Chương V. §3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BẮC KẠN
TRƯỜNG THPT BẮC KẠN
Cuộc thi Thiết kế bài giảng điện tử e-Learning
 
Môn: Toán,lớp 11
Tên bài giảng: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Giáo viên: Nguyễn Thị Nhẫn
Địa chỉ mail:
 
Tháng 3/2014


ĐẠO HÀM
có ứng dụng gì trong thực tế?
Trong các bài toán động tử:
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường đi
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc

Trong các bài toán điện:
Sức điện động cảm ứng là đạo hàm của từ thông biến thiên; trong tụ điện thì dòng điện là đạo hàm của điện áp; trong cuộn
cảm thì điện áp là đạo hàm của dòng điện

Trong ngành cơ học lưu chất:
Lưu lượng là đạo hàm của khối lượng(hoặc thể tích) của lưu chất

Đối với âm thanh:
Khi bạn nói vào microphone, điện áp ra của micro bằng đạo hàm của sóng âm thanh
Khi ampli khuếch đại lên đưa ra loa, rung động của loa bằng đạo hàm của điện áp đặt vào
Như vậy, từ micro đến loa, bạn đã lấy đạo hàm 2 lần

ĐẠO HÀM
có ứng dụng gì trong thực tế?
Trong các bài toán kinh tế:
Đạo hàm hỗ trợ rất tốt cho việc tính toán đối với các hàm doanh thu, hàm chi phí, hàm sản xuất…

Ứng dụng của đạo hàm, vi phân và tích phân vào thực tế thì hầu như ngành nào cũng có. Từ khoa học tự nhiên, kỹ thuật,
công nghệ đến các bài toán trong quá trình khoa học xã hội…
Tất cả các quá trình đó đều được mô phỏng bằng các khối PID (tỷ lệ - tích phân – vi phân)
Trước khi máy vi tính ra đời, người ta sử dụng mạch điện tử để làm các khối này. Các mạch điện tử đó gọi là bộ khuếch đại
thuật toán. Hệ thống sử dụng các mạch mô phỏng ấy được gọi là máy tính tương tự (analog computer)


ĐẠO HÀM
CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

11


NỘI DUNG CHÍNH TRONG BÀI HỌC

Đạo hàm của

Đạo hàm của

hàm số

hàm số

y = sin x

y = cos x

Ví dụ và bài tập áp dụng


sin x
Ta nói
dần tới 1
x
Quan sát và nhận xét về giá trị của dãy số được cho trong bảng sau:

khi x dần tới 0

x

π
π
π
180
720
Vậy có
điều gì mâu 360
thuẫn hay không
vì khi

sin x có
x

Giá trị của

x ?0
0, 99949321

sin x
0,999987307

0,999996826

π
1800
ta cũng

π
5400

0
0,999999492

sfffffffffffff
inx
x bảng gần bằng
cho trong
sfffffffffffff
inx (x 0)1 khi x 1nhỏ dần:
x

0,999999943

1. Giới hạn của

- Định lý:

s
ffinx
fffffffffff
x
sfffffffffffff
inx
lim
=1
xQ 0
x

- Chú ý:

u ( x) ≠ 0, x ≠ x0
sin u ( x)
=1
 lim u ( x) = 0 ⇒ xlim
→ x0
u ( x)
 x→ x0


sin u ( x)
lim
=1

x→ x
u ( x)

Ví dụ 1: Tính các giới hạn

0

sin4x
4.sin4x
sin4x
a. lim
= lim
= 4. lim
= 4.1 = 4
x →0
x
→
0
x
→
0
x
4.x
4x
=

1

tan5x
 1 sin5 x 

5 
 sin 5x
=
lim
.
b. lim
.
= 1.5 = 5
÷= lim

÷
x →0 
x →0
x
→
0
x
 x cos 5 x 
 5x cos 5x 
=

1


1
sin
x = 1 ??? (1)
lim
x →0
1

x
1
lim = +∞
x → 0+ x
1
lim− = −∞
x →0 x
Không tồn tại

Chú ý: Dạng

sin u ( x)
lim
=1
x → x0
u ( x)

chỉ áp dụng được khi thỏa mãn đồng thời các điều
kiện:

(Mẫu dần tới 0)
1. lim
u
(
x
)
=
0
x→x
0

1
lim
x →0
x

Giới hạn (1) không tồn tại

2. Giới hạn dạng

0
0


Bài toán: Tìm đạo hàm của hàm số y = sinx bằng định nghĩa:

