Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng: Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán

Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
MỤC LỤC
NỘI DUNG Trang
I. TÓM TẮT ĐỀ TÀI 2
II. GIỚI THIỆU 3
1. Giải pháp tác động 3
2. Vấn đề nghiên cứu 3
3. Giả thuyết nghiên cứu 3
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3
1. Khách thể nghiên cứu 3
2. Thiết kế nghiên cứu 3
3. Quy trình nghiên cứu 4
4. Đo lường và thu thập dữ liệu 5
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ 5
1. Phân tích dữ liệu 5
2. Bàn luận kết quả 6
V. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 6
1. Kết luận 6
2. Kiến nghị 6
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO 7
VII. MINH CHỨNG 8
VIII. PHỤ LỤC 11
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
1
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
NỘI DUNG
I. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là một
môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những

tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của
SGK, nắm vững các phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có
hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn
Toán thường xuyên phải làm.
Trong chương trình đại số ở THCS đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử là
một trong những nội dung kiến thức cơ bản và quan trọng, nó là cơ sở để xây dựng
nhiều nội dung kiến thức đồng thời được vận dụng để giải quyết nhiều dạng bài toán
khác nhau như: Quy đồng và rút gọn phân thức, giải phương trình, giải bất phương
trình, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị, biến đổi đồng
nhất các biểu thức hữu tỷ, vô tỷ
Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một kỹ năng rất
cơ bản và hết sức quan trọng. Nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh
mới có khả năng giải quyết được nhiều vấn đề trong chương trình đại số lớp 8 và lớp 9
cũng như nhiều vấn đề toán học khác có liên quan, tìm được lời giải và lời giải tối ưu
cho một bài toán. Nhưng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có những khó
khăn đối với học sinh đó là trong trường hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số
lớn, phức tạp do đó nếu chỉ áp dụng các phương pháp phân tích thông thường đã được
học trong SGK thì học sinh rất lúng túng thậm chí không thể phân tích được
Để cung cấp cho học sinh một cách hệ thống các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử, đồng thời có kỹ năng thành thạo trong việc phân tích các đa thức thành
nhân tử. Giải pháp tôi đưa ra là: Thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập
toán nhằm rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, qua đó nâng
cao chất lượng học tập bộ môn Toán.
Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương: Nhóm 8A2 và nhóm 8A3
Trường THCS Đắk Drô, nhóm 8A2

là nhóm thực nghiệm(O
1
), nhóm 8A3 là nhóm đối
chứng ( O

2
). Nhóm thực nghiệm được thực hiện giải pháp tác động khi dạy các bài học
về phân tích đa thức thành nhân tử. Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt
đến kết quả học tập của học sinh: Nhóm thực nghiệm đã đạt được kết quả học tập cao
hơn so với nhóm đối chứng. Điểm bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm có
giá trị trung bình là: 6,57. Điểm bài kiểm tra sau tác động của nhóm đối chứng có giá trị
trung bình là: 5,52.
Kết quả kiểm chứng T- test cho thấy P = 0,00 < 0,05 có nghĩa là đã có sự khác biệt
lớn giữa điểm trung bình của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng. Điều đó chứng tỏ
rằng thông qua việc hướng dẫn học sinh giải bài tập toán đã giúp các em rèn luyện và
nâng cao được kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử từ đó nâng cao được chất lượng
học tập môn Toán.
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
2
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
II. GIỚI THIỆU
Trong chương trình Đại số 8 SGK ở trung học cơ sở các bài học về phân tích đa
thức thành nhân tử mới chỉ dừng lại ở việc giới thiệu một số phương pháp phân tích cơ
bản như:
- Phương pháp đặt nhân tử chung
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức
- Phương pháp nhóm các hạng tử
- Phương pháp tách hạng tử
- Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
- Phối hợp nhiều phương pháp.
Hơn nữa thời gian dành cho việc rèn luyện các kỹ năng trên còn rất hạn hẹp nên
hầu hết học sinh còn lúng túng trong việc phân tích đa thức thành nhân tử thậm chí
nhiều học sinh còn không biết cách phân tích. Đáng chú ý hơn nữa là trong các phần và
các chương sau, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn luyện thi vào lớp

10-THPT cần vận dụng rất nhiều các kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử. Để
thay đổi hiện trạng trên đề tài nghiên cứu này như một nguồn dẫn đến và bổ sung kiến
thức về phân tích đa thức thành nhân tử qua đó nhằm rèn luyện và nâng cao các kỹ
năng phân tích cho học sinh
1/ Giải pháp tác động:
- Thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán nhằm rèn luyện và
nâng cao các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó nâng cao chất lượng học
tập bộ môn Toán.
2/ Vấn đề nghiên cứu:
- Thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán có rèn luyện và
nâng cao được các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử hay không ?
3/ Giả thuyết nghiên cứu:
- Có, thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán rèn luyện và
nâng cao được các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử .
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1/ Khách thể nghiên cứu:
Tôi lựa chọn hai nhóm: Nhóm 8A2 và nhóm 8A3 là học sinh của Trường THCS
Đắk Drô trong đó nhóm 8A2 là nhóm thực nghiệm (O
1
), nhóm 8A3 là nhóm đối chứng (
O
2
).
2/ Thiết kế nghiên cứu:
Tôi dùng bài kiểm tra đầu năm làm bài kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm tra
cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự khác nhau do đó tôi dùng phép kiểm
chứng T- test độc lập để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của hai
nhóm trước khi tác động
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
3

Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
* Kết quả:
Bảng 1: Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Nhóm đối chứng Nhóm thực nghiệm
TBC 5,26 5,56
P 0,07

P = 0,07 > 0,05. Từ đó kết luận sự chênh lệch về điểm số trung bình của hai
nhóm thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa vì vậy hai nhóm được coi là tương
đương.
* Sử dụng thiết kế 2: Thiết kế kiểm tra trước tác động và sau tác động đối với các
nhóm tương đương.
Bảng 2: Thiết kế nghiên cứu
Nhóm
Kiểm tra
trước tác động
Tác động
Kiểm tra
sau tác động
Thực nghiệm O
1
Có thông qua hoạt
động hướng dẫn học
sinh giải bài tập
toán
O
3
Đối chứng O
2

_ O
4

- Ở thiết kế này tôi dùng phép kiểm chứng T-test độc lập.
3/ Quy trình nghiên cứu:
a, Chuẩn bị của giáo viên
- Chuẩn bị các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Xây dựng hệ thống các bài tập về phân tích đa thức thành
nhân tử nhằm rèn luyện và nâng cao kỹ năng cho học sinh.
- Ra đề kiểm tra và xây dựng đáp án cho các đề kiểm tra.
b, Tiến hành dạy thực nghiệm
- Thời gian tiến hành dạy thực nghiệm trong 5 tuần, mỗi tuần 02 buổi, mỗi buổi
03 tiết và cuối mỗi buổi kiểm tra 30 phút( kết hợp với việc cho bài tập về nhà để học
sinh tự luyện).
Bảng 3: Thời gian dạy thực nghiệm cụ thể như sau
Tuần Buổi
Số
tiết
Tên bài dạy thực nghiệm
1
(Từ 05/09/11
1 3 Phương pháp đặt nhân tử chung
2 3 Phương pháp dùng hằng đẳng thức
2
(Từ 12/09/11
3 3 Phương pháp nhóm các hạng tử
4 3 Phối hợp nhiều phương pháp
3
(Từ 19/09/11
5 3 Phương pháp tách hạng tử

Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
4
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
6 3 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
4
(Từ 26/10/11
7 3 Phương pháp sử dụng phép chia
8 3 Phương pháp đặt ẩn phụ
5
(Từ 03/10/11
9 3 Phương pháp hệ số bất định
10 3 Phương pháp xét giá trị riêng
4/ Đo lường và thu thập dữ liệu:
- Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra đầu năm do Trường THCS Đắk Drô ra
- Bài kiểm tra sau tác động là các bài kiểm tra sau khi đã học xong từng phương
pháp ở trên.
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:
- Sau khi thực hiện dạy xong từng phương pháp tôi tiến hành kiểm tra và chấm bài theo
đáp án đã xây dựng.
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ.
1/ Phân tích dữ liệu:
Bảng 4: So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Nhóm đối chứng Nhóm thực nghiệm
Điểm trung bình
5,52 6,57
Độ lệch chuẩn
1,08 0,77
Giá trị p của T-test
0

Chênh lệch giá trị TB
chuẩn(SMD)
0,97
Như trên đã chứng minh rằng kết quả trước tác động của hai nhóm là tương
đương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng T-test cho kết quả p
= 0 < 0,05 cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình nhóm thực nghiệm và nhóm
đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình nhóm thực nghiệm
cao hơn điểm trung bình nhóm đối chứng là không phải do ngẫu nhiên mà là do kết quả
của sự tác động.
Chênh lệch giá trị TB chuẩn SMD =
6,57 5,52
0,97
1,08
−
=
Theo bảng tiêu chí Cohen, chênh lệch giá trị trung bình chuẩn
SMD = 0,97 cho thấy mức độ ảnh hưởng của việc rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức
thành nhân tử thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán nhằm nâng cao
chất lượng học tập bộ môn của nhóm thực nghiệm là lớn.
Điều đó cho thấy giả thuyết của đề tài: " Thông qua hoạt động hướng dẫn học
sinh giải bài tập toán rèn luyện và nâng cao được kỹ năng phân tích đa thức thành nhân
tử " từ đó nâng cao được chất lượng học tập bộ môn đã được kiểm chứng.
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
5
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Biểu đồ so sánh điểm trung bình trước tác động và sau tác động
của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
2/ Bàn luận kết quả:
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm có điểm trung bình

= 6,57. Kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng có điểm trung bình = 5,52.
Độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là 1,05. Điều đó cho thấy điểm trung bình của hai
nhóm đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, nhóm được tác động có điểm
trung bình cao hơn nhóm đối chứng.
Chênh lệch giá trị TB chuẩn SMD = 0,97. Điều này có nghĩa là mức độ ảnh
hưởng của tác động là lớn.
Phép kiểm chứng T- test điểm trung bình các bài kiểm tra sau tác động của hai
nhóm là p = 0 < 0,05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của hai
nhóm không phải do ngẫu nhiên mà là do kết quả của sự tác động(tác động nghiêng về
nhóm thực nghiệm).
V. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1/ Kết luận:
-Thông qua hoạt động hướng dẫn học sinh giải bài tập toán rèn luyện và nâng cao
được kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó nâng cao được chất lượng học tập
bộ môn nhất là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn luyện học sinh thi vào lớp
10- THPT.
2/ Kiến nghị:
+ Đối với BGH:
- Cần chỉ đạo tăng thêm thời gian ôn luyện, bồi dưỡng cho học sinh khối 8 và
khối 9 nhất là học sinh khối 9 vì thời gian một tuần một buổi không đủ để thực hiện
được công tác bồi dưỡng trong khi môn Toán 9 lại tổ chức thi sớm(vào khoảng tháng 12
như hiện nay).
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
6
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
- Chỉ đạo tăng cường hơn nữa công tác dạy thể nghiệm nội dung của đề tài để đề
tài được triển khai một cách sâu rộng trong nhà trường đồng thời cũng nhằm bổ sung và
khắc phục những tồn tại, nâng cao hơn nữa chất lượng đại trà, công tác đào tạo bồi
dưỡng học sinh giỏi và ôn luyện thi vào THPT.

