Kinh nghiệm dạy học các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian nhằm nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh trường THPT thạch thành 4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM DẠY HỌC CÁC BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG
CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN NHẰM NÂNG
CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN CHO HỌC SINH
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4

Người thực hiện: Đỗ Thị Diệp
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ, NĂM 2016


MỤC LỤC
1. PHẦN MỞ ĐẦU...............................................................................................1
2. NỘI DUNG.......................................................................................................2
2.1. Cơ sở lí luận....................................................................................................2
2.2 Thực trạng của vấn đề.....................................................................................3
2.3 giải pháp và tổ chức, thực hiện........................................................................5
2.3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.........................................5
2.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.............................................7
2.3.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song:............13
2.3.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:............................................14
2.3.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:..........................................15
2.4 Kết quả kiểm nghiệm.....................................................................................18
3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT............................................................................19
3.1. Kết luận........................................................................................................19

3.2 Kiến nghị và đề xuất......................................................................................19
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................21


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

1. PHẦN MỞ ĐẦU
Tốn học là một mơn khoa học tự nhiên lâu đời, được xem là nền tảng của tư
duy, là môn cơ sở để phát triển những hệ thống kiến thức mới, việc học tốt mơn
tốn sẽ góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh một cách tốt nhất, mở ra nhiều
cơ hội cho các em trong các kì thi cũng như việc lựa chọn định hướng nghề
nghiệp sau này. Tuy nhiên, để học tốt được môn tốn thì cũng khơng phải là dễ
dàng, với đa phần học sinh thì mơn tốn là một mơn học khó, khô khan làm cho
các em cảm thấy chán nản, mệt mỏi. Đặc biệt, một trong những phần được coi là
khó nhằn của mơn tốn là phần hình học khơng gian, đây là phần xuất hiện hầu
hết trong các kì thi ở bậc học THPT đặc biệt là kì thi Tốt nghiệp THPT quốc gia.
Nội dung thi của phần hình học khơng gian thường rơi vào hai phần cơ bản là
tính thể tích và tính khoảng cách, do thời lượng có hạn nên trong SKKN này tơi
sẽ trình bày những kinh nghiệm tơi có được khi dạy học các bài tốn về khoảng
cách. Mặc dù bài tập phần này được đánh giá là tương đối khó với học sinh
nhưng trong sách giáo khoa Hình học 11, cả cơ bản và nâng cao bài “Khoảng
cách” được viết rất đơn giản. Thực tế dạy học cho thấy, đứng trước một bài tốn
tính khoảng cách học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, dùng đến phương
pháp nào, tại sao lại nghĩ đến vẽ đường này, kẻ đường kia… Một số học sinh
khá hơn thì mày mị tìm ra cách giải, có khi được khi khơng. Bài làm thì rời rạc
và thường tốn nhiều thời gian nên khi học các em đều cảm thấy hoang mang, lo
lắng. Nhiều em thấy khó q cịn xác định khơng học phần này. Là giáo viên dạy
tốn tơi đã phải trăn trở và suy nghĩ rất nhiều chính vì thế tơi quyết định viết
SKKN với nội dung “Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách

trong hình học không gian nhằm nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho
học sinh Trường THPT Thạch Thành 4” thơng qua việc nghiên cứu tài liệu và
việc đúc rút từ những kiến thức, kinh nghiệm mà tơi có được trong q trình dạy
học một cách có hệ thống để chia sẻ với bạn bè đồng nghiệp và quan trọng hơn
cả là làm tư liệu dạy học cho bản thân. Nhằm giúp HS có thể giải được các bài

