Giải pháp ứng dụng lược đồ tư duy để đổi mới phương pháp học tập của học sinh hướng tới lĩnh hội nội dung giải các bài toán lượng giác trong tam giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHÁP ỨNG DỤNG LƯỢC ĐỒ TƯ DUY ĐỂ ĐỔI MỚI
PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP CỦA HỌC SINH HƯỚNG TỚI
LĨNH HỘI NỘI DUNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC
TRONG TAM GIÁC

Người thực hiện: Trương Thị Yến
Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn tổ tốn
Đơn vị cơng tác: Trường THPT Nguyễn Qn Nho
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HỐ
1 NĂM 2017


MỤC LỤC

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
1.2. mục đích nghiên cứu.
1.3.Đối tượng nghiên cứu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị.
----------------------------------------------------

2


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1/ Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao.
2/ Sách bài tập đại số 10 nâng cao.
3/ Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao.
4/ Sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao.
5, Tài liệu tập huấn kĩ thuật dạy học của sở GD và ĐT Thanh Hóa.
6/ Tài liệu tập huấn kiểm tra đánh giá của Sở GD và ĐT Thanh Hóa.
7/ Tài liệu tập huấn ra đề thi của Sở GD và ĐT Thanh Hóa.
8/ Các đề thi cao đẳng và đại học các năm.
----------------------------------------------------

3


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO
HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:

Trương Thị Yến
Chức vụ và đơn vị công tác: Tổ trưởng chuyên môn -Trường THPT Nguyễn Quán Nho
TT

Tên đề tài SKKN

1.

Phân tích các sai lầm và khó
khăn học sinh mắc phải khi giải
bài tập giới hạn hàm số.
Phân tích các sai lầm của học
sinh khi giải phương trình lượng
giác.
Áp dụng kĩ thuật “khăn phủ bàn”
phối hợp với phân bậc hoạt động
giúp học sinh giải bài tập
phương trình lượng giác được tốt
hơn.

2.
3.

Cấp đánh giá
xếp loại
Tỉnh

Kết quả
đánh giá
xếp loại

C

Năm học
đánh giá
xếp loại
2005-2006

Tỉnh

C

2008-2009

Tỉnh

C

2012-2013

----------------------------------------------------

4


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
+ Bài tốn tam giác lượng là bài toán nghiên cứu cá mối quan hệ giữa các yếu tố của
tam giác với nhau, các mối quan hệ có thể là: một đẳng thức, bất đẳng thức, dấu hiệu
nhận dạng tam giác. Đây là một nội dung tương đối phức tạp đối với học sinh.Tuy nhiên,
đây lại là một nội dung rất quan trọng trong một đề thi THPT đặc biệt là đối với học sinh

năm thứ hai, thứ ba thi THPT Quốc Gia kỳ thi đang đến rất gần.
+ Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để các em giải tốt các bài toán tam giác lượng đặc
biệt là các bất đẳng thức tam giác trong khi quĩ thời gian cho mỗi bài giải là rất ít (2 đến 3
phút). Trong khi đó, để đạt điểm 8;9 cần phải thành thạo những kiến thức này.
+ Hình thức thi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn đối với hoc sinh lớp 11 lên
lớp 12 và thi trắc nghiệm khách quan với bốn hình thức đối với học sinh lớp 10 đây là
một điểm mới trong cả cách ra đề đối với giáo viên toán cũng như là học sinh học toán
đặc biệt là vào nội dung tam giác lượng này. Vì vậy, địi hỏi người dạy lẫn người học đều
phải thay đổi phương pháp một cách tích cực.
+ Lược đồ tư duy là một hệ thống có tính cách mạng trong việc lập kế
hoạch và ghi chú nhanh những công việc cần làm đã giúp thay đổi
cuộc sống của hàng triệu người trên toàn thế giới. Lược đồ tư duy là
một hệ thống kiến thức được tóm tắt ngắn gọn bằng những “nhánh
cây”, những ký hiệu và những hình ảnh sinh động nhằm mơ tả phần
kiến thức mà ta muốn biểu thị. Vì đặc điểm ngắn gọn mà người học có
thể ghi nhớ kiến thức một cách nhanh chóng, và những tri thức cũng
được sắp xếp vào não bộ một cách hết sức khoa học. Bên cạnh những
đặc tính ưu việt trên, lược đồ tư duy với sự phong phú về hình ảnh và màu
sắc đã kích thích trí tưởng tượng và niềm say mê, hứng thú của người
học, giúp con người khai thác tiềm năng vô tận của bộ não.
+ Nhằm hướng đến một phương pháp học tập chủ động tích cực. Không chỉ giúp
học sinh khám phá các kiến thức mới mà cịn giúp hệ thống được
những kiến thức đó. Từ đó, giúp học sinh có được phương pháp học tập
tích cực, tăng tính độc lập, chủ động, sáng tạo và phát triển tư duy. Tôi
đã chọn đề tài: “Giải pháp ứng dụng lược đồ tư duy để đổi mới phương pháp học tập
của học sinh hướng tới lĩnh hội nội dung giải bài tốn tam giác lượng”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
+ Trên thế giới hiện nay đang diễn ra những chuyển biến trong lĩnh
vực giáo dục. Xu hướng giáo dục đang phát triển với mục tiêu: đổi mới
nội dung, chương trình, phương pháp, phát huy tính tích cực, chủ động

cũng như khả năng tự học, tự nghiên cứu của người học.
+ Đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi hướng đến mục tiêu ứng dụng lược đồ tư duy
để đổi mới phương pháp học tập của học sinh góp phần giải quyết nhóm bài tốn lượng

