Rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các tứ diện cơ bản và kết hợp với bài toán tỉ số khoảng cách để giải một số bài toán tìm khoảng cách

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KĨ NĂNG VẬN DỤNG TỨ DIỆN CƠ
BẢN VÀ BÀI TOÁN TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Lê Văn Lâm
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2016

1


A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Thực tiễn dạy học nói chung và dạy toán nói riêng, đòi hỏi người thầy phải
thực sự là người dẫn dắt, định hướng và khơi dậy trong học sinh niềm say mê, hứng
thú học tập và ưa khám phá để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và tự giải
quyết vấn đề.
Trong việc học toán, học sinh cần tìm ra được phương pháp, nắm bắt quy
luật và bản chất của một vấn đề, đặc biệt là loại toán tính khoảng cách trong hình
học không gian. Học sinh thường sợ những bài toán hình học không gian vì nó rất
trừu tượng. Vì vậy, nhiều em chán nản, không muốn học hoặc tệ hơn nữa là không
học hình học không gian nói chung và dạng toán tìm khoảng cách nói riêng. Vì vậy,
khi gặp dạng toán này học sinh thường rất lúng túng và không biết hướng giải
quyết.

Bài toán tìm khoảng cách là một bài toán khó đối với đại đa số các em học
sinh và thường có mặt trong các kì thi thi đại học, học sinh giỏi. Trong các bài toán
tìm khoảng cách, có nhiều bài toán mà nếu giải bằng phương pháp tìm hình chiếu
của một điểm trên mặt phẳng, phương pháp tọa độ… thì sẽ rất phức tạp và đòi hỏi
học sinh phải mất nhiều thời gian để suy nghĩ mới giải quyết được. Nhưng trong
nhiều trường hợp bài toán tính khoảng cách nhờ việc vận dụng tứ diện vuông và
kết hợp bài toán tỉ số khoảng cách là rất nhẹ nhàng, nhanh gọn và hiệu quả. Đặc
biệt là các bài toán phức tạp.
Để những học sinh không thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi giải được dạng
toán tìm khoảng cách trong không gian, tôi đã tiến hành khảo sát, triển khai thực
hiện đề tài: Rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các tứ diện cơ bản và kết
hợp với bài toán tỉ số khoảng cách để giải một số bài toán tìm khoảng cách.
2. Mục đích nghiên cứu
Rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các bài toán về tứ diện cơ
bản, kết hợp với bài toán tỉ số khoảng cách để những học sinh không thuộc đối
tượng học sinh khá, giỏi vẫn có thể giải được dạng toán tìm khoảng cách trong
không gian.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Học sinh lớp 11 THPT Dương Đình Nghệ.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp

2


B. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý thuyết.
Đề tài vận dụng các bài toán cơ bản sau để giải quyết một số bài toán tìm khoảng
cách
1. Bài toán 1

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Đặt OA = a, OB
= b, OC = c. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là khoảng cách từ
1
1
1
1
= 2 + 2 + 2
2
d
a
b
c

O đến AK (với K là hình chiếu của O trên BC) và
(Bài tập 17 tr103, SGK nâng cao hình học lớp 11)

A

Sau đây ta đưa ra bài toán khái quát của Bài
toán 1 bằng cách thay giả thuyết OA, OB, OC
đôi một vuông góc bằng giả thuyết hai trong

a
j H

ba cạnh đó vuông góc.

h

2. Bài toán 2

c
O

C

Cho tứ diện OABC. Có OA vuông góc với mặt phẳng
(OBC). Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

K

b

là khoảng cách từ O đến AK (với K là hình chiếu của O trên BC).

B

Bằng cách đặc biệt hóa Bài toán 2 ta được nhiều bài toán.
Bây giờ ta xét một
A
trường hợp đặc biệt tam giác OBC vuông ở C.
A

3. Bài toán 3

H

Cho tứ diện OABC có OA vuông góc
với mặt phẳng (OBC), OC vuông góc

H

với BC. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt
phẳng (ABC) là khoảng cách từ O đến AC

3

O

C

O

C
B

B


4. Bài toán 4
Cho mf (P) và hai điểm M , N không nằm trên mf (P) . Gọi I = MN ∩ (P) . Khi đó ta
d ( M ; ( P ))

MI

có d ( N ; ( P)) = NI .
2. Thực trạng vấn đề.
Khi gặp các bài toán tính khoảng cách trong không gian, học sinh thường gặp khó
khăn và lúng túng khi xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng và ngại học
phần này.