+ Đối với giáo viên
-Không ngừng tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao hơn nữa trình độ chuyên môn
nghiệp vụ, xây dựng được cho mình một hệ thống kiến thức các bài, dạng bài, các
chuyên đề và thường xuyên sử dụng các phương pháp dạy học tích cực.
- Cần chia lớp, phân loại hai đầu học sinh khá giỏi và yếu kém riêng biệt để việc
triển khai áp dụng đề tài đạt hiệu quả cao hơn.
* Với kết quả của đề tài này (chắc hẳn không thể tránh khỏi những tồn tại và hạn
chế) nhưng tôi mong rằng các bạn đồng nghiệp cần quan tâm, chia sẻ nhất là những
giáo viên tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8 và giảng dạy môn
Toán lớp 9 ôn luyện học sinh thi vào lớp 10-THPT.
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Toán 8, Toán 9.
2. Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)
3. Cuốn “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của
Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp
(NKTH).
4. Toán bồi dưỡng và nâng cao đại số 8
5. Một số vấn đề phát triển Đại số 8
6. 400 bài toán chọn lọc 8
7. Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS
8. Tài liệu về NCKHSPƯD.
VII. MINH CHỨNG
BẢNG TỔNG HỢP KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG VÀ SAU TÁC ĐỘNG
BẢNG 1.1 BẢNG 1.2
KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG
NHÓM THỰC NGHIỆM NHÓM ĐỐI CHỨNG
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
7
Rốn luyn v nõng cao k nng phõn tớch a thc thnh nhõn t thụng qua hot ng
hng dn hc sinh gii bi tp toỏn

TT Họ và Tên im TT Họ và Tên im
1
Phm T Lan Anh
4 1
H Bột
5
2
Triu T Lan Anh
6 2
Nguyn Mnh Cng
6
3
Vừ Mnh Cng
6 3
H i
5
4
Trnh Ngc c
6 4
Lý Sinh Dng
5
5
H Dem
6 5
Nguyn c Hi
6
6
Mai Vn nh
5 6
Nguyn Vn Hip

6
7
Phm Vn Dng
6 7
Vng ỡnh Hong
5
8
Trng Cụng Hi
5 8
Xuõn Hựng
5
9
Doón Mnh Hựng
6 9
Nguyn Vn Hựng
5
10
Nguyn Th Huyn
6 10
Hong Th Mõy
5
11
Nguyn Th Huyn
5 11
Nguyn Thnh Nam
5
12
Nguyn c Long
6 12
Lý Vn Phin

5
13
Trn Vn Mnh
5 13
Cụng Quyt
5
14
Mai Thnh Nam
5 14
Nguyn c Quyt
6
15
Th Nguyt
6 15
H Re
4
16
Nguyn T K Oanh
6 16
Mai Xuõn Ti
6
17
Lng T H Phng
5 17
Y Tột
6
18
Trn Vn Quõn
6 18
ng Vn Thỏi

6
19
Phm Tin S
7 19
Trn c Thng
6
20
H S ri
6 20
Dng Vn Thanh
4
21
Vn Thnh
5 21
H S Thnh
6
22
Phm Ngc Thụng
6 22
H Thờ
4
23
Phm c Toỏn
5 23
Phm c Toỏn
6
24
Hunh P N Trõm
5 24
Hong Anh Tun

3
25
Phm Xuõn Trng
5 25
Ngụ c Tuyờn
6
26
H Vụn
6 26
inh Th Võn
6
27
Trn Th Kim Yn
5 27
inh Th Xuõn
5
TBC
5.56
TBC
5.26
p
0.07
Bảng 2.1
điểm kiểm tra sau tác động nhóm đối chứng
TT Họ và Tên
Đ 1 đ2 đ3 đ4 đ5 đ6
Chẵn Lẻ Tổng
1
H Bột
4 3 6 5 5 4 12 15 27

2
Nguyn Mnh Cng
3 4 6 5 6 6 15 15 30
3
H i
4 3 5 6 4 4 13 13 26
Ngi thc hin:Nguyn Thy Linh Dip
8
Rốn luyn v nõng cao k nng phõn tớch a thc thnh nhõn t thụng qua hot ng
hng dn hc sinh gii bi tp toỏn
4
Lý Sinh Dng
5 7 4 5 5 6 18 14 32
5
Nguyn c Hi
7 5 4 5 6 6 16 17 33
6
Nguyn Vn Hip
6 7 6 6 5 7 20 17 37
7
Vng ỡnh Hong
6 5 5 5 6 6 16 17 33
8
Xuõn Hựng
5 5 7 5 5 6 16 17 33
9
Nguyn Vn Hựng
4 3 7 5 6 3 11 17 28
10
Hong Th Mõy

