Sử dụng phương pháp trục số giải nhanh bài tập về dấu cho học sinh khối 10, ứng dụng ôn thi THPT quốc gia phần tính đơn điệu, cực trị của hàm số

Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn
MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Phần 1. Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Những điểm mới của SKKN
Phần 2. Nội dung
1. Cơ sở lí luận
2. Thực trạng vấn đề
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Phần 3. Kết luận và kiển nghị
1. Kết luận
2. Kiến nghị
Danh mục đề tài đã được xếp loại cấp tỉnh

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời kỳ hội nhập kinh tế hiện nay của nước ta, cùng với sự phát triển
vượt bậc của khoa học đòi hỏi hệ thống GD&ĐT phải xác định lại mục tiêu và
phương pháp giáo dục theo hướng đào tạo ra những con người có năng lực, có tư
duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức
1

Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

kỉ luật…. Chính vì vậy, trong những năm gần đây Bộ GD&ĐT đã không ngừng có
những sự thay đổi, điều chỉnh. Liên quan đến bộ môn Toán, từ năm học 2016-2017
đề thi THPT quốc gia sẽ 100% câu hỏi trắc nghiệm (50 câu hỏi và thời gian là 90
phút). Với sự thay đổi đó đòi hỏi mỗi giáo viên cần xác định, lựa chọn và vận dụng
phương pháp dạy học một cách phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để
phát huy được tính chủ động, tích cực của học sinh trong quá trình học, củng như
học sinh làm quen, làm được, làm nhanh, làm đúng các bài tập trắc nghiệm. Thế
nên phương pháp dạy học rất được chú trọng và xem như là nhiệm vụ hàng đầu để
đưa kiến thức đến được với học sinh.
Trường THPT Quan Sơn là trường miền núi cao, cơ sở vật chất, trang thiết bị
phục vụ cho công tác giảng dạy còn nhiều thiếu thốn, chất lượng đầu vào còn thấp,
học sinh chủ yếu học được các môn Xã hội, các môn Tự nhiên, đặc biệt là Toán để
truyền đạt được kiến thức đến học sinh là điều vô cùng khó.
Bài toán về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai (Đại số 10,
ban cơ bản) là bài toán hay, khó và có ứng dụng trong việc giải các bài bất phương
trình, xét tính đơn điệu của hàm số, tìm cực trị của hàm số. Bài toán này xuyên suốt
cả bậc học THPT và có trong đề thi THPT Quốc Gia.Từ những lý do trên, củng như
kết quả đạt được khi giảng dạy học sinh lớp 10A3, 10A7 (năm học 2016-2017), ôn
thi THPT Quốc Gia lớp 12A3, 12A4 (năm học 2016-2017) tôi mạnh dạn đưa ra đề
tài sáng kiến kinh nghiệm:
“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TRỤC SỐ GIẢI NHANH
BÀI TẬP VỀ DẤU CHO HS KHỐI 10ỨNG DỤNG ÔN THI THPT QUỐC GIA
PHẦN TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ”.
Phương pháp này nhằm góp phần thực hiện yêu cầu đổi mới nội dung và
phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh, phù
hợp với câu hỏi trắc nghiệm.
2. Mục đích nghiên cứu
2

Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

Thiết kế, xây dựng và sử dụng phương pháp vào dạy “Bài 3: Dấu của nhị
thức bậc nhất, Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai – Chương IV- Đại số 10 – ban cơ
bản. Dạy học sinh 12 và ôn thi THPT Quốc Gia phần tính đơn điệu và cực trị của
hàm số”. Nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học Đại số 10, vận dụng vào làm các bài
toán trắc nghiệm về tính đơn điệu, cực trị của hàm số có trong đề thi THPT Quốc
Gia.
3. Đối tượng nghiên cứu
3.1. Đối tượng: Học sinh khối 10, học đại số phần dấu của nhị thức bậc nhất
và dấu của tam thức bậc hai. Học sinh khối 12 học giải tích, học sinh ôn thi THPT
quốc gia phần tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
3.2. Phạm vi: Trường THPT Quan Sơn
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Đại số 10 (Phần dấu của
nhị thức bậc nhất, dấu của tam thức bậc hai), chương trình Giải tích 12 (Phần tính
đơn điệu, cực trị của hàm số).
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về các phương pháp, biện pháp thiết kế và sử dụng
phương pháp theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh, phù hợp với
đề thi trắc nghiệm.
4.2. Phương pháp chuyên gia
Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm
cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
4.3. Phương pháp khảo sát thực tế
Thực nghiệm sư phạm lớp 10A3, 10A7 (năm học 2016-2017), ôn thi THPT
Quốc Gia lớp 12A3, 12A4 (năm học 2016-2017) trường THPT Quan Sơn, tiến
hành theo quy trình của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả

của đề tài nghiên cứu.
4.4. Phương pháp thống kê toán học
3


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được.

PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
1.1. Một số khái niệm cơ bản
+) Nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất đối với ẩn x là biểu thức dạng
f(x) = ax + b ( a, b hằng số, a ≠ 0).
+) Tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai đối với ẩn x là biểu thức dạng
f ( x ) = ax 2 + bx + c (a,b,c hằng số, a ≠ 0).

1.2. Dấu của nhị thức bậc nhất
f(x) = ax + b cùng dấu với a khi x > −
f(x) = ax + b trái dấu với a khi x < −

b
;
a

b
.
a

Ví dụ 1: Xét dấu của f(x) = 3x – 5

5
+) f ( x) > 0 khi x > ;
3
5
+) f ( x) < 0 khi x < .
3
1.3. Dấu của tam thức bậc hai: f ( x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0), ∆ = b 2 − 4ac
+) ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R

−b
2a
+) ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 , trái dấu với hệ số a
khi x1 < x < x2 trong đó x1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của f(x).
Ví dụ 2: Xét dấu của f ( x) = x 2 − 5 x + 6

+) ∆ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x =

f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1 = 2 và x2 = 3 , hệ số a = 1 > 0 .
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau
−∞
+∞
x
2
3
4


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

f(x)

+
0
f ( x) > 0 khi x ∈ (−∞, 2) hoặc x ∈ (3, +∞) ;
f ( x) < 0 khi x ∈(2, 3)

0

+

1.4. Dấu của tích, thương các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai
Ví dụ 3: ( vd2_tr 91_ sgk đại số 10_cơ bản ). Xét dấu biểu thức
(4 x − 1)( x + 2)
−3x + 5
Giải theo sách giáo khoa:

f(x) =

5
3

f(x) không xác định tại x= .
Các nhị thức có nghiệm viết theo thứ tự tăng dần -2,
x

−∞

4x-1
x+2
-3x+5
f(x)

1 5
,
4 3

1
4

−2

+
+

0
0
+
+
1 5
f ( x) > 0 khi x ∈ ( −∞, −2) hoặc x ∈ ( , ) ;
4 3
1
5
f ( x) < 0 khi x ∈( −2, ) hoặc x ∈ ( , +∞) .
3
4
Ví dụ 4: Xét dấu biểu thức

5
3

+
+
+
+

0

+∞

+
+
-

(−3 x 2 + 4 x − 1)( x 2 + 2)
x2 − 4x + 4
Giải theo sách giáo khoa:
f(x) không xác định tại x=2.
f ( x) =

Các nhị thức có nghiệm viết theo thứ tự tăng dần
x
−3 x 2 + 4 x − 1
x2 + 2
x2 − 4 x + 4

f(x)

1
3

−∞

+
+
-

0

1
, 1,2
3

1

+
+
+
+

0

+∞

2

+
+
-

0

+
+
5


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

f ( x) > 0 khi x ∈(

1
,1) ;
3

1
3

f ( x) < 0 khi x ∈ ( −∞, ) hoặc

x ∈ (1, 2) hoặc x ∈ (2, +∞)

2. Thực trạng vấn đề
2.1. Thực trạng chung:
Trường THPT Quan Sơn là trường miền núi cao, kinh tế đặc biệt khó khăn,
trình độ dân trí còn thấp, phụ huynh học sinh còn chú trọng vấn đề làm ăn, chưa
thực sự quan tâm đến Giáo dục, họ chưa nhận thức được tầm quan trọng của việc
học tập của con cái nên chưa có sự quan tâm và đầu tư đúng hướng. Chính vì vậy
năng lực học tập của học sinh còn hạn chế, chất lượng đầu vào lớp 10 thấp. Học
sinh đi học chủ yếu mượn sách giáo khoa nhà trường, không có sách tham khảo,
nâng cao nào. Ngoài thời gian tới trường các em còn làm thêm giúp gia đình. Vì

