:
-

Sách giáo khoa - Giải tích 12 (Trần Văn Hạo chủ biên - 2007),

-

Sách giáo viên - Giải tích 12 (Trần Văn Hạo chủ biên - 2007),

-

Hướng dẫn thực hiện chương trình Sách giáo khoa lớp 12 môn toán (Nguyễn

Thế Thạch chủ biên - 2008),

2


-

Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn toán lớp 12 (Nguyễn Thế
Thạch chủ biên - 2009)

Mục tiêu: nhằm chỉ ra những nội dung về kiến thức, kĩ năng và phương pháp mà giáo
viên (GV) có thể tổ chức dạy học chủ đề tích phân theo chương trình ban cơ bản để
giúp HS học tập chủ đề này với hiệu quả cao nhất có thể.
2.2. Thực nghiệm sư phạm
2.2.1. Đối tượng và thời gian thực nghiệm: Học sinh lớp 12A2 (N = 31) thuộc trường
THCS & THPT Trần Ngọc Hoằng, thành phố Cần Thơ. Thời gian: từ 9h45 đến 10h30
(giờ Việt Nam) buổi sáng ngày 29/02/2016
2.2.2. Công cụ để tổ chức thực nghiệm và kịch bản: Tổ chức cho HS giải bài toán sau:
π
2

Hãy tính tích phân sau bằng 5 cách khác nhau: I = sin  π − x  dx
∫0  4 ÷
Thực nghiệm được thiết kế theo 3 pha:
Pha 1: (HS làm bài cá nhân - 15 phút). Tổ chức cho các em làm bài cá nhân. HS làm
bài trên giấy do GV photo có in sẵn bài toán.
Mục tiêu: Pha 1 được tổ chức cho các em làm việc cá nhân. Điều đó đồng nghĩa với
việc chúng tôi muốn tìm hiểu mối quan hệ của cá nhân HS. Mọi ứng xử của HS sẽ được
thể hiện trên bài làm. Cụ thể hơn, HS thể hiện được khả năng của mỗi em trong việc
giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau.

Pha 2: (HS làm bài theo nhóm, 15 phút). 5 nhóm hoàn thành bài giống như trên.
Mục tiêu: Trong pha 2, các em không còn giải quyết yêu cầu của bài toán một mình mà
có sự cộng tác từ các bạn trong nhóm. Pha này tạo cơ hội cho các em bảo vệ chính kiến
của mình. Tuy nhiên, HS cũng có thể thấy được cách giải của mình chưa chính xác nếu
được bạn khác thuyết phục bằng những chứng cứ hợp lí.
Pha 3: (Hợp thức hóa – 15 phút)
Lớp học vẫn được chia thành 5 nhóm. Các nhóm cùng sửa bài với GV. Mỗi nhóm đưa
ra nhận xét, phát biểu cách làm của nhóm mình. Các nhóm khác nhận xét, phản biện và
bổ sung. GV là người nhận xét, đánh giá sau cùng.
3


Mục tiêu: Pha 3 là sự nhận xét, đánh giá các kết quả có được từ pha 2 nhưng có sự can
thiệp từ GV (rất hạn chế). Đây cũng chính là pha hợp thức hóa của tiết học. Nó cho
phép ghi nhận lại những gì quan trọng, các yếu tố mà các em có thể học tập thông qua
việc giải quyết vấn đề đưa ra. HS được mong muốn để học: có những cách hợp lí khác
nhau để giải một bài toán tính tích phân.
2.2.3. Phân tích tiên nghiệm bài toán thực nghiệm
a. Mục tiêu thực nghiệm
Mục tiêu chính của thực nghiệm là đi tìm câu câu trả lời cho các câu hỏi và kiểm chứng
tính đúng đắn của giải thuyết H được nêu ra trong phần đặt vấn đề.
Thêm vào đó, trong quá trình dạy chủ đề tích phân, chúng tôi cho rằng đã có một hợp
đồng ngầm ẩn giữa GV và HS, đó là bài toán được kết thúc sau khi đã tìm ra đáp án
chính xác của nó. HS không cần phải nghiên cứu xem liệu lời giải có hợp lí chưa? Lời
giải có thừa hay thiếu gì không? Còn có lời giải nào khác cho bài toán này hay không?
Trường hợp đề bài yêu cầu tính tích phân đã cho bằng 5 cách đã dẫn đến sự phá vỡ hợp
đồng và chúng tôi mong muốn rằng HS sẽ huy động kiến thức cần thiết để có thể trình
bày lời giải bằng nhiều cách khác nhau.
b. Ngữ cảnh lớp học của bài toán thực nghiệm
Bài toán được tổ chức cho HS giải sau khi các em học xong chủ đề nguyên hàm – tích