5


giác trong tam giác (bài toán tam giác lượng) bao gồm: Đổi mới phương pháp tự học, đổi
mới phương pháp học nhóm, đổi mới phương pháp làm đề cương ơn tập.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Phương pháp học tập (trên lớp và tự học) của học sinh lớp 10A1 (năm học 20152016), 10A4, 11B1 (năm học 2016-2017) của trường THPT Nguyễn Qn Nho – Thiệu
Hóa – Thanh Hố dành cho nội dung lượng giác nói chung và bài tốn tam giác lượng nói
riêng.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết dựa trên quá trình kinh nghiệm giảng dạy
của bản thân 17 năm qua và dựa trên các tài liệu tập huấn do sở GD&ĐT Thanh Hóa phát
hành dành cho giáo viên THPT hàng năm.
+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, phân tích và đánh giá số liệu của học sinh
bản thân tôi dạy hàng năm và đặc biệt trong hai năm học 2015-2016 và năm học 20162017 kể từ khi hình thức thi trắc nghiệm được thực hiện ở trường ĐH Bách Khoa.
1.5. Những điểm mới của SKKN:
Tập trung vào hướng dẫn kỹ năng tự học của học sinh theo lược đồ tư duy và hướng
tới những bài tập thi dạng trắc nghiệm khách quan của kì thi THPT Quốc Gia.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1.
a, Khái niệm phương pháp học tập
i) Khái niệm phương pháp
Theo từ điển Tiếng Việt: “Phương pháp là cách thức tiến hành để có
hiệu quả”.
Theo quan điểm Triết học: “Phương pháp là hình thái chiếm lĩnh hiện

thực, sự chiếm lĩnh hiện thực trong các hoạt động của con người, đặc
biệt là hoạt động nhận thức và cải tạo thực tiễn”. (Bách khoa tồn thư
triết học (Liên Xơ),tập III, tr409). Phương pháp chính là cách thức làm
việc của chủ thể, cách thức này tùy thuộc vào nội dung“Phương pháp
là sự vận động bên trong của nội dung” (Hêghen).
Thuật ngữ “Phương pháp” bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp (methodos) có
nghĩa là con đường để đạt mục đích. Theo đó, Phương pháp học tập là
con đường để đạt mục đích học tập.
Như vậy, tóm lại có thể hiểu: “Phương pháp là cách thức, con đường,
phương tiện để đạt tới mục đích nhất định trong nhận thức và trong
thực tiễn”.
ii) Khái niệm học tập
Theo từ điển Tiếng Việt của Viện khoa học xã hội Việt Nam – Viện ngôn
ngữ học: “Học tập là học và luyện tập để hiểu biết và có kỹ năng”.
6


Như vậy, ta có thể đi đến một khái niệm chung nhất về học tập
là: “Học tập là một loại hình hoạt động được thực hiện trong mối quan
hệ chặt chẽ với hoạt động dạy, giúp người học lĩnh hội tri thức, kỹ
năng, kỹ xảo, những phương thức hành vi nhằm phát triển nhân cách
toàn diện”.
iii) Phương pháp học tập
Tùy theo quan niệm về mối quan hệ trong quá trình học tập , đã có
nhiều định nghĩa khác nhau về phương pháp học tập. Từ khái niệm
“phương pháp” và “học tập” ta có thể định nghĩa về phương pháp học
tập như sau: “ Phương pháp học tập là hệ thống tác động liên tục của
giáo viên và học sinh nhằm tổ chức hoạt động nhận thức và thực hành
của học sinh để lĩnh hội vững chắc các thành phần của nội dung giáo
dục nhằm đạt được mục tiêu đã định” hay nói một cách khái quát

chung: “Phương pháp học tập là con đường để đạt mục đích học tập”
b, Khái niệm đổi mới , đổi mới phương pháp học tập
i) Khái niệm đổi mới
Theo từ điển Tiếng Việt, năm 2008: “ Đổi mới là thay đổi hoặc làm cho
thay đổi tốt hơn, tiến bộ hơn so với trước, đáp ứng yêu cầu của sự phát
triển”. Đổi mới là cải cách cái lỗi thời, cái cũ thay vào đó là thừa kế cái
tốt thay cái mới hợp với thời đại mới. Đó là con đường tiến hóa của nền
văn minh. Đổi mới khơng bao giờ là đủ cả, nó kéo dài theo chiều dài
của lịch sử. Như vậy: “Đổi mới là thay đổi, kế thừa cái cũ và tiếp thu
những cái mới một cách linh hoạt, phù hợp với điều kiện hoàn cảnh để
đáp ứng yêu cầu của xã hội trong giai đoạn hiện nay”.
ii) Khái niệm đổi mới phương pháp học tập
Đổi mới phương pháp học tập có thể hiểu là “con đường tốt nhất để
đạt chất lượng và hiệu quả học tập cao”. Đổi mới phương pháp học tập
về bản chất là sự đổi mới cách thức tổ chức học tập theo quan điểm
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học.
* Quan điểm về đổi mới phương pháp học tập
Đổi mới giáo dục nói chung, và đổi mới phương pháp học tập nói riêng
là quy luật tất yếu của chính bản thân người làm công tác giáo dục,
của giáo viên và học sinh trongđiều kiện mới.
Đổi mới phương pháp học tập là thay đổi, kế thừa các phương pháp học
tập truyền thống và tiếp thu các phương pháp học tập mới một cách
linh hoạt, phù hợp với điều kiện. Hoàn cảnh, để đáp ứng yêu cầu của
xã hội trong giai đoạn hiện nay.