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung, đặc biệt là học sinh
trường THPT Dương Đình Nghệ nói riêng (chất lượng đầu vào rất thấp), tư duy hệ
thống, logic và khái quát của các em học sinh còn rất hạn chế.
Kiến thức việc tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hay
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thì phải tìm hình chiếu của một điểm
trên một mặt phẳng học sinh đã được học nhưng đa số học sinh không làm được
đặc biệt là những bài toán phức tạp. Vì vậy, đa số các em không giải được dạng
toán này và nếu có giải được thì cũng rất khó khăn .
Về phía giáo viên thì cho rằng dạng toán tìm khoảng cách này là rất khó với
đối tượng học sinh không phải là học sinh khá, giỏi nên cũng không dành nhiều
thời gian để giảng dạy. Đa số các giáo viên khi hướng dẫn các em giải bài toán về
khoảng cách đều sử dụng phương pháp: tìm hình chiếu của một điểm trực tiếp trên
mặt phẳng nhưng cách tìm trực tiếp này không phải lúc nào cũng tìm thuận tiện.
Còn phương pháp tọa độ và tỉ số thể tích thì đối với các em hoc sinh lớp 11 chưa
được học, sử dụng thể tích khối đa diện và tọa độ và đòi hỏi các em phải tư duy rất
nhiều, trong khi đó tư duy của các em lại hạn chế nên các em thường lúng túng khi
giải dạng toán này.

4


3. Các dạng toán vận dụng các bài toán cơ bản trên để tìm khoảng cách
Dạng 1. Vận dụng Bài toán 1 và kết hợp với Bài toán 4.
Đối với dạng bài tập này ta nhận ra dấu hiệu trong bài toán có xuất hiện tứ diện
OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và việc tìm khoảng cách từ điểm M đến
mặt phẳng (ABC) có dấu hiệu tỉ lệ với khoảng cách từ điểm O đến mp(ABC) với
OM ∩ ( ABC ) = { I } . Khi đó ta sử dụng Bài toán 4.

Loại 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ 1.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC vuông góc với
mặt đáy (ABCD), SC = a 2 . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Phân tích
Thay đổi tên gọi mặt phẳng đáy để tạo ra tứ diện vuông đỉnh O. Bằng cách lấy I là
trung điểm SA thì OI, OA, OB đôi một vuông góc. Khoảng cách từ đỉnh O đến mặt
phẳng (SAB) là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (IAB) và được tính theo Bài toán
1
Hướng dân

S

Gọi I trung điểm của SA thì OI là
đường trung bình của tam giác SAC
1
a 2
nên OI // SC và OI = SC =
.
2

I

2

C

Từ đó OI ⊥ (SABCD) .
Gọi d là khoảng cách từ O đến
(SAB) thì d cũng là khoảng

B

O

D

A

cách từ O đến (IAB).
Vì tứ diện OIAB có OA, OB, OI đôi một vuông góc nên theo Bài toán 1, ta có:

5


1
1
1
1
2
2
2
6
a 6
=
+
+
= 2 + 2 + 2 = 2 . Vậy d =
.
2
2

2
2
d
OI
OA
OB
a
a
a
a
6

Ví dụ 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ở A và B, AB= BC =a,
AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA= a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông
goc của điểm A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách
từ H đến mặt phẳng (SCD) theo a.
(Trích Câu V.b.2 đề thi Đại học khối D năm 2007).
S

Hướng dẫn
Trong tam giác SAB vuông tại A,
đường cao AH có SA 2 = SH .SB
⇒

SH SA 2
SA 2
2a 2
2
=

=
=
=
2
2
2
2
2
SB SB
3
SA + AB
2a + a

d ( H ; ( SCD ) ) SH 2
⇒
=
= .
d ( B; ( SCD ) )
SB 3

H

F

D

B

C

A

Gọi F là trung điểm AD. Vì AD=2BC
nên AF=DF=BC. Do đó AFCB là hình bình hành,
suy ra CF=AB= a , BF//CD, CF//AB ⇒ CF ⊥ AD .
Vì CF=AF=FD=a nên tam giác ACD vuông tại C ⇒ AC ⊥ CD .
Mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD ⇒ CD ⊥ SC hay tam giác SCD vuông tại C.
2
3

