Hướng dẫn học sinh giỏi giải toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau môn toán lớp 7 ở trường THCS trung chính

I .PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chon đề tài.
Toán học là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của
những người yêu thích Toán học. Đây cũng là bộ môn khoa học được coi là chủ
lực, bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống,
tính khoa học và tính logic,… Vì thế nếu chất lượng dạy và học môn Toán được
nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện
đại, giàu tính nhân văn của nhân loại. Đối với học sinh, để có một kiến thức
vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với
giáo viên: Làm thế nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức cần thiết? Đó là
câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng
thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy
và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học
tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả
năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực
tiễn.
Trong chương trình Đại số lớp 7, phần kiến thức về tỷ lệ thức và dãy tỷ số
bằng nhau là hết sức cơ bản. Việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, từ một
tỷ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức
nếu biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi
học về đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phương tiện quan
trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam
giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Mặt khác khi học
tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt
giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới.
Với những lý do trên đây, trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng bài tập về
trong Đại số lớp 7.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học các em học
sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồngthời

nâng cao chất lượng bộ môn nên tôi đã chọn đề tài : “Hướng dẫn học sinh giải toán
Tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau môn Đại số 7” để giúp HS có khả năng tư duy,
thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận trong tính toán, đặc biệt rèn kĩ năng với
1


nhng dng toỏn tỡm s hng cha bit, chng minh t l thc, gii toỏn chia t l,
gúp phn rốn luyn trớ thụng minh v nng lc sỏng to cho hc sinh. T ú giỳp
hc sinh say mờ hn vi b mụn Toỏn.
2. Mc ớch nghiờn cu.
- Ch ra nhng phng phỏp dy loi bi T l thc v dóy t s bng nhau
- i mi phng phỏp dy hc.
- Nõng cao cht lng dy v hc, c th l cht lng mi nhn.
3. i tng v phm vi nghiờn cu.
a. i tng nghiờn cu:
- Học sinh khối 7 trờng THCS .
- Giáo viên bộ môn Toán ở trờng THCS TrungChớnh
- Các dạng bài tập Toaựn 7
b. Phm vi nghiờn cu:
Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v tỡm tũi, tụi khụng tp trung vo tt c cỏc dng
bi toỏn Toỏn 7 m ch tp trung vo cỏc vn sau:
- Phng phỏp gii mt s dng toỏn v t l thc v dóy t s bng nhau nh:
+ Tỡm s hng cha bit.
+ Chng minh liờn quan n t s bng nhau.
+ Toỏn chia t l.
- Cỏch trỏnh nhng sai lm thng gp trong gii toỏn liờn quan n dóy t s
bng nhau.
-. Mt s vớ d c th v phng phỏp gii.
4. Phng phỏp nghiờn cu.
a. Phng phỏp iu tra.

b. Phng phỏp quan sỏt.
c. Phng phỏp phng vn.
d. Phng phỏp phõn tớch sn phm.
e. Phng phỏp tng kt kinh nghim.
f. Phng phỏp hi ý kin chuyờn gia.

2


II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu
a. Cơ sở lý luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ
thông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong
thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những
thời cơ và thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào
tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực,
nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi
mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/ 2000/ QH10 của Quốc hội”.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ
thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến
thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học
đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập
do thầy, cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát
hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ
số bằng nhau trong Đại số 7 là một dạng toán rất quan trọng, là nền tảng, làm cơ
sở để học sinh học tiếp các chương sau này.
Vậy làm thế nào để học sinh giải các bài toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng

nhau một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao? Để thực hiện tốt
điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan
sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng
bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù
hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh
học tập tốt bộ môn.
b. Cơ sở thực tiễn
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến
đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới,
nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 7; do lười nhác
trong học tập, ỷ lại, trong nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự
rèn, ý thức học tập yếu kém.
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi
gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp,

