Chương 7 thanh chịu lực phức tạp

Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

Nội dung
7.1. Khái niệm chung
7.2. Uốn xiên
7.3. Uốn và kéo(nén) đồng thời
7.4. Nén lệch tâm


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

7.1. Khái niệm chung
Trong TH tổng quát, trên mặt cắt ngang của 1 thanh chịu tác dụng
của ngoại lực có 6 thành phần nội lực:
Lực dọc: Nz

Mômen uốn: Mx , My

Lực cắt: Qx , Qy

Mômen xoắn: Mz

Thanh chịu lực cơ bản: trên MCN chỉ tồn
tại 1 trong 6 nội lực
Kéo(nén)đúng tâm: Nz
Uốn thuần túy: Mx

Xoắn thuần túy: Mz
My

Thanh chịu lực phức tạp: là tổ hợp của các TH chịu lực đơn giản
Uốn xiên

Uốn và xoắn đồng thời

Uốn và kéo (nén) đồng thời

Chịu lực tổng quát


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp
Phương pháp nghiên cứu

Nguyên lý công tác dụng: Một đại lượng do
nhiều nguyên nhân gây ra sẽ bằng tổng các đại
lượng đó do từng nguyên nhân riêng rẽ gây ra

Điều kiện áp dụng nguyên lý:
-Vật liệu làm việc trong điều kiện đàn hồi
-Biến dạng bé
-Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt
Qui ước chiều dương các thành phần ứng lực:
- Nz > 0 : đi ra khỏi mặt cắt
- Mx > 0 :căng thớ về phía dương của trục y
- My > 0 :căng thớ về phía dương của trục x

- Mz > 0 : nhìn vào mặt cắt thấy quay thuận chiều
kim đồng hồ


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

7.2. Uốn xiên
7.2.1. Khái niệm
Một thanh chịu uốn xiên khi trên MCN chỉ
có 2 thành phần nội lực là các mô men uốn
Mx , My nằm trong các mặt phẳng quán tính
chính trung tâm của mặt cắt ngang
Mặt phẳng tải trọng: là mặt phẳng chứa
tải trọng và trục thanh
Đường tải trọng: giao tuyến của mặt phẳng
tải trọng và mặt cắt ngang (đi qua gốc toạ
độ và vuông góc với phương của vectơ
mômen tổng)


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

7.2.2. Ứng suất
a. Ứng suất trên mặt cắt ngang
Gọi α - góc giữa hướng của trục x
và đường tải trọng (α < 900 và α > 0

khi chiều quay từ trục x đến đường
tải trọng thuận chiều kim đồng hồ)
Mx = M.sinα
Ta có:
My = M.cosα
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng:
σz = σz(Mx) + σz(My)

Đường
tải trọng
(x,y) – Tọa độ điểm tính ứng suất trên MCN

(7.1) (Mx ,My) –Các thành phần nội lực tại MCN đang xét
(Jx ,Jy) –Các mômen quán tính chính trung tâm
của tiết diện
Trong (7.1) phải chú ý dấu của tọa độ x, y theo chiều các trục quán tính
chính trung tâm của MCN và dấu của Mx , My theo qui ước


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

Công thức kỹ thuật:

(7.2)

(+) – Vùng kéo
(-) – Vùng nén

Ứng suất pháp tại điểm B do mô men uốn M x và My gây ra:


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

b. Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất
* Đường trung hòa (ĐTH) – quĩ tích những điểm có
ứng suất pháp bằng không, phương trình có dạng:
Có thể viết dưới dạng:
Nhận xét
- ĐTH là đường thẳng đi qua gốc tọa độ với hệ số góc (chiều
dương góc β như qui ước):
(7.4)
Jx ≠ Jy : ĐTH không vuông góc với
đường tải trọng
Jx = Jy : ĐTH vuông góc với
đường tải trọng


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

- Những điểm trên cùng một đường thẳng // với ĐTH thì có ƯS pháp như
nhau => vẽ ƯS pháp trong không gian bằng việc vẽ biểu đồ ƯS pháp
trong mặt phẳng một cách đơn giản
+ Tìm trọng tâm C của MCN, xác định hệ trục quán tính chính trung tâm
+ Tính các giá trị nội lực Mx , My tại mặt cắt ngang đang xét và các đặc

trưng hình học mặt cắt ngang Jx , Jy .
+ Dựng đường trung hòa với hệ số góc theo (7.4)
+ Kéo dài ĐTH, từ điểm K xa ĐTH nhất thuộc vùng chịu kéo và điểm N xa
ĐTH nhất thuộc vùng chịu nén, kẻ hai đường thẳng song song với ĐTH.
Kẻ đường vuông góc với ĐTH là đường chuẩn
+ Tính các giá trị ƯS cực trị tại K và N
theo (7.3) và dựng các tung độ tương
ứng