5 7 7 6 7 7 20 19 39
11
Nguyn Thnh Nam
3 4 5 5 5 6 15 13 28
12
Lý Vn Phin
7 5 7 6 7 7 18 21 39
13
Cụng Quyt
7 6 6 7 8 7 20 21 41
14
Nguyn c Quyt
4 5 7 6 6 5 16 17 33
15
H Re
4 5 7 6 6 7 18 17 35
16
Mai Xuõn Ti
4 7 5 4 6 6 17 15 32
17
Y Tột
4 4 6 5 5 4 13 15 28
18
ng Vn Thỏi
5 5 6 5 5 6 16 16 32
19
Trn c Thng
4 5 5 6 6 4 15 15 30
20
Dng Vn Thanh

5 5 5 6 6 6 17 16 33
21
H S Thnh
7 5 5 6 6 6 17 18 35
22
H Thờ
6 7 6 6 5 7 20 17 37
23
Phm c Toỏn
6 5 5 5 5 6 16 16 32
24
Hong Anh Tun
5 5 7 5 6 6 16 18 34
25
Ngụ c Tuyờn
5 5 7 5 6 5 15 18 33
26
inh Th Võn
5 7 7 6 8 7 20 20 40
27
inh Th Xuõn
5 6 7 5 6 6 17 18 35
Mt 5.00
Trung vi
6.0
0
Giỏ trn trung bỡnh 5.52
lch chun
1.0
8

r
hh
0.56
tin cy r
SB
0.7
1

Bảng 2.2
điểm kiểm tra sau tác động nhóm thực nghiệm
TT Họ và Tên Đ 1 đ2 đ3 đ4 đ5 đ6 Chẵn Lẻ Tổng
1
Phm T Lan Anh
6 6 7 7 6 7 20 19 39
2
Triu T Lan Anh
6 7 6 7 7 7 21 19 40
3
Vừ Mnh Cng
6 7 7 7 8 8 22 21 43
Ngi thc hin:Nguyn Thy Linh Dip
9
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
4
Trịnh Ngọc Đắc
6 6 7 6 7 7 19 20 39
5
H Dem
6 7 7 6 6 7 20 19 39

6
Mai Văn Định
6 6 6 6 6 7 19 18 37
7
Phạm Văn Dương
6 7 7 8 6 8 23 19 42
8
Trương Công Hải
5 6 6 6 7 7 19 18 37
9
Doãn Mạnh Hùng
6 6 7 7 6 7 20 19 39
10
Nguyễn Thị Huyền
6 5 6 7 6 7 19 18 37
11
Nguyễn Thị Huyền
5 6 7 8 8 8 22 20 42
12
Nguyễn đức Long
6 6 6 6 7 7 19 19 38
13
Trần Văn Mạnh
5 6 6 6 7 7 19 18 37
14
Mai Thành Nam
6 6 7 5 6 7 18 19 37
15
Đỗ Thị Nguyệt
6 7 8 7 8 8 22 22 44

16
Nguyễn T K Oanh
6 7 6 6 7 7 20 19 39
17
Lương T H Phương
6 6 7 7 5 7 20 18 38
18
Trần Văn Quân
6 7 6 7 8 7 21 20 41
19
Phạm Tiến Sỹ
6 7 6 7 8 8 22 20 42
20
H S ri
6 6 7 6 7 6 18 20 38
21
Đỗ Văn Thành
6 7 6 6 7 7 20 19 39
22
Phạm Ngọc Thông
6 6 6 6 6 7 19 18 37
23
Phạm Đức Toán
6 7 7 8 8 8 23 21 44
24
Huỳnh P N Trâm
5 6 6 7 7 7 20 18 38
25
Phạm Xuân Trường
6 7 6 7 6 7 21 18 39

26
H Vôn
6 5 6 7 6 7 19 18 37
27
Trần Thị Kim Yến
5 6 7 8 8 8 22 20 42
Mốt 6.00
Trung vị 7.00
Giá trị trung bình 6.57
Độ lệch chuẩn 0.77
r
hh
0.58
Độ tin cậy r
SB
0.73
Chênh lệch giá trị
0.97
TB chuẩn (SMD)
VIII. PHỤ LỤC
A. NỘI DUNG DẠY THỰC NGHIỆM.
I/ Lý thuyết
1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định nghĩa 1
+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói
rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử.
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
10
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán

+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một
nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ … + a
0
= c(
c
a
n
x
n
+
c
a
n 1−
x
n – 1
+ … +
c
a
0
) ( với c
≠

0, c
≠
1 ).
b) Định nghĩa 2
Giả sử P(x)
∈
P
[ ]
x
là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên
trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ
hơn bậc của P(x). Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích được
trên P.
2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định lý 1:
Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức
bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử
bậc 0.
b) Định lý 2:
Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất
hoặc bậc hai với biệt thức
∆
< 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân
tích được thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với
∆
< 0 .
c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Aidenxtainơ )
Giả sử f(x) = a
0
+ a

1
x + + a
n
x
n
, n > 1, a
n

≠
0, là một đa thức hệ số nguyên .
Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của a
n
nhưng p là ước của
các hệ số còn lại và p
2
không phải là ước của các số hạng tự do a
0
. Thế thì đa thức f(x)
là bất khả quy trên Q.
II/ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành
tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì
khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ
cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích
một đa thức thành nhân tử.
1. Phương pháp đặt nhân tử chung:
a) Phương pháp:
- Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng (theo chiều ngược).
+ Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng
tử vào trong dấu ngoặc( kể cả dấu của chúng).
b) Bài tập:
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax - by)
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
11
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Giải: Ta có A = 2ax
3
+ 4bx
2
y + 2x
2
(ax –by)
= 2x
2
(ax + 2by + ax – by)
= 2x
2
(2ax + by)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = (2a
2
– 3ax)(5y + 2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có P = (2a
2
– 3ax)(5y +2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a
2
– 3ax) – (6a
2
– 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a
2
+ ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 3x
2
(y – 2z ) – 15x(y – 2z)
2
Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z
Do đó : B = 3x
2
(y – 2z) – 15x(y – 2z)
2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))