phân. Trong đó, các phương pháp tìm nguyên hàm ít nhiều đã được đề cập.
c. Các cách giải có thể
S1. Vận dụng định nghĩa nguyên hàm
π
2

π
2

π

'


π

π

π
2
I = ∫ sin  − x ÷dx = − ∫  cos  − x ÷÷ dx = − cos  − x ÷
4

4

4
0
0
0
2

2
 π
π 
= − cos  − ÷+ cos  ÷ = −
+
=0
2
2
 4
4
S2. Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân bằng cung phụ
π
2

π
2

π

π

π

π
2
I = ∫ sin  − x ÷dx = ∫ cos  + x ÷dx = sin  + x ÷
4

4


4
0
0
0

4


= sin

3π
π
2
2
− sin =
−
=0
4
4
2
2

S3. Đổi biến số
Đặt t =
−

π
π
π
π

− x ⇒ dx = − dt . Khi đó, x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = −
4
4
2
4

π
4

I = − ∫ sin tdt =
π
4

π
4

∫

−

sin tdt = − cos t

π
4

π
4
π
−
4

= − cos

π
2
2
 π
+ cos  − ÷ = −
+
=0
4
2
2
 4

S4. Sử dụng vi phân
π
2

π
2

π
2

π

π
 π


π

I = ∫ sin  − x ÷dx = − ∫ sin  − x ÷d  − x ÷ = cos  − x ÷
4

4
 4

4
0
0
0
2
2
 π
π 
= cos  − ÷+ cos  ÷ = −
+
=0
2
2
 4
4
S5. Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân bằng công thức cộng
π
2

π
2

π
2

π
2
π

 π

I = ∫ sin  − x ÷dx = ∫  sin cos x − cos sin x ÷dx =
( cos x − sin x ) dx
4
4
2 ∫0
4


0
0
=

2
( sin x + cos x )
2

π
2

=

0

2 π
π

 sin + cos − sin 0 − cos 0 ÷ = 0
2 
2
2


2.2.4 Phân tích kết quả thực nghiệm
Pha 1
Bảng 1.1: Thống kê số học sinh theo chiến lược giải, theo cách giải đúng
Số HS
Số HS
làm

S1
29 (93.5%)

S2
14 (45.2%)

S3
31 (100%)

S4
18 (58.1%)

S5
31 (100%)

9 (31%)

12 (85.7%)

14 (45.2%)

17 (94.4%)

28 (90.3%)

đúng
- Chiến lược chiếm ưu thế thuộc về S5 (31/31 HS, chiếm 100%). Nhìn chung, các em
đều định hướng đúng là có thể sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân để biến đổi
5


tích phân đã cho thành tổng (hiệu) của hai tích phân có thể sử dụng trực tiếp bảng
nguyên

hàm.

Hơn

nữa,

một

số

em

còn

bổ

sung

thêm

công

thức

sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b trong bài làm của mình. Điều này cũng có thể giải
thích dễ dàng bởi vì các em đã quen thuộc với việc trình bày cơ sở lí thuyết cho những
suy luận của mình khi giải toán. Có 3 HS (chiếm 9,68%) có lời giải không chính xác.
- Chiến lược S3 cũng chiếm ưu thế không kém (31/31 HS, chiếm 100%). Tuy nhiên chỉ
có 14 HS (chiếm 45,16%) có lời giải đúng khi trình bày theo chiến lược này. Sai sót
nhiều nhất là sai cận của tích phân sau khi đã đổi biến số. Việc định nghĩa tích phân xác
định trên đoạn [ a; b ] , a < b vô hình chung đã dẫn các em đến sai lầm này mặc dù sách
giáo khoa trang 105 cũng đã có chú ý: “Trong trường hợp a = b hoặc a > b ta quy ước
a

∫
a

b

a

a

b

f ( x ) dx = 0; ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .

- Chiến lược S1 cũng được rất nhiều HS lựa chọn (29/31 HS chiếm 93.55%). Nhìn
chung, các em nắm vững định nghĩa nguyên hàm và có ý thức trong việc khai thác
phương pháp này.Tuy nhiên, chỉ có 9 HS (chiếm 31.03%) có lời giải đúng. Điều này
cũng dễ thấy vì trong chương trình sách giáo khoa hiện hành, các bài tập đều có thể giải
được bằng những cách được trình bày cụ thể là bảng nguyên hàm, đổi biến số và đặt ẩn
phụ. HS cũng không có nhiều cơ hội để luyện tập phương pháp này khi không tìm hiểu
nhiều cách để giải một bài tập.
- Chiến lược S4 cũng có nhiều HS lựa chọn (18/31 HS chiếm 58.06%). Đây là chiến
lược có tỉ lệ HS làm đúng cao nhất (17/18 HS chiếm 94.44%) khi đã lựa chọn và trình
bày lời giải theo phương pháp này. Nhận xét về ưu (nhược) điểm của từng cách giải khi
được khảo sát đã cho thấy tính ưu việt của phương pháp vi phân.
- Chiến lược S2 nhận được ít sự lựa chọn nhất, bởi hầu hết HS đầu cho rằng việc tìm
π

π

nguyên hàm của sin  − x ÷, cos  + x ÷ là không có nhiều khác biệt. Những hàm số
4

4


6


này đều có công thức tính trong bảng nguyên hàm mở rộng. Nhưng với một số HS, việc
π

tìm nguyên hàm của hàm số cos  + x ÷ giúp hạn chế sai sót về dấu. Cụ thể:
4


π

π

π

sin
−
x
dx
=
−
1
−
cos
−
x
+
C

=
cos
(
)

÷

÷
 − x ÷+ C dễ mắc sai sót

÷
∫ 4 
4

4


π

π





∫ cos  4 + x ÷ dx = sin  4 + x ÷ + C

ít khi mắc sai sót

Những sai sót mà HS gặp phải khi trình bày lời giải theo các cách khác nhau là:

Viết thừa kí hiệu tích phân khi biến đổi hàm số dưới dấu tích phân (6 HS). Dưới đây là
bài làm của một HS H19 mắc phải lỗi này:
π
2

π  π
π


π

sin
−
x
dx
=
cos
−
−
x
=
cos
+ x ÷.

÷

÷

2


∫0  4 
4

4



π  π
π


π

Cách viết đúng sin  − x ÷ = cos  −  − x ÷ = cos  + x ÷
4


4

2  4
Viết thiếu cung, sai cung của hàm số lượng giác (4 HS). Dưới đây là bài làm của một

HS H31 mắc phải lỗi này:
π
2

π
2

π

2

π
2

π
2

2
2
2
2
cos xdx +
− sin xdx =
sin x +
cos
∫
∫
2 0
2 0
2
2
0
0
π
2

π
2

π
2

2
2
2
2
cos xdx +
− sin xdx =
sin x +
cos x
∫
∫
2 0
2 0
2
2
0
0

Cách viết đúng

Viết sai dấu (6 HS): Dưới đây là bài làm của một HS H5 mắc phải lỗi này:
π
2

π
2

π


π
 π

sin
−
x
dx
=
sin
−
x

÷

∫0  4  ∫0  4 ÷ d  4 − x ÷
π
2

π
2

Cách viết đúng sin  π − x  dx = − sin  π − x  d  π − x 
∫0  4 ÷
∫0  4 ÷  4 ÷

7


Viết sai cận (2 HS): Dưới đây là bài làm của H1 mắc phải lỗi này:

π
2

π
4

π
2

π
2

π

π
 . Cách viết đúng
π

π

sin
−
x
dx
=
cos
+
x
dx
sin

−
x
dx
=
cos

÷

÷

÷
∫0  4  ∫0  4 
∫0  4  ∫0  4 + x ÷ dx

Viết thiếu giá trị cận trên và giá trị cận dưới sau khi đã tìm được nguyên hàm: (12 HS).