Ta có BF//(SCD) ⇒ d ( B; ( SCD ) ) = d ( F ; ( SCD ) ) ⇒ d ( H ; ( SCD ) ) = d ( F ; ( SCD ) ) .
d ( F ; ( SCD ) )

FD

1

1

1
Ta lại có d ( A; SCD ) = AD = 2 ⇔ d ( F ; ( SCD ) ) = 2 d ( A; ( SCD ) ) = d
2

Ví dụ 3.
Cho lăng trụ ABC. A / B / C / với AB=a, BC=2a, ∠ABC = 60 0 . Hình chiếu vuông

6


góc của A / lên (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa AA / và

mặt đáy bằng 60 0 . Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( A / BC ) .
Phân tích
Nhận thấy ∆ABC vuông tại A nên nếu kẻ GH // AB, GK // AC thì ta có tứ diện vuông
G. A / HK để vận dụng Bài toán 1
A'

Hướng dẫn

C'

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC có
AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 AB.BC. cos 60 0

B'

1
2

= a 2 + 4a 2 − 2.a.2a. = 3a 2
⇒ AC = a 3 ⇒ AC 2 = AB 2 + BC 2
A

⇒ tam giác ABC vuông tại A.
Do A / G ⊥ ( ABC ) nên ta thấy

( AA ; ( ABC ) ) = ( AA AG ) = ∠A AG = 60
/

/

/

C

G

H
B

0

⇒ A / G = AG. tan 60 0 = 2a 3 .
3

Đặt d ( G, ( A / BC ) ) = d . Kẻ GH // AB, GK // AC ⇒ GH ⊥ GK . Ta có GH = AB =
1
3

GK =

a
và
3

1
a 3
AC =
. Do GA / ⊥ ( GHK ) nên tứ diện G. A / HK là tứ diện vuông, suy ra
3
3

1
1
1
1
3
9
3
51
2a
= / 2 +
+
= 2 + 2 + 2 = 2 ⇔d=
.
2
2
2
d
AG
GH
GK
4a
a
a
4a
51

Ví dụ 4.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
điểm S trên (ABCD) trùng với trọng tâm G của tam giác ABD, cạnh SD tạo với

đáy một góc 60 0 . Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a.
Phân tích

7


Vì G là trọng tâm của tam gác ADB có dấu hiệu về tỉ số, tìm khoảng cách A đến
(SBC) quy về tính khoảng cách từ G đến (SBC).
Nhờ bài toán 4 về tỉ số khoảng cách mà ta không phải tìm hình chiếu của điểm A
trên mặt phẳng (SBC), đồng thời kết hợp với Bài toán 1 vì tứ diện G.SCJ là Gtứ
diện vuông GS, GC, GJ đôi một vuông góc.
Hướng dẫn :
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD,

S

SG ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SD, ( ABCD ) ) = ∠SDG = 600 .
2
3

Gọi I là trung điểm của AB ta có DG = DI =
và SG = DG. tan 60 0 =

a 15
.
3

Theo Bài toán 4 ta có
⇔ d ( A, ( SBC ) ) =

a 5
3

d ( A; ( SBC ) )

d ( G; ( SBC ) )

=

AC 3
=
GC 2

B

J

C

I

3
3
d ( G , ( SBC ) ) = d
2
2

G
A

D

Kẻ GJ//BD, J ∈ BC ⇒ GJ ⊥ GC mà GS ⊥ ( GIC ) suy ra G.SCJ là tam diện vuông đỉnh
G. Do tam giác GJC vuông cân đỉnh G nên GJ = GC.
⇒

1
1
1
1
1
1
1
2a 5
=
+
+
=
+
+
=
3 5a
2
2
2
2
2
2
2
d

SG GC GJ
15a  2
57 ⇒d ( A; ( SBC ) ) =
 2

57
 a 2÷  a 2÷
3
 3


Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ 5.
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45 0 Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
(Trích đề thi THPT Quốc Gia 2015).

