Một vài kinh nghiệm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn vào dạy chương phương trình, hệ phương trình đại số 10 thpt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT VÀI KINH NGHIỆM ĐƯA CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI
DUNG THỰC TIỄN VÀ LIÊN MÔN VÀO DẠY CHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI SỐ 10 – THPT

Người thực hiện: Ngô Thị Duyên
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán học

THANH HOÁ NĂM 2016


I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục
tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Mục tiêu
của giáo dục trong thế kỉ 21 là học để biết, học để làm, học để cùng chung sống,
học để khẳng định mình. Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực
tế trong dạy học toán là rất cần thiết.
Toán học có vai trò quan trọng không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự
liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục
tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của
con người và ngược lại toán học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và
khám phá thế giới tự nhiên.
Để đáp ứng được những đòi hỏi càng cao của nền kinh tế tri thức và sự

phát triển của khoa học thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường chúng ta
phải dạy cho học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức thông qua các trải nghiệm thực
tế, gắn bài học với thực tế cuộc sống làm cho bài giảng thêm sinh động, lí thú. Qua
đó có thể tạo ra những con người lao động tự chủ, năng động, sáng tạo và có
năng lực để đáp ứng được những yêu cầu về nguồn lực nhằm thúc đẩy cho mục
tiêu phát triển kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì thế dạy
học toán ở trường THPT phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập
chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư
duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức toán
học vào môn khác, vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường
xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản
xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông.
Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và
ý thức ứng dụng toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi
ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường
xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán
học không trừu tượng và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để
giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại, qua đó càng làm
nổi bật nguyên lý: “ Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản
xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình
và giáo dục xã hội ”. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “ Một vài kinh nghiệm đưa
các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn vào dạy chương phương trình, hệ
phương trình Đại số 10 – THPT ”.
2.
Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của SKKN là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn vận
dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học chương Phương trình, hệ
phương trình môn toán 10 - THPT.
Phân tích và hướng dẫn giải bài toán có nội dung thực tiễn thể hiện mối

2


liên hệ với phương trình, hệ phương trình đã được đưa vào giảng dạy ở THPT qua
đó thấy được ý nghĩa “ Học đi đôi với hành ”.
Biết vận dụng phương trình, hệ phương trình trong toán học để giải một số
bài toán trong thực tế, góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn
toán ở trường THPT.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, những đối tượng nghiên cứu của
SKKN là:
a. Nghiên cứu về tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học.
b. Toán học liên hệ với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong nội dung
chương phương trình, hệ phương trình – Đại số 10 THPT.
c. Thực tiễn dạy học môn toán 10 và vấn đề vận dụng phương trình, hệ
phương trình vào giảng dạy các bài toán có nội dung thực tiễn.
d. Đề xuất một số bài toán thực tiễn, liên môn có thể áp dụng vào dạy học
chương phương trình, hệ phương trình – Đại số 10 THPT
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
• Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa và các tài liệu tham khảo
có liên quan.
• Phương pháp tạo tình huống có vấn đề.
• Phương pháp quan sát sư phạm.
• Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế cho thấy, toán học đã đưa lại nhiều kết quả đáng kể, trong đó có kinh
tế học. Đó là những ứng dụng hàng ngày thông qua vấn đề tổ chức và quản lí sản
xuất. Ai cũng biết rằng không phải chỉ cần có kỹ thuật cao, máy móc hiện đại là

sản xuất tốt mà trọng tâm của vấn đề là phải biết tổ chức và quản lí sản xuất một
cách khoa học để phát huy được đầy đủ hiệu quả của kỹ thuật và máy móc ấy.
Đứng trước một vấn đề tổ chức sản xuất người ta có thể đưa ra rất nhiều
phương án giải quyết khác nhau và đương nhiên bao giờ cũng chọn phượng án
tốt nhất. Bài toán về “ sự lựa chọn” ấy đã được một số nhà khoa học chú ý
nghiên cứu tỉ mỉ, chi tiết và kết quả nghiên đó có ý nghĩa rất lớn đối với sản xuất
đồng thời có thể áp dụng trong hầu hết các lĩnh vực kinh tế: công nghiệp, nông
nghiệp, giao thông vận tải…
Trong công nghiệp việc đưa vào lý thuyết phương trình tuyến tính để
đặt kế hoạch sản xuất hợp lý nhằm tập trung thiết bị, tiết kiệm thời gian, giảm
nguyên liệu.
Ví dụ 1: Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lô hàng, theo đó
mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân
xưởng đã may được 120 áo mỗi ngày. Do đó, phân xưởng không những đã hoàn
3


thành kế hoạch trước thời hạn 9 ngày mà còn may thêm được 60 áo. Hỏi theo kế
hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu áo?
Phân tích:
Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Mối quan hệ giữa chúng :
+ Số lượng áo may trong một ngày x Số ngày may = Tổng số áo may.
+ Toán học hoá các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng.
+ Chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết.
+ Ta chọn x là số ngày may theo kế hoạch
Khi đó tổng số áo may là 90x, nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên số ngày
may là x - 9 và tổng số áo may là: 120(x - 9).
Từ đó ta có, quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kế
hoạch được biểu thị bởi phương trình:
120 ( x - 9) = 90x + 60 ⇔ x = 38

Vậy kế hoạch may áo ban đầu của xưởng may là 38 ngày.
Trong nông nghiệp có thể áp dụng phương trình tuyến tính để cải tiến các
kế hoạch trồng trọt, chăn nuôi nhằm tận dụng năng xuất các loại đất, nâng cao
mức thu hoạch…
Ví dụ 2: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống
cũ . Thu hoạch tất cả được 460 tấn thóc. Hỏi năng xuất mỗi loại lúa trên 1 ha là
bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ
là một tấn.
Giải:
+ Gọi năng xuất trên 1 ha của lúa giống mới là x ( tấn), x > 0
+ Gọi năng xuất trên 1 ha của lúa giống cũ là y ( tấn), y> 0
60 x + 40 y = 460  x = 5
⇔
+ Ta có hệ phương trình 
4
y
−
3
x
=
1

y = 4
Vậy:
Năng suất 1 ha lúa giống mới là 5 tấn.
Năng suất 1 ha lúa giống cũ là 4 tấn.
Trong giao thông vận tải dùng phương trình tuyến tính để chọn phương án
vận chuyển tiết kiệm nhất, giảm bớt các quãng đường chạy không, chọn phương
án hợp lí để giảm bớt thời gian quay vòng…
Ví dụ 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một thời gian nhất