vậy nên không có nhiều thời gian dành cho học tập, trong khi từ năm học 20162017 thi THPT Quốc Gia sẽ 100% trắc nghiệm môn toán, lượng kiến thức sẽ nhiều
nên việc dạy cho các em phương pháp dễ học, dễ nhớ, có sự xuyên suốt cả bậc học
là rất cần thiết và cấp bách.
2.2. Thực trạng của giáo viên
Giáo viên đang quen với phương pháp giảng dạy dành cho đề thi tự luận,
không ngừng cải tiến, đổi mới phương pháp dạy học để học sinh có thể trình bày
bài đúng, đủ, chính xác. Thì giờ giáo viên phải tìm tòi, đổi mới, học hỏi phương
pháp dạy học để học sinh tìm ra đáp số đúng một cách nhanh nhất. Với sự đổi mới
như vậy, trong khi dạy giáo viên còn gặp nhiều khó khăn, từ việc tìm ra phương
pháp, chọn phương pháp hợp lý để truyền tải kiến thức đến với học sinh. Qua đó
giúp học sinh nắm được phương pháp, làm được bài toán và làm nhanh. Định
hướng cho học sinh hiểu rõ, trắc nghiệm khác với tự luận, khi làm trắc nghiệm có

6


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

những câu ta có thể dựa vào tính chất, định lý, quy luật...dựa vào phương pháp loại
trừ mà ta có ngay đáp số mà không cần phải trình bày lời giải.
2.3. Thực trạng của học sinh
Học sinh trường THPT Quan Sơn với đầu vào thấp, đa số là theo học khối xã
hội, nên các môn tự nhiên, đặc biệt là môn toán có chất lượng học tập chưa cao.
Các em thích học thuộc hơn là tư duy, sáng tạo nên khi học toán các em rất thụ
động, ít phát biểu. Các em chưa chú trọng vấn đề học, nhiều học sinh còn nghỉ học
thường xuyên để đi làm phụ gia đình, có em bỏ học để đi chơi điện tử. Chính vì
vậy mà kết quả học tập của các em rất thấp, học sinh hiểu và làm được bài tập ít,
nhiều học sinh trung bình và có học sinh yếu.
Qua giảng dạy thực tế cho thấy, khi giáo viên sử dụng phương pháp dễ học, dễ
hiểu hay phương pháp tích cực, chủ động, các dạng bài tập có sự phân hóa phù hợp

với từng đối tượng học sinh thì lớp học sẽ sôi nổi và các em sẽ phát biểu nhiều hơn.
Với thực trạng như vậy tôi xin giới thiệu đề tài “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
TRỤC SỐ GIẢI NHANH BÀI TẬP VỀ DẤU CHO HS KHỐI 10-ỨNG DỤNG
ÔN THI THPT QUỐC GIA PHẦN TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM
SỐ”. Đề tài sẽ là tài liệu tham khảo mới cho giáo viên và học sinh THPT.
3. Giải pháp giải quyết vấn đề
3.1. Phương pháp “Sử dụng trục số để xét dấu”
Cho hàm số f ( x) =

H ( x)
trong đó H ( x) , Q( x) là tích các nhị thức bậc nhất và
Q( x)

tam thức bậc hai.
Bước 1: Giải nghiệm các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
Giả sử các nghiệm: x1 , x2 , …, xn
f(x) không xác định tại các nghiệm của Q( x)
Bước 2: Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần
Giả sử: x1 < x2 < … < xn Có 3 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Nếu các nghiệm không có 2 nghiệm nào là trùng nhau hay
7


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

x1 ≠ x2 ≠ ... ≠ xn
Thì ta chuyển sang bước 3.
Bước 3: Biểu diễn các nghiệm trên trục số

−∞

x1

x2

...