3


không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp
nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.
Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa
triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn tại theo
lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mới còn mơ hồ.
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của
con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.
2. Thực trạng của đề tài
a. Khái quát phạm vi:
Trường THCS TrungChính là một vùng nông thôn, các phương tiện kỹ thuật
phục vụ dạy học còn nhiều khó khăn. Học sinh là con em nhà làm nông, nên nhiều
gia đình ít quan tâm đến việc học của các em, chưa chú trọng đến môn học. Bên

cạnh đó bản thân của các em cũng chưa thật sự yêu thích môn học. Các em chỉ học
theo nghĩa vụ chứ chưa say mê dẫn đến kết quả học tập của các em đối với môn
chưa cao.
b. Thực trạng đề tài:
Môn Toán 7 gồm 7 chương :
- Số hữu tỉ, số thực.
- Hàm số và đồ thị.
- Thống kê.
- Biểu thức đại số.
- Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song.
- Tam giác.
- Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam giác.
Với mục tiêu chung: Biết được những kiến thức cơ bản cần thiết của môn Toán ở
lớp 7, rèn được một số kĩ năng trong tính toán và trình bày lời giải…Để đạt mục
tiêu trên đây thật sự là vấn đề cần đặt ra của không ít giáo viên khi dạy môn Toán 7.
Nhiều tiết dạy giáo viên chỉ truyền tải hết kiến thức hết nội dung của mục tiêu đề
bài chứ chưa chú trọng khai thác đồ dùng dạy học vào bài dạy nên tiết học trở nên
buồn tẻ, đơn điệu học sinh thiếu linh hoạt. Vì thế để có tiết học sôi nổi, vui vẻ học
sinh phát huy tính tích cực chủ động tìm tòi kiến thức giáo viên khai thác triệt để
đồ dùng vào bài dạy. Thực tế chất lượng môn toán lớp 7 năm học 2012 – 2013 như
sau:
Loại Giỏi:

4,3%
4


Loi Khỏ :

14,9%

Loi Trung bỡnh:

38,3%

Loi Yu, Kộm:

42,5%

c. Nguyờn nhõn cua thc trng:
- Vic trang b cỏc thit b dnh cho thc hnh cũn thiu, lm cho tit hc cha thc
s sinh ng, v cha t hiu qu cao.
- Hc sinh cha chỳ tõm vo vic hc, cũn mi chi, hc i phú.
- Giỏo viờn cha tht s i mi phng phỏp dy hc hoc i mi cha trit ,
xỏc nh dy hc phng phỏp mi cũn m h.
3. Cỏc giai phỏp chu yờu ờ thc hiờn
a. C s xut:
Phng phỏp dy hc hin nay l phỏt huy tớnh tớch cc ,ch ng sỏng to ca
hc sinh. i mi phng phỏp dy hc bao gm cỏc hỡnh thc t chc dy v hc
v hot ng giỏo dc trong phũng hc trong nh trng sao cho m bo cõn
i v hi hũa gia dy hc v hot ng giỏo dc theo tp th lp, nhúm nh, cỏ
nhõn.
b. Cỏc giai phỏp chu yờu:
Qua nhng nm ging dy trc tỡnh hỡnh thc t trờn tụi rt bn khon suy
ngh my mũ tỡm ra nguyờn nhõn v cỏch khc phc. Tụi phỏt hin nhng bi hc
cú nhiu tranh nh, cú s h tr ca cỏc thit b dy hc cỏc em hng thỳ hc hn.
ng thi bit cỏch kt hp t chc nhng trũ chi giỳp hc sinh va chi va hc
cng l mt trong nhng gii phỏp giỳp khi gi hng thỳ vi mụn hc cho hc
sinh, hc sinh d tip thu bi hc v thờm say mờ hc tp.
c s giỳp ca ban giỏm hiu nh trng v s ng viờn ca t chuyờn

mụn tụi bt u ỏp dng ti ca mỡnh.
c. T chc triờn khai thc hiờn:
* Cơ sở lý luận khoa học của đề tài
1. nh ngha, tớnh cht ca t l thc
a) nh ngha:
T l thc l ng thc ca hai t s

a c
=
b d

Cỏc s hng a v d gi l ngoi t, b v d gi l trung t.
b) Tớnh cht
+ Tớnh cht 1( tớnh cht c bn): Nu

a c
= thỡ ad = bc
b d

5


+ Tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
a c a b d c d b
= ; = ; = ; =
b d c d b a c a

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c
a c a+c a−c
= ta suy ra = =
=
( b ≠ ±d )
b d
b d b+d b−d
a c e
+ Mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau b = d = f
a c e
a+c+e
a−c+e
ta suy ra b = d = f = b + d + f = b − d + f = .... ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