7


2.1.2. Khái niệm bản đồ tư duy, lịch sử hình thành, tác dụng và
cách thành lập bản đồ tư duy

a, Khái niệm bản đồ tư duy
Theo Bách khoa toàn thư mở Wikipedia: “Bản đồ tư duy (Mindmap) là
phương pháp được đưa ra như là một phương tiện mạnh để tận dụng
khả năng ghi nhận hình ảnh của bộ não. Đây là cách để ghi nhớ chi
tiết, để tổng hợp, hay để phân tích một vấn đề ra thành một dạng của
lược đồ phân nhánh. Khác với máy tính, ngồi khả năng ghi nhớ kiểu
tuyến tính (ghi nhớ theo 1 trình tự nhất định chẳng hạn như trình tự
biến cố xuất hiện của 1 câu truyện) thì não bộ cịn có khả năng liên
lạc, liên hệ các dữ kiện với nhau. Phương pháp này khai thác cả hai khả
năng này của bộ não”.
Phương pháp này được nhiều người biết đến nhưng nó chưa bao giờ
được hệ thống hóa và được nghiên cứu kĩ lưỡng và phổ biến mà chỉ
được dùng tản mạn trong giới học sinh trước các mùa thi.
Đây là một kĩ thuật để nâng cao cách ghi chép. Bằng cách dùng giản
đồ ý, tổng thể của vấn đề được chỉ ra dưới dạng một hình trong đó các
đối tượng thì liên hệ với nhau bằng các đường nối. Với cách thức đó,
các dữ liệu được ghi nhớ và nhìn nhận dễ dàng và nhanh chóng hơn.
Thay vì dùng chữ viết để miêu tả một chiều biểu thị toàn bộ cấu trúc
chi tiết của một đối tượng bằng hình ảnh hai chiều. Nó chỉ ra dạng thức
của đối tượng, sự quan hệ hỗ tương giữa các khái niệm (hay ý) có liên
quan và cách liên hệ giữa chúng với nhau bên trong của một vấn đề
lớn.
b, Lịch sử hình thành bản đồ tư duy
Phương pháp này được phát triển vào cuối thập niên 60 (của thế kỉ 20)
bởi Tony Buzan như là một cách để giúp học sinh “ghi lại bài giảng” mà
chỉ dùng các từ then chốt và các hình ảnh. Cách ghi chép này sẽ nhanh
hơn, dễ nhớ và dễ ôn tập hơn.
Đến giữa thập niên 70 Peter Russell đã làm việc chung với Tony và họ
đã truyền bá kĩ xảo về giản đồ ý cho nhiều cơ quan quốc tế cũng như
các học viện giáo dục

c, Tác dụng (lợi ích) của việc ứng dụng bản đồ tư duy
* Trong cuộc sống:
– Ghi chú: Khi thông tin được gợi ra, Bản đồ tư duy (Mind maps) giúp tổ
chức thơng tin theo một hình thức mà dễ dàng được xuất hiện và ghi
nhớ. Được sử dụng để ghi chú tất cả các loại sách vở, bài giảng, hội
họp, phỏng vấn, và đàm thoại.

8


– Gợi nhớ, hồi tưởng: Bất cứ khi nào thông tin được xuất hiện từ trong
bộ não thì Mind maps cho phép các ý tưởng được ghi lại rất nhanh
ngay sau khi nó được sinh ra vào một hệ được tổ chức. Vì thế chẳng
cần phải viết cả một câu. Nó như một phương tiện nhanh và hiệu quả
trong việc tổng qt và vì thế có thể giữ lại các hồi tưởng rất nhanh
gọn.
– Sáng tạo: Bất cứ khi nào bạn muốn khuyến khích sự sáng tạo, Mind
maps sẽ giúp bạn giải phóng cách suy diễn cổ điển theo phương thức
ghi chép sự kiện theo dòng cho phép các ý tưởng mới được hình thành
nhanh chóng theo luồng tư duy xuất hiện.
* Trong giáo dục, đào tạo:
– BĐTD giúp học sinh học được phương pháp học: Việc rèn luyện
phương pháp học tập cho học sinh không chỉ là một biện pháp nâng
cao hiệu quả dạy học mà còn là mục tiêu dạy học.
– BĐTD giúp học sinh học tập một cách tích cực: Một số kết quả
nghiên cứu cho thấy bộ não của con người sẽ hiểu sâu, nhớ lâu và in
đậm cái mà do chính mình tự suy nghĩ, tự viết, vẽ ra theo ngơn ngữ
của mình vì vậy việc sử dụng BĐTD giúp HS học tập một cách tích cực,
huy động tối đa tiềm năng của bộ não.
-BĐTD có thể vận dụng được với bất kì điều kiện cơ sở vật chất nào của

các nhà trường hiện nay. Có thể thiết kế BĐTD trên giấy, bìa, bảng phụ,
… hoặc cũng có thể thiết kế trên phần mềm bản đồ tư duy.
d, Cách thành lập bản đồ tư duy
Cho dù vẽ bằng tay hay bằng máy chúng ta đều có thể thực hiện theo
các bước sau:
– Bước 1: Vẽ chủ đề ở trung tâm trên một mảnh giấy (đặt nằm ngang)
hoặc trên máy.
+ Người vẽ sẽ bắt đầu từ trung tâm với hình ảnh của chủ đề. Hình ảnh
có thể thay thế cho cả ngàn từ và giúp chúng ta sử dụng tốt hơn trí
tưởng tượng của mình. Sau đó có thể bổ sung từ ngữ vào hình vẽ chủ
đề nếu chủ đề không rõ ràng.
+ Nên sử dụng màu sắc vì màu sắc có tác dụng kích thích não như
hình ảnh.
+ Có thể dùng từ khóa, kí hiệu, câu danh ngơn, câu nói nào đó gợi ấn
tượng sâu sắc về chủ đề.
– Bước 2: Vẽ thêm các tiêu đề phụ vào chủ đề trung tâm.
+ Tiêu đề phụ có thể viết bằng chữ in hoa nằm trên các nhánh to
để làm nổi bật.
+ Tiêu đề phụ được gắn với trung tâm.