+∞

xn

Khoảng từ nghiệm lớn nhất ( xn ) đến dương vô cùng ( +∞ ) cùng dấu với dấu
của tích các hệ số của x có số mũ cao nhất (nhị thức bậc nhất là hệ số của x, tam
thức bậc hai là hệ số của x2). Học sinh có thể đếm dấu hệ số của ẩn x có số mũ cao
nhất, nếu lẻ dấu (-) thì tích mang dấu (-), nếu không có dấu, hoặc có chẵn dấu (-)
thì tích mang dấu (+) . Dấu của các khoảng còn lại ta áp dụng ngoài cùng trong trái
(ngoài tính từ nghiệm lớn nhất đến +∞ , đổi dấu qua mỗi nghiệm tính từ nghiệm lớn
nhất về −∞ )
Ví dụ: Giả sử có trục số

−∞

+

−

x1

x2

...

xn− 1

−

xn

+

+∞

Ví dụ 5: Xét dấu của f(x)
(2 x − 1)( x + 2)( x − 3)
f ( x) =
( x + 1)(3 x − 2)
Giải
(*) Giải theo sách giáo khoa:
2
3

f(x) không xác định tại x=-1 và x= .
Các nhị thức có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần là -2; -1;
x

−∞

2x-1
x+2
x-3

x+1
3x-2
f(x)

−2

-

0

1
2

−1

+
+

0

+
+
-

0

2
3

+

+
+
+

0

1 2
; ;3
2 3
+∞

3

+
+
+
+
-

0

+
+
+
+
+
+

1 2
2 3

f(x)>0 khi x ∈ (−2; −1) hoặc x ∈ ( ; ) hoặc x ∈ (3; +∞) ;
8


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn
1
2

2
3

f(x)<0 khi x ∈ (−∞; −2) hoặc x ∈ (−1; ) hoặc x ∈ ( ;3) .
(**) Giải theo phương pháp:
2
3

f(x) không xác định tại x=-1 và x= .
Các nhị thức có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: -2, -1,

1 2
, ,3
2 3

Ta xét dấu của tích 2.1.1.1.3 > 0 (tất cả các hệ số của x đều dương) vậy dấu
của khoảng từ 3 đến dương vô cùng là dấu (+)
1
2
+
−

3
2
3
1 2
f(x)>0 khi x ∈ (−2; −1) hoặc x ∈ ( ; ) hoặc x ∈ (3; +∞) ;
2 3
1
2
f(x)<0 khi x ∈ (−∞; −2) hoặc x ∈ (−1; ) hoặc x ∈ ( ;3) .
2
3
−∞

−

( −2)

+

(−1)

−

+

+∞

Ví dụ 6: Giải bất phương trình sau
( x 2 − 7 x + 10)(3x + 1)
<0

−2 x 2 + 7 x − 3

Giải
f(x) không xác định tại x=3 và x =

1
2

Các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng
1 1
3 2

dần là: − , , 2,3,5
Có một dấu (-) của hệ số x có số mũ cao nhất . Ta có trục số biểu diễn dấu như
sau:
−∞

+

1
(− )
3

−

1
2

+

2

−

1
3

3

Bpt có nghiệm trên các khoảng: − < x <

+

5

− +∞

1
và 2 < x < 3 và 5 < x < +∞
2

Nhận xét: Qua hai ví dụ trên, nếu ta lập bảng thì thời gian lập bảng đủ để ta
giải hai bài theo phương pháp trục số, và nếu nhìn vào thì trục số sẽ dễ nhìn, dễ lấy
các khoảng dấu hơn là bảng.
9


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

Ví dụ 7: Giải bất phương trình sau

( x 2 − 1) x
≥0
−6 + x 2 + x

Giải
f(x) không xác định tại x=2, x=-3
Nghiệm -3,-1,0,1,2
Không có dấu (-) của hệ số x có số mũ cao nhất . Ta có trục số biểu diễn dấu
như sau:
−∞

−

(−3)

+

(−1)

−

0

+ 1

−

2

+

+∞

Bpt có nghiệm trên các khoảng: −3 < x ≤ −1 và 0 ≤ x ≤ 1 và 2 < x < +∞
Trường hợp 2: Trong các nhị thức bậc nhất có hai nhị thức có nghiệm trùng
nhau hoạc tam thức bậc hai có nghiệm kép (nghiệm kép đó chính là nghiệm trùng
của hai nhị thức bậc nhất, ví dụ x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2)2 = ( x − 2)( x − 2) ), giả sử x1 =
xk (k ≤ n) .
Giả sử x1 = xk < x2 < x3 < … < xk −1 < xk +1 < ... < xn ta chuyển sang bước 4
Bước 4: Ta biểu diễn các nghiệm trên trục số