+ Từ tỉ lệ thức

3) Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số

a b c
= = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng
2 3 5

viết a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức
2

2

a c

c
ka k c
a  c  a c a
= suy ra  ÷ =  ÷ = . ; k . = k . ( k ≠ 0 ) ; 1 = 2 (k1 , k 2 ≠ 0)
b d
d
k1b k2 d
b d  b d b
3

3

3

2

a c e
c e
a  c   e  a c e a
từ b = d = f suy ra  ÷ =  ÷ =  ÷ = × × ;  ÷ = ×
d f
b d   f  b d f b

** Nội dung và phương pháp nghiên cứu
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1.Tìm một số hạng chưa biết
a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu

a c

b.c
a.d
a.d
= ⇒ a.d = b.c ⇒ a =
;b =
;c =
b d
d
c
b

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã
biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ
đã biết.
b) Bài tập:
Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
⇒ x. ( 9,36 ) = 0.52.16,38
−0,52.16,38
⇒x=
= 0,91
−9,36

* Lưu ý: Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ
khó hơn như sau :
6


1 2
 

a)  x ÷: = 1 :
b) 0, 2 :1 = : ( 6 x + 7 )
4 5
5 3
3  3
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)
1

2

3 2

x
−60
=
−15
x

Giải : từ

x
−60
=
−15
x
⇒ x.x = ( −15 ) . ( −60 )
⇒ x 2 = 900
⇒ x 2 = 302

Suy ra x = 30 hoặc -30

* Lưu ý: Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống
nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
x − 1 −60 x − 1
9
=
=
;
−15 x − 1 7
x +1

Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
Cách 1: ta có:

x −3 5
=
5− x 7

x −3 5
= ⇒ ( x − 3) .7 = ( 5 − x ) .5 ⇒ 7 x − 21 = 25 − 5 x
5− x 7

⇒ 12 x = 46 ⇒ x = 3

Cách 2: từ

5
6

x−3 5
x −3 5− x

= ⇒
=
5− x 7
5
7

Áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x −3 5− x x −3+5− x 2 1
=
=
= =
5
7
5+7
12 6
x−3 1
⇒
= ⇒ 6 ( x − 3) = 5
5
6
5
5
⇒ x−3= ⇒ x = 3
6
6

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

7

x−2 x+4
=
x −1 x + 7
⇒ ( x − 2 ) ( x + 7 ) = ( x + 4 ) ( x − 1)
⇒ x 2 + 7 x − 2 x − 14 = x 2 − x + 4 x − 4
⇒ 5 x − 14 = 3 x − 4
⇒ 5 x − 3 x = −4 + 14 ⇒ 2 x = 10 ⇒ x = 5

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó
sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau
2.Tìm nhiều số hạng chưa biết
a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
= = (1) và x +y + z =d (2)
a b c
( trong đó a, b, c, a+b+c ≠ 0 và a, b, c, d là các số cho trước)

Cách giải:
- Cách 1: đặt
x y z
= = =k
thay vào (2)Ta có k.a + k.b + k.c = d
a b c
⇒ x = k .a; y = k .b; z = k .c
d
a+b+c
a.d

bd
cd
;y=
;z =
Từ đó tìm được x =
a+b+c
a +b+c
a+b+c
⇒ k ( a + b + c) = d ⇒ k =

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
x y z x+ y+z
d
= = =
=
a b c a+b+c a +b+c
a.d
b.d
c.d
⇒x=
;y=
;z =
a+b+c
a+b+c
a +b+c

b)Khai thác.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
* k1 x + k2 y + k3 z = e

* k1 x 2 + k2 y 2 + k3 z 2 = f
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
•

x
y y
z
= ; =
a1 a2 a3 a4

• a2 x = a1 y; a4 y = a3 z
8


• b1 x = b2 y = b3 z
•
•

b1 x − b3 z b2 y − b1 x b3 z − b2 y
=
=
a
b
c
x − b1 y2 − b2 z3 − b3
=
=
a1
a2

a3

+Thay đổi cả hai điều kiện
c)Bài tập
Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết

x y z
= = và x +y + z = 27
2 3 4

Giải:
- Cách 1.
x y z
= = = k ⇒ x = 2k , y = 3k , z = 4k
2 3 4
Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k + 3k + 4k = 27 ⇒ 9k = 27 ⇒ k = 3

Đặt

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có.
x y z x + y + z 27
= = =
=
=3
2 3 4 2+3+ 4 9
⇒ x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:

x y z
= = và 2x + 3y – 5z = -21
2 3 4
x y z
- Cách 1: Đặt = = =k
2 3 4
x y z
2 x 3 y 5z
=
=
- Cách 2: Từ = = suy ra
2 3 4
4
9 20