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

1


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

tốn về tính khoảng cách làm cho các em học tốt hơn, cảm thấy hứng thú và tự
tin hơn khi học về phần hình học khơng gian nói riêng và mơn tốn nói chung.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận
Trong khi học mơn tốn, việc tìm ra quy luật phương pháp chung để giải
quyết một bài tốn là việc vơ cùng quan trọng vì nó giúp ta có định hướng để
tìm lời giải cho một lớp các bài tốn tương tự nhau. Trong dạy học giáo viên có
vai trị cần thiết điều khiển cho HS thực hiện và luyện tập những hoạt động
tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ, có hướng
đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công. Do
vậy trang bị về phương pháp cho HS là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo
viên. Thấy được điều đó nên khi dạy học đến phần tính khoảng cách tơi sẽ
hướng dẫn các em tìm ra phương pháp làm cho từng dạng bài tập, để rồi các em
sẽ vận dụng các phương pháp đó vào việc giải bài tập.
Khi làm SKKN về phần này tôi sử dụng kiến thức nền tảng là nội dung của
bài “ Khoảng Cách” trong SGK hình học 11 mà chủ yếu là các khái niệm.

* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu vng góc của O trên a.
Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O
đến đường thẳng a. Kí hiệu d(O, a)
* Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt (α). Gọi H là hình chiếu vng góc của O trên (α). Khi
đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến
Mặt phẳng (α). Kí hiệu d(O, (α))
* Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song:

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

2


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α). Khoảng cách giữa đường
thẳng ∆ và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đến mặt
phẳng (α). Kí hiệu d(∆,(α))
* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất
kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu d((α),(β))
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng ∆ cắt cả a và b đồng
thời vng góc với cả a và b được gọi là đường vng góc chung của a và b.
Đường vng góc chung ∆ cắt a tại M và cắt b tại N thì độ dài đoạn thẳng MN
gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu d(a,b) .
Trong sáng kiến này tơi sẽ đưa ra các dạng bài tập về tính khoảng cách và

phương pháp chung để giải các bài tập đó.
2.2 Thực trạng của vấn đề
Trường THPT Thạch Thành 4 là một trường thuộc huyện miền núi Thạch
Thành của tỉnh Thanh Hóa. Trường được thành lập năm 2007, là một ngơi
trường non trẻ, cơ sở vật chất còn nhiều thiếu thốn, nhưng mối quan tâm về chất
lượng học tập của học sinh luôn là một trong những ưu tiên hàng đầu của nhà
trường. Vùng tuyển sinh của trường gồm 7 xã của huyện Thạch Thành, trong đó
có 4 xã là các xã đặc biệt khó khăn. Do đó, điều kiện về kinh tế, cơ sở vật chất đi
lại còn gặp nhiều khó khăn, trình độ dân trí thấp, các bậc phụ huynh chưa thật sự
quan tâm đến việc học tập của con em mình, dẫn đến các em cịn lười học, ngại
học, khi học cịn học một cách đối phó, hời hợt… Những lí do này ảnh hưởng
khơng nhỏ đến chất lượng dạy và học của nhà trường. Mặt khác, bản thân mơn
tốn được đánh giá là mơn học khó với học sinh nói chung, cịn khó hơn đối với
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

3


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

học sinh miền núi, vùng sâu vùng xa nói riêng. Năm học 2015-2016 tôi được
phân công dạy 3 lớp 12A3, 12A4, 12A5 và có may mắn được theo sát các em từ
năm lớp 10 tôi nhận thấy cứ mỗi khi dạy đến phần hình học khơng gian là đa
phần các em HS đều cho đây là phần rất khó, khơng làm được bài tập, dẫn đến
các em có tư tưởng ngại học, chán học, một số HS cịn bỏ, khơng học những
phần liên quan đến hình học khơng gian. Lên lớp 12 khi tiến hành ôn luyện để
chuẩn bị cho kì thi học kì và thi tốt nghiệp THPT Quốc gia sắp tới, tơi có dành
thời gian ơn tập cho các em về phần tính khoảng cách và tính thể tích thì thấy
rằng thực trạng học HS học phần này là đáng báo động, cũng như khi học ở lớp