π

− cos  − x ÷
π

4

Dưới đây là bài làm của một H21 mắc phải lỗi này: ∫ sin  − x ÷dx =
.
'
4

π


0
 − x÷
4

π
2

π
2

π

− cos  − x ÷
4

Cách viết đúng sin  π − x ÷dx =
'
∫0  4 
π

 − x÷
4
 0
π
2

Viết thiếu dx (5 HS): Dưới đây là bài làm của H15 mắc phải lỗi này:
π
2

π
2

π
2

π
2

π

π
 . Cách viết đúng
π

π

sin
−
x
dx
=
cos
+
x
sin
−
x
dx
=

cos

÷

÷

÷
∫0  4  ∫0  4 
∫0  4  ∫0  4 + x ÷ dx

Viết sai công thức lượng giác sin ( a − b ) = sin a − sin b thay vì công thức đúng là
sin ( a − b ) = sin a cos b − cos a sin b
Viết thiếu kí hiệu đạo hàm (6 HS). Dưới đây là bài làm của H19 mắc phải lỗi này:

π

π
2
− cos  − x ÷
π

4

sin
∫0  4 − x ÷ dx =  π  .
 − x÷
4
 0

π

2

8


π
2

π

− cos  − x ÷
4

Cách viết đúng: sin  π − x ÷dx =
'
∫0  4 
π

 − x÷
4
 0
π
2

Viết sai công thức nguyên hàm:

π
2

π

π





∫ sin  4 − x ÷ dx = − cos  4 − x ÷
0

π
2

0

π
2

π
2

Cách viết đúng sin  π − x  dx = −1  − cos  π − x  

÷÷
∫0  4 ÷ ( ) 
4
 0
Không tìm vi phân khi đổi biến số (1 HS) t =
Cách viết đúng t =

π
π
π
π
− x, x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = −
4
4
2
4

π
π
π
π
− x ⇒ dx = − dt , x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = −
4
4
2
4

Bảng 1.2: Thống kê số HS theo số cách mà các em đã làm đúng
Số cách
Số HS

0
0 (0%)

1
0 (0%)

2
0 (0%)

3
1

4
7

5
23

Pha 2
Bảng 2.1: Thống kê số nhóm theo chiến lược giải, theo cách giải đúng

Số nhóm
Số nhóm
làm

S1
5 (100%)

S2
5 (100%)

S3
5 (100%)

S4
5 (100%)

S5
5 (100%)

5 (100%)

5 (100%)

3 (60%)

5 (100%)

4 (80%)

đúng
Từ bảng thống kê cho thấy, các nhóm đã nắm được yêu cầu của bài toán, tức các em cố
gắng đưa ra 5 cách giải khác nhau. Có 3 cách giải mà có 5 nhóm đều làm đúng (cách 1,
2, 3). Tuy nhiên, không phải nhóm nào cũng thành công với 5 cách giải. Riêng cách 3
có nhóm 2 và nhóm 5 thực hiện không ra đúng kết quả. Cả 2 nhóm đều tìm nguyên hàm

9


π
4

sai sau khi đổi cận. Chẳng hạn, bài làm của nhóm 2 như sau:

∫ sin tdt = sin t

π
−
4

π
4
−

π
4

. Thêm

vào đó, chỉ có 4 nhóm (chiếm 80%) làm đúng theo cách giải 5 bởi vì nhóm 5 đã khai
π
π
triển sai công thức lượng giác sin( − x) = sin − sin x . Mặc dù, làm việc nhóm tạo cơ
4