8


Hướng dẫn
Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC cắt AD tại M.
 BM ⊂ ( SBM )
⇒ d ( AC ; SB ) = d ( AC ; ( SBM ) ) = d ( A; ( SBM ) ) = d .
 AC // ( SBM )

Khi đó 

Ta nhận thấy tứ diện S.ABM có AS, AB, AM đôi một vuông góc

Theo Bài toán 1 ta có

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
d
AS
AB
AM 2

S

Mà SA=AC= a 2 ( vì ( SC , ( ABCD ) ) = ∠SCA = 450 );
M

AB = a; BM = a
⇒

1
1
=
2
d

a 2

(

)

2

+

Vậy d ( SB; AC ) =

1
1
5
a 10
+ 2 = 2 ⇔d=
2
5
a
a
2a

A
B

a 10
.
5

Ví dụ 6.

D

C

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB = 2a; BD =

3AC mặt

bên SAB là tam cân tại đỉnh A. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng
đáy trùng với trung điểm H của AI. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và
CD.
Hướng dẫn

S

Tam giác SAB cân tại A suy ra SA = AB = 2a.
Ta có BD = 3 AC ⇒ BI = 3 AI = 3.x
Với x = AI (x > 0). Mà AI 2 + BI 2 = AB 2
nên x 2 + 3x 2 = 4a 2 ⇔ x = a .
Khi đó SH 2 = SA2 − AH 2 = 4a 2 −

a 2 15a 2
=
4
4

A

E

⇔ SH =

a 15
2

B

D
H

I

C

9


Vì CD//(SAB), dẫn đến d ( CD; SB ) = d ( CD; ( SAB ) ) = d ( C ; ( SAB ) ) .
d ( C ; ( SAB ) )

CA

Sử dụng bài toán tỉ số khoảng cách d ( H ; ( SAB ) ) = HA = 4 ( Vì H là trung điểm của
IA) hay d ( C; ( SAB ) ) = 4d ( H ; ( SAB ) ) = 4d
1
2

Gọi E là trung điểm của AB ⇒ EH ⊥ AH ; EH = IB =

a 3
. Từ đó ta thấy tứ
2

diện S.HAE vuông đỉnh H. Ta có
1
1
1
1
1
1
1
28
=
+
+
=
+ 2 + 2 = 2
a 35
2
2
2
2
2
d
SH
AH
HE
15a

a
3a
5a ⇔ d =
.
14
4
4
4

Vậy d ( CD; SB ) =

2 35
a.
7

Ví dụ 7.
Cho lăng trụ đứng ABCA' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a cạnh
bên AA' = a 2. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và B’C
(Trích Câu V.b.2 đề thi Đại học khối D năm 2008).
C'

A'

Hướng dẫn
Từ giả thuyết tam giác ABC vuông ở B.

B'

Gọi N là trung điểm của BB ' thì MN là

đường trung bình của tam giác BCB ' .
'
'
Từ MN// CB ⇒ CB / / ( AMN )

(

)

(

)

(

⇒ d AM ; CB ' = d CB ' ; ( AMN ) = d B ' ; ( AMN )

(

N

)

)

d B ' ; ( AMN )
B' N
=
=1
Mặt khác

d ( B; ( AMN ) )
BN

A

C

M

nên d ( AM ; B ' C ) = d ( B; ( AMN ) ) = d .

B

10


Vì tứ diện BAMN có BA, BN, BM đôi một vuông góc nên theo Bài toán 1 ta có
1
1
1
1
7
a 7
=
+
+
= 2 ⇒d =
.
2
2

2
2
7
d
BA
BN
BM
a

Ví dụ 8.
Cho hình chóp

S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = 2a,

BC = a 2 , AC = a 6 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là

trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG=2a. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AC và SB theo a.
Hướng dẫn
Vì CD 2 + BC 2 = 4a 2 + 2a 2 = 6a 2 = AC 2 nên ABCD là hình chữ nhật.
S

Kẻ đường thẳng qua B song song với AC cắt DC và
AD tại I và J .
Qua G kẻ GH // ID ( H ∈ BI ) , GK / / AD ( K ∈ BJ )
⇒ GH ⊥ GK dẫn đến tứ diện G.SHK là

tứ diện vuông tại đỉnh G.