11 các em khơng học được, chỉ có một số rất ít làm được bài. Tơi có khảo sát
chất lượng của các em bằng cách cho làm bài kiểm tra với nội dung như sau:
Đề Bài: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = 5 cm, BC = 6 cm, AA’ = 4 cm.
a Tính khoảng cách từ B đến mp ( ACC’A’) .
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’.
Kết quả thu được sau khi chấm bài kiểm tra của HS:
Làm đúng ý

Làm đúng

a

cả 2 ý

12A3 (39 HS)

12 (30,8 %)

12A4 (37 HS)
12A5 (39 HS)

Lớp

Làm sai

Không làm

7 (17,9 %)

27 (69,2%)

0 (0 %)

10 (27 %)

5 (13,5 %)

26 (70,3 %)

1 (2,7 %)

8 (20,5 %)

5 (12,8 %)

30 (76,9 %)

1 (2,6 %)

Qua bảng trên có thể thấy số lượng HS làm đúng ý a) hay làm đúng cả 2 ý rất
thấp, còn lại là số HS làm sai chiếm tỉ lệ khá cao (69,2% - 76,9%). Trong q
trình làm bài các em cịn kém về phần vẽ hình và trình bày, khơng nhiều em làm
đúng ý a), cịn ở ý b) thì các em lại lúng túng trong việc xác định đường vng
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau dẫn đến không giải được bài toán. Rõ
ràng chúng ta thấy thực trạng nhiều HS của chúng ta hiện nay đang xác định “bỏ
rơi” phần hình học khơng gian, số cịn lại thì học cũng chưa thật sự tốt. Vậy nên,
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

4

Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

làm thế nào để giúp các em học tốt phần này là nhiệm vụ cấp thiết đặt ra và cần
phải được thực hiện ngay, đây là động cơ chính thơi thúc tôi thực hiện SKKN
này .
2.3 giải pháp và tổ chức, thực hiện
2.3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Quy trình: Quy trình tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng ∆ :
Bước 1: Xác định mp (α ) đi qua O và vng góc với đường thẳng ∆ . (Hoặc
xác định đường thẳng d đi qua O , đồng phẳng và vng góc với đường thẳng

∆)
Bước 2: Xác định giao điểm H của mp (α ) và đường thẳng ∆ . (Hoặc xác định
giao điểm H của hai đường thẳng d và ∆ ).
Suy ra d(O, ∆) = OH .
Bước 3: Tính độ dài đoạn OH (dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác…)
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng

·
2a , ABC
= 600 ; SA = 2a và SA ⊥ ( ABCD ) .
a. Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SC .
b. Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SB .
Giải:
a. Tính khoảng cách từ O tới SC .
Bước 1: Trong mp (SAC) , kẻ đường thẳng d đi
qua O và vuông góc với đường thẳng SC .
Bước 2: Xác định giao điểm I của đường thẳng

d và SC . Ta có d(O, SC) = OI .
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

5


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Bước 3: Tính độ dài đoạn OI :
Do ∆SAC vng cân tại A ( SA = AC = 2a ) nên ∆OIC vuông cân tại I .
Vậy OI =

OC a 2
a 2
=
hay d ( O, SC ) =
.
2
2
2

b. Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng SB .
Bước 1: Xác định mp (α ) đi qua O và vng góc với SB :
- Trong mp ( ABCD ) kẻ OJ ⊥ AB . Vì SA ⊥ OJ nên OJ ⊥ ( SAB ) hay OJ ⊥ SB
- Trong mp (SAB) kẻ JH ⊥ SB . Khi đó ta có SB ⊥ ( OJH ) hay mp (OJH) là
mp (α ) cần xác định.
Bước 2: Xác định giao điểm của mp (α ) và cạnh SB : dễ thấy H = ( OJH ) ∩ SB
nên d ( O, SB ) = OH .
Bước 3: Tính độ dài đoạn OH :