9


+ Tiêu đề phụ nên được vẽ chéo góc để nhiều nhánh phụ khác có thể
được vẽ tỏa ra một cách dễ dàng.
– Bước 3: Trong từng tiêu đề phụ vẽ thêm các ý chính và các chi tiết hỗ
trợ.
+ Khi vẽ các ý chính và các chi tiết hỗ trợ chỉ nên tận dụng các từ khóa
và hình ảnh.
+ Nên dùng những biểu tượng, cách viết tắt để tiết kiệm khơng gian vẽ

và thời gian.
+ Mỗi từ khóa, hình ảnh nên được vẽ trên một đoạn gấp khúc riêng
trên nhánh. Trên mỗi khúc nên chỉ có tối đa một từ khóa.
+ Sau đó nối các nhánh chính cấp 1 đến hình ảnh trung tâm, nối các
nhánh cấp 2 đến các nhánh cấp 1, nối các nhánh cấp 3 đến các nhánh
cấp 2…bằng đường kẻ. Các đường kẻ càng ở gần trung tâm thì càng
được tơ đậm hơn.
+ Nên dùng các đường kẻ cong thay vì các đường kẻ thẳng vì đường kẻ
cong được tổ chức rõ ràng sẽ thu hút được sự chú ý của mắt nhiều hơn.
+ Tất cả các nhánh tỏa ra cùng một điểm nên có cùng một màu.
Chúng ta thay đổi màu sắc khi đi từ ý chính ra đến các ý phụ cụ thể
hơn.
– Bước 4: Người vẽ có thể thêm nhiều hình ảnh nhằm giúp các ý quan
trọng thêm nổi bật cũng như giúp lưu chúng vào trí nhớ tốt hơn.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Học sinh trước năm 2015 thi theo hình thức tự luận, hầu hết các em học sinh và giáo
viên ít đề cập đến nội dung bài tốn tam giác lượng, có cũng chỉ một vài ví dụ SGK phần
cơng thức biến đổi lượng giác đối với học sinh đại trà. Còn đối với đối tượng học sinh có
chất lượng cao hơn, thuộc lớp mũi nhọn thì đây cũng là những bài tốn đề cập sau các
dạng tốn khác cũng chỉ vì độ khó kiến thức nên tần số xuất hiện của chúng khơng nhiều
thậm chí là khơng có trong đề thi đại học. Học sinh học phần này chủ yếu là đối phó: ghi
chép bài hời hợt, trả bài ở phần này khơng có độ sâu của kiến thức và các em tự đánh giá
và tự cho mình “bỏ qua” phần này chứ chưa nói đến là tìm tịi đọc thêm tài liệu, nghiên
cứu tài liệu và hình thành phương pháp tự học cho phần nội dung kiến thức này. Khi giáo
viên yêu cầu tổ chức học nhóm, làm đề cương ôn tập thì các em cũng thực hiện chiếu lệ
cùng lắm là tóm tắt lại bài học, làm lại một số bài tập SGK, bài tập trong SBT làm không
hết được tìm cách bao biện là bởi vì “thi gì học nấy” khơng thi các em học làm gì?
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
+ Hình thành cho học sinh có thói quen sử dụng lược đồ tư duy kể cả trên lớp, sau
tiết học hoặc sau một nhóm bài tập hoặc một chương kiến thức nhằm lĩnh hội và ghi nhớ

kiến thức kiểm soát chúng theo trình tự tư duy riêng và kể cả hoàn thành những nhiệm vụ
học tập ở nhà.

10


+ Sau mỗi loại bài tập đã chữa giáo viên yêu cầu các em về nhà tự học hoặc thảo
luận nhóm trên lớp xong sắp xếp chúng lại theo ý định chung của cả nhóm và cả nhóm
cùng làm cùng chịu trách nhiệm. Sau đó tiếp tục giao bài tập về nhà “dài hơi” nghĩa là
học sinh phải thực hành trong một khoảng thời gian “tương đối” nhất định để học sinh
tìm tịi, sáng tạo linh hoạt, phát triển bài toán, phát biểu dạng khác của bài toán, cùng xây
dựng những bài toán mới nhằm phát huy và nâng cao năng lực giải tốn, bao gồm: kỹ
năng giải, tính tốn, trình độ lập luận, khả năng diễn tả các bài toán tương đương ..., rèn
tư duy sáng tạo, linh hoạt, rèn các thao tác tư duy: khái quát hóa, đặc biệt hóa, nhận xét,
so sánh, đối chiếu,....
+ Cụ thể như sau:
- Bước 1: Giới thiệu một số bài toán “gốc”
- Bước 2: Giáo viên cùng học sinh phát triển các bài tốn gốc đó.
- Bước 3: Học sinh dùng lược đồ tư duy để sắp sếp các bài tốn đó theo ý hiểu của
bản thân và có lý giải xác đáng.
- Bước 4 : Kiểm tra.
- Bước 5: Tiếp tục mở rộng bài toán.
1/ Bài toán tam giác lượng:
Nghiên cứu các mối quan hệ giữa các yếu tố của tam giác với nhau
- Các mối quan hệ có thể là: Một đẳng thức, bất đẳng thức, dấu hiệu nhận dạng tam
giác.
- Các yếu tố gồm:
* Góc: A,B,C
* Cạnh: a,b,c
* Đường cao: ha , hb , hc

