Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán có nội dung thực tế ôn thi THPT quốc gia

MỤC LỤC
Nội dung

I

Trang
PHẦN MỞ ĐẦU
1
1/ Lý do chọn đề tài ……………………………………………………
1
2/ Mục đích nghiên cứu…………………………………………………
1
3/ Đối tượng nghiên cứu………………………………………………………
2
4/ Phương pháp nghiên cứu………………………………………………….

2

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2

1/Cơ sở lí luận của vấn đề……………………………………………………

2

2/Thưc trạng của vấn đề cần nghiên cứu…………………………………...

2

3/Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề……....................................

3

Bài toán 1: Lãi suất ngân hàng
Công thức 1: Tiền gửi hàng tháng…………………………………..

3
3

Công thức 2: Gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng………………...

4

Công thức 3: Vay vốn trả góp ……………………………. ………

5

Công thức 4: Tăng lương theo kì hạn……………………………….

6

Bài toán 2: Bài toán thực tiễn gắn với lao động và sản suất
Nhóm 1: Bài toán về quãng đường………………………………….

7
7

Nhóm 2: Bài toán diện tích hình phẳng……………………………..

8

Nhóm 3: Bài toán liên hệ diện tích, thể tích.......................................

10

Nhóm 4: Bài toán liên quan đến mũ, loga..........................................

14

Nhóm 5: Bài toán ứng dụng tích phân, mối quan hệ đạo
hàm-nguyên hàm………………………………………….................
III KẾT LUẬN
.
1/ Kết quả thu được………………………………..................................

15

2/ Bài học kinh nghiệm rút ra…………………………………...............
3/Kiến nghị , đề xuất………………………………………….................

20
20

II

20
20

I. PHẦN MỞ ĐẦU
I.1/ Lý do chọn đề tài
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiên bộ,
hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Chính vì thế các
bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học toán là không thể không đề cập đến.
Vai trò toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến
bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản suất và đời sống xã
hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự
động hóa trong sản suất, mở rộng phạm vị ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu
của mọi khoa học tiến tới cuộc cách mạng 4.0.
Toán học có vai trò như vậy không phải ngẫu nhiên mà chính sự liên hệ thường
xuyên với thực tiễn lao động sản suất của con người và ngược lại toán học là công
cụ đắc lực khám phá thế giới tự nhiên.
Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống và lao động sản suất
còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông đặc biệt là
chương trình lớp 12, như vậy trong quá trình giảng dạy toán, nếu muốn tăng cường
rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng toán học cho học sinh nhất thiết phải mở
rộng phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý và
thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho
toán học không trừu tượng, khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến
thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua
đó làm tăng thêm nổi bật nguyên lý “ Học đi đôi với hành” Giáo dục kết hợp với lao
động sản suất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục
gia đình và giáo dục xã hội.
Nội dung chương trình toán lớp 12 là nội dung vô cùng quan trọng nó có vị trí
quyết định trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017 và những năm tiếp theo, theo lộ
trình đổi mới toàn diện giáo dục Việt Nam. Năm 2017 kì thi THPT Quốc gia cũng
có nhiều điểm mới đặc biệt bài thi môn toán thi theo hình thức trắc nghiệm khách
quan. Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở các trường THPT mới chỉ tập trung rèn
luyện cho học sinh vận dụng tri thức toán học ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức

trong nội bộ toán học là chủ yếu còn kỹ năng vận dụng tri thức trong toán học vào
nhiều môn khác nhau trong đời sống thực tiễn chưa được quan tâm đúng mức và
thường xuyên, chưa nói đến là kỹ thuật làm bài trắc nghiệm, đặc biệt khi giải bài
toán có nội dung thực tiễn mất quá nhiều thời gian đọc đề và suy luận.
Với những lý do như trên tôi chọn đề tài:
‘‘ MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI
TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TẾ ÔN THI THPT QUỐC GIA ”

1


I.2/ Mục đích nghiên cứu:
- Giúp học sinh đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017
- Phát huy kĩ năng vận dụng toán học vào các bài toán thực tế trong đời sống lao
động và sản suất.
- Tạo và định hướng giải các bài toán có nội dung thực tiễn trong thời gian ngắn
nhất.