Trong mp ( ABCD ) kẻ CK ⊥ AB . Ta có:
3
.2a 3a 2
1
1 2a 3 a 3
; JH = BJ = 4
OJ = CK = .
=
=
2
2 2
2
4
2
2

3a 2 9a 2 15a 2
Xét ∆OJH vng tại J có OH = OJ + JH =
+
=
.
4
8
8
2

Vậy d ( O, SB ) = OH =

2

2

a 30
.
4

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vng ABCD tâm O cạnh a.
Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a . Gọi I là trung điểm của
SC và M là trung điểm đoạn AB. Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM.
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

6


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Bài 2. Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau góc 600, nhận AB = a
làm đoạn vng góc chung. Trên By lấy điểm C sao cho BC = a . Tính khoảng
cách từ C đến đường thẳng Ax .
2.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Quy trình: Quy trình tính khoảng cách từ một điểm A đến mp (α)
Bước 1: Xác định mp (β) đi qua A và vng góc với mp (α ) .
Bước 2: Xác định đường thẳng AH kẻ từ A và vng góc với giao tuyến ∆
của hai mặt phẳng (α) và (β) , H ∈ ∆ . Suy ra d(A, (a)) = AH .
Bước 3: Tính độ dài đoạn AH (dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác…).
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a . Tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng ( A’BD ) .
Giải:

Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua A và vng góc
với mp ( A’BD ) : là mp ( OAA’) .
- Gọi O là giao của AC và BD .
- Vì AA’ ⊥ ( ABCD ) nên AA’ ⊥ BD .
Mặt khác, AO ⊥ BD suy ra DB ⊥ ( OAA’) hay

( A’BD ) ⊥ ( OAA’) .
Bước 2: Xác định đường thẳng kẻ từ A và vng góc với giao tuyến OA’ của
hai mặt phẳng ( A’BD ) và ( OAA’) là đường thẳng AH .
- Trong mp ( OAA’) kẻ AH ⊥ OA’ .
- Khi đó AH ⊥ ( A’BD ) hay d ( A, ( A’BD ) ) = AH .
Bước 3: Tính độ dài đoạn AH .
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

7


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

- Xét ∆OAA’ vng tại A có:
1
1
1
2 1
3
=
+
= 2+ 2 = 2
2

2
2
AH
AO
AA '
a
a
a
Vậy d ( A, ( A’BD ) ) =

a 3
3

Ví dụ 2. Cho tứ diện D.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = 2a
. Mặt bên (DAC) là tam giác đều và vng góc với mặt đáy (ABC) . Gọi O là
trung điểm cạnh AC .
a. Tính khoảng cách từ điểm D đến mp (ABC) .
b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (DBC) .
Giải:
a. Tính khoảng cách từ điểm D đến mp (ABC) .
Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua D và vng góc
với mp (ABC) là mp (DAC) .
Bước 2: Xác định đường thẳng DO kẻ từ D và vng góc với giao tuyến AC
của hai mặt phẳng ( ABC ) và ( DAC ) , O ∈ AC . Suy ra d ( D, ( ABC ) ) = DO .
Bước 3: Tính độ dài đoạn DO : Vì ∆DAC đều cạnh 2a, đường cao DO nên

DO = a 3 . Vậy d ( D, ( ABC ) ) = a 3 .
b. Tính khoảng cách từ O đến mp ( DBC )
Bước 1: Xác định mặt phẳng đi qua O và vng góc với mp ( DBC ) : là mp

( DOI )

với I là trung điểm cạnh BC .