* Đường trung tuyến: ma , mb , mc
* Đường phân giác trong: la , lb , lc
* Chu vi, diện tích: 2p,S
* Các bán kính: R, r , ra , rb , rc
2/ Các bài toán tam giác lượng cơ bản:
a + b > c

+) a, b,c > 0, và  a − b < c

+) 0 < A, B, C < π
và
+) a = 2R sin A
+) a 2 = b 2 + c 2 − 2ab. cos A

A+ B+C =π

11


+) b 2 + c 2 = 2ma 2 +
+) S =

a2
2

1
1
abc
a.ha = bc. sin A =
= 2 R 2 sin A. sin B. sin C = pr = ( p − a )ra =

2
2
4R

p ( p − a )( p − b)( p − c)

*Chú ý: 7 công thức diện tích thiết lập cầu nối liên hệ các yếu tố trong tam giác với nhau.
3/ Các biến đổi đối xứng cơ bản:
A
B
C
2
2
2
* sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
* sin 2nA + sin 2nB + sin 2nC = (−1) n+1 4 sin nA sin nB sin nC
( 2n + 1) A
(2n + 1) B
( 2n + 1)C
cos
cos
* sin(2n + 1) A + sin(2n + 1) B + sin(2n + 1)C = 4(−1) n cos
2
2
2
A
B
C
* cos A + cos B + cos C = 4 sin sin sin + 1
2

2
2
2
2
2
* sin A + sin B + sin C = 2 + 2 cos A cos B cos C

* sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos

4/ Các ước lượng đối xứng cơ bản:
LOẠI 1
(*) Bước 1: Giới thiệu bài toán “gốc”
9
4

(1)“Chứng minh rằng T= sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C thì maxT= (khi tam giác ABC đều)”
1 − cos 2 A 1 − cos 2 B
+
+ 1 − cos 2 C
2
2
2
cos ( A − B)
cos( A − B ) 2 9
= 2+
− (cos C −
) ≤
4
2
4

Chứng minh: Thật vậy, T=

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Vậy maxT=

9
4

(*)Bước 2: Giáo viên cùng học sinh phát triển các bài tốn gốc đó
(2) “T= sin A sin B sin C tìm maxT?”
Giải: Theo Cơ- si
3

9
3
 
2
2
2
sin
A
+
sin
B
+
sin
C
3
3 3



2
2
2
3
2
4
) ≤   =   Vậy T ≤
T = sin A sin B sin C ≤ (
3
3
8
4
 
 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
(*)Bước 3: Học sinh dùng lược đồ tư duy để sắp sếp các bài tốn đó theo ý hiểu của
bản thân và có lý giải xác đáng
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤

9
4
12


sin A sin B sin C ≤

3 3
8

Bước 4 : Kiểm tra.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào SAI:
A. sin A sin B sin C ≤

3 3
(với mọi tam giác ABC )
8

B. Với mọi tam giác ABC, giá trị lớn nhất của T= sin A sin B sin C là
C. Tam giác ABC đều khi và chỉ khi sin A sin B sin C =

3 3
8

3 3
8

D. Với mọi tam giác ABC nhọn, giá trị nhỏ nhất của T= sin A sin B sin C là

3 3
8

(*)Bước 5: Tiếp tục mở rộng bài toán.
+ “Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường trịn bán kính R thì tam giác đều có diện
tích lớn nhất lớn nhất” vì S = 2 R 2 sin Á sin B sin C
(*) Sau đó, giáo viên hướng dẫn học sinh chia nhóm và nhóm trưởng điều hành 5
bước như vậy. Các em tự ra đề trắc nghiệm trên nền tảng kiến thức mà giáo viên
hướng dẫn
(3) T = sin A + sin B + sin C tìm max T?

Giải:
(sin A + sin B + sin C ) 2 ≤ 3(sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ) ≤
T≤

9
4

3 3
9

⇔  sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 
2
4


Hệ quả
* sin A + sin B + sin C ≤

3 3
2

* Tam giác ABC đều ⇔ sin A + sin B + sin C =

3 3
2

*Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn bán kính R, tam giác đều có chu vi
lớn nhất.

13

(4) T =

1
Min T= ?
sin A sin B sin C


(5) T = 1 +

1 
1 
1 
1 +
1 +
 Min T = ?
 sin A  sin B  sin C 
1
1
1
+
+
(6)T=
tìm minT?
sin A sin B sin C
1
1
1
(7)T= 2 + 2 + 2 tìm minT?

sin A sin B sin C
(8) T = cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C Min T =?
(9) T = (1 + sin A )(1 + sin B )(1 + sin C ) tìm maxT