I

C

D

D

Do AC // (SIJ) và SB ⊂ ( SIJ ) , nên d ( AC; SB ) = d ( AC; ( SIJ ) ) = d ( G; ( SIJ ) ) = d ( G; ( SHK ) ) = d
G

H

Do GH = AB= 2a; GK = BC = a 2 nên

B

1
1
1
1
1
1
1
1
=
+
+
= 2 + 2 + 2 = 2
2
2

2
2
d
GS
GH
GK
4a
4a
2a
a

A
K

J

⇒ d = a. Vậy d(AC;SB) = a.
Ví dụ 9.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC = a 3 . Hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho
SC= 3IC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc
với SC.

11


Hướng dẫn
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD suy ra SO ⊥ ( ABCD ) . Ta có
AC =
⇒

AB 2 + BC 2 = 2a ⇒ OC = a và AI ⊥ SC ⇒ ∆SOC đồng dạng ∆AIC

CI CA
=
⇒ SC = a 6 ⇒ SO = a 5 .
CO CS

S

Kẻ IM//SB (M∈ BC ) ⇒ SB / /( AIM )
⇒ d ( SB; AI ) = d ( SB; ( AIM ) ) = d ( B; ( AIM ) )

Kẻ IH//SO H ∈ OC ) ⇒ IH ⊥ ( ABCD)
HC IC 1
=
= .
và
OC SC 3

I

A

D

d ( B; ( AIM ) )

O

BM H SI
=
=
=2
Ta sử dụng bài toán về tỉ số khoảng cách
B
d ( C ; ( AIM ) ) M CM IC C
E

F

⇔ d ( B; ( AIM ) ) = 2d ( C ; ( AIM ) )
d ( C ; ( AIM ) )

CA

6

6

Mà d ( H ; ( AIM ) ) = HA = 5 ⇔ d ( C; ( AMI ) ) = 5 d ( H ; ( AIM ) )
⇒ d ( B; ( AIM ) ) =

12
12
d ( H ; ( AIM ) ) = d .
5
5

Kẻ EH//AD ;HF//DC ( E , F ∈ AM ) ⇒ EH ⊥ HF ; HI ⊥ ( HEF ) ⇒ Tứ diện H.IEF là tứ

diện vuông tại H. Ta có
1
3

(với HI = SO =

1
1
1
1
297
5a
=
+
+
=
⇔d=
2
2
2
2
2
d
HI
HE
HF
25a
3 33

a 5

5
5 1
5a 3
5
5 1
5
; HE = MC = . BC =
; HF = MN = . AB = a )
3
6
6 3
18
4
4 3
12

12

5a

4a

=
Vậy d ( AI ; SB ) = 5 .
.
3 33
33

Dạng 2. Vận dụng Bài toán 2 và kết hợp với Bài toán 4.
Loại 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Ví dụ 10.

12


Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).

S

(Trích đề thi Đại Học khối B năm 2013)
Hướng dẫn

I

Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH ⊥ AB và
SH =

a 3
3

A

( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB
⇒ SH ⊥ ( ABCD )
SH ⊥ AB

D
H

Ta có 

K
B

C

Do AB // CD ⇒ AB // ( SCD ) ⇒ d ( A; ( SCD ) ) = d ( H ; ( SCD ) ) = d

Ta thấy tứ diện S. HCD có cạnh bên SH vuông góc với đáy (HCD), khi đó ta sử
dụng bài toán 2
Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu của H trên SK . Ta có
 HK ⊥ CD
⇒ CD ⊥ ( SHK ) ⇒ CD ⊥ HI mà HI ⊥ SK ⇒ HI ⊥ ( SCD )

SH ⊥ CD

Khi đó d = HI =

SH .HK
HK + SH
2

2

=

a 21
a 21

.
. Vậy d ( A; ( SCD ) ) =
7
7

Ví dụ 11.
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SD =

3a
, hình chiếu
2

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
(Trích đề thi Đại Học khối A năm 2014)
Hướng dẫn
Gọi H là trung điểm của cạnh AB suy ra SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ HD