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

c. Ứng suất pháp cực trị
- Sau khi dựng ĐTH, xác định được tọa độ điểm xa ĐTH nhất thuộc
vùng chịu kéo và vùng chịu nén=> xác định ứng suất pháp cực trị theo:
(xkmax, ykmax) tọa độ điểm xa
ĐTH nhất thuộc vùng chịu kéo
(xnmax, ynmax) tọa độ điểm xa
ĐTH nhất thuộc vùng chịu nén
Chú ý
Với MCN hình chữ nhật, chữ I, MC có 2 trục đối xứng nội tiếp được trong
hình chữ nhật thì các điểm có ưs pháp cực trị chỉ ở các điểm góc nên:

Với MCN tròn hay đa giác đều, thanh chỉ chịu uốn phẳng do vậy


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

7.2.3.Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản
a. Điều kiện bền
Trên MC nguy hiểm của thanh(|Mx|,|My| cùng lớn), điều kiện
bền có dạng:
Vật liệu dòn:
Vật liệu dẻo:
Với vật liệu dẻo, MCN hình chữ nhật điều kiện bền có dạng:
=> Ba bài toán cơ bản


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

b. Ba bài toán cơ bản
Bài toán kiểm tra bền: Biết tải trọng, kích thước MCN và vật liệu,
kiểm tra xem điều kiện bền có thỏa mãn hay không?
Bài toán xác định kích thước MCN: Vì có 2 ẩn Wx, Wy, nên ta giải
theo phương pháp đúng dần. Điều kiện bền có thể viết dưới
dạng:
Chọn trước tỉ số Wx/Wy theo kinh nghiệm, sau đó tính Wx
MCN hình chữ nhật chọn

MCN hình chữ [ chọn

MCN hình chữ I chọn
Bài toán xác định tải trọng cho phép: tùy thuộc bài toán cụ thể,
tải trọng cho phép suy ra điều kiện bền

Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

7.3. Uốn và kéo(nén) đồng thời
7.3.1. Khái niệm
Một thanh được gọi là chịu uốn và kéo (nén) đồng thời khi trên
mọi MCN của thanh tồn tại các thành phần ứng lực mô men uốn
Mx, My và lực dọc Nz


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

7.3.2. Ứng suất
a. Ứng suất pháp trên MCN
Ứng suất pháp tại điểm B(x,y) trên MCN

(x,y) – tọa độ điểm tính ứng suất trên MCN
Nz, Mx, My – các thành phần nội lực tại MCN đang xét
Jx, Jy – các mô men quán tính đối với trục x và y
Công thức kỹ thuật:
Việc trọn dấu trước mỗi số hạng tùy thuộc vào các thành phần nội lực
gây ra ứng suất kéo hay nén tại điểm tính ứng suất


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

b. Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất
Phương trình đường trung hòa trong trường hợp uốn và kéo
(nén) đồng thời có dạng

- Đường trung hòa không đi qua gốc tọa độ
- Ứng suất tỉ lệ thuận với khoảng cách đến đường trung hòa
- Tại các điểm trên đường thẳng song song với đường trung
hòa và đi qua trọng tâm MCN có trị số ứng suất bằng Nz/F


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

(xkmax, ykmax) tọa độ điểm xa
ĐTH nhất thuộc vùng chịu kéo
(xnmax, ynmax) tọa độ điểm xa
ĐTH nhất thuộc vùng chịu nén
- Với MCN hình chữ nhật, chữ I :


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

7.3.3.Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản
a. Điều kiện bền

Vật liệu dòn:
Vật liệu dẻo:
b. Ba bài toán cơ bản
Bài toán kiểm tra bền: Biết tải trọng, kích thước MCN và vật liệu,
kiểm tra xem điều kiện bền có thỏa mãn hay không?
Bài toán xác định kích thước MCN:
Bài toán xác định tải trọng cho phép: tùy thuộc bài toán cụ thể,
tải trọng cho phép suy ra điều kiện bền


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

Bài tập
Một trục tròn bằng thép chịu tác dụng
của hai lực có phương và chiều như
hình vẽ. Xác định đường kính của trục
theo điều kiện bền, biết ứng suất cho
phép của thép [σ] = 180MPa

Giải:
Gắn cho hệ một hệ trục toạ độ xyz
Phân tích các lực theo hai phương x, y
Ta có sơ đồ tải trọng như sau



Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

7.4. Nén lệch tâm
Nén lệch tâm là dạng riêng của bài toán uốn cộng kéo (nén)

7.4.1. Khái niệm
Thanh chịu nén lệch tâm khi hợp lực của ngoại lực có thể thu về
một lực N không trùng với trục của thanh, nhưng có phương
song song với trục thanh