Bài tập 2: Tìm 3 số x,y,z biết
Giải:

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 x 3 y 5 z 2 x + 3 y − 5 z −21
=
=
=
=
=3
4
9 20
4 + 9 − 20
−7

⇒ x = 6; y = 9; z = 12

x y z
= = và 2 x 2 + 3 y 2 − 5 z 2 = −405
2 3 4
x y z
- Cách 1: Đặt = = =k
2 3 4
x y z
- Cách 2: từ = =
2 3 4

Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết
Giải:

suy ra

9


x2 y 2 z 2
=
=
4
9
16
2x2 3 y2 5z2
⇒
=
=

8
27
90

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x 2 3 y 2 5 z 2 2 x 2 + 3 y 2 − 5 z 2 −405
=
=
=
=
=9
8
27
90
8 + 27 − 90
−45

Suy ra

x2
= 9 ⇒ x 2 = 36 ⇒ x = ±6
4
y2
= 9 ⇒ y 2 = 81 ⇒ y = ±9
9
z2
= 9 ⇒ z 2 = 144 ⇒ z = ±12
16

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.

Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết

x y z
= = và x.y.z = 648
2 3 4

Giải:
x y z
= = =k
2 3 4
x y z
Cách 2: Từ = =
2 3 4
3
x y z xyz 648
x
⇒ ÷ = × × =
=
= 27
24
 2  2 3 4 24
x3
⇒
= 27 ⇒ x 3 = 216 ⇒ x = 6
8

- Cách 1: Đặt
-

Từ đó tìm được y = 9; z = 12.

x
=
6
x y
x
Giải: từ 6 = 9 ⇒ 2 =

Bài tập 5. Tìm x,y, z biết

z
2

x
2

Từ x = ⇒ =

y
z
; x = và x +y +z = 27
9
2
y
3

z
suy ra
4

x y z

= =
2 3 4

Sau đó ta giải tiếp như bài tập 1.
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
x
2

Giải: Từ 3x = 2 y ⇒ =

y
3

10


x
2

Từ 4 x = 2 z ⇒ =
Suy ra

z
4

x y z
= = sau đó giải như bài tập 1
2 3 4

Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21

Giải: từ 6x = 4y = 3z ⇒

6 x 4 y 3z
x y z
=
=
⇒ = =
12 12 12
2 3 4

Sau đó giải tiếp như bài tập 2
Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phương pháp:
a
b

Để chứng minh tỷ lệ thức : =

c
Ta có các phương pháp sau :
d

Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng: ad= bc .
Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số

a c
; có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã
b d

cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k, từ

đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị , tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính
chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế
phải.
Phương pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính
chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng
minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
a
b

(Bài 73/SGK-T14) Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: =
a −b c −d
=
.
a
c

Giải:

c
hãy suy ra tỷ lệ thức:
d

( a − b ) c = ac − bc(1)

- Cách 1: Xét tích a ( c − d ) = ac − ad (2)
Từ

a c
= ⇒ ad = bc (3)
b d
11


Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
- Cách 2: Đặt
Ta có:

a −b c −d
=
a
c

a c
= = k ⇒ a = bk , c = dk
b d

a − b bk − b b ( k − 1) k − 1
=
=
=
(1), (b ≠ 0)
a
bk
bk
k
c − d dk − d d ( k − 1) k − 1
=

=
=
(2), (d ≠ 0)
c
dk
dk
k

a −b c −d
=
a
c
a c
b d
- Cách 3: từ = ⇒ =
b d
a c
a −b a b
b
d c −d
Ta có: a = a − a = 1 − a = 1 − c = c

Từ (1) và (2) suy ra:

Do đó:

a −b c −d
=
a
c

- Cách 4: Từ

a c
a b a −b
a a −b
a −b c −d
= ⇒ = =
⇒ =
⇒
=
b d
c d c −d
c c−d
a
c

- Cách 5: từ

a c
b d
b
d
a −b c −d
= ⇒ = ⇒ 1− = 1− ⇒
=
b d
a c
a
c

a
c
a c
=
Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức
ta có thể suy ra các tỉ lệ thức
b d
a±b c±d a+b c+d
sau: b = d ; a = c (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: Cho 4 số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thoả mãn a2 2 = a1a3 ; a33 = a2 a4 chứng tỏ
a13 + a23 + a33 a1
=
a23 + a33 + a43 a4