định. Nếu chạy với vận tốc 45 km/h thì đến B chậm mất

1
giờ. Nếu chạy với vận
2

tốc 60 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự
định lúc đầu.
Giải:
4


+ Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0), thời gian dự định là t giờ
( t > 0 ).
x
x
+ Như vậy thời gian đi lúc ban đầu là
, lúc sau là
.
45
60
1
3
+ Theo bài ra thời gian lúc đầu là t + , còn lúc sau là t - .
2
4
 1 x
t + 2 = 45
t = 4,5
⇔

+ Từ đó ta có hệ phương trình : 
 x = 225
t − 3 = x
 4 60
Như vậy, trong việc dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ
phương trình khâu mấu chốt là dạy cho học sinh biết lập phương trình xuất phát
tình huống thực tế của bài toán. Để làm được điều đó, điều quan trọng là tập cho
học sinh biết xem xét những đại lượng trong những mối liên quan với nhau, phát
hiện ra những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về
lượng giữa chúng để trên cơ sở đó mà lập được phương trình.
Những mối liên hệ giữa những đại lượng trong bài toán có thể chia thành
hai loại: loại thứ nhất là những mối liên hệ cụ thể ở bài toán đó và loại thứ hai là
những mối liên hệ tổng quát có tính chất qui luật.
Thuộc về loại thứ nhất có thể kể :
- Năng xuất dự kiến + 5 = năng xuất thực tế.
- Thời gian dự kiến - 6 = Thời gian thực tế.
…
Thuộc loại liên hệ thứ hai có thể nêu:
- Tổng sản lượng = năng xuất x thời gian sản xuất.
- Đường đi = vận tốc x thời gian (trong chuyển động thẳng đều).
- Nửa chu vi hình chữ nhật = chiều dài + chiều rộng.
…
Ta xét ví dụ sau;
“ Một xí nghiệp dự định sản suất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Do thi đua xí nghiệp đó đã tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi ngày và
do đó đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày. Tính năng suất dự định
của xí nghiệp đó”.
Phân tích:
Trước hết ta có thể hướng dẫn học sinh kí hiệu x là năng suất dự kiến của
xí nghiệp. Bằng cách gọi ra mối liên hệ “ năng suất dự kiến cộng thêm 5 bằng

năng suất thực tế, ta có thể dẫn họ đi đến biểu thị năng suất thực tế qua năng
xuất dự kiến là: x + 5. Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối liên hệ “ Tổng
sản lượng bằng năng suất nhân với thời gian sản xuất, có thể dẫn dắt học sinh
600
600
biểu thị thời gian dự kiến là
và thời gian sản xuất thực tế là
”. Bằng
x
x+5
5


cách gợi ý mối liên hệ “ Thời gian dự kiến bớt đi 6 ngày bằng thời gian sản xuất
600
600
−6=
thực tế”, ta có thể giúp học sinh đi đến lập phương trình:
x
x+5
Trong khi những mối liên hệ loại thứ nhất được nêu ra trong đề toán thì
những mối liên hệ loại thứ hai được coi là những kiến thức học sinh phải nắm
vững, những mối liên hệ này không được nêu ra trong bài toán, học sinh cần dựa
vào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra chúng.
Người thầy giáo cần nhấn mạnh cho học sinh, thấy rằng phát hiện những
mối liên hệ giữa những đại lượng trong bài toán là cơ sở để lập phương trình
giải bài toán đó. Làm như vậy cũng là tập dượt cho học sinh biết xem xét sự vật
trong mối liên hệ với nhau chứ không tách rời nhau một cách cô lập, đó là một
yếu tố của tư duy biện chứng.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Việc dạy học toán ở nhà trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình
trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống. Mối liên hệ toán
học với thực tế là còn yếu, học sinh ít được toán học hoá các tình huống trong
thực tiễn cuộc sống. Thực trạng ấy, theo tôi có thể do những nguyên nhân sau:
+ Tất cả các sách giáo khoa môn toán và tài liêu tham khảo ít đề cập đến
các ứng dụng trong các lĩnh vực ngoài toán học mà hầu như chỉ tập trung chú ý
tới các ứng dụng có tính chất nội bộ môn toán.
+ Các đề thi toán còn hạn chế trong việc đưa các bài toán thực tiễn nên
khi gặp các bài toán này học sinh thường lúng túng không biết chuyển ngôn ngữ
từ đề bài sang ngôn ngữ toán học dẫn đến bế tắc trong quá trình tìm lời giải.
Từ những nguyên nhân đó mà trong quá trình giảng dạy giáo viên còn dè
dặt trong việc dạy học sinh giải bài toán có nội dung thực tế nói chung và dạy
học sinh giải bài toán thực tế bằng cách lập phương trình và hệ phương trình nói
riêng.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Tóm tắt kiến thức cơ bản của chương III
- Khái niệm phương trình.
- Điều kiện của một phương trình.
- Phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương .
- Phương trình hệ quả.
- Giải và biện luận phương trình ax + b = 0.
2
- Giải và biện luận phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) .
- Định vi- ét ( thuận và đảo).
- Phương trình qui về phương trình bậc nhất, bậc hai.
- Phương trình, hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn.