(10)T= (1 + sin 2 A)(1 + sin 2 B)(1 + sin 2 C ) tìm maxT
(11) T = sin 2 A + sin 2 B + sin 2C Max T =?
(12) Chứng minh rằng: sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≥ 2 3 sin A sin B sin C
(13) a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4S . 3
(14) ab + bc + ca ≥ 4S . 3
(*)Giải bài 11:
* sin 2A + sin 2B = 2 sin ( A+B ) . cos ( A – B )
= 2 sin C . cos ( A – B) ≤ 2 sin C
* sin 2C + sin 2A ≤ 2 sin B
* sin 2B + sin 2C ≤ 2 sin A
3 3
Cộng vế theo vế, ta được T = sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ≤ sin A + sin B + sin C ≤
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều
Vậy, Max T =

3 3
2

(*) Giải bài 12
sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C
sin A
sin B
sin C
1

=
+
+
≥ 33
≥2 3
sin A sin B sin C
sin B sin C sin C sin A sin A sin B
sin A sin B sin C

Giáo viên hướng dẫn học sinh cách phát triển đề toán và bổ sung vào các nhánh trong
lược đồ:
Bài 11: 2 vế: sin A ……-thay bằng cạnh a từ định lí sin trong tam giác
a2
b2
c2
abc
+
+
≥2 3 3
2
2
2
4R
4R
4R
8R
2
2
2
Từ đó suy ra: a + b + c ≥ 4S 3

Ta có

14


Giáo viên giao nhiệm vụ cho học sinh hoạt động nhóm tìm thêm và chứng minh các
hệ quả đồng thời soạn các câu hỏi trắc nghiệm( lưu ý cho điểm theo nhóm để
khuyến khích học sinh)
(*) Hệ quả
1) Trong các tam giác nội tiếp đường trong bán kính R , tam giác đều có tổng các bình
phương trung tuyến lớn nhất, tổng các bình phương các trung tuyến, tổng các trung tuyến
lớn nhất, tích các trung tuyến lớn nhất.
2) Thiết lập các ước lượng đối xứng tương tự đối với cosA , cosB , cosC và góc

A B C
,
2 2 2

3) Tìm các bất đẳng thức đối xứng trong tam giác đã ra trong đề thi đại học.
4) Phát hiện, chứng minh một số ước lượng đối xứng và phát hiện các hệ quả của chúng
Giáo viên hướng dẫn học sinh chia nhóm và nhóm trưởng điều hành 5
bước như vậy
Giáo viên gợi ý và chứng minh một số ước lượng đối xứng cơ bản và học sinh thảo
luận nhóm hồn thiện các chứng minh, rồi sau đó sử dụng lược đồ tư duy để ghi nhớ
1, cos A. cos B. cos C ≤

1
8

2, cos A + cos B + cos C ≤

3
2

3
4
2
2
2
4, cos A + cos B + cos C ≥ 6. cos A. cos B. cos C
1
5, (1 − cos A).(1 − cos B).(1 − cos C ) ≤
8

3, cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥

6, tam giác nhọn
1
1
1
).(1 +
).(1 +
) ≥ 27
cos A
cos B
cos C
và
1
1

1
+
+
≥6
cos A cos B cos C
A
B
B
C
C
A 3
7, sin . sin + sin . sin + sin . sin ≤
2
2
2
2
2
2 4
A
B
C
3
≥
8, sin 2 +sin 2 +sin 2
2
2
2
4
1
1

1
+
+
≤12
9,
sin 2 A sin 2 B sin 2 C
A
B
C
A
B
C
10, sin 2 + sin 2 + sin 2 ≥ 6 sin sin sin
2
2
2
2
2
2
A
B
C 1
11, sin sin sin ≤
2
2
2 8
⇒ (1 +

15

A
B
C 3
+ sin + sin ≤
2
2
2 2
1
1
1
+
+
≥6
13, sin A sin B sin C
2
2
2
A
B
C 3 3
14, cos + cos + cos ≥
2
2
2
2
A
B
C 3 3
15, cos cos cos ≤

2
2
2
2

12, sin

1

16,
17,
18,
19,

1
1
+
+
≥2 3
A
B
C
cos
cos
cos
2
2
2
A
B

C 9
cos 2 + cos 2 + cos 2 ≤
2
2
2 4
1
1
1
+
+
≤4
2 A
2 B
2 C
cos
cos
cos
2
2
2
A
B
C
A
B
C
cos 2 + cos 2 + cos 2 ≥ 2 3 cos cos cos
2
2
2

2
2
2

LOẠI 2
Một số hướng dẫn và gợi ý của giáo viên. Nhiệm vụ của học sinh là dùng lược đồ tư
duy sắp xếp chúng lại và lĩnh hội những nội dung đó
A
2

B
2

1, sin A + sin B + sin C ≤ cos + cos + cos

C
2

Chứng minh

sin A + sin B
A+ B
A − B cos C
A− B
= sin
cos
=
cos
2
2

2
2
2
A− B

cos 2 ≤ 1
A−B
C
C
≤ cos
• 
=> cos cos
2
2
2
cos C ≥ 0
2

sin A + sin B
C
A− B
≤ cos ( đẳng thức  cos
=>
=1 A=B)
2
2
2
sin A + sin B sin B + sin C sin C + sin A
C
B

A
⇒
+
+
≤ cos + cos + cos
2
2
2
2
2
2
C
B
A
.  sinA + sinB+ sinC ≤ cos + cos + cos
2
2
2

