Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 trường phổ thông dân tộc bán trú trung học cơ sở trung tiến

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU
I.
II.
III.
IV.

Lí do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
III. Nội dung vấn đề
1. Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức
thành nhân tư
2. Sắp xếp bài toán theo các mức độ , những dạng toán cơ bản
3. Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi phân tích
4. Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tư
IV. Kết quả thực hiện
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHI
I. Kết luận
II. Kiến nghi

Trang 1
Trang 1
Trang 2
Trang 2
Trang 2
Trang 2

Trang 3
Trang 3
Trang 6
Trang 9
Trang 12
Trang 13
Trang 13
Trang 14


A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Theo điều 28.2 của Luật giáo dục( 14/6/2005) đã ghi: "Phương pháp giáo
dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác ,chủ động, sáng tạo của học
sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự
học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình
cảm ,đem lại niềm vui , hứng thú học tập cho học sinh”. Với quan điểm dạy học
tích cực có thể hiểu: "phương pháp dạy học là cách thức, là con đường, là hệ
thống và trình tự các hoạt động giữa giáo viên và học sinh, được giáo viên sư
dụng để tổ chức chỉ đạo và hướng dẫn học sinh tự lực và tích cực đạt tới kiến
thức, rèn luyện và phát triển kỹ năng, các năng lực nhận thức cũng như góp phần
hình thành các phẩm chất nhân cách mà mục tiêu dạy học đề ra". Trong xu thế
chung của dạy học hiện nay, người ta coi dấu hiệu cơ bản của phương pháp là
tính chất tổ chức chỉ đạo hoạt động nhận thức của giáo viên đối với học sinh. Do
vậy việc dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng trong trường THCS hiện
nay cần tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của
học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát
hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức
một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn.
Toán học là một trong những bộ môn khoa học được có vai trò vô cùng

quan trọng, bởi vì Toán học giúp hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ
thống, tính khoa học và tính logic...đặc biệt trong thời đại ngày nay, khi công
nghệ phát triển để tiếp cận được những thông tin kip thời và chính xác đòi hỏi
mỗi người chúng ta phải có một kiến thức, một sự hiểu biết nhất đinh. Do đó,
trong công tác giảng dạy giáo viên cần trang bi cho các em học sinh có lượng
kiến thức đầy đủ và vững chắc để tiếp tục lĩnh hội, tiếp thu kiến thức mới.
Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, tôi nhận thấy dạng toán phân tích đa
thức thành nhân tư là nội dung hết sức quan trọng, việc vận dụng của dạng toán
này có liên quan chủ đạo đến việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng
mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình,.... Vì vậy chúng ta cần giúp học
sinh tháo gỡ, giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong phần này thì việc
tiếp thu kiến thức ở các phần liên quan sẽ dễ dàng hơn.Với những lí do nêu trên,
bản thân tôi đã chọn đề tài: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho
học sinh lớp 8 Trường PTDTBT THCS Trung Tiến ” để nghiên cứu và áp dụng
trong năm học 2015-2016 .
II. Mục đích nghiên cứu:
Đưa ra các giải pháp giúp rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân
tư cho học sinh lớp 8. Nhằm giúp các em có những kĩ năng cơ bản trong giải các
dạng toán phân tích đa thức thành nhân tư nói riêng và kĩ năng giải toán nói
chung, tạo nền tảng vững chắc cho các em góp phần nâng cao chất lượng môn
toán cho học sinh khu vực miền núi.

2


III. Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8A,
8B của trường PTDTBT THCS Trung Tiến, qua các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tư ở chương trình SGK, SBT Toán 8.
IV. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan.

Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra.
Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.