Giải: Từ
a1 a2
= (1)
a2 a3
a
a
a33 = a2 a4 ⇒ 2 = 3 (2)
a3 a4
a2 2 = a1a3 ⇒

a1 a2 a3
a3 a 3 a 3 a a a
a
=
= ⇒ 1 3 = 23 = 33 = 1 × 2 × 3 = 1 (3)

Từ (1) và (2) suy ra a2 a3 a4 a2 a3 a 4 a2 a3 a4 a4

12


Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a 31 a 32 a 33 a 31 + a 32 + a 33
=
=
=
(4)
a 3 2 a 33 a 3 4 a 3 2 + a 33 + a 3 4
a 31 + a3 2 + a33 a1
Từ (3) và (4) suy ra: a 32 + a 33 + a 34 = a4

Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
3

a1 a2 a4
 a +a +a 
a
Cho a = a = a chứng minh rằng  1 2 3 ÷ = 1
2
3
4
 a2 + a3 + a4  a4
bz − cy cx − az ay − bx
=
=
Bài tập 3: Biết

a
b
c
x y z
Chứng minh rằng = =
a b c
bz − cy cx − az ay − bx abz − acy bcx − baz cay − cbx
=
=
=
=
=
Giải: Ta có
a
b
c
a2
b2
c2
abz − acy + bcx − bay + cay − cbx
=
=0
a 2 + b2 + c 2
abz − acy
y z
⇒
= 0 ⇒ abz = acy ⇒ bz = cy ⇒ = (1)
2
a
b c

bcx − baz
z x
= 0 ⇒ bcx = baz ⇒ cx = az ⇒ = (2)
2
b
c a
x y z
Từ (1) và (2) suy ra: = =
a b c

Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1. Phương pháp giải
Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết
Bước 4:Kết luận.
2. Bài tập
Bài tập 1. (Bài 76 SBT-T14): Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi
là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c > 0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có

a b c
= =
2 4 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có :
13

Suy ra

a b c a + b + c 22
= = =
=
=2
2 4 5 2 + 4 + 5 11

a
=2 →
a =4
2
b
=2 →
b =4
4
c
=2 →
c =10
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ
nhất bằng 3.Khi đó ta có được: c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng
được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp

7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được.
Lời giải:
Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương)
Theo bài ra ta có
Suy ra

a b c 2a 4b c 2a + 4b − c 119
= = =
=
= =
=
=7
2 4 5
6 16 5
6 + 16 − 5
17

a
=7→a=2
3
b
= 7 → b = 28
4
c
= 7 → c = 35
5

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3: Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và

số thứ hai là

2
4
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là .Tìm ba số đó.
3
9

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có

a 2 a 4
= ; = và a 3 + b3 + c 3 = −1009
b 3 c 9

Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1 số thóc ở kho I,
5
1
1
số thóc ở kho II và
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng
6
11

nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
14


Lời giải:

Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a, b, c>0)
1
4
5
5
1
5
Số thóc của kho II sau khi chuyển là b − b = b
6
6
1
10
Số thóc của kho III sau khi chuyển là c − c = c
11
11
4
5
10
theo bài ra ta có a = b = c và a+b+c=710
5
6
11
4
5
10
4
5
10
a=
b=

từ a = b = c ⇒
5
6
11
5.20
6.20
11.20c
a
b
c
a +b+c
710
⇒
=
=
=
=
= 10
25 24 22 25 + 24 + 22 71

Số thóc của kho I sau khi chuyển là a − a = a

Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912 m3
đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1, 6m3
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4
và 5. Tính số học sinh của mỗi khối.
Lời giải:

Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên
dương)
Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c
Theo bài rat a có

a b b c
= ; =
1 3 4 5

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là 80 h/s,240h/s,300h/s
Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng
nhau
1)
Sai lầm khi áp dụng tương tự
H/s áp dụng

x y x. y
x y z x. y.z
= =
hay = = =
a b a.b
a b c a.b.c

15

Bài tập 1: (Bài 62 - SGK/T31) tìm 2 số x,y biết rằng
H/s sai lầm như sau :

x y
= và x.y=10
2 5

x y x. y 10
= =
=
= 1 suy ra x=2,y=5
2 5 2.5 10

Bài làm đúng như sau:
Từ

x y
x.x x. y
x 2 10
= ⇒
=
⇒
= ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2 từ đó suy ra y = ±5
2 5
2
5
2
5

vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5

x y
x2 x y
x 2 10
hoặc từ = ⇒ − . ⇒ = = 1 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x 2 = ±2
2 5
4 2 5
4 10

hoặc đặt

x y
= = x ⇒ x = 2 x, y = 5 x vì xy=10 nên 2x.5x=10 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ±1
2 5

Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng
x y z
= = và x.y.z= 648
2 3 4

H/s sai lầm như sau
x y z x. y.z 648
= = =
=
= 27
2 3 4 2.3.4 24

Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn HS thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị
cần tìm

Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là

a
b
c
=
=
.
b+c c+a a+b

Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có

a
b
c
=
=
b+c c +a a +b

16


áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
a
b
c
a +b+c
a+b+c
=

=
=
=
b + c c + a a + b ( b + c) + ( c + a) + ( a + b) 2( a + b + c)

h/s thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng

1
ta phải làm như sau
2

+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
nên mỗi tỉ số

a
b
c
;
;
đều bằng -1
b+c c+a a+b

a

b

c

a+b+c

1

+ Nếu a+b+c ≠ 0 khi đó b + c = c + a = a + b = 2 ( a + b + c ) = 2
Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1

x+ y

y+z

z +t

t+x

Bài tập 4: Cho biểu thức P = z + t + t + x + x + y + z + y
x

y

z

t

Tính giá trị của P biết rằng y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z (1)
Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
x
y
z
t
x + y + z +t

=
=
=
=
y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z 3( x + y + z + t )
x

y

z

t

Cách 2:Từ (1) suy ra x + z + t + 1 = z + t + x + 1 = t + x + y + 1 = x + y + z + 1
→

x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t x+ y + z +t
=
=
=
y+ z+t
z+t + x
x+ y+t
x+ y+z

Ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3
Ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng như sau :
Nếu x+y+z+t ≠ 0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
17

Nếu x+y+z+t =0 → x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau. Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài
tập 4 nên dùng cách 2
Bài tập tương tự :

a +b −c b + c − a c + a −b
=
=
c
a
b
 b   a  c 
.Hãy tính giá trị của biểu thức B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷
 a   c  b 
2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
a
b
c
d
a+b b+c c+d d +a
+
+
+
Tìm giá trị của biểu thức M biết : M =

c+d d +a a+b b+c

1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện

Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau
(nhưng khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu các số hạng dưới
bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau.
Bài tập 5 : Một học sinh lớp 7 trình bày lời giải bài toán “ Tìm x.ybiết:
2x + 1 3 y − 2 2x + 3y −1
=
=
” như sau:
5
7
6x
2 x + 1 3 y − 2 2 x + 3 y −1
=
=
Ta có:
(1)
5
7
6x
2 x + 1 3 y − 2 2 x + 3 y −1
=
=
Từ hai tỷ số đầu ta có:
(2)
5
7

12
2 x + 3 y − 1 2 x + 3 y −1
=
Từ (1) và (2) ta suy ra
(3)
6x
12
→ 6x = 12 → x = 2

Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta được y = 3
Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm
Lời giải :Học sinh trên sai như sau
Từ (3) phải xét hai trường hợp
TH 1 : 2x+3y-1 ≠ 0 .Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp như trên
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có
1− 3y +1 1 − 3 y +1 + 3 y − 2
=
=0
5
5+7
2
1
Suy ra 2-3y =3y-2 =0 → y = . Từ đó tìm tiếp x = −
3
2

4. Hiệu quả của sáng kiến :
Sau khi áp dụng phương pháp nêu trên vào giảng dạy cho học sinh khối 7 năm
học 2015 - 2016 tại trường THCS Trung Chính nhìn chung học sinh nắm bắt vấn đề
18

có nhiều tiến bộ và dễ dàng hõn. Nhiều học sinh đã biết giải thành thạo các bài
toán. Các em đã dần hình thành kĩ năng khi giải một bài toán. Áp dụng cụ thể tại
trường THCS Trung Chính ðối với học sinh khối 7 năm học 2015 – 2016 tôi thu
được kết quả sau:
Lớp