13


⇒ SH = SD 2 − HD 2 = SH 2 − ( AD 2 + AH 2 ) = a
d ( A; ( SBD ) )

AB

Ta có d ( H ; ( SBD ) ) = HB = 2 (H là trung điểm AB)

S

⇒ d ( A; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) )
Ta lại nhận thấy tứ diện S.HBD là tứ diện
có SH vuông góc với mặt đáy (HBD),
do đó có thể vận dụng bài toán 2.

E

Gọi K là hình chiếu của H trên BD

A
D
H

và E là hình chiếu của H trên SK. Ta có

K
K

 BD ⊥ HK
 BD ⊥B HE
⇒ BD ⊥ ( SHK ) ⇒ BD ⊥ HE ; 
⇒ HE ⊥ ( SBD )

 BD ⊥ SH
SK ⊥ HE

C

a 2
·

Suy ra d ( H ; ( SBD ) ) = HE = d . Ta có HK = HB.sin HBD
=
.
4

Suy ra HE =

SH .HK
SH + HK
2

2

=

a
2a
d ( A; ( SBD ) ) =
.
Vậy
.
3
3

Ví dụ 12.
Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc
của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa A’C và đáy là
60 0 . Tính khoảng từ B đến mặt phẳng (ACC’A’).

(Trích đề thi Đại Học khối B năm 2014)

Hướng dẫn

A'

C'

Gọi H là trung điểm của cạnh AB ⇒ A / H ⊥ ( ABC )
và A/ CH = 600 . Do đó A/ H = CH . tan ∠A/ CH =
Theo Bài toán 4 ta có

3a
.
2

B'

) ) BA
( (
=
=2
d ( H ; ( ACC A ) ) HA
d B; ACC / A/
/

K

/

A

I
C
H

14

B


( (

⇔ d B; ACC / A/

) ) = 2d ( H ; ( ACC A ) ) = 2d ( H ; ( AA C ) )
/

/

/

Ta nhận thấy tứ diện A / .HAC có cạnh bên A / H
vuông góc với đáy (HAC) do đó có thể vận dụng bài toán 2.
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên AC; K là hình chiếu vuông góc của H trên
A / I . Ta có
 AC ⊥ IH
 AC ⊥ HK
⇒ AC ⊥ ( A / HI ) ⇒ AC ⊥ HK ;  /
⇒ HK ⊥ AA / C

/

 AC ⊥ A H
 A I ⊥ HK

(

)

⇒ d ( H ; ( AA / C ) ) = HK = d .
Ta có HI = AH . sin ∠IAH =
Vậy d ( B; ( ACC / A / ) ) =

a 3 HK =
;
4

IH . A / H
IH 2 + A / H 2

=

3 13.a
26

3 13.a
.
13

Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ 13.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB=BC=2a,

hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là
trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và SN theo a.
(Trích CâuIV đề thi Đại học khối A năm 2011)
Phân tích.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN ta sẽ quy về tính khoảng cách
giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng cách trong mặt phẳng (ABC) kẻ
đường thẳng ∆ đi qua N và song song với AB.
Khi đó d ( AB; SN ) = d ( AB; mp( S , ∆ ) ) = d ( A; mp( S , ∆ ) ) . Vì SA ⊥ ( ABC )

15


(hay mp(A, ∆ )) nên theo cách xác định Bài toán 2, hạ AQ ⊥ ∆( Q ∈ ∆ ) ,
AH ⊥ SQ( H ∈ SQ ) thì d ( AB; SN ) = d ( A; mp( S , ∆ ) ) = AH .
S

Hướng dẫn. Từ giả thuyết ta có AS ⊥ ( ABC ) .
Mà AB ⊥ BC nên SB ⊥ BC ⇒ góc giữa hai

H

mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SBA = 600
⇒ SA = AB. tan 60 0 = 2a 3 .

Q

Suy ra MN//BC, nên N là trung điểm của AC.