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

Ứng suất
N : lực lêch tâm
e : độ lêch tâm
K(xk,yk) : tọa độ điểm đặt lực lêch tâm
Dời N từ K về trọng tâm O của MCN ta
được 3 thành phần ứng lực:
Lực dọc Nz = N
Mô men uốn Mx = N.yk

My = N.xk

Ứng suất pháp trên MCN

σz =

N N . yK
N . xK
N y
x 
+
y+
x = 1 + 2K y + 2K x 
F
Jx
Jy
F 
ix
i y 

Jy
Jx
2
i = , iy =
F
F => Các bán kính
quán tính
2
x

Đường trung hòa là quỹ tích của tất
cả các điểm trên mặt cắt có ứng suất
bằng không, σz = 0
Biểu đồ ứng suất

Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

7.4.2. Trục trung hòa
a. Phương trình đường trung hòa

1+

yK
xK
x y
y
+
x
=
0
,
hay
+ =1
2
2
ix
iy
a b

b. Tính chất đường trung hòa

a=−

i y2
xK

ix2
b=−
yK

- ĐTH không đi qua góc phần tư chứa điểm đặt lực (a ngược dấu x k, b
ngược dấu yk). Điểm đặt lực nằm trên trục nào thì ĐTH // với trục còn lại
- Vị trí ĐTH chỉ phụ thuộc vào điểm đặt lực K và hình dạng kích thước
MCN mà không phụ thuộc vào giá trị lực lệch tâm
- Khi điểm đặt của tải trọng di chuyển trên đường thẳng không đi qua gốc
tọa độ thì ĐTH tương ứng sẽ quay quanh một điểm cố định nào đó
- Khi điểm đặt của tải trọng di chuyển trên đường thẳng đi qua gốc tọa độ
thì ĐTH tương ứng sẽ dịch chuyển song song với chính nó. Nếu điểm đặt
lực di chuyển gần vào trọng tâm thì ĐTH ra xa trọng tâm và ngược lại


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

7.4.3. Lõi mặt cắt
Thường gặp những vật liệu chịu nén tốt, chịu kéo kém (gạch, đá, bê
tông,…) => Khi tính toán, thiết kế các cấu kiện chịu uốn và nén đồng
thời hay chịu nén lệch tâm ta phải tìm vị trí điểm đặt lực lệch tâm sao
cho trên MCN chỉ chịu ứng suất nén. Muốn vậy ĐTH phải nằm ngoài
MCN hoặc cùng lắm là tiếp xúc với chu vi MCN.

a. Khái niệm về lõi mặt cắt ngang

Lõi mặt cắt ngang là miền diện tích bao quanh trọng tâm MCN sao
cho khi điểm đặt lực lệch tâm nằm bên trong hoặc trên chu vi miền
này thì ứng suất pháp trên MCN chỉ mang một dấu (hoặc kéo, hoặc
nén).

b. Các bước xác định lõi mặt cắt ngang
* Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang
* Tính các mô men quán tính chính trung tâm Jx, Jy; các bán kính
quán tính ix, iy.


Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

* Lần lượt vẽ các đường trung hoà tiếp xúc với chu vi mặt cắt ngang.
Vị trí đường trung hoà thứ i được xác định bởi các toạ độ ai, bi
tương ứng. Từ đó xác định toạ độ điểm đặt lực lệch tâm:

i y2

ix2
xK = − ; y K = −
a
b
* Nối các điểm đặt lực Ki để nhận được lõi mặt cắt ngang
Chú ý: khi MCN là một đa giác lõm (chữ I, chữ T, chữ U,..), chọn
đường trung hoà tiếp xúc với MCN nhưng không được cắt qua MCN.
Nếu MCN là đa giác lồi hay lõm thì

chu vi của lõi là một đa giác lồi.
Hình dáng và kích thước của lõi chỉ phụ
thuộc vào hình dáng kích thước của MCN,
không phụ thuộc vào trị số lực lệch tâm =>
là một đặc trưng hình học của MCN.



Chương VII

Thanh chịu lực phức tạp

Bài tập
Cột tiết diện chữ nhật rỗng có bề dày δ
là hằng số, chịu lực như- trên hình vẽ.
1.Vẽ các biểu đồ lực dọc và mô men uốn
nội lực của cột.
2. Xác định ứng suất pháp cực trị trên
tiết diện chân cột.
Biết F1 = 15 kN; F2 = 10 kN; q=5 kN/m;
h = 20cm; b = 10cm; H = 2,5m; δ=1,5cm.
(Bỏ qua trọng lượng bản thân cột).