Sĩ số

7A
7B
Tổng

37
38
75

Chất lượng
Giỏi
%
5
13,5
4
10,5
9
12

Khá
10

11
21

%
27
29
28

TB
18
19
37

%
48,7
50,0
49,3

Yếu
4
4
8

%
10,8
10,5
10,7

Đối với từng đối tượng học sinh, yêu cầu học sinh nắm chắc cách giải một bài
toán như thế nào, lượng bài đưa ra phải phù hợp với đối tượng học sinh, ở mức độ

bài tập SGK, SBT, Nâng cao… mà trong đề tài này chưa có thời gian đề cập đến.
Có thể áp dụng các phương pháp và cách giải các bài toán đã nêu trong đề tài để áp
dụng cho các bài toán cùng loại và là công cụ để giải các bài toán cùng loại trong
chương trình các lớp tiếp theo.

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Sau một thời gian nghiên cứu, tìm tài liệu, suy nghĩ vận dụng các phương pháp
đã nêu để giảng dạy tôi đã đúc kết và viết thành kinh nghiệm như “Hướng dẫn học
sinh giải toán Tỉ lệ thức và dãy số bằng nhau môn Đại số 7” Do điều kiện thời gian,
tài liệu còn hạn chế nên trong đề tài này không hẳn không còn thiếu sót, rất mong
được sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của các thầy cô để sáng kiến nhỏ này được đưa
vào ứng dụng trong giảng dạy, và là một phần tài liệu tham khảo cho các em học
sinh.
Tôi cảm ơn các ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo, của các bạn đồng nghiệp
để tôi hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm cũng như phương pháp giảng dạy tốt hơn.
2. Kiến nghị:
Ðể tãng tỷ lệ học sinh khá, giỏi môn toán lớp 7 nói riêng và môn toán THCS
nói chung, kiến nghị Sở Giáo Dục Thanh Hoá, Phòng Giáo Dục và Ðào Tạo Nông
Cống triển khai áp dụng những ðề tài nghiên cứu khoa học tốt về các trýờng ðể
nâng cao chất lýợng nhý trong những nãm vừa qua chúng ta ðã áp dụng ðề tài
19


“Luyện tập vừa sức giúp học sinh yếu kém lớp 7 học toán” của đồng chí Hồ Sỹ
Dũng – Phó trýởng phòng Bồi dýỡng nâng cao trình ðộ - Trung tâm GDTX tinh
Thanh Hóa, ðã từng býớc nâng cao chất lýợng môn toán lớp 7
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN

Trung Chính, ngày 25 tháng 02 năm 2017

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI THỰC HIỆN

NguyễnThị Nam

MỤC LỤC
Nội dung

trang số
1
I. Phần mở đầu…………………………………………………
1. Lí do chọn đề tài .…………………………………………………… 1
2. Mục đích nghiên cứu ………………………………………………... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ………………………………….. 2
4. Phương pháp nghiên cứu ……………………………………………. 2
3
II. Nội dung nghiên cứu………... ……………………………….
1. Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu……………
3
a. Cơ sở lý luận .………………………………………………………
3
b. Cơ sở thực tiễn .…………………………………………………….
3
2. Thực trạng của đề tài………………………………………………..
4

a. Khái quát phạm vi .…………………………………………………
4
b. Thực trạng của đề tài .……………………………………………..
4
c. Nguyên nhân của thực trạng .………………………………………
5
3. Biện pháp, giải pháp chủ yếu để thực hiện………………………..
5
20


a. Cơ sở đề xuất giải pháp .…………………………………………….
b. Các giải pháp chủ yếu .………………………………………………
c. Tổ chức triển khai thực hiện…………………………………………
4. Hiệu quả của sáng kiến……………………………………………
III. Kết luận và kiến nghị……………………………………
1. Kết luận………………………………………………………………
2. Kiến nghị, đề xuất……………………………………………………

5
5
5
18
19
19
19

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa Toán 7 tập I – NXB Giáo Dục 2003

2. Sách giáo viên Toán 7 tập I – NXB Giáo Dục 2003
3. Sách bài tập Toán 7 tập I

– NXB Giáo Dục 2003

4. Nâng cao và phát triển Toán 7 tập I – Vũ Hữu Bình (NXB Giáo Dục 2004)
5. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – NXB Giáo
Dục 2007
6. Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 7 – Vũ Dương Thụy (NXB Giáo
Dục 2008)
7. Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 7 tập I - NXB Hà Nội 2008
8. Toán học tuổi trẻ - NXB Giáo Dục, Bộ GD&ĐT

21


22