N

A

C

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và song song với AB.
Hạ AQ ⊥ ∆ , ( Q ∈ ∆ ) . Ta có AB//(SQN) ⇒ d ( AB; SN ) = d ( AB; ( SQN ) ) = d ( A; ( SQN ) ) . Hạ
M

B
AH ⊥ SQ, ( H ∈ SQ ) . Vì QN ⊥ AQ, QN ⊥ SA nên QN ⊥ ( SAQ ) ⇒ ( SQN
) ⊥ ( SAQ ) .

⇒ AH ⊥ ( SQN ) . Do đó d ( AB; SN ) = AH . Vì AQ = MN =

1
BC = a nên
2

1
1
1
13
=
+
=
.
2
2

2
AH
SA
AQ
12a 2

Vậy d ( AB; SN ) = AH =

2a 39
.
13

Ví dụ 14.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa
SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 . Tính khoảng cách giữa SA và BC theo a.
(Trích Câu 5 đề thi Đại học khối A năm 2012)
S

Hướng dẫn
Ta có góc giữa SC và (ABC) là góc ∠SCH = 600 .
Gọi D là trung điểm của cạnh AB ta có
K

A

C

N
x

16

D

H

B


HD =

a
a 3
a 7
, CD =
, HC = HD 2 + DC 2 =
,
6
2
3

SH = HC.tan 600 =

a 21
3

Kẻ Ax // BC ta có
 BC / / ( S , Ax )
⇒ d ( BC ; SA ) = d ( BC ; ( S , Ax ) ) = d ( B; ( S , Ax ) ) .


 SA ⊂ ( S . Ax )

Ta nhận thấy việc tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAx ) thông qua tính
khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SAx ) nhờ Bài toán 4.
d ( B; ( SAx ) )

d ( H ; ( SAx ) )

=

BA 3
3
= ⇔ d ( B; ( SAx ) ) = d ( H ; ( SAx ) ) .
HA 2
2

Mặt khác ta có hình chóp S.HAQ có cạnh bên SH vuông góc với đáy ( SAQ )
Theo Bài toán 2.
Gọi N là hình chiếu vuông góc của H trên Ax, K là hình chiếu của H trên SN ta có
 Ax ⊥ NH
⇒ Ax ⊥ ( SHN ) ⇒ Ax ⊥ HK mà HK ⊥ SN ⇒ HK ⊥ ( SAx )

 Ax ⊥ SH

⇒ d ( H , ( SAx ) ) = HK . Ta có AH = 2a ; HN = AH . sin 60 = a 3 ;
3

HK =

SH .HN
SH + HN
2

2

=

3

a 42
a 42
. Vậy d ( BC; SA) =
.
12
8

Dạng 3. Vận dụng Bài toán 3 và kết hợp với Bài toán 4.
Ví dụ 15.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC vuông góc với
mặt đáy (ABCD), SC = a 2 . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAB).

17


Phân tích
Quy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) về khoảng cách từ C đến mặt phẳng
(SAB), khoảng cách này tính được theo bài toán 3.
Hướng dẫn. Theo Bài toán 4 ta có

d ( O; ( SAB ) ) OA 1
1
=
= ⇔ d ( O; ( SAB ) ) = d ( C ; ( SAB ) ) .
d ( C ; ( SAB ) ) CA 2
2

S

Ta nhận thấy hình chóp S.CAB có
SC ⊥ (CBA) và tam giác ABC vuông tại B,
đây chính là Bài toán 3.
Vì AB ⊥ SC , AB ⊥ CB nên AB ⊥ ( SBC ) .

L
C

Do đó ( SAB ) ⊥ ( SBC ) . Hạ CL ⊥ SB( L ∈ SB )
thì CL ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( C; ( SAB ) ) = CL .
Ta có

D

O

B

A

1

1
1
1
1
3
a 6
a 6
=
+
= 2 + 2 = 2 . ⇒ CL =
⇒ d ( O; ( SAB ) ) =
.
2
2
2
CL
CS
CB
2a
a
2a
3
6

BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A / B / C / D / có AB=2a, BC= 2a, AA / = a . Lấy điểm M
trên cạnh AD sao cho AM=3MD. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( AB / C ) .
2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang, AB//CD. Tam giác ABC vuông tại
A, AB=a, BC= CD= 2a, SA=SB=SC= a 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SC.