Giả sử ∆x là số gia của x. Ta có:

Áp dụng công thức:

Δ y = sin ( x + Δ x ) - sinx
Δx
Δx 

= 2sin .cos  x +
÷
2
2



Bước 1: Tính

b

c

Bước 3: Tính

Ta có:

sin( x + ∆x) - sinx =

( x + ∆x) + x ( x + ∆x) − x
= 2cos
sin
2
2

` a

∆ y = f x + ∆ x @f x
Bước 2: Lập tỉ số:

a+b a −b
sin a − sin b = 2.cos
.sin
2
2

∆fffffff
y
∆x

∆fffffff
y
lim
∆x Q 0 ∆x

f

= 2 cos

g
2x
+ ∆x
fffffffffffffffffff

f

= 2 cos x +

2

g
∆fffffff
x

2

∆ffffff
. sin x
2

∆fffffff
. sin x
2


Bài toán: Tìm đạo hàm của hàm số y = sinx bằng định nghĩa:

Giả sử ∆x là số gia của x. Ta có:

Δ y = sin ( x + Δ x ) - sinx = 2sin
Δ

2cos  x + x
Δy
2

=
Δx
Δx

Δx
Δx 

.cos  x + ÷
2
2 



Δx

.sin
÷
2


sin

Δx
2

Δx 

= cos  x +
÷. Δ
2 
x

2
Δx 

∆y
 
Δ x  sin 2 ÷
Δx

lim

= lim  cos  x + ÷.
cos  x +
÷ = ∆lim
∆ x →0 ∆
∆ x →0
Δ
→
0Δ
0
2 
2
x

x
 
÷ x



Bước 2: Lập tỉ số:

Bước 3: Tính

2

∆fffffff
y
∆x
∆fffffff
y

lim
∆x Q 0 ∆x




÷. lim
 x→

= cosx

u(x)

=1

sinu(x)

lim
0

Δx
2
Δx
2

sin

u(x)

=0

sfffffffffffff
inx
=1
0
x

lim

xQ

sin u ( x)
lim
=1
x → x0
u ( x)
(với u(x)

x

0)

2. Đạo hàm của hàm số y = sin x

Định lý: Hàm số y= sinx có đạo hàm tại mọi

xo

và

x2R

(sin x)’ = cos x

(sin x)’ = cos x
(sin u)’ = u’.cos u

Hàm hợp:
Nếu y= sinu với u= u(x) thì:

(sin u)’ = u’.cos u


Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số

a. y = sin 2 x

(sin x)’ = cos x

b. y = sin 3 x

(sin u)’ = u’.cos u (2)

(1)

Giải:

a. ∀x ∈ ¡ : y ' = (sin 2 x)' = (2 x)'cos 2x =2cos 2 x
b. ∀x ∈ ¡ : y ' = (sin x)' = (sin x)3  '

3

= 3.(sin x) 2 .(sin x)'
= 3.sin 2 x.cos x

3
2
(u )’=3u .u’


sfffffffffffff
inx
lim
=1
xQ 0
x

sin u ( x)
lim
=1
x → x0
u ( x)
(với u(x)

x

0)

(sin x)’ = cos x

(sinu)’ = u’.cosu

xo

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số

y = cosx
Giải:

d

e

πffff
y = cos x = sin @x
2
d
e
G
`
a F
πffff
[ cos x . = sin @x .
2
d

e

d

u

e

πffff
πffff
= @x . Acos @x
2
2
=@sin x


Đạo hàm của hàm số y=sin4x +cos(2-x) là

A)

y'=cos4x +cosx

B)

y'=4sin4x-cos(2-x)

C)

y'=4cos4x-cos(2-x)

D)

y'=4cos4x+sin(2-x)

Đúng
Đúngrồi!
rồi!(click
(clickđể
đểtiếp
tiếptục)
tục)

Rất
Rấttiếc,
tiếc,sai
sairồi!
rồi!(click
(clickđể
đểlàm
làmlại
lạihoặc
hoặctiếp
tiếptục)
tục)