I.3/ Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh có lực học từ trung bình khá môn toán trở lên trong chương trình THPT
áp dụng cho học sinh khối 12

I.4/ Phương pháp nghiên cứu:
Tổng hợp có suy luận logic hình thành công thức tổng quát.

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
II.1/Cơ sở lí luận của vấn đề.
- Cấp số cộng - Cấp số nhân
- Đạo hàm, bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.
- Giải tam giác, cực trị trong hình học

- Kiến thức lũy thừa - hàm số mũ và logarit.
- Công thức lãi kép - lãi suất ngân hàng.

II.2/Thưc trạng của vấn đề cần nghiên cứu
II.2.1/Thực trạng
Bài toán có nội dung thực tiễn là một trong những lĩnh vực khá lý thú thường
xuyên được đề cập. Đối với loại toán này học sinh thường hay lúng túng và không
tìm ra con đường giải quyết và thường sợ dẫn đến không chịu làm và hay có những
kết luận sai lầm. Trong quá trình giảng dạy của mình, có một lần tôi đưa ra cho học
sinh của mình giải toán sau :
Bạn Hồi trúng tuyển vào trường đại học Hồng Đức nhưng vì do không đủ nộp
học phí nên Hồi quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm vay 3.000.000
đồng để nộp học phí với lãi suất 3% /năm. Sau khi tốt nghiệp đại học bạn Hồi phải
trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất 0,25%/tháng trong vòng
5 năm. Số tiền T hàng tháng mà bạn Hồi phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến kết
quả hàng đơn vị) là:
A. 232289 đồng.
B. 215456 đồng.
C. 309604 đồng .
D. 232518 đồng
.

2


II.2.2/Kết quả thu được
Khi chấm bài của các em, tôi thấy nhiều em không làm xong bài toán. Các em đa
số giải được ý sau khi học song 4 năm bạn Hồi đã nợ với số tiền.Còn lại là chưa tìm
ra được đáp án đúng.
Thực ra đây là bài toán tôi thấy tâm đắc, là bài toán không khó nếu ta chỉ cần một

chút về óc quan sát, cùng với năm vững lí thuyết về bài toán lãi suất ngân hàng( bài
toán trả góp) để đưa về công thức.
Cụ thể như sau :
* Áp dụng công thức lãi kép P = a(1+r)n với a là tiền gốc ban đầu, r là % lãi
suất, n là số kỳ tính lãi (tháng hay quí hay năm)
+ Đầu năm thứ nhất lấy 3 triệu lãi kép trong 4 năm 3 ( 1 + r )
+ Đầu năm thứ hai lấy 3 triệu lãi kép trong 3 năm 3 ( 1 + r )
+ Đầu năm thứ ba lấy 3 triệu lãi kép trong 2 năm 3 ( 1 + r )
+ Đầu năm thứ tư lấy 3 triệu lãi kép trong 1 năm 3 ( 1 + r )

4

3

2

1

2
3
4
Tổng số tiền bạn Hồi nợ trong 4 năm học là A = 3 ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ( 1 + r ) 

3
4
A =  ( 1 + r ) − 1 ( 1 + r ) = 12927407 đồng


r

* Vay A đồng, lãi suất r%/tháng. Cứ sau đúng 1 tháng trả T đồng. Định T để sau n
tháng là hết nợ.
Sau tháng thứ 1, còn nợ A(1+r) - T
Sau tháng thứ 2, còn nợ [A(1+r) - T](1+r) - T = A(1+r)2 - [(1+r) + 1] T
Sau tháng thứ 3, còn nợ {A(1+r)2 - [(1+r) + 1] T}(1+r) - T = A(1+r) 3 - [(1+r)2 +
(1+r) + 1] T
...
Sau tháng thứ n hết nợ, nên A(1+r)n - [(1+r)n-1 + (1+r)n-2 +... + 1] T = 0
⇔ A(1+r)n -