= 3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)
Bài 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = (2a
2
– 3ax)(5c + 2d) – (6a
2
– 4ax)(5c +2d)
Giải: Ta có C = (2a
2
– 3ax)(5c + 2d) – (6a
2
– 4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a
2
– 3ax – 6a
2
+ 4ax)
= (5c + 2d)(ax – 4a
2
)
= a(5c + 2d)(x – 4a)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6xy
2

z – xyz
2
+ 3xy
Giải: Ta có Q = 3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6xy
2
z – xyz
2
+ 3xy
= 3xy(x
2
– 2x –y
2
– 2yz – z
2
+ 1)
= 3xy((x
2
– 2x + 1) – (y
2
+ 2yz + z
2
))
= 3xy((x – 1)
2

– (y + z)
2
)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ:
a) Phương pháp:
- Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ
thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
* Các hằng đẳng thức thường dùng là :
A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
A
2
- 2AB + B
2
= (A - B)
2
A
2
- B
2
= (A + B) (A - B)
(A + B)
3
= A

3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3

(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A
3
- B
3
= (A - B)( A
2
+ AB + B
2
)
A
3
+ B

3
= (A + B)( A
2
- AB + B
2
)
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
12
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
b) Bài tập:
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

Giải: Ta có A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

= (x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
) - x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
- x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
+ xy)(x
2
+ y
2

– xy)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = a
6
– b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

Giải:
Ta có B = a
6
– b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

= (a

6
– b
6
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
)
= (a
3
+ b
3
) (a
3
- b
3
) + (a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
)
= (a + b)( a

2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) + (a
4
+2a
2
b
2
+ b
4
) – a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ b

2
)
2
– a
2
b
2
= (a+b)( a
2
- ab + b
2
)(a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
)
= (a
2
+ab + b
2
)(a
2

- ab + b
2
) ((a – b)(a + b) + 1))
= (a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
)(a
2
– b
2
+ 1)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
Giải: Ta có : M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x

2
– x + 1)
2
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) – x
2
+ (x
2
– x + 1)
2
= (x
2
+ 1)
2
– x
2
+ (x
2
– x + 1)
2
= (x
2
– x + 1) (x
2
+ x + 1) + (x
2
– x + 1)

2
= (x
2
– x + 1) (x
2
+ x + 1 + x
2
– x + 1)
= 2(x
2
– x + 1)(x
2
+ 1)
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
– 2x
2
z
2
- 2y
2

z
2
Giải: Ta có A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
– 2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
= (x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2

– 2x
2
z
2
+ 2y
2
z
2
) – 4y
2
z
2
= (x
2
– y
2
– z
2
)
2
– 4y
2
z
2
= (x
2
– y
2
– z
2

– 2yz) (x
2
– y
2
– z
2
+ 2yz)
= (x
2
– (y + z)
2
)( x
2
– (y - z)
2
)
= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + y)
3
+(x - y)
3

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải
như sau :
Cách 1: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))
3
– 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x
3
– 3.2x(x
2
– y
2
)
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
13
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
= 2x(4x
2
– 3(x
2
– y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Cách 2: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)
2
– (x + y)(x – y) + (x – y)
2

= 2x(2(x
2
+ y
2
) - (x
2
– y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
3 . Phương pháp nhóm các hạng tử
a)Phương pháp:
- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
- áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
- Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết
hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau
đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng.
b) Bài tập:
Bài11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = xy

2
– xz
2
+ yz
2
– yx
2
+ zx
2
– zy
2
Giải: Ta có : B = xy
2
– xz
2
+ yz
2
– yx
2
+ zx
2
– zy
2
= (xy
2
– xz
2
) + (yz
2
- zy

2
) + (zx
2
– yx
2
)
= x(y
2
– z
2
) + yz(z – y) + x
2
(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x
2
(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x
2
))
= (y – z)((xy – x
2
) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))
= (y – z)(x – y)(z – x)
Bài 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 4x
5
+6x
3
+6x

2
+9
Giải: Ta có A = 4x
5
+6x
3
+6x
2
+9
= 2x
3
(2x
2
+ 3) + 3(2x
3
+ 3)
= (2x
3
+ 3)(2x
2
+ 3)
Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
6
+ x
4
+ x
2
+ 1
Giải: Ta có : B = x

6
+ x
4
+ x
2
+ 1
= x
4
(x
2
+ 1) + ( x
2
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
4
+ 1)
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
Giải: Ta có: B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
= (x
2
+ 2x + 1) – y

2
= (x + 1)
2
– y
2
= (x +1 – y)(x + 1 + y )
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
14
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Bài 15 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
+ 2xy + y
2
– xz - yz
Giải: Ta có A = x
2
+ 2xy + y
2
– xz - yz
= (x
2
+ 2xy + y
2
) – (xz + yz)
= (x + y)
2
– z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)

4. Phối hợp nhiều phương pháp
a) Phương pháp :
+ Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
b) Bài tập:
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3xy
2
– 12xy + 12x = 3x( y
2
– 4y + 4)
= 3x(y – 2)
2
Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
- 6axy
2
– 3a
2
xy + 3xy
= 3xy(x
2
– 2x –y