Bước 2: Xác định đường thẳng OH kẻ từ O và vng góc với giao tuyến DI
của hai mặt phẳng ( DBC ) và ( ODI ) , H ∈ DI . Suy ra d ( O, ( DBC ) ) = OH .
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

8


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Bước 3: Tính độ dài đoạn OH : Xét ∆ODI vng tại O ta có:
1
1
7
1
1
1 = 2 + 2= 2
=
+
a
3a
3a .
OH 2 OD 2 OI 2
2
Vậy d ( O, ( DBC ) ) =

a 21
.
7

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau cắt nhau theo giao
tuyến ∆ . Lấy A, B thuộc ∆ , AB = a . Lấy C, D lần lượt thuộc mặt phẳng (P) và
(Q) sao cho AC, BD vng góc với ∆ và AC = BD = a . Tính khoảng cách từ A
đến (BCD).
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = 3a ,
BC = 4a , mặt phẳng (SBC) vng góc với (ABC); SB = 2a 3 ,

.

Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Chú ý: Ta có thể sử dụng các cách khác để tính khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng như sau:
Cách 1. Sử dụng cơng thức thể tích
1
3V
Thể tích của khối chóp V = S.h ⇔ h =
. Theo cách này, để tính khoảng cách
3
S
từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
Ví dụ 1: Ta có thể giải bài tốn trong ví dụ 1 phần khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng dựa vào cơng thức thể tích như sau:
1
1
Ta có: VA.A’BD = SABD .AA’ = SA’BD .d ( A, ( A’BD ) )

3
3

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

9


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

1 2
a .a
SABD .AA’
2
a 3
=
Suy ra d ( A, ( A’BD ) ) =
=
3
SA ' BD
3
(a 2) 2
4
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến
mặt phẳng (AMN).

S

Giải:
Gọi O là tâm của hình vng ABCD, khi đó SO
M

⊥ (ABCD).

N

D

P

Do M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

C

A

nên SAMN

O

1
1
a2 7
= SANS = SABS =
2
4
16

B

Ta có:
PC / /(AMN) ⇒ d ( (P,(AMN)) ) = d ( (C,(AMN)) ) .
1
1 1
Vậy: VP.AMN = SAMN .d ( (P,(AMN)) ) = . SABS.d ( (C,(AMN)) )
3
3 4
1
1
1 1
= VC.ABS = VS.ABC = . SABC .SO .
4
4
4 3

1
a 6
Với SABC = a 2 ,SO = SA 2 − AO2 =
.
2
2
⇒ VAMNP =

3V
6
1 1 2 a 6 a3 6
⇒ d ( (P,(AMN)) ) = PAMN = a
. a .

=
SAMN
7
12 2
2
48

Vậy d ( (P,(AMN)) ) =

a 42
7

Cách 2. Sử dụng phép trượt đỉnh
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

10


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

- Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường
thẳng đến một vị trí thuận lợi O' , ta quy việc tính d(O,(α)) về việc tính
d(O',(α)) . Ta thường sử dụng những kết quả sau:
Kết quả 1: Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈ ∆ thì
d(M;(α)) = d(N;( α))
Kết quả 2: Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N
khác I) thì

d(M;(α)) MI

=
d(N;(α)) NI

1
Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì d(M;(α)) = d(N;(α))
2
nếu I là trung điểm của MN thì d(M;(α)) = d(N;(α))
- Ta thường sử dụng phép trượt đỉnh về điểm là chân đường cao.
Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O có cạnh
bằng a, SA = a 3 và vng góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
S

b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác
SAB đến (SAC).
Nhận xét: Do OA ∩ ( SBC ) = C , nên thay vì
việc tính d ( O, ( SBC ) ) ta đi tính d ( A, ( SBC ) ) ,

A

D

F
E

tương tự như vậy ta có thể quy việc tính
d ( G, ( SAC ) ) thơng qua việc tính d ( E, ( SAC ) )

G

H

B

O
C

hay d ( B, ( SAC ) )
Giải:
a) Ta có: OA ∩ ( SBC ) = C nên:
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

11


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

d ( O, ( SBC ) )

d ( A, ( SBC ) )

=

OC 1
=
AC 2

1
⇔ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )

2
* Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
AH ⊥ SB
⇒ AH ⊥ ( SBC )
Bước 1, 2: Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có: 
AH
⊥
BC


Bước 3: Tính AH :
Trong tam giác vng SAB có:

1
1
1
4
a 3
=
+
= 2 ⇔ AH =
2
2
2
AH
SA
AB 3a
2

1

1
a 3
Vậy d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH =
2
2
4
b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.
Do EG ∩ ( SAB ) = S nên:
d ( G, ( SAC ) )
d ( E, ( SAC ) )

=

GS 2
2
= ⇔ d ( G, ( SAC ) ) = d ( E, ( SAC ) )
ES 3
3

Mà BE ∩ ( SAC ) = A nên:
d ( E, ( SAC ) )

d ( B, ( SAC ) )

=

EA 1
1
= ⇒ d ( E, ( SAC ) ) = d ( B, ( SAC ) )
BA 2

2

BO ⊥ AC
⇒ BO ⊥ ( SAC ) nên d(B, (SAC)) = BO = a 2
Mà 
2
BO ⊥ SA

2 a 2 a 2
Vậy d ( G, ( SAC ) ) = ×
=
3 4
6
Bài tập tự luyện:

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

12


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

AB = 3a, BC= 4a, (SBC) ⊥ (ABC), SB=2a 3 ,

. Tính khoảng cách

từ B đến mặt phẳng (SAC).

Bài 2: Cho hình chóp SABC, góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 600 .
Hai tam giác ABC và SBC đều cạnh a. Tính thể tích hình chóp SABC và khoảng
cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
2.3.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song:
Ta có: + ∀M ∈ ∆, N ∈ (α ),MN ≥ d(∆,(α))
+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) được quy về việc
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc

·
BAD
= 600 , có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Giải:
a) Hạ OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SOK )
Trong (SOK) kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SBC )
⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH .

Ta có ∆ABD đều ⇒ BD = a ⇒ BO =

S

a
; AC = a 3
2

Trong tam giác vng OBC có:

H

A

1
1
1
13
a 39
=
+
=
⇔
OK
=
OK 2 OB 2 OC 2 3a 2
13

E
B
D

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

F

B
D
K

O

C

13


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Trong tam giác vng SOK có:
1
1
1
16
a 3
=
+
= 2 ⇔ OH =
2
2
2
OH
OS
OK
3a
4
Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH =

a 3
4

b) Ta có AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC )
⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) )

Kẻ EF / / OH ( F ∈ SK ) . Do OH ⊥ ( SBC ) ⇒ EF ⊥ ( SBC )

⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = EF = 2OH =

a 3
2

2.3.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
* Nhận xét:

∀M ∈ (α), N ∈ (β),MN ≥ d((α);(β))

Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ: Cho hình lăng trụ tam giác
ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a.
Góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 30 0.
Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
(A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Tính
khoảng cách giữa hai mặt đáy.
Giải:
Vì H là hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’) cho nên H là
trung điểm của B’C’. Do (ABC) // (A’B’C’) nên d((ABC), (A’B’C’)) = d(A,

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

14


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

(A’B’C’)) mà AH ⊥ (A’B’C’) nên d(A, (A’B’C’)) = AH. Vì AA’ tạo với đáy một
góc bằng 300 nên ∆AHA’ có AH =

AA' a
= .
2
2

a
Vậy d((ABC), (A’B’C’)) = .
2
Bài tập tự luyện:
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng ( α ) bất kì
đi qua đường chéo B’D. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và
(A’BC’)
2.3.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Quy trình: Quy trình tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
Bước 1: Xác định mp (α) chứa đường thẳng b và song song với đường thẳng
a . Suy ra d ( a, b ) = d(a, (α)) .
Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm M trên đường thẳng a tới mp (α) :
Tính d(M, (α))
Bước 3: Kết luận d ( a, b ) = d(M, (α)) .
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ; SA vng
góc với đáy và SA = a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD .

Giải:
Bước 1: Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng SD và song song với đường
thẳng AC :
Trong mp ( ABCD ) kẻ đường thẳng Dx // AC thì
AC // ( S, Dx ) do đó:
d ( SD, AC ) = d ( AC, ( S, Dx ) ) = d ( A, ( S, Dx ) )
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

15


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng AC tới mp ( S, Dx ) :
Tính d ( A, ( S, Dx ) )
Bước 2.1: Xác định mặt phẳng đi qua A và vng góc với mp (S,Dx) : là mp
(SAI) .
Trong mp ( ABCD ) kẻ AI vng góc với Dx tại I . Vì SA ⊥ Dx nên
Dx ⊥ ( SAI ) .
Bước 2.2: Xác định đường thẳng AH kẻ từ A và vng góc với giao tuyến SI
của hai mặt phẳng ( S,Dx ) và ( SAI ) , H ∈ SI .
Trong

mp (SAI)

kẻ

vng

AH

góc

với

SI

tại

H

thì

d ( A, ( S, Dx ) ) = d ( A, ( SDI ) ) = AH .

Bước 2.3: Tính độ dài đoạn AH:
Ta có AIDO là hình bình hành nên AI = DO =

nên có

1
1
1
=
+ 2
2
2
AH
SA

AI

Suy ra AH =

=

1
2

a 2

÷
 2 

+

a 2
. Và ∆SAI vng tại A
2

1
3
=
a2 a2 .

a 3
.
3

a 3

Bước 3: Kết luận d ( AC, SD ) = d ( A, ( S, Dx ) ) =
3
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình
vng cạnh a và SA = SB = SC = SD = a 2 . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB .
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

16


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

Giải:
Bước 1: Xác định mặt phẳng chứa cạnh SB và song song với cạnh AD : là mp

( SBC ) . Suy ra d(AD, SB) = d ( AD, ( SBC ) ) .
Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng AD tới mp (SBC) :
Tính d(I, ( SBC ) ) , với I là trung điểm cạnh AD
Bước 2.1: Xác định mặt phẳng đi qua I và vng góc với mp (SBC) : là mp
(SIJ) , với J là trung điểm cạnh BC .
Bước 2.2: Xác định đường thẳng IH kẻ từ I và vng góc với giao tuyến SJ
của hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SIJ ) , H ∈ SJ .
Suy ra d ( I, ( SBC ) ) = IH .
Bước 2.3: Tính độ dài đoạn IH :
2
2a
a 6
Vì ∆SOC vng tại O nên SO = SO − OC = 2a −
=

4
2

2

2

2

Xét ∆SOJ có OK là đường cao. Ta có:
1
1
1
=
+ 2
2
2
OK
SO OJ

=

1
2

a 6

÷
 2 

Mà IH = 2OK nên IH =

+

1
2

a
 ÷
 2

=

14
3a 2 hay OK = a 3
14

a 42
7

Bước 3: Kết luận d ( AD, SB ) = d ( I, ( SBC ) ) =

a 42
.
7

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B,AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt phẳng
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

17


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

(ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC,
cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể
tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với
DM. Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
2.4 Kết quả kiểm nghiệm
Sau khi dạy xong chuyên đề tôi nhận thấy dần dần các em học hiểu bài hơn,
nhiều em đã có thể tự mình làm được các bài tập tự luyện. Sau đó tơi có cho các
em làm bài bài kiểm tra thời lượng 45 phút với nội dung:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a.
Gọi G là trọng tâm của tam giác đáy ABC.
a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng đáy (ABC)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SG
Kết quả thu được như sau:
Làm đúng ý

Làm đúng

a

cả 2 ý

12A3 (39 HS)

22 (56,4 %)

12A4 (37 HS)
12A5 (39 HS)

Lớp

Làm sai

Không làm

18 (46,2 %)