B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
Toán học là bộ môn khoa học có tính tư duy tính trừu tượng cao, do đó
nó có khả năng giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, có vai
trò quan trọng trong việc rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh. Do
tính chính xác cao, suy luận logic, chặt chẽ, nên Toán học có khả năng giúp cho
học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp với logic. Việc tìm lời giải của một bài
toán có tác dụng to lớn trong việc cho học sinh các phương pháp khoa học trong
suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập và trong việc giải quyết các vấn đề, rèn
luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo. Môn Toán còn có khả năng đóng
góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống
và trong lao động. Các kiến thức Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học
tốt các môn học khác, giúp các em hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.
Trong quá trình giảng dạy chúng ta cần phát triển ở học sinh năng lực
phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến những tri thức thu nhận được thành của
riêng bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong
các lĩnh vực hoạt động cũng như học tập hiện nay và mãi mãi về sau. Giáo dục
cho học sinh về tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân, phát triển ở
mọi học sinh khả năng tiếp thu môn Toán.
Vì vậy việc dạy và học môn toán không phải chỉ dừng lại ở các kiến
thức trong SGK, không chỉ làm những bài tập do giáo viên yêu cầu ra mà phải
nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được
những nội dung trọng tâm, rèn những kĩ năng cơ bản một cách thành thạo.
Trong bộ môn toán học 8 thì dạng toán phân tích đa thức thành nhân tư là một
dạng toán rất quan trọng là công cụ, là nền tảng là cơ sở để học sinh học tiếp
các chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu

thức nhiều phân thức và việc giải phương trình, …
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Trong các bộ môn toán học được xem là một môn học khó vì nó đòi hỏi
khả năng tư duy của học sinh. Đặc biệt đối với học sinh các khu vực miền núi
thì môn học này càng khó khăn hơn vì khả năng tính toán của các em còn
chậm, phần lớn các em chưa biết quan sát nhận xét, tìm cách giải quyết bài
toán...nên các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải quyết thích hợp,

3


không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp
nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt
Hơn nữa do điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn nên đa số các em miền
núi nói chung và học sinh Trung tiến nói riêng còn thiếu các loại sách bài tập,
chưa có điều kiện tiếp cận với các tài liệu tham khảo nên khi gặp bài tập, các em
thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng
phương pháp nào cho phù hợp nhất, hướng giải nào là tối ưu.
Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa
triệt để, ngại sư dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn tại theo lối
giảng dạy cũ xưa, xác đinh dạy học phương pháp mới còn mơ hồ.
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của
con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.
Xuất phát từ tình hình thực tế của trường và yêu cầu của nội dung kiến
thức, tôi nhận thấy việc “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8 Trường PTDTBT THCS Trung Tiến” là thực sự cần thiết. Bởi vì, đây
là cách giúp học sinh rèn được kĩ năng quan sát, nhận xét và vận dụng linh hoạt
các phương pháp đã học vào từng bài tập cụ thể. Từ đó, giúp các em tìm tòi,
phát hiện và chiếm lĩnh tri thức một cách tốt nhất.
III. Nội dung vấn đề

1)Một số phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp chung:
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến
Khi đó, nhân tử chung của đa thức là tích của nhân tử chung bằng số và
nhân tử chung của các biến.
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C = A.(B + C).
Ví dụ1: Phân tích đa thức 5x2 yz – 15xy2 z+ 20x2y2 z thành nhân tư.
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tư chung của các hệ số: 5, 15, 20 ?
- Học sinh : 5, vì ƯCLN(5, 15, 20 ) = 5
- Tìm nhân tư chung của biến:x2 yz, xy2 z, x2y2 z
- Học sinh tả lời: xyz
- Vậy nhân tư chung của các hạng tư trên là 5xy
Giải:
3
2
2 2
5x yz – 15xy z+ 20x y z = 5xyz.x2 – 5xyz.3y + 5xyz.4xy
= 5xyz.(x2 – 3y + 4xy)
Ví dụ2: Phân tích đa thức 21x(x – y) – 14y(y – x) thành nhân tư.
Giáo viên gợi ý:
- Nhân tư chung của 21 và 14 ?

4


- Học sinh: 7

- Tìm nhân tư chung của x(x – y) và y(y – x) ?
- Học sinh: (x – y) hoặc (y – x)
- Thực hiện phép đổi dấu tích 21x(x – y) hoặc tích – 14y(y – x) để có
nhân tư chung (y – x) hoặc (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu – 14y(y – x) = 14y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 21x(x – y) = –21x(y – x)
Giải
21x(x – y) – 14y(y – x) = 21x(x – y) + 14y(x – y)
= 7(x – y).3x + 7(x – y).2y
= 7(x – y)(3x + 2y)
1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Sư dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa về dạng tích.
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ 3: phân tích (x +3y)2 – (x – 3y)2 thành nhân tư.
Hướng dẫn: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
HS: A2 – B2
Giải
(x + 3y)2 – (x – 3y)2 = [(x + 3y) – (x – 3y)].[(x + 3y) + (x – 3y)]
= (x + 3y – x + 3y)(x + 3y + x – 3y)
= 4y.2x
= 8xy
Đối với học sinh khá giỏi GV có thế cho các em bài tập phức tạp hơn
Ví dụ 4: Phân tích a6 – b6 thành nhân tư
(BT-26c)-SBT-tr6)