−∞

x1

x2

...

xk − 1

xk + 1

... xn

+∞

Khoảng từ nghiệm lớn nhất ( xn ) đến dương vô cùng ( +∞ ) cùng dấu với dấu
của tích các hệ số của x có số mũ cao nhất. Dấu của các khoảng còn lại ta áp dụng
ngoài cùng trong trái. Chú ý hai bên của nghiệm trùng (bên trái và bên phải) là

cùng dấu.
Ví dụ: Giả sử có trục số

−∞

+

x1

+

x2

−

x3 ... xk − 1

+

xk + 1 ... xn

+

+∞

Ví dụ 8: Xét dấu của biểu thức
f ( x) =

( x − 1)(3x + 2)( x − 2)
(2 x − 2)(3 x − 2)

Giải
(*)Giải theo sách giáo khoa:
10


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn
2
3

f(x) không xác định tại x=1 và x= .
2
3

2
3

Các nhị thức có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần là − , 1, ,2
x

−∞

x-1
3x+2
x-2
2x-2
3x-2
f(x)

−

-

2
3

+
+

0

2
3

1

0

+
+
+
+

0

+∞

2

0

+
+
+
+
-

0

+
+
+
+
+
+

2
3

2
3
2
2
f(x)<0 khi x ∈ (−∞; − ) hoặc ( ; 2)
3
3

f(x)>0 khi x ∈ (− ;1) hoặc (1; ) hoặc (2; +∞) ;

(**) Giải theo phương pháp:

2
3

f(x) không xác định tại x=1 và x= .
2
3

2
3

Các nhị thức có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần − , 1, ,2.
Ta thấy nhị thức x-1 và 2x-2 cùng nghiệm là x=1 và tất cả hệ số của x là
dương nên dấu của khoảng từ 2 tới +∞ là dấu (+), ta áp dụng ngoài cùng trong trái,
và do 1 là nghiệm trùng nên bên phải hay bên trái cùng dấu và sau đó ta lại áp dụng
ngoài cùng trong trái.
−∞

−

2
(− )
3

+

1

+

2

3

−

2

+

+∞

2
3

2
3
2
2
f(x)<0 khi x ∈ (−∞; − ) hoặc ( ; 2)
3
3

f(x)>0 khi x ∈ (− ;1) hoặc (1; ) hoặc (2; +∞) ;

Ví dụ 9: Xét dấu của biểu thức
(2 − x )(−2 x + 3)(5 x + 1)
x
f(x)=
.
(2 x + 2)(1 − )
2

Giải
11


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

Giải theo phương pháp:
f(x) không xác định tại x=-1 và x=2.
1
5

Các nhị thức có nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần -1, − ,

3
, 2, ta thấy 2 là
2

nghiệm trùng và các hệ số của x có lẻ dấu (-)
−∞

+

1
3
(− )
+
5
2
1 3

hoặc (− ; ) ;
5 2
3
hoặc ( ; 2) Hoặc (2; +∞) .
2

(−1)

f(x)>0 khi x ∈ (−∞; −1)
1
5

f(x)<0 khi x ∈ (−1; − )

−

−

2

−

+∞

Nhận xét: Trên bảng ta phải thể hiện đầy đủ các nhị thức, tam thức bậc hai và
nghiệm của nó còn ở trục số ta chỉ để ý đến các nghiệm.
Ví dụ 10: Giải bất phương trính sau
( x 2 − 5 x + 6)(1 − 2 x)
≥0
x2 − 2x + 1

Giải
f(x) không xác định tại x = 1
Ta thấy 1 là nghiệm trùng, hệ số của x có số mũ cao nhất có lẻ dấu (-)
−∞

+

1
2

−

1

Bpt có nghiệm khi: x ≤

−

2

+

3

−

+∞

1

hoặc 2 ≤ x ≤ 3
2

Nhận xét: Với những câu hỏi trắc nghiệm về dấu hoạc giải bpt, ta không cần
phải trình bày phần lý thuyết “f(x) không xác định tại…, nghiệm trùng là…” mà ta
có thể quy ước ký hiệu trên trục số luôn.
+) Ký hiệu
không xác định.