•

Tương Tự:
16


A
B
C
+ sin + sin
2

2
2
A
B
C
3, cosA +cosB + cosC > 4 sin sin sin
2
2
2

2, cosA +cosB + cosC ≤ sin

4, sin2A + sin2B+ sin2C ≤ sinA + sinB+ sinC
5, cosA + cosB+ cosC + cos2A + cos2B+ cos2C ≥ 0 ( mọi tam giác nhọn )
( Hay cos2A + cos2B+ cos2C ≥ - (cosA + cosB+ cosC) ( mọi tam giác nhọn ))
A
B
C
+ cot + cot ( tam giác nhọn)
2
2
2
A
B
C
7, sinA + sinB + sinC ≤ cos + cos + cos
2
2
2
A+ B

A− B
cos
Chứng minh: ( sinA + sinB ) 2 ≤ 2 (sinA + sinB) = 4 sin
2
2
C
A− B
C
≤ 4 cos
= 4cos cos
2
2
2
C
=> sinA + sinB ≤ 2 cos
2

6, tgA +tgB + tanC ≥ cot

Tương tự

B
 sinA + sinC ≤ 2 cos
2


 sinB + sinC ≤ 2 cos A

2

=> sinA + sinB + sinC ≤ cos

A
B
C
+ cos + cos
2
2
2

8, (ĐH Ngoại Thương – 95)
CMR: với mọi tam giác nhọn có tanA + tanB + tanC ≤ cot

A
B
C
+ cot + cot
2
2
2

thì tam giác đó đều
Chứng minh:
tanA + tanB ≥ 24 tanA.tanB

Mặt khác:

A+ B
2
A+ B

A+ B
≥ cos A. cos B. sin 2 (
)
Vì sinA.sinB.cos2
2
2
1
[ cos( A − B). cos( A + B)].1 + cos( A + B)  ≥ 1 [ cos( A − B) + cos( A + B)].1 − cos( A + B) 
2
2
2

 2



tanA.tanB ≥ tan 2

17


 2cos(A-B).cos(A+B) – 2cos(A+B) ≥ 0
-2cos(A-B).cosC + 2cosC ≥ 0
 2cosC . [1 − cos( A − B)] ≥ 0
A+B
A+B
C
= tan
= cot
2

2
2
A
B
C
tanA + tanB + tanC ≥ cot + cot + cot (với mọi tam giác nhọn)
2
2
2

=> tanA + tanB ≥ 24 tanA.tanB ≥ 24 tan 2
=>

Dấu “=” xảy ra  tam giác đều
9, (ĐHQG -97)
sin A .sinB ≤ cos 2

C
(∀ ∆ )
2

Mở rộng :
A
A
C
cos cos
2
2
2
A

B
C
• cosA.cosB.cosC ≤ sin .sin . sin
2
2
2

• sinA.sinBsinC ≤ cos

10, cosA +cosB + cosC = 2(cosA.cosB+ cosB.cosC+cosA.cosC)
(---Quốc Gia Khối B --98---)
11, cosA +cosB + cosC = cos

A
B
C
.cos . cos <=> tam giác đều (---XD---96---)
2
2
2

LOẠI 3
1, tan

A
B
B
C
A
C

. tan + tan . tan + tan . tan (hẳng đẳng thức trong tam giác)
2
2
2
2
2
2

- Sử dụng hẳng đẳng thức (1) và một số bất đẳng thức cơ bản như Cosi, Bunhia,..
thiết lập tỉ số ước lượng đối xứng trong tam giác
A
B
A
B tan 2 + tan 2
2, Theo Cô-si tan . tan ≤
2
2
2
2
2
A
B
B
C
C
A
A
B
C
≤ tan 2 + tan 2 + tan 2

=> tan . tan + tan tan + tan tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
B
C
=> 1 ≤ tan 2 + tan 2 + tan 2
(bài toán mới)
2
2
2
A
B
C
3, tan + tan + tan ≥ 3 .
2
2
2
A
B
C
A
B

C
A
B
B
C
CM: ( tan + tan + tan ) 2 ≥ ( tan 2 + tan 2 + tan 2 )+ 2( tan . tan + tan tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
C
+ tan tan ) ≥ 1 + 2 = 3
2
2

18


A
B
C 1
+ tan 4 + tan 4 ≥
2

2
2 3
A
B
C
A
B
C
CM: 3( tan 4 + tan 4 + tan 4 ) ≥ ( tan 2 + tan 2 + tan 2 ) 2 ≥ 12
2
2
2
2
2
2
A
B
C 1
=> tan 4 + tan 4 + tan 4 ≥ ( ∀∆ )
2
2
2 3
A
B
C 1
5, tan 6 + tan 6 + tan 6 ≥ (∀∆) (Giao thông – 96)
2
2
2 9
A

B
C
6, tan 3 + tan 3 + tan 3 ≥ m tìm m lớn nhất
2
2
2
A
B
C
7, tan 5 + tan 5 + tan 5 ≥ m tìm m lớn nhất
2
2
2

4, tan 4

≥

CM:
A
2

B
2
B 1 2
B
A
A
≥ 6 ( tan
tan ). = tan

tan .
2
2
2
9 3
2
A
B
B
C
C
A
4 3
≥
=>( tan 6 + tan 6 )+( tan 6 + tan 6 )+( tan 6 + tan 6 ) +
2
2
2
2
2
2
27
B
C
A
tan tan + tan )
2
2
2
A

B
C
2 4 2
=>2( tan 6 + tan 6 + tan 6 ) ≥ − =
2
2
2
3 9 9
A
B
C 1
=> tan 6 + tan 6 + tan 6 ≥ (∀∆)
2
2
2 9
6) 7) Làm theo cách bài 5) và cộng thêm tan 3 30 0 hoặc tan 5 30 0