6

2.3.2. Các ví dụ về bài toán có nội dung thực tế - liên môn được ứng dụng
trong lí thuyết và bài tập.
Trong thực tế đời sống, kỹ thuật, sản xuất có nhiều đại lượng biến đổi và
phụ thuộc lẫn nhau và ta phải tìm ra cụ thể hoặc là tất cả, hoặc là một trong các
đại lượng ấy. Để giải quyết các vấn đề ấy ta cần “ toán học hoá” các mối quan
hệ phụ thuộc giữa các đại lượng thành các phương trình, hệ phương trình. Khi
đó việc giải các phương trình, hệ phương trình, sẽ giúp ta giải quyết được những
vấn đề mà thực tiễn đòi hỏi.
Chúng ta quan tâm đến vấn đề: trong toán học phương trình, hệ phương trình
giúp con người giải quyết các bài toán thực tế như thế nào và việc hình thành kỹ
năng chuyển bài toán của thực tiễn thành các phương trình, hệ phương trình ở
học sinh.
Trong việc dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình khâu mấu chốt là
dạy cho học sinh biết lập phương trình xuất phát tình huống thực tế của bài toán.
Để làm được điều đó, điều quan trọng là tập cho học sinh biết xem xét những đại
lượng trong những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về
lượng giữa chúng để trên cơ sở đó mà lập được phương trình.
Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để
biểu thị những tình huống thực tế. Trong dạy học cần chú trọng cho học sinh lập
phương trình là tập luyện cho học sinh biểu thị những tình huống thực tế bằng
những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết.
Cần tập cho học sinh một mặt biết chuyển từ những tình huống thực tế sang
những biểu thức biểu thị chúng và mặt khác biết chuyển từ những biểu thức sang
những tình huống thực tế phù hợp với chúng, chính vì thế ta nên tiến hành theo
từng bước sau:
Bước 1: Đặt ấn số.
Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm.Thông thường bài toán yêu cầu tìm cái
gì ( các cái gì ) thì ta đặt cái đó (các cái đó ) làm ẩn ( các ẩn). Cũng có khi với
cách đặt ẩn mà phương trình lập nên quá phức tạp hoặc khó khăn thì cần thay
đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn. Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần

tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn.
Bước 2: Lập phương trình.
Sau khi đặt ẩn ( nêu điều kiện cho ẩn nếu có) ta tiến hành biểu thị các đại
lượng qua các số đã biết và ẩn số. Để lập được phương trình ( các phương trình)
ứng với bài toán cần giải, ta cố gắng hình dung thật cụ thể và rõ ràng điều kiện
của bài toán ( quan hệ giữa cái cần tìm, cái chưa biết và những cái đã cho).
Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần,
phiên dịch mỗi phần theo ngôn ngữ đại số, sắp xếp chúng theo một trình tự hợp
lí, sau đó kết hợp những phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một lượng bằng
hai cách khác nhau thành một đẳng thức. Như vậy ta sẽ có phương trình.
Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy
nhiêu phương trình. Cũng có những trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào
và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến phương trình nghiệm
7


nguyên . Cũng có khi với cách đặt ẩn như thế mà phương trình lập nên quá phức
tạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn. Ẩn mà ta
chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng
hơn.
Chú ý: Trong những bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình, hệ phương
trình có những đại lượng liên quan chặt chẽ với nhau, khi nói đến đại lượng này
ta phải nghĩ ngay đến đại lượng kia dù trong bài toán không nói đến đại lượng
quan hệ đó.
Bước 3: Trình tự các bước trong lời giải bài toán bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình
- Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn ( nếu có).
- Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho.
- Lập phương trình ( hệ phương trình).
- Chọn nghiệm thích hợp trả lời.

Vai trò của phương trình, hệ phương trình đối với đời sống thực tiễn được
thể hiện rất phong phú, đa dạng ở nhiều lĩnh vực, giúp con người giải quyết các
bài toán trong cuộc sống như về kinh tế, kỹ thuật,… Giáo viên có thể giúp học
sinh thấy rõ điều này thông qua một số ví dụ trích dẫn sau:
2.3.2.1. Toán năng xuất
Bài toán 1. Hai công nhân cùng làm một công việc thì sau 5giờ 50 phút
sẽ hoàn thành.Sau khi làm chung được 5 giờ thì một người phải điều đi làm việc
khác nên người kia phải làm tiếp trong 2 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu
một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu ?
Phân tích tìm lời giải:
Gọi x, y là số giờ mà mỗi người phải làm một mình sẽ xong công việc thì
1
trong giờ một người thứ nhất làm được
công việc và người thứ hai làm được
x
1
công việc ( x > 0, y > 0). Cả hai người cùng làm thì trong 5giờ 50 phút hay
y
1
5
=
5
5 giờ sẽ xong công việc thì trong một giờ họ làm được 5 35 công việc.
5
6
6
Từ đó ta lập hệ phương trình để giải.
Giải: Gọi số giờ mà mỗi người phải làm một mình xong công việc là x
1
giờ, y giờ ( x > 0, y > 0). Thì trong một giờ người thứ nhất làm được

công
x
1
việc, người thứ hai làm được
công việc. Cả hai người cùng làm xong công
y
8


1
35
việc trong 5giờ 50 phút bằng
giờ thì trong một giờ làm được 35 công việc
6
6
hay

1 1 6
6
công việc, ta có phương trình ( 1): + =
x y 35
35

1 1
Trong hai giờ làm chung cả hai người làm được 5( + ) công việc, và
x y
2
người còn lại làm một trong hai giờ tức là làm được công việc, ta có phương
y
1 1

2
trình ( 2): 5( + ) + = 1
x y
y
1 1 6
 x + y = 35
 x = 10

⇔
Theo đầu bài ta có hệ phương trình: 
5( 1 + 1 ) + 2 = 1  y = 14
 x y
y
Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất phải làm hết 10 giờ; người thứ
hai phải làm 14 giờ mới làm xong công việc.
Bài toán 2. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu
đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất
và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì
người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì
người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ?
Phân tích tìm lời giải:
Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x triệu đồng cho loại
hàng thứ nhất; y triệu đồng cho loại hàng thứ hai.
+ Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất ( kể cả thuế VAT 10%) là
110
108
x (triệu đồng) , cho loại hàng thứ hai ( kể cả thuế VAT 8%) là
y (triệu
100
100