P trên trục

số dưới nghiệm nào nghĩa là tại nghiệm đó hàm số

+) Ký hiệu ≡ trên trục số dưới nghiệm nào nghĩa là nghiệm đó là nghiệm
trùng.
Ví dụ 11: Giải bất phương trình sau
(3x 2 − 5 x + 2)(1 − x)
≤0
(4 − 3x)(2 x 2 + 1)
12


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

Giải
−∞

+

2

3

−

1
≡

Bpt có nghiệm khi:

−

4
3
P

+

+∞

2
4
≤ x< .
3
3

Nhận xét: 2 x 2 + 1 = 0 là vô nghiệm, ta củng chỉ để ý đến dấu của hệ số x 2 là 2
(+) cùng với các hệ số còn lại và giải theo phương pháp.
Trường hợp 3: Có nhiều hơn hai nhị thức có nghiệm trùng nhau (có thể
chung một nghiệm hoặc nghiệm trùng của các nhị thức là khác nhau).
(*) Giả sử có nhiều hơn hai nhị thức (tam thức bậc hai ta xem như là 2 nhị

thức) có chung một nghiệm.
+) Nếu có lẻ nhị thức có chung một nghiệm (ví dụ 3,5,7… nhị thức có chung 1
nghiệm) ta trở về trường hợp 1.
+) Nếu có chẵn nhị thức có chung 1 nghiệm (ví dụ 4,6… nhị thức có chung 1
nghiệm) ta trở về trường hợp 2.
(*) Nghiệm trùng của các nhị thức (tam thức bậc hai ta xem như là 2 nhị
thức) là khác nhau.
Phương pháp giải trường hợp này là ta sử dụng tất cả các phương pháp của tất
cả các trường hợp đã học. Ta xem các nghiệm trùng đó nằm trong khoảng nào? số
nhị thức chứa nghiệm trùng là chẵn hay lẻ? Tích các hệ số của ẩn x là dương hay
âm? Khi đó ta sẽ xét được dấu của biểu thức f(x) đã cho.
3.2. Ứng dụng của sáng kiến vào giải các bài toán về tính đơn điệu và tìm
cực trị của hàm số.
+) Khi làm bài toán về xét tính đơn điệu hay tìm cực trị của hàm số (giải tích
12), ta thực hiện theo các bước: Tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm, lập trục số
thay bảng biến thiên và kết luận.
Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (bài 1a_tr 9_sgk giải tích
12_cơ bản)
y = x4 − 2 x2 + 3
13


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

Giải
x = 0

Ta có: y ' = 4 x − 4 x, y ' = 0 ⇔  x = 1 từ đó có trục số
 x = −1
3

−∞

−

(−1)

+

0

−

1

+

+∞

Hàm số đồng biến trên các khoảng: (−1, 0) và (1, +∞)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (−∞, −1) và (0,1) .
Ví dụ 2: Hàm số f(x) có đạo hàm f '( x) = x 2 ( x + 1) 2 ( x + 2) . Phát biểu nào sau
đây đúng? (bài 14_tr 11_ôn luyện trắc nghiệm thi THPT 2017, nhà xuất bản Đại
học sư phạm)
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−2, −1) ; (−1, 0) ; (0, +∞)
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−2, −1) ; (0, +∞)
C. Hàm số đồng biến trên (−∞, −2)
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞, −2) ; (0, +∞)
Giải
Ta có nghiệm -2,-1,0

Biểu diễn trên trục số
−∞

−

(−2)

+

(−1)

+

0

+

+∞

Theo trục số ta chọn A
Nhận xét: Do -1,0 là nghiệm kép (nghiệm trùng) nên ta có được dấu như trục
số. Bài này học sinh không biết lập bảng biến thiên ra sao, lấy dấu giữa các khoảng
thế nào. Nếu lập bảng xét dấu thì mất nhiều thời gian, dễ tâm lý và ảnh hưởng tới
các câu tiếp theo.
3
2
Ví dụ 3: Hàm số f ( x) có bao nhiêu cực trị nếu f '( x) = x ( x + 1)( x − 2) (câu 2_tr
39 luyện thi THPT Quốc gia 2017, nhà xuất bản Giáo dục)

A. có 3 điểm cực trị

B. có 1 điểm cực trị

C. không có cực trị

D. có 2 điểm cực trị

Giải
14


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

Ta có nghiệm -1,0,2
Biểu diễn trên trục số
−∞

+

(−1)