Ar (1 + r ) n
(1 + r ) n − 1
⇔
.T = 0
T=
= 232289 đồng
(1 + r ) n − 1
r

Chọn đáp án A
Trong quá trình giảng dạy ở các lớp khối 12 và ôn thi đội tuyển tỉnh Casio, ôn thi
THPT Quốc gia 2017 tôi đã vận dụng ‘‘ Hướng dẫn học sinh khối 12 giải bài
toán có nội dung thực tế ’’ vào học sinh trường THPT Trần Phú - Nga Sơn, các em
tiếp thu phát triển rất cao về óc quan sát, linh cảm tinh tế, kết quả thu được rất khả
quan. Từ đó tôi mạnh dạn đưa ra chuyên đề này gồm hai bài toán :
Bài toán 1: Lãi suất ngân hàng
Bài toán 2: Bài toán thực tiễn gắn với lao động và sản suất

3

II.3/ Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Bài toán 1: Lãi suất ngân hàng
Trong phần này tôi đưa ra các công thức cho từng dạng toán hướng dẫn học sinh
hình thành công thức xen kẽ là lấy ví dụ..
Công thức 1: TIỀN GỬI HÀNG THÁNG
Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%
*
một tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n ∈ N )
A
n
là : S n =  ( 1 + r ) − 1 ( 1 + r )
r

Hướng dẫn học sinh hình thành công thức
Gọi Sn là số tiền vỗn lẫn lãi sau n tháng, A là số tiền hàng tháng gởi vào ngân hàng
và r ( % ) là lãi suất kép. Ta có:
S1 = A.r ,
S2 = ( Ar + A ) ( 1 + r ) = A ( 1 + r )

(

2

)

S3 = A ( 1 + r ) + A ( 1 + r ) = A ( 1 + r ) + A ( 1 + r )
2

…

Sn = A ( 1 + r )

n −1

+ ... + A ( 1 + r ) = A.

2

(

)

r +1
n
( 1 + r ) − 1 ,n ≥ 2
r

Ví dụ 1. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép là
0,6%/ tháng. Biết lãi suất không thay đổi trong quá trình gửi. Hỏi sau 2 năm người
đó lãi bao nhiêu?
A. 528 645 120 đồng
B. 298 645 120 đồng
C. 538 645 120 đồng
D. 418 645 120 đồng
Hướng dẫn giải:

(

)

r +1
n
( 1 + r ) − 1 ,n ≥ 2
r
6
Áp dụng với A = 20.10 đồng, r = 0,08 , n = 24 tháng, ta có số tiền lãi.
Sn = A ( 1 + r )

n −1

+ ... + A ( 1 + r ) = A.

Ví dụ 2. . Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo
hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng.Biết sau 15 tháng người đó có số tiền
là 10 triệu đồng.Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau ?
A.535.000
B. 635.000
C. 613.000
D. 643.000
T

Hướng dẫn giải: 10.000.000 = 0, 6% ( 1 + 0, 6% ) − 1 . ( 1 + 0, 6% ) ⇒ T = 635.000
Đáp án: B
Công thức 2: GỬI NGÂN HÀNG VÀ RÚT TIỀN GỬI HÀNG THÁNG.
Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r% một tháng.Mối tháng vào ngày ngân
hàng tính lãi, rút ra số tiền T đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?
Hướng dẫn học sinh hình thành công thức
Sau tháng thứ 1, S1= A(1+r) - T
Sau tháng thứ 2, S2 = [A(1+r) - T](1+r) - T = A(1+r)2 - [(1+r) + 1] T
15

4


Sau tháng thứ 3, S3= {A(1+r)2 - [(1+r) + 1] T}(1+r) - T = A(1+r) 3 - [(1+r)2 +
(1+r) + 1] T
...
Sau tháng thứ n, Sn= A(1+r)n - [(1+r)n-1 + (1+r)n-2 +... + 1] T
Công thức số tiền còn lại sau n tháng là: Sn = A ( 1 + r )

n

(1+ r )
−T.

n

−1

r

Ví dụ 3. Anh Hải gửi ngân hàng 20 tỷ với lãi suất 0,75% mỗi tháng. Mỗi tháng vào
ngày ngân hàng tính lãi, Anh Hải đến ngân hàng rút 300 triệu đồng để chi tiêu.Hỏi
sau 2 năm số tiền còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu?
A.11 tỷ
B.15 tỷ
C.13 tỷ
D.16 tỷ
LG: S24 = 20.10 . ( 1, 0075 )
9

24

( 1, 0075)
− 300.10 .