đồng) .
110
108
x +
y = 2,17 ⇔ 1,1x + 1,08y = 2,17 (1)
+ Ta có phương trình:
100
100
+ Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là :
109
(x + y ) = 2,18 hay 1,09 x + 1,09 y = 2,18 (2)
100
+ Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình:
9


1,1x + 1,08 y = 2 ,17
 x = 0 ,5
⇔

1,09 x + 1,09 y = 2 ,18  y = 1,5
Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng
cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai .
Bài toán 3: Hai cần cẩu lớn bốc rỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ
có thêm năm cần cẩu bé ( công suất bé hơn) cùng làm việc. Cả bảy cần cẩu làm
việc 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong
việc. Biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4 giờ xong
việc.
Phân tích tìm lời giải:
+ Gọi thời gian nếu chỉ có một cần cẩu lớn làm xong việc là x ( giờ), x > 0

+ Gọi thời gian một cần cẩu bé làm một mình đến khi xong việc là y
( giờ).
+ Theo đầu bài hai cần cẩu lớn làm trong 6 giờ, còn năm cần cẩu bé làm
12 15
+ =1
trong 3 giờ thì xong việc. Do đó ta có phương trình (1):
x
y
Nếu bảy cần cẩu cũng làm từ đầu thì trong 4 giờ xong việc. Do đó ta lại có
2 5 1
+ =
phương trình (2):
x y 4
Giải hệ gồm hai phương trình (1) và (2) ta được (x ; y) = ( 24;30).
Vậy cần cẩu lớn làm một mình trong 24 giờ thì xong công việc, cần cầu bé
làm một mình trong 30 giờ thì xong việc.
Bài toán 4 ( Bài toán cổ ): Một người nói với bạn: “ Nếu anh đưa tôi 7
đina thì tôi sẽ giàu gấp anh 5 lần”, người bạn trả lời: “ Nếu anh cho tôi 5 đina thì
tôi sẽ giàu gấp anh 7 lần !”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu đina ?
Phân tích tìm lời giải:
Bài toán có hai người khi đó gọi số đina của người đầu là x, số đina của
người thứ hai là y ( x > 0, y > 0)
Với điều kiện đầu bài dẫn đến hệ phương trình:

2
x=7

 x + 7 = 5( y − 7 ) 
17
⇔


 y + 5 = 7(x − 5)  y = 9 14

17
2
14
Vậy người đầu có 7
đina, người thứ hai có 9
đina.
17
17
Bài toán này được lấy trong cuốn “Liberabaci” của nhà toán học Italia
Leonađơ Pizaxnki phibonaxi.
10


1
và giảm tài sản
3
do chi phí 100 bảng. Sau 3 năm ông nhận thấy gia tài tăng gấp đôi. Hỏi ban đầu
ông có bao nhiêu tiền ?
Phân tích tìm lời giải:
Ta nhận thấy rằng nội dung của bài toán chứa những mệnh đề cần phải
biểu thị bằng những biểu thức.
Thương gia có một số tiền: x ( bảng) ( x > 0)
Năm đầu tiên chi phí mất 100 bảng ,còn : x - 100 ( bảng)
1
x − 100
4 x − 400
Bảng số dư của ông ta tăng lên

: x – 100 +
hay
3
3
3
4 x − 400
4 x − 700
− 100 hay
Năm thứ hai ông lại chi phí 100 bảng nữa:
3
3
1 4 x − 700 4 x − 700
16 x − 2800
+
Và lại tăng số dư lên :
hay
3
3
9
9
16 x − 2800
16 x − 3700
Năm thứ ba ông lại chi phí 100 bảng:
- 100 hay
9
9
1 16 x − 3700 16 x − 3700
Và số dư cũng tăng lên
:
+

3
9
27
64 x − 14800
= 2x
Hơn nữa số tài sản gấp đôi lúc ban đầu:
27
Như vậy bài toán được biểu diễn dưới dạng phương trình đại số:
64 x − 14800
= 2x
27
Hay 64x – 14800 = 54x ⇔ 10x =14800 ⇔ x=1480. Vậy thương gia lúc đầu
có 1480 bảng.
Bài toán 5: Một thương gia hàng năm tăng tài sản lên

2.3.2.2. Thể hiện toán chuyển động.
Bài toán1. Một ôtô dự định đi quãng đường AB dài 60km trong một thời
gian nhất định. Trên nửa quãng đường đầu, do đường xấu nên ôtô chỉ đi với vận
tốc ít hơn dự định 6km. Để đến B đúng dự định, ôtô phải đi quãng đường còn lại
mỗi giờ hơn dự định 10km. Tìm thời gian dự định để ôtô đi hết quãng đường.
Phân tích lời giải: Nếu ta đặt ẩn là cái cần tìm ( thời gian dự định) thì
phương trình lập được rất cồng kềnh. Ta thay đổi bằng cách đặt ẩn phụ là vận
tốc dự định. Khi đó việc phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số dễ dàng hơn.
Tìm được vận tốc dự định ta có ngay thời gian vì đã biết quãng đường. Vậy ở
bài toán này ta tiến hành như sau:
Vận tốc dự định của ô tô: x ( x> 0)

11

60
x
Vận tốc nửa quãng đường đầu: x - 6
30
Thời gian đi:
x−6
Vận tốc nửa quãng đương sau: x + 10
30
Thời gian đi:
x + 10
30
30
60
+
=
Đến B đúng dự định:
( 1)
x − 6 x + 10 x
Giải phương trình (1) ta được x = 30( thỏa mãn)
Vậy thời gian dự định là 2 giờ.
Thời gian dự định :

Bài toán 2. Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36km.
Biết thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi
xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6km/h. Hỏi vận tốc của ca nô lúc xuôi
dòng và lúc ngược dòng ?
Phân tích tìm lời giải. Phiên dịch mỗi phần đề bài sang ngôn ngữ đại số
như sau:
Vận tốc ca nô lúc ngược dòng: x ( km/h) ( x > 0)
Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng : x + 6 (km/h)

Thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngược dòng 2 giờ:
 x = 9 (thoû
a maõ
n)
90
36
−
= 2 ⇔ x 2 − 21x + 108 = 0 ⇔ 
x+6 x
a maõ
n)
 x = 12 ( thoû
Suy ra vận tốc lúc ngược dòng là 9km/h và xuôi dòng là 15km/h hoặc vận
tốc lúc ngược dòng là 12km/h và xuô i dòng là 18km/h.
Khai thác bài toán ta có thể đưa ra và giải các bài toán tương tự bằng
cách:
1. Thay “ Thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ”
bằng “ Tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng là 10 giờ”. Còn các phần
khác của bài toán thì giữ nguyên.
2. Thay “ Hỏi vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng ? ” bằng
“ Hỏi thời gian của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng ? ” các khác thì vẫn
giữ nguyên.
Bài toán 3. ( Dành cho học sinh khá giỏi). Một chiếc xuồng nhỏ chở
những người du lịch phải hoàn thành một cuộc đi chơi dọc trên sông từ địa điểm
A đến B và ngược trở lại mà không vượt quá 3 giờ. Chiếc xuồng đó phải có vận
tốc riêng như thế nào, nếu vận tốc của nước sông là 5km/h, khoảng cách từ A
đến B là 28 km và xuồng dừng lại ở điểm B trong 40 phút.
Phân tích tìm lời giải:
Gọi vận tốc riêng của xuồng là: x( km/h).
12

Khi đó: xuồng sẽ chạy xuôi dòng với vận tốc: (x + 5 )km/h, xuồng sẽ chạy
ngược dòng với vận tốc: (x - 5) km/h.
Và toàn bộ cuộc hành trình, kể cả thời gian dừng lại ở điểm B sẽ diễn ra
28
28
2
+
+ ) giờ. Theo điều kiện : t ≤ 3
trong một thời gian: t = (
x+5 x−5 3
28
28
2
+
+ ≤3
Do đó:
x+5 x−5 3
Biết rằng vận tốc của xuồng lớn hơn vận tốc của nước, nghĩa là: x > 5 và
các số (x+5), (x - 5) đều dương . Bằng các phép biến đổi tương đương ta có bất
phương trình: x2 – 24 x – 25 ≥ 0 . Để tìm được vận tốc riêng của xuồng thì ta
phải giải bất phương trình trên.
2.3.2.3. Toán tăng trưởng.
Bài toán1: Dân số của một thành phố A sau hai năm tăng từ 2000000 lên
2048288 người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm
?
Phân tích tìm lời giải:
Ở bài toán này cần chú ý phân tích điều kiện ( sau hai năm…) ta tách ra
tính số dân tăng sau một năm ( sau khi đã chọn ẩn ), sau hai năm. Làm như vậy

việc phiên dịch ra ngôn ngữ đại số sẽ thuận lợi hơn. Cụ thể ta phân chia và sắp
xếp lại bài toán như sau:
Số phần trăm tăng dân số trung bình hằng năm là: x ( x%, x > 0)
x
= 20000 x
Số dân tăng của năm thứ nhất: 2000000
100
Số dân tăng của năm thứ hai: (2000000 + 20000x)

x
= 200 x(x + 100)
100

Sau hai năm tăng từ 2000000 lên 2048288 người:
2000000 + 20000 + 200.(x + 100) = 2048288
Từ phương trình lập được, giải ra ta có: ∆ = 101,2 và 2 nghiệm:
x= 1,2 và x = -201,2 (loại)
Suy ra dân số tăng trung bình hàng năm 1,2 %.
Khai thác bài toán: Có thể đưa ra và giải cho các bài toán tương tự về
tăng trưởng kinh tế, tăng hàng hoá xuất khẩu,…
Bài toán 2. Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được
720 tấn thóc . Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm
vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn
thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc ?
Phân tích tìm lời giải:
Gọi x (tấn) và y (tấn) là số tấn thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong
năm ngoái ( Đk: x > 0, y > 0)
Theo điều kiện đầu bài ta có:
13

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất thu hoạch được 720 tấn thóc, nghĩa là:
x + y = 720
(1)
Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, nghĩa là đơn vị thứ nhất thu
15 x 115 x
=
hoạch được: x +
(tấn)
100 100
12 y 112 y
=
Và đơn vị thứ hai thu hoạch được: y +
(tấn)
100 100
115 x 112 y
+
= 819 (2)
Và cả hai thu hoạch được 819 tấn, nghĩa là:
100
100
 x + y = 720
 x = 420

⇔
Ta có hệ phương trình: 115 x 112 y
 100 + 100 = 819  y = 300
Vậy năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được 420 tấn thóc,đơn vị thứ hai
thu thu hoạch được 300 tấn thóc.
Năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được 483 tấn thóc, đơn vị thứ hai thu

hoạch được 336 tấn thóc.
Bài toán 3. Bác Minh vay 2000000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế
gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi xong
bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm
đầu được gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai
năm bác phải trả tất cả là 2420000 đồng. Hỏi lãi xuất cho vay là bao nhiêu phần
trăm trong một năm ?
Phân tích tìm lời giải:
Gọi x(%) là lãi xuất ngân hàng cho vay trong một năm. (ĐK:x > 0)
x
= 20000 x ( đồng).
Khi đó, tiền lãi sau một năm là: 2000000.
100
Sau một năm đầu cả vốn lẫn lãi là: 2000000 + 20000x ( đồng)
Tiền lãi năm thứ hai sẽ là : 20000x + 200x2 (đồng)
Sau hai năm bác Minh phải trả cả vốn lẫn lãi cho ngân hàng là:
2000000+ 20000x + 20000x + 200x2 = 2000000 + 40000x + 200x2
Theo đề bài ta có phương trình:
2000000 + 40000x + 200 x2 = 2420000 ⇔ x2 + 200x - 2100 = 0
Giải phương trình ta được x = 10; x = - 210 (loại vì x >0) nên ta chọn
x=10. Vậy lãi xuất ngân hàng cho vay là 10%/ năm.
Bài toán 4. Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây
chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai do dây chuyền tứ nhất tăng năng xuất
18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền may được
1083 áo. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu bao
nhiêu áo sơ mi?
Phân tích tìm lời giải:
14