−

+

0

+

2

+∞

YCĐ
YCT
Nhìn vào trục số ta chọn D
Nhận xét: Nếu nắm vững kiến thức về cực trị thì khi có trục số ta có ngay đáp
số là 2 cực trị mà không cần dùng mũi tên. Ta hiểu nhanh, nếu từ (+) sang (-) là có
cực đại, nếu từ (-) sang (+) là có cực tiểu. Và ở đây có hai nghiệm trùng, một
nghiệm (2) của chẵn nhị thức và một nghiệm (0) của lẻ nhị thức. Nếu không nắm
được phương pháp trục số rất dễ làm sai bài này.
Ví dụ 4: Hàm số y =

x+1

khẳng định nào sau đây sai? (câu 30_ tr.132 luyện
x2 + 1
thi THPT Quốc gia 2017, nhà xuất bản Giáo dục)
A. hàm số đạt cực tiểu tại x=1

B. hàm số đạt cực đại tại x=1

C. hàm số có 1 cực trị là y = 2

D. tập xác định của hàm số là R

Giải

1− x
, y' = 0 ⇒ x =1

x2 + 1
Biểu diễn trên trục số

Ta có y ' =
−∞

+

−

1

+∞

Từ trục số ta chọn A
Ví dụ 5: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = − x 4 + 4 x 2 − 2
x 2 ( x + 3)3
b) y ' =
x −1

Giải
a) y ' = −4 x3 + 8 x , các nghiệm − 2, 0, 2
−∞

+

(− 2)

−

0

+

2

−

+∞
15


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

2

2
-2

HS đồng biến trên khoảng: (−∞, − 2) ; (0, 2)
HS nghịch biến trên khoảng: (− 2, 0) ; ( 2, +∞)
HS đạt cực đại yCĐ = 2 tại x= − 2 , x= 2
HS đạt cực tiểu y = -2 tại x=0
CT

b) Ta có nghiệm -3,0,1 biểu diễn trên trục số
−∞

+

−3

−

0
≡

−

1
P

+

+∞

0
P

HS đồng biến trên khoảng: (−∞, −3) ; (1, +∞)
HS nghịch biến trên khoảng: (−3, 0) ; (0,1)
HS đạt cực đại y = 0 tại x=-3
CĐ

HS không có cực tiểu
4. Hiệu quả của sáng kiến
Qua quá trình thực nghiệm, tôi đã sử dụng phương pháp “Sử dụng trục số để
xét dấu” vào dạy lớp 10A3, 10A7 (năm học 2016-2017), ôn thi THPT Quốc Gia
lớp 12A3, 12A4 (năm học 2016-2017) trường THPT Quan Sơn qua các tiết tự

chọn, dạy phụ đạo, bồi dưỡng, ôn thi THPT cùng thời gian và chéo nhau với
phương pháp pháp giải theo sách giáo khoa. Sau khi dạy song, tôi tiến hành kiểm
tra khả năng lĩnh hội kiến thức của học sinh và thời gian làm bài bằng cách ra bài
tập và học sinh làm bài theo hai phương pháp. Bước đầu thu được kết quả như sau:
- Phương pháp sách giáo khoa ( PPSGK)
- Phương pháp sử dụng trục số xét dấu (PPTS)
+) Thời gian làm theo PPSGK gấp đôi thời gian làm theo PPTS.
+) Học sinh thi THPT Quốc gia tất cả sử dụng PPTS vào bài toán xét tính đơn
điệu và tìm cực trị của hàm số.
16


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

+) Số điểm học sinh khối 10 làm bài tập về dấu của nhị thức bậc nhất, tam
thức bậc hai theo hai phương pháp như sau:
Số

Lớp
PPSGK

10A
10A
10A

PPTS

10A

3

7
3
7

Số học sinh đạt điểm x

i

HS

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

37

0

1

4

4

5

7

9

6

1

0

35

0

2

4

5

7

9

5

3

0

0

37

0

0

0

1

5

7

8

7

6

3

35

0

0

2

2

6

6

7

7

4

1

Bảng 1. Bảng tần số
Phương

Số

Số học sinh đạt điểm x

i

HS 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

PPSGK

72

0

3

8

9

12

16

14

9

1

0

PPTS

72

0

0

2

3

11

13

15

14

10

4

4

5

6

7

8

9

10

pháp

Bảng 2. Bảng tần suất
x

i

1

2

3

PPSGK(%) 0

4,2 11

12,5

16,7

22,2

19,4

12,5

1,5

0

PPTS (%)