2
– 2ay- a
2
+ 1)
= 3xy[( x
2
– 2x + 1) - (y
2
+ 2ay + a
2
)]
= 3xy[(x – 1)
2
– (y + a)
2
]
= 3xy[(x – 1)- ( y+ a)][(x – 1) + (y+ a)]
= 3xy( x -1 – y – a)(x -1 +y + a)
Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 2xy + z + 2x + yz
Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
m + 4
+ x
m + 3
– x - 1

Giải: Ta có : A = x
m + 4
+ x
m + 3
– x – 1
= x
m + 3
(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(x
m + 3
– 1)
Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y – z) + y
2
(z - x) + z
2
(x – y)
Giải:
Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z
Ta có : P = x
2
(y – z) + y
2
z – xy
2
+ xz
2
– yz

2
= x
2
(y – z) + yz(y – z) – x(y
2
– z
2
)
= x
2
(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
15
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
= (y – z)((x
2
+ yz – x(y + z))
= (y – z)(x
2
+ yz – xy – xz)
= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))
= (y – z)(x – y)(x – z)
Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y)
nên : P = x
2
(y – z) - y
2
((y – z) + (x – y)) + z
2

(x – y)
=(y – z)(x
2
– y
2
) – (x – y)(z
2
– y
2
)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x – y)(x – z)
5. Phương pháp tách hạng tử
a) Phương pháp: Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử
hơn rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung
b) Bài tập:
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
– 6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau:
Cách 1: A = x
2
– 6x + 5
= x
2
– x – 5x + 5
= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5)

Cách 2 : A = x
2
– 6x + 5
= (x
2
- 2x + 1) – 4x + 4
= (x – 1)
2
– 4(x – 1)
= (x – 1)(x – 1 - 4)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 3 : A = x
2
– 6x + 5
= (x
2
– 6x + 9) – 4
= (x – 3)
2
– 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 4 : A = x
2
– 6x + 5
= (x
2
– 1) – 6x + 6
= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
= (x – 1)( x + 1 – 6)

= (x – 1)(x – 5)
Cách 5 : A = x
2
– 6x + 5
= (3x
2
– 6x + 3) – 2x
2
+ 2
= 3(x – 1)
2
- 2(x
2
– 1)
= 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
16
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Cách 6 : A = x
2
– 6x + 5
= (5x
2
– 10x + 5) – 4x
2
+ 4
= (x – 1)
2

– 4x(x – 1)
= (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 7 : A = x
2
– 6x + 5
= (6x
2
– 6x) – 5x
2
+ 5
= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
= (x – 1)(6x – 5(x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 8 : A = x
2
– 6x + 5
Đặt f(x) = x
2
– 6x + 5
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho
(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5).
Vậy A = (x – 1)(x – 5)
Chú ý: Để phân tích đa thức ax
2
+ bx + c (c
≠
0) bằng phương pháp tách số hạng ta làm
như sau :
Bước 1 : lấy tích a.c = t

Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = p
i
.q
i
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử p
i
, q
i
một cặp p
a
, q
a
sao cho : p
a
+ q
a
= b
Bước 4 : viết ax
2
+ bx + c = ax
2
+ p
a
x + q
a
x + c
Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x
4
+ 2x

2
- 3
Giải:
Cách 1: B = x
4
+ 2x
2
- 3
= x
4
– x
2
+ 3x
2
– 3
= x
2
(x
2
– 1) + 3(x
2
– 1)
= (x
2
– 1) (x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)

Cách 2: B = x
4
+ 2x
2
- 3
= x
4
+ 3x
2
– x
2
– 3
= x
2
(x
2
+ 3) - (x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3)(x
2
– 1)
= (x
2
+ 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x
4
+ 2x

2
- 3
= (x
4
) + 2x
2
– 1 – 2
= (x
4
– 1) + 2x
2
– 2
= (x
2
– 1)(x
2
+ 1) + 2(x
2
– 1)
= (x
2
– 1)(x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Cách 4 : B = x
4
+ 2x

2
- 3
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
17
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) - 4
= (x
2
+ 1)
2
– 4
= (x
2
+ 1)
2
– 2
2

= (x
2
+ 1 – 2)(x
2
+ 1 + 2)
= (x
2

– 1) (x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Cách 5 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (x
4
– 9) + 2x
2
+ 6
= (x
2
+ 3)(x
2
- 3) + 2(x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3)( x
2
- 3 + 2)
= (x
2

+ 3)(x
2
– 1)
= (x
2
+ 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 6 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (3x
4
– 3) – 2x
4
+ 2x
2
= 3(x
4
– 1) – 2x
2
(x
2
– 1)
= 3(x
2
– 1)(x
2
+ 1) - 2x
2

(x
2
– 1)
= (x
2
– 1)(3( x
2
+ 1) - 2x
2
)
= (x
2
– 1) (x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
+ 1
Giải:
Cách 1 : A = x
4
+ x
2
+ 1

= (x
4
+ 2x
2
+ 1) - x
2
= (x
2
+ 1)
2
- x
2
= (x
2
+ 1 - x)(x
2
+ 1 + x)
Cách 2 : A = x
4
+ x
2
+ 1
= (x
4
+ x
3
+ x
2
) – (x
3

+ x
2
+ x) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ 1 - x)(x
2
+ 1 + x)
Cách 3 : A = x
4
+ x
2
+ 1
= (x
4
- x
3
+ x
2
) + (x
3
- x
2
+ x) + (x
2
- x + 1)
= x
2

(x
2
- x + 1) + x(x
2
- x + 1) + (x
2
- x + 1)
= (x
2
- x + 1)(x
2
+ x + 1)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
F = 5x
2
+ 6xy + y
2
Giải:
Cách 1 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
+ 5xy) + (xy + y
2
)
= 5x(x + y) + y(x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 2 : F = 5x