4

hội cho các em sữa chữa những sai lầm cho nhau. Nhưng cũng có 2 nhóm chưa thực sự
làm tốt được điều đó. Chính vì vậy, chúng tôi cũng cần có pha 3 với kết quả như bên
dưới đây.
Pha 3
Giáo viên tổ chức cho đại diện của mỗi nhóm trình bày sản phẩm của nhóm, các HS ở
nhóm khác nhận xét, phản biện sản phẩm của nhóm được trình bày, đại diện nhóm trình
bày bảo vệ quan điểm của nhóm. Giáo viên cho HS thống nhất ý kiến và đưa ra kết luận
sau cùng. Qua hai pha: làm việc cá nhân và làm việc theo nhóm trước đó, HS dễ dàng
nhận xét, rút ra được những kiến thức, kinh nghiệm khi trình bày lời giải bài toán đã

nêu. Hoạt động học tập này sẽ trở thành thói quen tốt khi được tổ chức rèn luyện
thường xuyên bởi sau hoạt động này HS đã hình thành kĩ năng nghiên cứu khoa học,
biết đào sâu kiến thức, khai thác được tri thức phương pháp để hình thành nhiều cách
giải khác nhau, tìm được cách giải hợp lí nhất (tối ưu) và trên hết là đã nhận xét được
ưu/khuyết của từng cách giải. Cụ thể các em đã nhận xét như sau:
π

2
π
cos(
−
x
)
4
Đối với S1 cách vận dụng định nghĩa nguyên hàm ∫ sin( π − x)dx =
thì ưu
π
4
0
( − x)'
4
0

π
2

điểm là nhanh chóng tìm được kết quả nhưng nhược điểm là dễ quên chia cho u ' .
Đối với S2 cách biến đổi lượng giác bằng cung phụ

10

π
2

π
2

π

π

sin
−
x
dx
=
cos

÷
∫0  4  ∫0  4 + x ÷dx thì ưu điểm là tìm được trực tiếp nguyên hàm là

π

sin  + x ÷ hạn chế được việc sai dấu nhưng nhược điểm lại là khó khăn khi tìm ra
4

công thức biến đổi sin u thành cos u
Đối với S3 cách đổi biến số t =

π
π
π
π
− x ⇒ dx = − dt , x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = − thì
4
4
2
4

ưu điểm là đưa hàm số đã cho về dạng cơ bản đơn giản hơn nhưng nhược điểm của
cách làm này là phải tìm vi phân, đổi cận và viết tích phân mới theo biến mới, cận mới.
Đây là những chi tiết mà HS dễ bỏ sót.
π
2

π
2

Đối với S4 cách dùng vi phân sin  π − x  dx = − sin  π − x  d  π − x  thì ưu điểm là
∫0  4 ÷
∫0  4 ÷  4 ÷
biến đổi trực tiếp không cần phải đổi cận nhưng nhược điểm là dễ sai sót, đặc biệt là sai

dấu khi viết

π
2

π

2

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ) du

Đối với S5 cách dùng công thức cộng

π
2

π



π
2



π

π



∫ sin  4 − x ÷ dx = ∫  sin 4 cos x − cos 4 sin x ÷ dx
0

0

thì ưu điểm là nhìn thấy ngay công thức cần sử dụng nhưng nhược điểm lại là lời giải
dài và dễ sai dấu khi thế giá trị cận trên, cận dưới để tính giá trị của tích phân đã cho.
3. KẾT LUẬN
Những kết quả đạt được cho phép trả lời được các câu hỏi xuất phát và khẳng định tính
đúng đắn của giả thuyết H. Trong đó, HS đã thực sự khai thác được những kiến thức
cần thiết trong SGK để đưa ra những lời giải thích đáng, gián tiếp góp phần vào việc
rèn luyện và phát triển tư duy cho các em. Một ghi nhận khác là còn rất nhiều sai sót
của HS khi tính tích phân: thiếu dx , thiếu cận trên và cận dưới, sai công thức nguyên
hàm, ghi sai cận, không thuộc công thức lượng giác,.... Chúng tôi thiết nghĩ đây cũng là
một vấn đề nghiên cứu thú vị trong thời gian sắp tới.
11


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những
yếu tố cơ bản của Didactic Toán, Nxb Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh.
2. Trần Văn Hạo (chủ biên) (2008), Giải tích 12, Nxb Giáo dục, Nha Trang.
3. Trần Văn Hạo (chủ biên) (2008), Giải tích 12, Nxb Giáo dục, TP Hồ Chí Minh.
4. Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) (2008), Hướng dẫn thực hiện chương trình sách
giáo khoa lớp 12 môn toán, Nxb Giáo dục, Phú Yên.
5. Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) (2009), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ
năng môn toán lớp 12, Nxb Giáo dục, Phú Yên.

12