0

4,2

15,3

18

21

19,4

14

5,3

0

2,8

Qua kết quả nghiên cứu ta thấy rằng, ở PPTS tỷ lệ đạt điểm khá giỏi đều cao
hơn PPSGK. Ngược lại, tỷ lệ điểm trung bình và dưới trung bình của PPSGK lại
cao hơn. Điều đó phần nào cho thấy học sinh học theo PPTS tiếp thu kiến thức tốt
hơn. Một trong những nguyên nhân đó là: Ở lớp khi học PPTS, học sinh dễ hiểu,
làm được bài và làm bài trong thời gian ngắn, học sinh hứng thú học tập, tích cực,
chủ động, số lượng học sinh tham gia xây dựng bài nhiều làm cho không khí lớp
học sôi nổi kích thích sự sáng tạo, chủ động nên khả năng hiểu và nhớ bài tốt hơn.
17

Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

PH ẦN 3. KẾT LUẬN
Với sự đổi mới từ Bộ GD&ĐT cùng với đặc thù về chất lượng học sinh trường
THPT Quan Sơn. Mỗi giáo viên phải lựa chọn phương pháp dạy học, bài tập phù
hợp với từng đối tượng học sinh và phù hợp với sự thay đổi từ Bộ GD&ĐT. Tôi
học hỏi, tìm hiểu và lựa chọn phương pháp giảng dạy củng như bài tập mà học
sinh dễ tiếp cận, dễ học, dễ làm, sau đó mới nâng cao dần và có sự phân loại bài
tập cho từng đối tượng học sinh. Trong đề tài này tôi đã thiết kế, xây dựng các ví
dụ một cách có hệ thống, nâng dần mức độ phức tạp và độ khó cao hơn theo 4 mức
độ của nhận thức là
1, Nhận biết

2, Thông hiểu

3, Vận dụng

4, Sáng tạo

Trong các tiết dạy tự chọn, phụ đạo, ôn buổi chiều và ôn thi THPT Quốc Gia
tôi đã hướng dẫn học sinh một cách chi tiết, hình thành cho các em kỹ năng giải bài
toán nhanh nhất, chính xác nhất. Chính vì vậy mà chất lượng học sinh ngày càng
được nâng lên, học sinh yêu thích môn toán nhiều hơn. Ngoài mỗi dạng toán, mỗi
ví dụ đã làm tôi còn cho hệ thống bài tập tương tự về nhà cho các em tự luyện.
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TRỤC SỐ
GIẢI NHANH BÀI TẬP VỀ DẤU CHO HS KHỐI 10-ỨNG DỤNG ÔN THI
THPT QUỐC GIA PHẦN TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ” là
một số kinh nghiệm từ bản thân đã đúc rút và hình thành trong quá trình giảng dạy

phần dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, ôn thi THPT Quốc Gia rất
mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện và có ứng dụng
rộng hơn. Qua đề tài này tôi củng muốn cung cấp cho học sinh trường THPT Quan
Sơn nói riêng và học sinh trường THPT nói chung thêm một nguồn tài liệu tham
khảo.

18


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Quan Sơn, ngày 3 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Đào Văn Phúc

19


Toan THPT - Dao Van Phuc - THPT Quan Sơn - Quan Sơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo-Vũ Tuấn. Đại số 10 (cơ bản). NXB giáo dục
2. Đoàn Quỳnh-Nguyễn Huy Đoan. Đại số 10 (nâng cao). NXB giáo dục
3.Vũ Tuấn. Bài Tập Đại Số 10 (cơ bản). NXB Giáo Dục
4. Nguyễn Huy Đoan. Bài Tập Đại Số 10 (nâng cao). NXB giáo Dục
5. Trần Văn Hạo-Vũ Tuấn. Giải tích 12 (cơ bản). NXB giáo dục
6. Phạm Hoàng Quân-Nguyễn Sơn Hà. Ôn luyện trắc nghiệm thi THPT Quốc

Gia môn toán 2017. NXB đại học sư phạm
7. Phạm Đức Tài. Luyện thi THPT Quốc Gia năm 2017. NXB giáo dục
8. www.tuyensinh247.com

20