24

6

−1

0, 0075

≈ 16, 07.109 đồng. Chọn D.

Ví dụ 4. Bố Hồi gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7% mỗi tháng. Mỗi
tháng vào ngày ngân hàng tính lãi , Bố Hồi rút một số tiền như nhau để chi tiêu. Hỏi
số tiền mỗi tháng Bố Hồi rút ra là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?
A. 300.000đ
B.450.000đ
C.402.000đ
D.409.000đ
LG: 0 = 20.10 ( 1 + 0, 7% )
6

5.12

( 1 + 0, 7% )
− X.

5.12

1 + 0, 7%

nhấn SHIFT SOLVE X = 409367,376.
Chọn đáp án D

Công thức 3: VAY VỐN TRẢ GÓP
Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suấ r%/tháng.Sau đúng một tháng kể từ
ngày vay, bắt đầu hoàn nợ;hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi tháng
hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
- Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân
hàng và rút tiền hàng tháng: Sn = A ( 1 + r ) n − T . (

n
Ar (1 + r ) n
1 + r ) −1
Với Sn = 0 ⇔ T =
(1 + r ) n − 1
r

Chú ý
- Ngược lại vay A đồng, lãi suất r%/tháng. Cứ sau đúng 1 tháng trả T đồng. Hỏi
sau bao nhiêu tháng, hết nợ.
Theo lập luận như trên, ta có phương trình A(1+r)n -

(1 + r ) n − 1
.T = 0
r

(n chưa biết) ⇔ Ar(1+r)n = [(1+r)n -1]T ⇔ (1+r)n (T - Ar) = T
⇔ n = log1+ r

T
.
T − Ar

ĐK T > Ar > 0

Ví dụ 5. Một người vay 100 triệu đồng, trả góp theo tháng trong vòng 36 tháng, lãi

suất là 0,75% / tháng. Số tiền người đó phải trả hàng tháng (trả tiền vào cuối tháng,
số tiền làm tròn đến hàng nghìn) là:
A. 3180000
B. 3179000
C. 75000000
D. 8099000
Hướng dẫn giải:

5


Để hết nợ sau n tháng thì số tiền T phải trả là:
A( 1+ r )

n

( 1+ r )
− T.

n

−1

r

=0⇔T =

Ar ( 1 + r )

( 1+ r )

n

n

−1

100000000.0,75%.(1 + 0,75% )
Tiền người đó phải trả hàng tháng:
(1 + 0,75% ) 36 − 1

36

≈ 3180000

Chọn đáp án A
Ví dụ 6. Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả
góp với lãi suất 0,5% mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất ông

hoàn nợ cho ngân hàng 5.600.000 đồng và chịu lãi số tiền chưa trả. Hỏi sau khoảng
bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền đã vay?
Hướng dẫn giải:
5,6

Áp dụng CT( chú ý ) trên, n = log1,005 5,6 − 300.0,005 ≈ 62,5. Vì n nguyên dương
nên chọn n = 63
Công thức 4: TĂNG LƯƠNG THEO KÌ HẠN
- Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ n tháng thì lương
người đó được tăng thêm r% /tháng. Hỏi sau nk tháng người đó được lĩnh tất cả bao
nhiêu?
1+ r )
Công thức tính: T = Ak . (

k

−1

r

Hướng dẫn học sinh hình thành công thức
+ Tiền lương n tháng đầu: T1 = A.k
+ Tiền lương n tháng thứ hai: T2 = T1 + T1 × 7% = T1 (1 + r )
+ Tiền lương n tháng thứ ba: T3 = T1 (1 + r ) + T1 (1 + r ) × r = T1 (1 + r ) 2
+ Tiền lương n tháng thứ tư: T4 = T1 (1 + r )3
……………………
+ Tiền lương n tháng thứ k: Tk = T1 (1 + r )k −1
k
u1 (1 − q k ) T1 (1 + r ) − 1
=