Gọi x, y lần lượt là số áo sơ mi dây chuyền thư nhất, thứ hai may được trong
ngày thứ nhất (ĐK x, y nguyên dương ). Ta có hệ phương trình sau:
 x + y = 930
 x = 450
⇔

1,18 x + 1,15 y = 1083  y = 480
2.3.2.4. Các bài toán có tính liên môn
Ý nghĩa của việc đặt và giải các phương trình, hệ phương trình không chỉ
thể hiện trong nội bộ môn toán mà còn thể hiện trong các môn học khác như vật
lý, hoá học, sinh học,…Phương trình, hệ phương trình là công cụ không thể
thiếu được khi giải quyết các vấn đề của môn học này được thông qua một số ví
dụ sau:
A. Thể hiện trong hoá học
Bài toán 1: Người ta hoà lẫn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lỏng
khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó 200kg/m 3 để được một hỗn hợp có khối
lượng riêng là 700kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Phân tích tìm lời giải:
Chú ý rằng bài tập đề cập đến vấn đề liên quan đến kiến thức vật lý, cụ
thể ta phải chú ý công thức liên quan đến khối lượng riêng. Khi đó ta có thể
phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số như sau:
Khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất x (x kg/m 3 , x > 200)
Khối lương riêng của chất lỏng thứ hai x - 200
0,008 0,006 0 ,014
+
=
Hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m 3 :
(1)
x
x − 200

700
Từ (1) giải phương trình bậc hai ta có nghiệm x = 800 và x = 200 ( loại).
Suy ra khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 800kg/m 3 , chất lỏng
thứ hai là 600kg/m 3 .
Khai thác bài toán.
Thay đổi điều kiện ta có bài toán tương tự, chẳng hạn thay câu a) được
một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m 3 “ bằng ” được một hỗn hợp có
thể tích 0,2 lít, các phần còn lại giữ nguyên,…
Bài toán 2: Cho một lượng chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200g nước thì
được một dung dịch 6% . Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho.
Phân tích tìm lời giải:
Qua bài toán ta chuyển sang ngôn ngữ đại số như sau:
Số gam dung dịch đã cho x ( x > 0)
10 x
Chứa 10% muối:
100
Thêm 200 gam nước : x + 200

15


10 x
6
=
(x + 200) (*)
100 100
Từ (*) giải PT bậc nhất ta được x = 300. Vậy có 300 gam dung dịch
Được dung dịch 6% :

Khai thác bài toán ta có thể thay đổi điều kiện hoặc thay đổi ẩn để có

những bài toán tương tự.
1. Cho một lượng dung dịch chứa m% muối. Nếu pha thêm gam nước thì
được dung dịch k% (m < k < bão hoà). Hỏi có bao nhiêu dung dịch đã cho?
2. Cho một lượng dung dịch chứa p% muối. Nếu pha thêm n gam muối q%
thì được một dung dịch r% . Hỏi có bao nhiêu dung dịch đã cho?
3. Cho m gam dung dịch chứa p % muối. Hỏi phải thêm vào bao nhiêu gam
muối để được dung dịch q %?
Bài toán 3: Tỉ lệ đồng trong loại quặng A nhỏ hơn tỉ lệ đồng trong loại
quặng B là 15% .Trộn hai loại quặng này được một hỗn hợp có 50% đồng. Khối
1
lượng của quặng A trong hỗn hợp 25 kg , của quặng B bằng khối lượng quặng
2
A. Tính tỉ lệ phần trăm đồng trong từng loại quặng.
Phân tích tìm lời giải:
Gọi tỉ lệ phần trăm đồng trong quặng loại A là x%
Gọi tỉ lệ phần trăm đồng trong quặng loại B là y% ( x > 0, y > 0).
Khối lượng đồng trong loại quặng A là 25x (kg).
1
Vì khối lượng quặng B bằng
khối lượng quặng A, nên khối lượng
2
quặng B là 12,5 (kg) và khối lượng y đồng trong quặng B là 12,5y ( kg).
Khối lượng quặng hỗn hợp do trộn hai loại quặng với nhau là
25 + 12,5 = 37,5 ( kg).
Và khối lượng đồng trong hỗn hợp là 37,5.50 (kg). Theo đầu bài ta có hệ
 y − x = 15
phương trình: 
25 x + 12 ,5 y = 37 ,5.50
Giải hệ trên ta tìm được x = 45%; y = 45%+15% = 60%
Vậy: Tỉ lệ phần trăm trong quặng A là 45%, trong quặng B là 60%.

B. Thể hiện trong vật lý.
Bài toán 1: Một đoạn mạch điện gồm một điện trở R mắc nối tiếp với
một linh kiện x mà hiệu điện thế giữa hai cực của x là U x = U = a I , với a là
một hằng số, y là cường độ dòng điện trong mạch. Biết hiệu điện thế đặt vào hai
đầu đoạn mạch có giá trị không đổi U . Hãy xác định cường độ dòng điện I
2V
trong mạch. Áp dụng với: U0 =24V, R= 5 Ω , a = 1
A2
Phân tích tìm lời giải:
CB

0

16


Theo bài ra ta có U0 = UR + Ux = IR + a I . Suy ra IR + a I - U0 = 0 (1)
Giải phương trình (1) bậc hai ẩn I ta được:

−a + a 2 + 4U 0 R
 I =
(thỏ
a mã
n)
(−a + a 2 + 4U 0 R )2
2R

2
⇒I =( I) =


2
4R2
−
a
−
a
+
4
U
R
0
 I =
(loại)