3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ∠ABC = 30 0 , SBC là tam
giác đều cạnh a và mặt bên (SBC) vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ C đến
mặt phẳng (SAB). (Trích đề thi Đại Học khối A năm 2013)
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với đáy, ∠BAD = 120 0 . M là trung điểm của cạnh BC và ∠SMA = 45 0 . Tính
khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) theo a.

18


(Trích Câu 5 đề thi Đại học khối D năm 2013)
5. Cho hình hộp đứng ABCD. A / B / C / D / có đáy là hình vuông, tam giác AA / C vuông
cân A / C = a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD / theo a.
(Trích Câu 5 đề thi Đại học khối D năm 2012)
6. Cho lăng trụ ABCD. A1 B1C1 D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a AD = a 3 .
Hình chiếu vuông góc của A1 lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC
và BD. Góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và mặt phẳng ( ABCD) là 60 0 . Tính
khoảng cách B1 đên mặt phẳng ( A1 BD) theo a.
(Trích Câu 5 đề thi Đại học khối B năm 2011)
C. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1. Kết quả nghiên cứu.
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài, t«i tiến hành kiểm tra trªn hai
®èi tîng cã chÊt lîng t¬ng ®¬ng lµ líp 11C1 vµ 11C3. Trong ®ã líp
11C3 cha ®îc giíi thiÖu Rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các tứ
diện cơ bản và kết hợp với bai toán tỉ số khoảng cách để giải một số bài toán tìm
khoảng cách. Víi h×nh thøc kiÓm tra lµ lµm bµi 45 phót víi c©u hái
nh nhau.
ĐỀ KIỂM TRA (45’)
Câu I (4 điểm) Cho khối lăng trụ đứng ABC. A / B / C / có đáy ABC là tam giác vuông
tại B với AB = a, AA / = 2a, A / C = 3a . Gọi M là trung điểm của cạnh C / A / , I là giao

điểm của hai đường thẳng AM và A / C . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (IBC).
C©u II (6 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB = a, AD = 2 2a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD)
trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt p

19


hẳng (ABCD) một góc 450. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo
a.
KÕt qu¶ thu ®îc nh sau:
Lớp
Lớp 11C1
Lớp 11C3

Sỹ số
42
38

Điểm < 5
Số lượng
%
5%
2
13
34%

Điểm ∈[5; 8)
Số lượng

%
23
53%
20
53%

Điểm ≥ 8
Số lượng
%
18
42%
5
13%

2. Bài học kinh nghiệm.
Qua đề tài này tôi thu được một số bài học:
- Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau.
- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất.
- Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ, cô đọng.
KẾT LUẬN
Việc rèn luyện cho hoc sinh kĩ năng vận dụng các tứ diện cơ bản và
kết hợp với bài toán tỉ số khoảng cách để giải một số bài toán tìm khoảng cách.có
thể biến các bài tập phức tạp thành các bài tập đơn giản hơn đối với học sinh, đặc
biệt là đối với học sinh không thực sự có tính sáng tạo cao, tư duy không thật tốt,
đối với học sinh có lực học trung bình khá trở xuống .
Thông qua việc quy các bài toán lạ, phức tạp của khoảng cách trong không
gian về các bài tập đơn giản, quen thuộc, học sinh sẽ dần khắc phục được tâm lí
“sợ” học hình học không gian, tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng sáng tạo
trong học tập.
Tôi đã ứng dụng sáng kiến này vào giảng dạy ôn thi đại học ở các lớp 11C 1,

11C3 trường THPT Dương Đình Nghệ và đã cho kết quả tốt. Học sinh sau quá trình
làm quen đã rất hào hứng với các bài tập phần hình học không gian, và gần như học
sinh có thể giải quyết triệt để các bài tập của phần này.
Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên trong phạm vi bài viết, tôi cũng chỉ mới
giải quyết một số dạng toán. Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có
cách khác thác tốt hơn cho các bài toán thuộc thể loại này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ.

Thanh Hóa, ngày.... tháng 05năm2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung

20


của người khác.

Lê Văn Lâm

21