Tổng tiền lương sau nk tháng là T = T1 + T2 + .... + Tk =
1− q
r

Ví dụ 7. Một anh công nhân được lĩnh lương khởi điểm là 700.000đ/tháng. Cứ ba
năm anh ta lại được tăng lương thêm 7%. Hỏi sau 36 năm làm việc anh công nhân
được lĩnh tổng cộng bao nhiêu tiền (lấy chính xác đên hàng đơn vị)
A. 456.788.972
B. 450.788.97 C. 452.788.972
D. 454.788.972
Hướng dẫn giải
Tổng tiền lương sau 36 năm
T = T1 + T2 + .... + T12 =

[

]

u1 (1 − q 12 ) T1 1 − (1 + 7%)12
=
= 450.788972
1− q
1 − (1 + 7%)

6


Ví dụ 8. Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng
thì lương người đó được tăng thêm 7%/ tháng. Hỏi sau 36 tháng thì người đó lính
được tất cả bao nhiêu?

A.Gần 644 triệu B.Gần 623 triệuC. Gần 954 triệu
D. Gần 700 triệu
Hướng dẫn giải
S36

( 1, 07 )
= 3.10 .12.

12

6

0, 07

−1

≈ 643984245,8 đồng. chọn A

Bài toán 2: Bài toán thực tiễn gắn với lao động và sản suất
Trong phần này tôi trình bày chi tiết các bài toán( theo nhóm chủ đề) có nội dung
gắn liền với thực tiễn như bài toán về quãng đường,bài toán liên quan đến hóa học,
vật lý, sinh học…./
Nhóm 1: Bài toán về quãng đường
Ví dụ 9. Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một
điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo
cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là
50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới
nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ
biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’
sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách

A một đoạn bằng:
A. 6.5km
B. 6km
C. 0km
D.9km
Hướng dẫn giải
Đặt x = B ' C ( km) , x ∈ [0;9]
BC = x 2 + 36; AC = 9 − x

Chi phí xây dựng đường ống là C ( x ) = 130.000 x 2 + 36 + 50.000(9 − x )


(USD )


− 5÷
2
 x + 36

25
5
2
2
2
⇔x=
C '( x ) = 0 ⇔ 13x = 5 x 2 + 36 ⇔ 169 x = 25( x + 36) ⇔ x =
4
2
5
C (0) = 1.230.000 ; C  ÷ = 1.170.000 ; C (9) ≈ 1.406.165

2
Vậy chi phí thấp nhất khi x = 2,5 . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km.
Ví dụ 10. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách

Hàm C ( x ) , xác định, liên tục trên [0;9] và C '( x ) = 10000. 

13x

đến bờ biển AB = 5km.Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C
cách B một khoảng 7km.Người canh hải đăng có thể chèo đò
từ A đến M trên bờ biểnvới vận tốc 4km/ h rồi đi bộ đến C
với vận tốc 6km/ h .Vị trí của điểm M cách B một khoảng bao
nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?
7


A. 0 km

B. 7 km

Hướng dẫn giải
Đặt BM = x(km) Þ MC = 7-

D. 14+ 5 5 km

C. 2 5 km

12

x(km) ,(0 < x < 7) .

x 2 + 25
Ta có: Thời gian chèo đò từ A đến M là: t AM =
( h).

Thời gian đi bộ đi bộ đến C là: tMC

7− x
=
( h)
6

4

x 2 + 25 7 − x
Thời gian từ A đến kho t =
+
4

Khi đó: t ′ =

6

x

1
− , cho t ′ = 0 ⇔ x = 2 5
4 x + 25 6
2

Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi

x = 2 5(km).

Ví dụ 11.Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn
Đảo (điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A
đến B là 100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi
km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ
A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất.
A: 40km
B: 45km
C: 55km
D: 60km
Hướng dẫn giải
Gọi BG = x(0 < x < 100) ⇒ AG = 100 − x
Ta có GC = BC 2 + GC 2 = x 2 + 3600
Chi phí mắc dây điện:
f (x) = 3000.(100 − x) + 5000 x 2 + 3600
Khảo sát hàm ta được: x = 45 . Chọn B.