Sai
Sairồi,
rồi,bạn
bạncó
cóthể
thểlàm
làmlại
lại

You
Chúc
answer
mừng
this
đã
question
trả
completely
Youdid
didnot
not
Chúc
answer
mừngbạn
bạn
this
đã
question
trảlời
lờiđúng!
đúng!
completely
The
Thecorrect
correctanswer
answeris:
is:
Bạn
Bạncần

cầntrả
trảlời
lờicâu
câuhỏi
hỏitrước
trướckhi
khitiếp
tiếptục
tục

Trả lời

Xóa


BT Đạo hàm của hàm số y=sin x
Your Score

{score}

Max Score

{max-score}

Number of Quiz Attempts

{total-attempts}

Question
QuestionFeedback/Review

Feedback/ReviewInformation
InformationWill
WillAppear
AppearHere
Here

Continue

Review Quiz


sfffffffffffff
inx
lim
=1
xQ 0
x

3. Đạo hàm của hàm số y = cos x

Kết quả của ví dụ 3 chính là nội dung định lý sau:

sin u ( x)
lim
=1
x → x0
u ( x)
(với u(x)

x

0)

Định lý: Hàm số y= cos x có đạo hàm tại mọi
và

xo

x2R

(cos x)’ = - sin x

(sinx)’ = cosx
(sinu)’ = u’.cosu
Hàm hợp:
(cosx)’ = - sin x
(cosu)’ = - u’.sinu

Nếu y = cos u với u= u(x) thì:

(cos u)’ = - u’.sin u


Ví dụ 4: Tính đạo hàm của các hàm số

a. y = cos(3 x +1 )
x
b. y = 2 sin x - 4cos
2

(cos x)’ = - sin x (1)
(cos u)’ = - u’.sin u (2)

Giải:

a. ∀x ∈ R : y ' = cos(3x + 1)  ' = −(3x+1)'sin (3x+1)
= -3sin(3x + 1)
x

b. ∀x ∈ ¡ : y ' = 2cos x − 4  cos ÷'
2

x
 x
= 2cos x − 4  −( )'.sin 
2
 2
x
= 2cos x + 2sin
2


Ghép đôi để có câu đúng

Column 1

Column 2

C

y=2sin3x

A.

y'=-3sin3x

A

y= cos3x

B.

y'=2+2sin(3-2x)

D

y=sin(3-x)

C.

y'=6cos3x

B

y=2x+cos(3-2x)

D.

y'=-cos(3-x)

You
Youdid
didnot
notanswer
answerthis
thisquestion
questioncompletely
completely
Chúc
Chúcmừng
mừngbạn
bạnđã
đãtrả
trảlời
lờiđúng!
đúng!
Rất
Rấttiếc,
tiếc,sai
sairồi!
rồi!(click
(clickđể
đểlàm
làmlại
lạihoặc
hoặctiếp
tiếptục)
tục)
Đúng
Đúngrồi!

rồi!(click
(clickđể
đểtiếp
tiếptục)
tục)
Sai
Sairồi,
rồi,bạn
bạncó
cóthể
thểlàm
làmlại
lại

The
Thecorrect
correctanswer
answeris:
is:
Bạn
cần
trả
lời
câu
hỏi
trước
khi
tiếp
tục
Bạn cần trả lời câu hỏi trước khi tiếp tục

Trả lời

Xóa


Các nội dung chính của bài:

sfffffffffffff
inx
lim
=1
xQ 0
x
(sin x)’ = cosx
(cos x)’ = - sinx

sin u ( x)
lim
=
1
u ( x ) →0
u ( x)
(sinu)’ = u’.cosu
(cosu)’ = - u’.sinu

Bài tập:Tính đạo hàm các hàm số

sin x
y=

,cos x ≠ 0
cos x

cos x
y=
,sin x ≠ 0
sin x

Các em tham khảo thêm bài tập từ bài số 3 đến bài số 7 (Trang 169-SGK Đại số và Giải tích 11 )


Em có thể vận dụng kiến thức trong bài làm bài tập sau không?
- Liệt kê các công thức cần sử dụng để tính đạo hàm các hàm số trong cột A
- Chọn một phương án đúng tương ứng ở cột B

A

B

1. y = sinx + 2 cos3x

a. y’ = -2(sin2x + cosx)

2. y = cos 2x- 2sin x

2
b. y’ = 2+ 3sinx. cos x

2
3. y = 3sin x + x

c. y’ = cosx - 6 sin3x

3
4. y = 2x – cos x

d. y’ = 3 sin2x +1


BÀI HỌC KẾT THÚC TẠI ĐÂY
CHÚC CÁC EM ĐẠT NHIỀU THÀNH TÍCH TRONG HỌC
TẬP!


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 – THPT
2. Chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán khối 11 – THPT
3. Tài liệu trên trang web: thuvienvatly.com
4. Các tài liệu liên quan đến cài đặt, sử dụng phần mềm Adobe
Presenter