2R
.
Thay số với U0 = 24V; R = 5 Ω ;
2V
2
2
a = 1 thì I = (−2 + 2 + 4.24.5 ) = 4( A)
4.52
A2
Vậy cường độ dòng điện trong mạch bằng I = 4A
Bài tốn 2: Trên một mạch điện kín. Biết R1 = 0,25 Ω ; R2 = 0,36 Ω ; R3 =
0,45 Ω và U = 0,6V. Gọi I1 là cường độ dòng điện của mạch chính, I 2, I3 là cường
độ dòng điện của hai mạch rẽ. Tính I1, I2, I3 ( chính xác đến hàng phần trăm).
Phân tích tìm lời giải:
Coi ba ẩn là cường độ dòng điện mạch chính và cường độ dòng điện của
hai mạch rẽ phải tìm là ẩn số tương ứng là I1, I2, I3 . Ta chú ý đến quan hệ hiệu

điện thế và điện trở ,cường độ dòng điện. khi đó ta có hệ phương trình:
 I1 − I 2 − I 3 = 0
 I1 − I 2 − I 3 = 0


 I1 R1 + I 2 R2 = U ⇔ 0,25 I1 + 0,36 I 2 = 0,6
I R − I R = 0
0,36 I − 0,45 I = 0
2
3
 2 2 3 3


Giải hệ phương trình trên và qui tròn kết quả đến hàng phần trăm ta có:
I1 ≈ 1,33A; I2 ≈ 0,74 A; I3 ≈ 0,59 A.
C. Thể hiện sinh học.
Bài tốn 1: Ở một lồi thực vật, nếu các gen trên một nhiễm sắc thể
(NST) đều liên kết hồn tồn thì khi tự thụ phấn nó có khả năng tạo nên 1024
kiểu tổ hợp giao tử. Trong một thí nghiệm người ta thu được một số hợp tử . Cho
2
1
số hợp tử phân chia ba lần liên tiếp, số hợp tử phân chia hai lần liên tiếp,
3
4
còn bao nhiêu chỉ qua phân chia một lần.Sau khi phân chia số NST tổng cộng
của tất cả các hợp tử là 580. Hỏi số nỗn được thụ tinh?
Phân tích tìm lời giải:
Vì là thực vật tự thụ phấn nên có số kiểu giao tử là 1024 =32. Suy ra số
NST trong bộ NST 2n là 10. Gọi x là số hợp tử thu được trong thí nghiệm (x
cũng là số nỗn được thụ tinh ) khi đố ta có PT:

1 3 2 2
x 2x
580
29 x
x.2 + x.2 + (x − − ).2 =
⇔
= 58 ⇔ x = 12
4
3
4 3
10
6
Kết quả: vậy số nỗn được thụ tinh trong thí nghiệm là 12.
17


Bài toán 2: Lai hai cá thể đều dị hợp từ hai cặp gen, mỗi gen trên một
nhiễm sắc thể ( NST) thường. Tại vùng sinh sản trong cơ quan sinh dục của cá
thể đực có 4 tế bào A, B, C, D phân chia liên tiếp nhiều đợt để hình thành các tế
bào sinh dục sơ khai, sau đó tất cả đều qua vùng sinh trưởng và tới vùng chín để
hình thành giao tử. Số giao tử có nguồn gốc từ tế bào A sinh ra bằng tích số của
các tế bào sinh dục sơ khai do tế bào A và tế bào B sinh ra. Số giao tử do các tế
bào có nguồn gốc từ tế bào C sinh ra gấp đôi số giao tử có nguồn gốc từ tế bào
A. Số giao tử do các tế bào có nguồn gốc từ tế bào D sinh ra đúng bằng số tế bào
sinh dục sơ khai có nguồn gốc từ tế bào từ tế bào A. Tất cả các giao tử đều tham
gia thụ tinh nhưng chỉ có 80% đạt kết quả. Tính ra mỗi kiểu tổ hợp giao tử đã
thu được 6 hợp tử. nếu thời gian phân chia tại vùng sinh sản của các tế bào A, B,
C, D bằng nhau thì tốc độ phân chia của tế nào nhanh hơn và nhanh hơn bao
nhiêu lần?
Phân tích tìm lời giải:

Hai cá thể đều dị hợp tử 2 cặp gen, mỗi gen trên một NST thường do đó
các cặp gen phân li độc lập, vậy số kiểu giao tử là 22.22 = 16 (kiểu).
Số hợp tử thu được là 16.6 = 96 (hợp tử)
Vì hiệu quả thụ tinh là 80% nên số giao tử được hình thành là 90: 80% =
120 (giao tử).
Suy ra số tế bào sinh dục sơ khai đực tham gia phân là 120:4 = 30.
Gọi x, y, z, t lần lượt là số tế bào sinh dục sơ khai có nguồn gốc từ các tế
bào A,B,C,D. Khi đó ta có hệ phương trình:

 x + y + z + t = 30  x = 8


 xy = 4 x
y = 4
⇔

z = 2x
 z = 16
 4t = x
t = 2
Số lần phân bào tính theo công thức 2k (k là số phân bào) ta có:
kA=3, kB = 2, kC = 4, kD = 1.
Vậy tỉ lệ tốc độ phân bào của các tế bào A, B, C, D là: VA :VB:VD =3:2:4:1
Phương trình, hệ phương trình toán học còn có ý nghĩa thực tiễn trong
hoạt động giải trí của con người. “Thuật toán số ”là một trong các trò chơi thú vị
mà mấu chốt của nó là ở việc đặt ra và giải phương trình, hệ phương trình đại số
D. Thể hiện trong giải trí
Chẳng hạn những bài toán mà kết quả của nó cho ta biết về một mốc lịch
sử, một tên địa danh, một danh nhân, một sự kiện quan trọng của thế giới…
Bài toán 1. (Của Mêtrôđo - đoán tuổi).