2
2
Giải: a6 – b6 = ( a 3 ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 )
= (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)
Giáo viên củng cố cho học sinh:
Phương pháp này các em cần nhớ kĩ các hằng dẳng thức, biết nhận dạng
mà sư dung hằng đẳng thức cho phù hợp.
1.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phương pháp chung

5


Lựa chọn các hạng tư “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện
nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tư trong bài toán.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
- Nhóm các hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung:
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 – 9x + xy – 9y thành nhân tư.
Gợi ý: - Các hạng tử có nhân tử chung không?
- Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
(Học sinh trả lời: nhóm (x2 – 9x) và (xy – 9y))
Giải:
x2 – 9x + xy – 9y = (x2 – 9x) + (xy – 9y)
= x(x – 9) + y(x – 9)
= (x – 9)(x + y)

- Nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức:
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 + 2x + 1 – 4y2 thành nhân tư.
Gợi ý: x2 + 2x + 1 có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh: A2+ 2AB +B2=(A+B)2)
Giải:
2
2
2
x + 2x +1– 4y = (x + 2x +1) – (2y)2
= (x + 1)2 – (2y)2
= (x + 1– 2y)(x +1+2y)
- Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ7: Phân tích đa thức x2 + 2xy + y2 + 5x + 5y thành nhân tư.
Gợi ý: Có thể nhóm ba hạng tử đầu thành một nhóm, hai hạng tử sau thành một
nhóm.
Giải
2
2
2
x + 2xy + y + 5x + 5y = (x + 2xy + y2) + (5x + 5y)
= (x + y)2 + 5(x + y)
= (x + y)(x + y + 5)
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải
thực hiện lại.
1.4. Phối hợp nhiều phương pháp
Phương pháp chung:
Là sự phối hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tư, đặt
nhân tư chung, dùng hằng đẳng thức. Cho nên học sinh cần nhận xét bài toán
một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tư và tìm hướng giải thích hợp

6


Khi sư dụng phương pháp này thì ta cần để ý lần lượt các phương pháp đã
học: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử?
Ví dụ8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tư.
a) 10x3 + 20x2y + 10xy2
b) x2 – 2xy + y2 – 16
Gợi ý: Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tử ?
Hay có thể phối hợp các phương pháp trên?
Giải
a) 10x + 20x y + 10xy = 10x(x + 2xy + y2)= 10x(x + y)2
b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x2 – 2xy + y2) – 16
= (x – y)2 – 42
= (x – y – 4)(x – y + 4)
2) Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
Trong một lớp, mức độ tiếp nhận kiến thức của học sinh không đồng đều, có
học sinh tiếp thu kiến thức rất nhanh, ngược lại cũng có những học sinh tiếp thu
rất chậm. Do đó, để học sinh nắm bắt và tiếp thu kiến thức dễ dàng giáo viên
nên sắp xếp các bài toán theo các mức độ khác nhau. Đồng thời, hình thành
những dạng toán cơ bản thường gặp để học sinh có thể dễ dàng trong việc học
tập và giúp các em tiếp thu kiến thức nhanh hơn.
2.1. Đối với học sinh yếu, kém: Giáo viên nên cho học sinh làm những bài tập
cơ bảncó vận dụng phương pháp đặt nhân tư chung, phương pháp dùng hằng
đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tư ở mức độ đơn giản học sinh có thể nhận
dạng ngay phương pháp cần áp dụng.
Ví dụ 8: Phân tích đa thức các đa thức sau thành nhân tư.

a. x2 –3 x
b. x2 – 6x + 9
c. x2 – xy + 7x – 7y
Giải:
2
a. x – 3x
(Học sinh dễ dàng nhận ra nhân tử chung là x).
x2 – x = x(x –3)
b. x2 – 6x + 9
(Học sinh thấy được dạng của hằng đẳng thức A2 – 2AB + B2 = (A – B)2).
x2 – 6x + 9 = (x – 3)2
c. x2 – xy + 7x – 7y
(Học sinh thấy được hai hạng tử đầu x 2 – xy có nhân tử chung là x; hai
hạng tử cuối 7x – 7y có nhân tử chung là 7 thì lập tức nhóm hạng tử).
x2 – xy + 7x – 7y = (x2 – xy) + (7x – 7y)
= x(x – y) + 7(x – y)
= (x – y)(x + 7)
3