2
+ 6xy + y
2
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
18
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
= (6x
2
+ 6xy) – (x
2
- y
2
)
= 6x(x + y) – (x – y)(x + y)
= (x + y)(6x – x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 3 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (4x
2
+ 4xy) +(x
2
+ 2xy + y
2
)
= 4x(x + y) + (x + y)
2

= (x + y)(4x + x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 4 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (3x
2
+ 6xy + 3y
2
) + (2x
2
- 2y
2
)
= 3(x + y)
2
+ 2(x
2
– y
2
)
= (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 5 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x

2
+ 10xy + y
2
) – (4xy + 4y
2
)
= 5(x + y)
2
– 4y(x + y)
= (x + y)(5(x + y) – 4y))
= (x + y)(5x + y)
Cách 6 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (5x
2
- 5y
2
) + (6xy + y
2
)
= 5(x
2
– y
2
) + 6y(x + y)
= 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)
= (x + y)(5x -5y + 6y)
= (x + y)(5x + y)

Cách 7 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (9x
2
+ 6xy + y
2
) – 4x
2
=(3x + y)
2
- 4x
2
= (3x + y - 2x)(3x + y + 2x)
= (x + y)(5x + y)
Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4
Giải:
Ta có : P = x
4
+ x
2

y
2
+ y
4
= (x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
) – x
2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
– (xy)
2
= (x
2
+ y
2
– xy)(x
2

+ y
2
+ xy)
= (x + 2)(x – 5)(x – 3)
6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
a) Phương pháp:
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
19
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm
nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng a
2
– b
2
sau khi thêm bớt.
b) Bài tập:
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4x
4
+ 81 = 4x
4
+ 36x
2
+ 81 – 36x
2
= ( 2x
2
+ 9)
2

– (6x)

= (2x
2
+ 9 – 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
– x + x
2
+ x + 1
= x(x
6
– 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x
3
– 1)(x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x

3
+1)(x- 1)(x
2
+ x + 1) + ( x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x+ 1)(x
5
- x
4
– x
2
- x + 1)
7. Phương pháp thực hiện phép chia:
a) Phương pháp:
Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là
một đa thức. Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a). Sau đó lại phân tích tiếp g(x).
b) Bài tập:
Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
f(x) = x
5
+ 6x
4
+ 13x
3
+ 14x
2
+ 12x + 8

Giải:
Dễ thấy: f(-2) = (-2)
5
+ 6(-2)
4
+ 13(-2)
3
+ 14(-2)
2
+ 12(-2) + 8 = 0
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta được:
f(x) = (x + 2)(x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4) = (x + 2).g(x)
Dễ thấy: g(x) = x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 có g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được:
g(x) = (x + 2)(x
3
+ 2x
2

+ 2x + 2)
Đặt h(x) = x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0
Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x
2
+ 1)
= (x + 2)
3
(x
2
+ 1)
Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne
để thực hiện phép chia được nhanh hơn.
Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) như sau :
1 6 13 14 12 8
-2 1 4 5 4 4 0
Vậy f(x) = (x + 2)(x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4)
Chia x

4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 cho (x + 2) như sau :
1 4 5 4 4
-2 1 2 2 2 0
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
20
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Vậy x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 = (x + 2)(x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2)
Chia x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 cho (x + 2) như sau :
1 2 2 2
-2 1 0 1 0

Vậy x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy h(x) = (x + 2)
3
(x
2
+ 1)
Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
4
– 2x
3
– 11x
2
+ 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ước của 36 :
±
1;
±
2;
±
3;
±
4;
±

6 ;
±
9;
±
12;
±
18;
±
36.
Ta thấy: x = -2
P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta có: P = x
4
+ 2x
3
– 4x
3
– 8x
2
– 3x
2
– 6x + 18x + 36
= x
3
(x + 2) – 4x
2
(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)
= (x + 2)(x
3
– 4x

2
– 3x + 18)
Lại phân tích Q = x
3
– 4x
2
– 3x + 18 thành nhân tử
Ta thấy: Q(-2) = (-2)
3
– 4(-2)
2
– 3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta được :
Q = (x + 2)(x
2
– 6x + 9)
= (x + 2)(x – 3)
2
Vậy: P = (x + 2)
2
(x – 3)
2
8. Phương pháp đặt ẩn phụ
a) Phương pháp:
- Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến số) ta có thể đưa một đa
thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ
dễ dàng phân tích được thành nhân tử.
- Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản.
b) Bài tập:
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = (x
2
+ x) + 4(x
2
+ x) - 12
Giải: Đặt y = x
2
+ x , đa thức đã cho trở thành :
A = y
2
+ 4y – 12
= y
2
– 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x
2
+ x vào (1) ta được :
A = (x
2
+ x – 2)(x
2
+ x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x
2
+ x – 6)
Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x
2

+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
21
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Giải: A = (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12
Đặt y = (x
2
+ x + 1). Đa thức đã cho trở thành :
A = y(y + 1) – 12
= y
2
+ y – 12
= y
2
– 3y + 4y – 12
= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4) (*)
Thay: y = (x
2
+ x + 1) vào (*) ta được :
A = (x
2
+ x + 1 - 3)(x

2
+ x + 1 + 4)
= (x
2
+ x – 2) (x
2
+ x + 6)
= (x – 1)(x + 2)(x
2
+ x + 6)
Bài 32: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
12
– 3x
6
+ 1
Giải: B = x
12
– 3x
6
+ 1
Đặt y = x
6
(y
0≥
)
Đa thức đã cho trở thành :
B = y
2
– 3y + 1