Ví dụ 12. Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả
hai tàu cùng khởi hành, một chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy
về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ giờ. Hãy xác định mà thời
điểm mà khoảng cách của hai tàu là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là
d.
Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 +
(6t)2
Suy ra d = d(t) = 85t2 − 70 + 25 .

A

B
d

B

1

A1
8


Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất
khi t =

7
(giờ), khi đó ta có d ≈ 3,25 Hải lý.
17

Nhóm 2: Bài toán diện tích hình phẳng
Ví dụ 13.Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng
"Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, l là độ dài
đường biên giới hạn của tiết diện này, l - đặc trưng cho khả năng thấm nước của
mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, l là nhỏ
nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng
thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)
A. x = 4 S , y =

S
4

B. x = 4 S , y =

S
2

C. x = 2S , y =

S
4

D. x = 2S , y =

S
2

Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy;
l = 2y + x =

2S
2S
−2S
x 2 − 2S
+ x . Xét hàm số l (x) =
+ x . Ta có l ' (x) = 2 + 1 =
.
x

x
x
x2

l ' (x) = 0 ⇔ x 2 − 2S = 0 ⇔ x = 2 S , khi đó y =

S
=
x

S
.
2

Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước
của mương là x = 2S , y =

S
thì mương có dạng thuỷ động học.
2

Ví dụ 14. Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là
hình chữ nhật, có chu vi là a(m) ( a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi
hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt).
Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
2a

a

A. chiều rộng bằng 4 + π , chiều cao bằng 4 + π

a
2a
B. chiều rộng bằng 4 + π , chiều cao bằng 4 + π
C. chiều rộng bằng a(4 + π ) , chiều cao bằng 2a(4 + π )

S1
S2

D. Đáp án khác
2x
Hướng dẫn giải
Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt là π x ,
tổng ba cạnh của hình chữ nhật là a − π x . Diện tích cửa sổ là:
S = S1 + S2 =

π x2
a − π x − 2x
π
π
a
+ 2x
= ax − ( + 2)x 2 = ( + 2)x(
− x)
π
.
2
2
2
2
+2

2

9


Dễ thấy S lớn nhất khi

x=

a

π
+2
2

−x

a

hay x = 4 + π .(Có thể dùng đạo hàm hoặc đỉnh
a

Parabol) Vậy để S max thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng 4 + π ; chiều
2a

rộng bằng 4 + π
Nhóm 3: Bài toán liên hệ diện tích, thể tích
Ví dụ 15. Có một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm
nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x(cm) rồi gấp
tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hình

hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A. x = 6
B. x = 3
C. x = 2
D. x = 4
Hướng dẫn giải
Độ dài cạnh đáy của cái hộp: 12 − 2 x. Diện tích đáy của cái hộp: (12 − 2 x)2 .
Thể tích cái hộp là: V = (12 − 2x)2 .x = 4 x 3 − 48 x 2 + 144 x với x ∈ (0;6)
Ta có: V '(x) = 12 x 3 − 96 x 2 + 144 x. Cho V '(x) = 0 , giải và chọn nghiệm x = 2.
Lập bảng biến thiên ta được Vmax = 128 khi x = 2.
Ví dụ 16. Một Bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp
chữ nhật có thể tích 3200cm3 , tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng
2 . Hãy xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
A. 1200cm2
B. 160cm2
C. 1600cm2
D. 120cm2
Hướng dẫn giải
Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga.
Gọi h là chiều cao của hố ga ( h > 0). Ta có

h
= 2 => h = 2x ( 1)
x

suy ra thể tích của hố ga là : V = xyh = 3200 => y =

3200 1600
= 2 ( 2)
xh

x

Diện tích toàn phần của hố ga là:
S = 2xh + 2yh + xy = 4x2 +

6400 1600
8000
+
= 4x2 +
= f (x)
x
x
x

Khảo sát hàm số y = f (x),( x > 0) suy ra diện tích toàn phần của hố ga nhỏ nhất
bằng 1200cm2 khi
x = 10cm => y = 16cm Suy ra diện tích đáy của hố ga là 10.16 = 160cm2