17 (43,6%)

0 (0 %)

19 (51,4 %)

15(40,5 %)

18 (48,6 %)

0 (0 %)

17 (43,6 %)

12 (30,8 %)

21 (53,8 %)

1 (2,6 %)

Từ kết quả thu được ta nhận thấy số lượng học sinh làm đúng ý a) và làm
đúng cả 2 ý tăng lên rõ rệt (cao nhất là lớp 12A3 làm đúng ý a) chiếm 56,4%,
làm đúng cả 2 ý chiếm 46,2%, lớp 12A5 làm đúng ý a) chiếm 43,6%, làm đúng
cả 2 ý chiếm 30,8%). Số lượng học sinh làm sai giảm đã được giảm đáng kể.
Qua chấm bài tơi nhận thấy nhiều em đã biết cách tính khoảng cách từ một điểm
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

18


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, biết vận dụng
các kiến thức đã học vào bài làm. Nhưng vẫn còn một số học sinh trong q
trình tính tốn vẫn mắc sai sót dẫn đến việc các em biết cách làm nhưng tính sai
kết quả. Điều này tôi sẽ cố gắng khắc phục cho các em trong quá trình dạy học
tiếp sau này. Tuy nhiên với kết quả đạt được như vậy thì nhiều em đã tỏ ra hứng
thú hơn trong học tập, bớt đi được phần nào tâm lí lo sợ khi học đến phần hình
học khơng gian. Đây cũng có thể coi là dấu hiệu đáng mừng và cũng là động lực
thúc đẩy để tơi nhiệt tình hơn trong cơng tác giảng dạy, nghiên cứu để sao cho
việc dạy học của mình đạt hiệu quả cao nhất.
3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
3.1. Kết luận

Sau khi dạy xong chuyên đề này tôi nhận thấy khi dạy học cho học sinh
chúng ta nên hướng dẫn các em tìm ra phương pháp, cách giải cho mỗi dạng bài
toán, khi đã nắm được phương pháp các em sẽ có thể tự mình giải được các
dạng bài tập quen thuộc, qua đó cịn có thể tìm ra phương pháp giải, cách giải
cho các dạng bài tập khác. Ngoài ra, trong khi dạy học giáo viên cũng nên rèn
luyện thêm cho học sinh khả năng tính tốn để hạn chế các trường hợp các em
biết cách làm nhưng vẫn làm sai do tính tốn sai.
Trong q trình thực hiện, nghiên cứu đề tài cịn nhiều thiếu sót, rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến để đề tài ngày càng hồn thiện hơn.
3.2 Kiến nghị và đề xuất
Thơng qua đề tài tơi có vài kiến nghị như sau:
- Đối với tổ bộ môn: Tổ chức thêm các buổi sinh hoạt chuyên môn theo hướng
nghiên cứu bài học và viết các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học để làm
tài liệu dùng chung cho tổ.
- Đối với nhà trường: Tăng cường thêm các chủng loại tài liệu tham khảo, tổ
chức thêm các hoạt động ngoại khóa cho học sinh giúp các em có cơ hội giao
Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

19


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

lưu, học hỏi lẫn nhau.
XÁC NHẬN CỦA THỦ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2016

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người khác

Đỗ Thị Diệp

Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

20


Kinh nghiệm dạy học các bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian nhằm
nâng cao hiệu quả học tập mơn tốn cho học sinh Trường THPT Thạch Thành 4

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa hình học 11 cơ bản và nâng cao
2. Sách bài tập hình học 11
3. Nguyễn Đức Đồng (2001), Tuyển tập 500 bài toán hình khơng gian, NXB
Thanh Hố.
4. Phương pháp dạy học mơn toán, tác giả: Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Đinh
Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường; Nhà
xuất bản Giáo Dục.
5. Các trang web:




Đỗ Thị Diệp – THPT Thạch Thành 4

21