2

2

2

7


2.2. Đối với học sinh trung bình: Giáo viên cho học sinh làm các bài tập cơ bản
vận dụng phương pháp đặt nhân tư chung, phương pháp dùng hằng đẳng

thức,phương pháp nhóm hạng tư ở mức độ cao hơn. Đồng thời, vận dụng phối
hợp các phương pháp nêu trên.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức đa thức x2 + 6x – y2 + 9 thành nhân tư.
Gợi ý: - Có thể nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức, sau đó tiếp tục
vận dụng hằng đẳng thức.
Giải:
2
2
2
x + 6x – y + 9 = (x + 6x + 9) – y2
= (x + 3)2 – y2
= (x + 3 – y)(x + 3 + y).
2.3. Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc những bài tập cơ bản phải làm tốt,
học sinh phải biết sáng tạo trong việc làm thêm các bài tập nâng cao như: Tính
nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải
phương trình tích…
- Dạng tính nhanh giá trị của biểu thức:
Ví dụ 10: (?2a – trang 23 sgk Toán 8 tập 1)
Tính nhanh giá trị của các biểu thức P = x 2+2x +1 – y2 tại x = 94,5 và y
= 4,5.
Gợi ý:Nếu để như vậy thay x,y vào để tính thì rất phức tạp, nên ta cần làm gì?
HS: Phân tích đa thức x2 + 2x + 1 – y2 thành nhân tư rồi thay số vào tính.
Giải:
2
2
2
P = x + 2x + 1 – y = (x + 2x + 1) – y2
= (x+1)2– y2
= (x+1– y)(x+1+ y).
Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức P ta được:

P = (94,5 + 1 – 4,5) (94,5 + 1 + 4,5) = 91.100 = 9100.
- Dạng toán tìm x (dạng phương trình đưa được về dạng phương trình
tích):
Ví dụ 11: Tìm x biết: x(x + 4) + x + 4 = 0
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử.
Giải
x(x + 4) + x + 4 = 0 ⇔ x(x + 4)+(x + 4)=0
⇔ (x + 4)(x +1)=0
⇔ x + 4 = 0 hoặc x + 1=0
⇔ x = - 4 hoặc x = -1
Vậy: x = - 4 ; x =-1
- Dạng toán rút gọn phân thức đại số
Ví dụ 12: (Bài 12a – trang 40 sgk Toán 8 tập 1)
8


3 x 2 − 12 x + 12
Rút gọn phân thức
.
x 4 − 8x

Gợi ý: Phân tích tư và mẫu thành nhân tư.
Giải
3x 2 − 12 x + 12 3( x 2 − 4 x + 4
=
x 4 − 8x
x x3 − 8

(

)

)

2
3( x − 2)
3( x − 2 )
=
=
2
x x 2 + 2x + 4
x( x − 2 ) x + 2 x + 4

(

)

(

)

Bên cạnh đó, đối với học sinh khá, giỏi giáo viên còn giới thiệu cho học
sinh các bài toán vận dụng hai phương pháp phân tích nâng cao là tách hạng tư,
thêm bớt hạng tư và những bài toán có cách giải hay để phát triển tư duy tạo
hứng thú trong học tập.
Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác
Ví dụ 13 Phân tích đa thức sau thành nhân tư: x2 +4x+3
Gợi ý: bốn cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)
Cách 1: ( Sư dụng phép tách hạng tư 4x): Ta có:
x2 +4x+3 = x2 +x +3x +3

= ( x2 +x) + (3x+ 3)
= x (x+1) +3 (x +1)
= (x+ 1)(x+ 3)
Cách 2: ( Sư dụng phép tách hạng tư x2): Ta có:
x2 +4x+3 = 4x2 – 3x2 +4x+3
= ( 4x2 +4x) - (3x2 - 3)
= 4x(x+1) – 3(x2 -1)
= 4x(x+1) – 3(x+1)(x -1)
= ( x+1) (4x – 3x +3)
= (x+ 1)(x+ 3)
Cách 3: ( Sư dụng phép tách hạng tư 3): Ta có:
x2 +4x+3 = x2 +4x +4 -1
= ( x2 -1) + (4x+ 4)
= (x-1)(x +1)+ 4(x+1)
= (x+ 1)(x-1+4)
= (x+ 1)(x+ 3)
Cách 4: ( Sư dụng phép tách tạo hằng đẳng thức): Ta có:
x2 +4x+3 = x2 +2.2x +22 -1
=( x+2)2 – 1
= (x+2-1)(x +2+1)
= (x+ 1)(x+ 3)
Việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các
phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm
nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử

9


Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tư nhằm sư dụng phương pháp

nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tư chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
Ví dụ 14: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tư.
Ta có thể phân tích:
Cách 1: Thêm x2 và bớt x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
x4 + x2 + 1 = x4 + x2 + x2 +1 – x2
= x4 + 2x2 +1 – x2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2
= (x2 + 1)2 – x2
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Cách 2: Thêm x và bớt x:(làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung)
x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Như vậy, với một bài toán ta tìm ra nhiều cách giải khác nhau, phương
pháp giải hay để phát triển tư duy tạo hứng thú trong học tập đối với học sinh
khá giỏi.
3) Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi phân tích :
Do học sinh chưa nắm rõ các phương pháp phân tích nên trong lúc làm bài
học sinh thường nhầm lẫn mà không biết nên dẫn đến kết quả sai.
3.1. Sai lầm 1: Chưa hiểu được phân tích đa thức thành nhân tử là làm như
thế nào?
Ví dụ 15: Khi phân tích đa thức 4(x – y) – 7x(x – y) thành nhân tư học sinh
làm như sau: 4(x – y) – 7x(x – y) = (x – y) + (4 – 7x)
Sai lầm của học sinh ở đây là chưa biết phân tích đa thức thành nhân tư là
biến đổi đa thức đã cho thành tích của những đa thức. Khi đặt nhân tư chung
xong các em không biết dùng phép tính gì nên đặt đại dấu “+” hoặc dấu “–”.
Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi đặt nhân tư chung thì phép tính
tiếp theo là phép nhân.

Lời giải đúng: 4(x – y) – 7x(x – y) = (x – y).(4 – 7x)
3.2. Sai lầm 2: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
Ví dụ 16: Phân tích đa thức x2 –2xy + x –2y thành nhân tư.
Lời giải sai: x2 –2xy + x –2y = (x2 – 2xy) + (x – 2y)
= x(x – 2y) + (x – 2y)
= (x – 2y)x (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
10


Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tư sau khi đặt nhân tư chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tư chung (x – 2y) thì hết, có nghĩa
là còn lại là số 0)
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh ở trường hợp này nên phân tích (x – 2y) = 1.
(x – 2y) thì khi đặt nhân tư chung x – 2y thì học sinh vẫn còn nhìn thấy số còn lại
là 1.
Lời giải đúng: x2 – 2xy + x – 2y = (x2 – 2xy) + (x – 2y)
= x(x – 2y) + 1.(x – 2y) = (x – 2y)(x + 1)
GV : Lưu ý học sinh còn cách nhóm nào nữa không ?
3.3. Sai lầm 3: Vận dụng hằng đẳng thức chưa thành thạo.
Ví dụ 22: Phân tích đa thức x2 – 9y2 thành nhân tư.
Lời giải sai: x2 – 9y2 = (x + 9y)(x – 9y) (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh là: dùng hằng đẳng thức A2 – B2 mà không đưa về
đúng dạng. Chưa phân tích 9y2 về dạng bình phương của một biểu thức.
Lời giải đúng: x2 – 9y2 = x2 – (3y)2 = (x + 3y)(x – 3y)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Khi vận dụng các hằng
đẳng thức A2 – B2 , A3 – B3 , A3 – B3… cần phân tích đưa các hạng tư về đúng
dạng.
3.4. Sai lầm 4: Thực hiện thiếu dấu ngoặc trong quá trình phân tích:
Vídụ 17: phân tích (x +3y)2 – (x – 3y)2 thành nhân tư.
Hướng dẫn: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?