Ví dụ 17. Bạn Minh là một học sinh lớp 12, bố
bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc
thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120
cm theo cách dưới đây:
10


Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có
thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:
A. 35cm;25cm
B. 40cm;20cm
C. 50cm;10cm

D. 30cm;30cm
Hướng dẫn giải
Gọi một chiều dài là x( cm) (0 < x < 60) , khi đó chiều còn lại là 60- x( cm) , giả sử quấn
cạnh có chiều dài là x lại thì bán kính đáy là

r=

x
; h = 60- x. Ta
2p

có:

- x3 + 60x2
.
4p
3
2
số: f (x) =- x + 60x , x Î ( 0;60)

V = pr 2.h =

Xét hàm

éx = 0
f '(x) =- 3x2 + 120x; f '(x) = 0 Û ê
êx = 40
ë
3
2

Lập bảng biến thiên, ta thấy f (x) =- x + 60x ,x Î ( 0;60) lớn

nhất khi x=40. 60-x=20.
Khi đó chiều dài là 40 cm; chiều rộng là 20 cm. Chọn đáp án B
Đạo hàm lập BBT ta tìm đc f (x) GTNN tại x = 1 , khi đó h = 2.
Ví dụ 18.Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn
làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn
lại thành hình nón ( Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt
cung tròn của hình quạt bằng

A. π 6 cm

C. 2π 6 cm

B. 6π 6 cm

D. 8π 6 cm

Hướng dẫn giải

Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.
Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn
đáy của hình nón sẽ có độ dài là x.
Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2π r = x ⇒ r =

x
.
2π

Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h = R 2 − r 2 = R 2 −

1
3

Thể tích của khối nón: V = π r 2 .H =

2

π x 

÷
3  2π 

R2 −

x2
.
4π 2

x2
.
4π 2

11


Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:
 x2
x2
x2
2

+
+R −
4π 2 x 2 x 2
x2
4π 2  8π 2 8π 2
4π 2
V2 =
. 2 . 2 (R2 −
)
≤

2
9 8π 8π
4π
9 
3



Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi

x2
x2
2
=
R
−
8π 2
4π

3


÷ 4π 2 R 6
.
÷=
9 27
÷
÷

2π
⇔ x=
R 6 ⇔ x = 6 6π
3

(Lưu ý bài toán có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải
bài toán sẽ dài hơn)
Ví dụ 19. Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng 2 m. Nam muốn mắc
một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được
nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi
công thức C = c

sin α
( α là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c - hằng số
l2

tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) .
Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là
A. 1m
B. 1,2m

C. 1.5 m
D. 2m
Hướng dẫn giải

Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bóng điện; I là hình
chiếu của Đ lên mặt bàn. MN là đường kính của mặt bàn.( như hình vẽ)
Ta có sin α =
C ' ( l ) = c.

h
l2 − 2
và h 2 = l 2 − 2 , suy ra cường độ sáng là: C (l ) = c 3
(l > 2) .
l
l

6 − l2
l 4. l 2 − 2

(

> 0 ∀l > 2

)

(

C '( l ) = 0 ⇔ l = 6 l > 2

)

Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất khi l = 6 , khi đó h = 2
Ví dụ 20. Nhân ngày phụ nữ Việt Nam 20 -10 năm 2017 , ông Hồi quyết định mua
tặng vợ một món quà và đặt nó vào trong một chiếc hộp có thể tích là 32 ( đvtt ) có
đáy hình vuông và không có nắp . Để món quà trở nên thật đặc biệt và xứng đáng
với giá trị của nó ông Hồi quyết định mạ vàng cho chiếc hộp , biết rằng độ dạy lớp
mạ tại mọi điểm trên hộp là như nhau . Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần
lượt là h;x . Để lượng vàng trên hộp là nhỏ nhất thì giá trị của h;x phải là ?