5) tan 6 + tan 6 + tan 6 30 0 + tan 6 30 0 + tan 6 30 0 + tan 6 30 0 ≥ 6 tan

8) tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC
9) tanA+tanB+tanC ≥ 3 3 (∀ tam giác nhọn)
10) tanA.tanB.tanC ≥ 3 3
11)cotA.cotB.cotC ≤

1

(∀ tam giác nhọn)
3 3
12) tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C ≥ 9
13) tan A . tan B + tan B tan C + tan C tan A ≥ 9

LOẠI 4:
1) a) (1+cosA)(1+cosB)(1+cosC)>2 (mọi tam giác không tù)
b) cos

C
B
A
+ cos + cos >2 ( ∀ tam giác) (HVQHQT-95)
2
2
2

19

B
A
tan
tan 4 30 0
2
2

A
B
2
( tan . tan +
2
2
3

2, sinA.sinB.sinC ≤ sin
3, cot

A + 3B
B + 3C
C + 3A
sin
sin
(HVQHQT-96)
4
4
4

C
B
A
A
B
C
+ cot + cot ≥ 3( tan + tan + tan )(HVQHQT-97)
2
2
2
2
2
2

4, (sinA) 2 sin B + (sinB) 2 sin B + (sinC) 2 sin B > 2 (tam giác nhọn)(SP2)
A

B
C
+ cos + cos
2
2
2 <2
5,
(tổng hợp ‘93)
A
B
C
sin + sin + sin
2
2
2
sinA + sinB + sinC
6,
<2
cosA + cosB + cosC
cos

7, cos
Giải 1a,

A− B
B −C
C−A
1
π
1

π
1
π
+ cos
+ cos
≤ cos ( A − ) + cos ( B − ) + cos (C − )
2
2
2
3
3
3
3
3
3

T=

(1 + cos A.)(1 + cos B ).(1 + cos C ) = 1 + cosA + cosB + cosC + cosAcosB + cosBcosC + cosCcosA + cosA cosBcosC
A
B
C
1+1+4( sin . sin . sin )+(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA+ (cosA . cosB.cosC)
2
2
2
> 2 + 0 + 0 + 0 Vì tam giác ABC khơng tù, nên T>2
A
2

B
C
2
2
A
A
1
+
cos A
Ta có: cos > cos 2 =
2
2
2
A
B
C 3 1
3 1
A
B
C
=) cos + cos + cos > + ( cosA+cosB+cosC) = + (1+4 sin . sin . sin )>2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
A + 3B

B + 3C
C + 3A
sin
sin
c, sinAsinBsinC ≤ sin
4
4
4
x + x2
 sin x1 + sin x 2
≤ sin 1

2
2
dễ chứng minh : 
 sin x1 + sin x 2 + sin x3 + sin x 4 ≤ sin x1 + x 2 + x3 + x 4

4
4
(với mọi x1,x2,x3,x4 ∈ ( 0; π ) )
Dấu “=” xảy ra ⇔ x1 =x2 =x 3=x 4
sin A + sin B + sin B + sin B 4
≥ sin A. sin 3 B
Do đó: sin
4

Giải 1b, cos + cos + cos >2

(*) Trên nền tảng đó học sinh tự điều khiển quá trình tư duy và tự sắp xếp theo lược đồ để
lĩnh hội được kiến thức và kiểm soát được từng đánh giá

2. 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
20


Giáo viên giảng dạy bằng bản đồ tư duy giúp cho học sinh dần hình
thành tư duy mạch lạc, hiểu biết vấn đề một cách sâu sắc, có cách
nhìn vấn đề một cách hệ thống, khoa học. Sử dụng phương pháp bản
đồ tư duy kết hợp với các phương pháp dạy học tích cực khác như vấn
đáp gợi mở, thuyết trình… có tính khả thi cao góp phần đổi mới phương
pháp dạy học của giáo viên nhà trường.Thay vì yêu cầu học sinh chuẩn
bị powpoin thuyết trình cho bài học tiếp theo thì giáo viên nên để học
sinh chuẩn bị bài bằng bản đồ tư duy. Vừa khiến cho công việc chuẩn bị
bài không nhàm chán, đồng thời tạo cho học sinh có khả năng sáng tạo
và tính lơgic về bài học. Giáo viên cũng tiết kiệm được thời gian dạy
mà học sinh vẫn nắm chắc được kiến thức.
Năm học

Lớp

Sĩ số

Kết quả

2015-2016

10A 1

38

70% học sinh tích cực 90% học sinh thực

tham gia

2016-2017

10 A 4

41

Kết quả
hành được

80% học sinh tích cực 95% học sinh thực
tham gia

hành được

Kết quả năm sau cao hơn năm trước
3.Kiến nghị.
Để giúp cho việc ứng dụng rộng rãi bản đồ tư duy trong nhà trường và
giúp cho giáo viên sử dụng thành thạo bản đồ tư duy, nhà trường hoặc
Sở GD&ĐT cũng cần tổ chức các buổi tập huấn cho giáo viên về bản đồ
tư duy, hướng dẫn cho giáo viên cách ứng dụng bản đồ tư duy trong
giảng dạy, truyền đạt kiến thức, hướng dẫn cho học sinh sử dụng bản
đồ tư duy trong học tập.
Trong q trình thực hiện đề tài tơi đã nhận được nhiều đóng góp của đồng nghiệp, song
bài viết của tơi khơng tránh khỏi thiếu sót. Rất mong tiếp tục nhận được sự đóng góp từ
phía đồng nghiệp. Tơi xin chân thành cảm ơn.

21

Giáo viên

Trương Thị Yến

22