Diophante là nhà toán học cổ HyLạp. Trên mộ ông người ta khắc một tấm
bia đá ghi tóm tắt cuộc ông như sau: “ Hỡi người qua đường nơi đây là nhà toán
học Diophante yên nghỉ. Những con số sau cho biết cuộc đời ông:
Một phần sáu cuộc đời là thời niên thiếu,
Một phần mười hai nữa trôi qua, râu trên cằm đã mọc.
18


Diophante lấy vợ, một phần bảy cuộc đời trong cảnh hiếm hoi
Năm năm trôi qua: ông sung sướng sinh con trai đầu lòng.
Nhưng cậu con trai chỉ sống được một nửa cuộc đời của cha.
Cuối cùng với nỗi buồn thương sâu sắc,
Ông cam chịu số phận sống thêm bốn năm nữa, sau khi con ông lìa đời ”.
Bạn thử tính xem, Diophante thọ bao nhiêu tuổi?
Phân tích tìm lời giải:
Gọi số tuổi chưa biết của nhà toán học Diophante là x .
Từ điều kiện đầu bài, dẫn đến giải phương trình:
1
1
1
1
x + x + x + 5 + x + 4 = x ⇔ x = 84 .
6
12
7
2
Do vậy Diophante sống được 84 tuổi.
Nói về cuộc đời của Mêtrôđo (người viết ra bài toán này) không ai biết rõ,
cả thời gian sinh và mất. Trong lịch sử, ông là tác giả các bài toán hay dưới dạng
thơ.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Thông qua tiến hành thực nghiệm trên lớp 10C4 và lớp đối chứng 10C3
đều cùng một ban cơ bản ban cơ bản với đề tài : “ Một vài kinh nghiệm đưa các
bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn vào dạy chương phương trình, hệ
phương trình Đại Số 10 – THPT ” tôi đã thu được một số kết quả sau:
+ Kết quả giờ luyện tập có khoảng 85% học sinh lớp 10C4 sinh rất hứng
thú với việc dạy học gắn liền toán học với thực tiễn, học sinh hiểu bài và thích
thú với tính thực tiễn của các bài toán phương trình và hệ phương, trong đó
khoảng 45% tiếp thu và thực hành giải toán nhanh trong giờ học.
+ Lớp 10C3 ít sử dụng các bài toán có tính thực tiễn thì chỉ khoảng 46%
đến 65% các em có hứng thứ khi giải các bài toán về phương trình và hệ
phương, số còn lại các em thụ động và không có biểu hiện thích thú với việc giải
toán liên quan đến hệ phương trình.
Để chứng minh tôi xin đưa ra một số kết quả sau:
Kết quả bài kiểm tra 1 tiết chương 3 của hai lớp 10C4, 10C3
Lớp

10C4
10C3

Số bài
kiểm
tra

Giỏi

Khá

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

40
37

5
6

12,5
16,2

13
19

32,5

17
12

42,5
32,4

5
0

12,5
0

0
0

51,4

Trung
bình

Yếu

Kém

%
0
0

Sau khi tiến hành nghiên cứu trên lớp 10C4 còn lớp 10C3 để đối chứng,

khi kiểm tra kết thúc chương 3 đại số 10 tôi đã thu được kết quả sau:
Lớp

10C4
10C3

Số bài
kiểm
tra

Giỏi

Khá

SL

%

SL

%

SL

%

SL

40
37

9
8

22,5
21,6

15
17

37,5

16
12

40,0
32,4

0
0

46,0

Trung bình

Yếu

%

Kém

SL
0
0

%
0
0
19


3.

Kết luận, kiến nghị
Kết luận chung
Thực tiễn trong hoạt động dạy học toán giáo viên cần chú ý đến việc rèn
luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, vào các môn học
khác, từ đó có thể tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập của
học sinh, đồng thời qua đó có thể thực hiện được một khâu quan trong trong đổi
mới được phương pháp dạy học đó là dạy học gắn liền với thực tế cuộc sống,
không dạy theo lối mòn, thụ động, nhàm chán và khô khan.
Kiến nghị
- Qua các phần học sinh được học, giáo viên nên xây dựng được mối liên hệ
giữa toán học với thực tiễn qua các khái niệm, định lí, dạy học bài tập.
- Giáo viên nên xây dựng được mối liên hệ liên môn giữa toán học với các
môn học khác để các em thấy rõ hơn về vai trò của toán học trong khoa học nói
chung và các môn khoa học nói riêng, đặc biệt là khoa học tự nhiên. Qua đó các
em có ý thức chú trọng hơn về môn học.
- Khi soạn một giáo án giáo viên nên quán triệt nguyên lí dạy học đó là “ Học
đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực

tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội ”
Cuối cùng do bản thân kinh nghiệm nghiên cứu khoa học chưa nhiều nên
trong đề tài này còn có nhiều khiếm khuyết. Rất mong các đồng chí, đồng
nghiệp tiếp tục nghiên cứu, bổ sung để đề tài có thể đạt được kết quả cao hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ

Phó Hiệu trưởng

Thanh Hóa, ngày.... tháng ... năm...
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Đỗ Duy Thành

Ngô Thị Duyên

20


Tài liệu tham khảo
1. Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên ) – Vũ tuấn ( Chủ biên ); Đại số 10 – Nxb Giáo
Dục 2007
2. Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên); Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên); Đại số 10
nâng cao - Nxb Giáo Dục – 2006
3. Nguyễn Bá Kim; Phương pháp dạy học môn toán - Nxb Đại học sư phạm Hà
Nội (2004, 2007).
4. Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên); Bài tập đại số nâng cao10 - Nxb Giáo Dục

(2006)
5. Nguyễn Thế Khôi (Chủ biên); Vật lí 10 nâng cao – Nxb Giáo Dục
6. Quan Hán Thành; Hoá học cơ bản và nâng cao soạn theo chương trình mới 10
– Nxb Hà Nội ( 2006).
7. Nguyễn Thành Đạt (Chủ biên); Sinh học 12 Cơ bản - Nxb giáo dục ( 2006)

21