= y
2
– 2y + 1 – y
= (y – 1)
2
– y
= (y – 1 -
y
)(y + 1 +
y
) (*)
Thay : y = x
6
vào (*) được :
B = (x
6
– 1 -
)1)(
66
xyx ++

= (x
6
– 1 – x
3
)(x
6
+ 1 + x
3
)

Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
3
- 3
2
x
2
+ 3x +
2
- 2
Giải: Đặt : y = x -
2
, ta có x = y +
2
A = (y +
2
)
3
- 3
2
(y +
2
)
2
+ 3(y +
2
) +
2
- 2
= y

3
+3y
2
2
+ 3y.2 + 2
2
- 3
2
(y
2
+ 2
2
y + 2) + 3(y +
2
) +
2
- 2
= y
3

- 3y – 2
= y
3

- y – 2y – 2
= y(y
2
– 1) – 2(y + 1)
= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)
= (y + 1)(y(y – 1) – 2)

= (y + 1)(y
2
– y – 2)
= (y + 1)(y + 1)(y – 2)
= (y + 1)
2
(y – 2) (*)
Thay : y = x -
2
vào (*), được :
A = (x -
2
+ 1)
2
(x -
2
- 2)
Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
22
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Giải: Ta có:
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
= (x
2
+ 8x + 7)( x
2

+ 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x
2
+ 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :
M = y(y + 8) + 15
= y
2
+ 8y + 15
= y
2
+ 3y + 5y + 15
= y(y + 3) + 5(y + 3)
= ( y + 3)(y + 5)
Thay : y = (x
2
+ 8x + 7), ta được :
M = (x
2
+ 8x + 10)(x
2
+ 8x + 12)
= (x
2
+ 8x + 10)( x
2
+ 2x + 6x + 12)
= (x
2
+ 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
= (x

2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa
thức sau thành nhân tử :
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c . Ta biến đổi A thành :
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)
Bằng cách biến đổi tương tự như bài 36, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và
từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử.
9. Phương pháp hệ số bất định
a) Phương pháp:
- Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được các hệ
số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp.
- Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất,
một đa thức bậc hai dạng ( ax +b)( cx
2
+ dx + m)
rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này vơí hệ số của đa thức kia.
b) Bài tập :
Bài 35: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
x
4

– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3 = (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3 = x
4
+ (a+c )x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :

6
12
14
3
a c
ac b d

ad bc
bd
+ = −


+ + =


+ = −


=

Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
23
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
Xét bd = 3 với b, d
Z∈
, b
∈
}{
3;1
với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :







−=+
=
−=+
143
8
6
ca
ac
ca
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
Vậy M = x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3
= (x
2
– 2x + 3)(x
2
– 4x + 1)
Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :

A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
= adx
2
+ aexy + agx + bdxy + bey
2
+ bgy + cdx + cey + cg
= adx
2
+ ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey
2
+ ( bg + ce )y + cg
= 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :












=

=+
=
=+
=+
=
10
37
7
11
22
3
cg
cebg
be
cdag
bdae
ad

⇒













=
=
=
=
=
=
2
7
1
5
1
3
g
e
d
c
b
a
Vậy A = 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
4
– 8x + 63
Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :

B = x
4
– 8x + 63
= (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d)
= x
4
+ (a+ c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức ta được hệ điều kiện:







=
−=+
=++
=+
63
8
0

0
bd
bcad
dbac
ca

⇔








=
=
=
−=
9
4
7
4
d
c
b
a
Vậy : B = x
4
– 8x + 63 = (x

2
- 4x + 7)(x
2
+ 4x + 9)
10. Phương pháp xét giá trị riêng
a) Phương pháp:
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
24
Rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động
hướng dẫn học sinh giải bài tập toán
- Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc
nhất, một đa thức bậc hai dạng (ax+b)(cx
2
+dx+m)
rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này vơí hệ số của đa thức kia.
- Đây là một phương pháp khó, nhưng nếu áp dụng nó một cách “linh hoạt” thì có
thể phân tích một đa thức thành nhân tử rất nhanh. Trong phương pháp này ta xác định
dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác
định thừa số còn lại.
b) Bài tập :
Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y)
Giải: Thử thay x bởi y thì P = y
2

(y – z) + y
2
(z – y) = 0
Như vậy P chứa thừa số x – y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( ta nói đa
thức P có thể hoán vị vòng quanh x
→
y
→
z
→
x . Do đó nếu P chứa thừa số x – y thì
cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còn các
tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với
mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = 0
(*), ta được:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
2 = -2k
k = -1
Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)

Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác nhau để
(x – y)(y – z)(z – x)
≠
0.
Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
y
2
(y – x) + y
2
z
2
(z – y) + z
2
x
2
(y – z)
Giải: Thay x = y thì P = y
2
z
2
(z – y) + z
2
x
2
(y – z) = 0
Như vậy P chứa thừa số x – y.
Ta thấy đa thức P có thể hoán vị vòng quanh x
→

y
→
z
→
x. Do đó nếu P chứa
thừa số x – y thì cũng chứa thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z, nên trong phép chia A cho
(x – y)(y – z)(z – x) thương là hằng số k, nghĩa là :
P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k là hằng số.
Cho : x = 1; y = -1; z = 0 ta được :
1
2
.(-1)
2
.(-2) + (-1)
2
.0.(0 + 1) + 0
2
.1
2
.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1)
-2 = 2k
Người thực hiện:Nguyễn Thụy Linh Diệp
25