HS: A2 – B2
Lời giải sai: (x + 3y)2 – (x – 3y)2 = (x + 3y – x – 3y)(x + 3y + x – 3y) (thiếu
dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0
Giáo viên cần nhấn mạnh dấu ngoặc rất quan trọng
Lời giải đúng:
(x + 3y)2 – (x – 3y)2 = [(x + 3y) – (x – 3y)].[(x + 3y) + (x – 3y)]
= (x + 3y – x + 3y)(x + 3y + x – 3y) = 4y.2x = 8xy
Ví dụ 18: Phân tích đa thức thành nhân tư. (x - y)2 – 4x2
.
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2).
Lời giải sai:
(x - y)2 – 4x2 = (x - y)2 – 2x2 (kết quả sai vì thiếu dấu ngoặc (2x)2)
= (x + y – 2x)(x + y + 2x)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc dẫn đến kết quả
nhầm lẫn 4x2 = 2x2 mà học sinh không hề hay biết.
Lời giải đúng: (x - y)2 – 9x2 = (x - y)2 – (2x)2
11


= (x - y – 2x)(x - y + 2x)
Ở trường hợp này, giáo viên nên rèn cho học sinh cách trình bày ngay từ khi
học về những hằng đẳng thức. Nếu A hoặc B có từ hai nhân tư hoặc từ hai hạng
tư trở lên thì khi dùng hằng đẳng thức nên bỏ vào trong dấu ngoặc.
3.5. Sai lầm 5: Cách nhóm hạng tử và đặt dấu sai
Ví dụ 21: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tư.
Lời giải sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
(đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)

= (x – 2y)(x + 2y – 2)
(kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là: Nhóm và đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai.
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
thay vì
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (–2x – 4y )
Lời giải đúng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) + (–2x – 4y)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x +2y)
= (x + 2y)(x – 2y– 2)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần
chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
Cách nhóm các hạng tư và đặt dấu:
- Nếu nhóm các hạng tư và đặt dấu “+” ở trước dấu ngoặc thì giữ nguyên
dấu tất cả các hạng tư mang vào.
- Nếu nhóm các hạng tư và đặt dấu “–” ở trước dấu ngoặc thì phải đổi dấu
tất cả các hạng tư mang vào.
3.6. Sai lầm 6: Phân tích chưa triệt để
Ví dụ 19:Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tư.
Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp:

(BT- ?2 -SGK-tr22)

Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tử ?

Các sai lầm học sinh thường mắc phải
Lời giải chưa hoàn chỉnh:

a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
hoặc

(phân tích chưa triệt để)

b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9 )
= (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
12


x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)
Ở trường hợp này giáo viên cần rèn cho học sinh cách đặt nhân tư chung
một cách triệt để. Nên tìm hết nhân tư chung của các hạng tư và chỉ dừng lại
công việc phân tích khi không còn phân tích được nữa.
3.7. Sai lầm 7: Đổi dấu sai
Ví dụ 20: Phân tích đa thức 3x(x – y) – 7(y – x)2 thành nhân tư.
Lời giải sai:
3x(x – y) – 7(y – x)2 = 3x(x – y) + 7(x – y)2
(đổi dấu sai )
= (x – y)[3x + 7(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(10x – 4y)
(kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: 3x(x – y) – 7(y – x)2 = 3x(x – y) + 7(x – y)2
Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử : –7 và (y – x)2 của tích –7(y – x)2
(vì (y – x)2 = (x – y)2).

Lời giải đúng:
3x(x – y) – 7(y – x)2 = 3x(x – y) – 7(x – y)2
= (x – y)[3x – 7(x – y)]
= (x – y)(7y –4 x)
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách tìm nhân tư chung của các hạng tư (tìm nhân tư chung của các hệ số
và nhân tư chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tư trong một tích.
4) Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử:
Để phân tích được đa thức thành nhân tư thì :
+ Đối với giáo viên phải thực hiện được một số việc sau:
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tư.
- Củng cố các phương pháp phân tích cơ bản.
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Giới thiệu nâng cao hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư
- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
- Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tư.
+ Đối với học sinh :
* Cần phải nắm vững các phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tư chung; dùng
hằng đẳng thức; nhóm các hạng tư; phối hợp nhiều phương pháp. Ngoài ra, đối
với học sinh khá, giỏi có thể giới thiệu thêm hai phương pháp phân tích (nâng
cao): Tách một hạng tử; thêm bớt cùng một hạng tử.
Lời giải đúng:

13


* Quan sát đặc điểm của bài toán; nhận dạng bài toán; chọn lựa phương
pháp giải thích hợp:

- Quan sát đặc điểm của bài toán: Xem xét mối quan hệ giữa các hạng tư
trong bài toán (về các hệ số, các biến).
- Nhận dạng bài toán: Xem bài toán đã cho thuộc dạng nào? áp dụng phương
pháp nào trước, phương pháp nào sau
- Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Sau khi quan sát, nhận dạng bài toán
ta cần chọn lựa cách giải cho phù hợp với bài toán.
* Khi thực hiện phân tích một đa thức thành nhân tử cần lưu ý:
- Phương pháp đặt nhân tư chung không thể sư dụng liên tiếp nhau ở hai
bước liền.
- Phương pháp nhóm không thể sư dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền.
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sư dụng liên tiếp nhau ở hai bước
liền.
IV. Kết quả thực hiện
Qua giảng dạy bộ môn toán 8 và kinh nghiệm rèn kĩ năng phân tích đa thức
thành nhân tư cho học sinh lớp 8, tôi nhận thấy đề tài này rất thiết thực và góp
phần tích cực trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng
phát huy tính tích cực của học sinh. Qua quá trình vận dụng đề tài này vào giảng
dạy đối với cả 2 lớp 8A và 8B ở trường PTDTBT THCS Trung Tiến, tôi nhận
thấy chất lượng môn toán ngày càng tiến bộ rõ rệt. Tôi đã tiến hành khảo sát
trước và sau khi áp dụng SKKN và thu được kết quả cụ thể như sau :

LỚP

8A
8B
Cả
khối

Tổng
số HS

24
24
48

Kết quả khảo sát
trước khi áp dụng
SKKN
Số HS đạt
TL%
điểm >=5.0
15
62,5
17
70,8
32

66,7

Kết quả khảo sát
trước khi áp dụng
SKKN
Số HS đạt
TL%
điểm >=5.0
20
83,3
21
87,5
41

85,4

C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHI
I. Kết luận:
Qua quá trình áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững
kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Phương pháp này
đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững về cách phân tích đa thức
thành nhân tư trong chương trình đã học và rèn luyện kĩ năng thực hành theo
hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua
14


một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm
hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn,
nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học
sinh trong học toán. Các em tích cực học tập và hứng thú hơn khi giải các bài
toán phân tích đa thức thành nhân tư. Đặc biệt là vận dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tư vào các dạng toán sau này một cách có hiệu quả.
Tuy nhiên trong dạy học để có kết quả tốt chúng ta cần chú ý đến việc phân
luồng đối tượng học sinh để lựa chọn phương pháp cho phù hợp.
II. Kiến nghị:
Môn Toán là môn học sinh miền núi tương đối ngại học vì nhiều nguyên
nhân, bởi vậy để chất lượng môn toán ngày càng được nâng cao và đề tài đạt
hiệu quả cao hơn tôi xin có một số kiến nghi như sau:
- Nhà trường,chính quyền đia phương, các hội khuyến học, hội phụ huynh cần
có chế độ khen thưởng cho những em đạt giải môn toán trong các kì thi.
- Nhà trường, đia phương cần mua sắm, hỗ trợ các em tài liêu tham khảo dành
cho môn toán.
- Cần có sự phối hợp giữa chặt chẽ giữa nhà trường, đia phương và gia đình

trong việc quản lí việc học tập ở nhà của các em.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân về việc giúp học sinh rèn
luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tư. Trong quá trình nghiên cứu sẽ
không tránh khỏi những thiếu sót rất mong các anh chi, bạn bè đồng nghiệp
tham khảo góp ý để giúp tôi hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN
VI

Quan Sơn, ngày 07 tháng 04 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Hữu Tuyển

15


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán 8 Tập I, II - Phan Đức Chính (Chủ biên) – NXB Giáo
dục .
2. Sách giáo viên Toán 8 Tập I, II - Phan Đức Chính– NXB Giáo dục
3. Vở Bài tập Toán 8 Tập I, II-Nguyễn Văn Trang – NXB Giáo dục
4. Một số vấn đề về đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS môn Toán Bộ Giáo dục và Đào tạo
5. Tài liệu tập huấn “Dạy học, kiểm tra đánh giá theo chuẩn kiến thức, kĩ năng
trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán cấp THCS – năm 2010” của
Bộ Giáo dục và đào tạo.
6. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên môđun THCS 25: Viết sáng kiến kinh
nghiệm trong trường THCS
7. Một số tư liệu khác trên cổng CNTT

16