12


A. x = 2;h = 4

B. x = 4;h = 2

C.

x = 4;h =

3
2

D.

x = 1; h = 2

Hướng dẫn giải
Ta có

ìï S = 4xh + x2
ïï
32
128
ïí
Þ S = 4x. 2 + x2 =
+ x2
ïï V = x2h ® h = V = 32
x
x
ïïî
x2 x2

, để lượng vàng cần dùng là nhỏ

nhất thì Diện tích S phải nhỏ nhất ta có
S=

128
128
+ x2 = f ( x) ® f' ( x) = 2x - 2 = 0 Þ x = 4 , h= 2
x
x

Chọn đáp án B
Ví dụ 21. Một người có một dải ruy băng dài 130cm, người đó cần bọc dải ruy băng
đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10cm của dải ruy
băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải dây duy băng có thể
bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là là nhiêu ?

4000p cm3

A.

1000p cm3

B.

2000p cm3

C.

1600p cm3

D.

Hướng dẫn giải
Gọi x(cm);y(cm) lần lượt là bán kính đáy và chiều của hình trụ (x, y > 0;x < 30) .
Dải dây duy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 120cm
Ta có (2x + y).4 = 120 Û y = 30 - 2x
Thể tích khối hộp quà là: V = px2.y = px2(30 - 2x)
Thể tích V lớn nhất khi hàm số f (x) = x2(30 - 2x) với 0 < x < 30 đạt giá trị lớn nhất.
f '(x) = - 6x2 + 60x , cho f '(x) = - 6x2 + 60x = 0 Þ x = 10
Lập bảng biến thiên, ta thấy thể tích đạt giá trị lớn nhất là V = 1000p(cm3) .
Nhóm 4: Bài toán liên quan đến mũ, loga
Ví dụ 22. Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutôni Pu 239 là 24360 năm
(tức là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân
hủy được tính theo công thức S = Ae rt, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r
là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r<0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời
gian phân hủy t. Hỏi sau bao nhiêu năm thì 10 gam Pu239 sẽ phân hủy còn 1 gam có

giá trị gần nhất với giá trị nào sau?
A. 82135
B. 82335
C. 82235
D. 82435
Hướng dẫn giải

13


Vì Pu239 có chu kì bán hủy là 24360 năm nên er24360 =

S 1
= ⇒ r ≈−0,000028
A 2

⇒ Công thức phân hủy của Pu239 là S = A.e−0,000028t
Theo giả thiết: 1 = 10. e−0,000028t⇒ t ≈ 82235,18 năm
Ví dụ 23. Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công
t

T
thức: m ( t ) = m0  1 ÷ , trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời
2

điểm t = 0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất
phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon 14 C là khoảng 5730
năm. Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối
lượng còn bao nhiêu?
A. m ( t ) = 100.e

m ( t ) = 100.e

−

−

5730

1
B. m ( t ) = 100. ÷
2

t ln2
5730

−

100 t

5730
C. m ( t ) = 100  1 ÷ D.
2

100 t
5730

Hướng dẫn giải
- kt
Theo công thức m( t ) = m0e ta có:
ln2

100
ln2
t
= 50 = 100.e- k.5730 Û k =
suy ra m( t ) = 100e 5730
2
5730

m( 5730) =

Đáp án: A.
Ví dụ 24. Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công
t

T
thức: m ( t ) = m0  1 ÷ , trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời
2

điểm t = 0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất
phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon 14 C là khoảng 5730
năm. Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cabon và xác định được
nó đã mất khoảng 25% lượng Cabon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là
bao nhiêu?
A.2378 năm
B. 2300 năm
C. 2387 năm
D. 2400 năm
Hướng dẫn giải
Giả sử khối lượng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa Cabon là m0 , tại thời điểm
t tính từ thời điểm ban đầu ta có:

-

m( t ) = m0e

ln2
t
5730

Û

3m0
4

-

= m0e

ln2
t
5730

æö
3
÷
5730lnç
ç ÷
÷
÷
ç
(năm)

è4ø
Û t=
» 2378
- ln2

Đáp án: A
Nhóm 5: Bài toán ứng dụng tích phân, mối quan hệ đạo hàm-nguyên hàm
14


Ví dụ 25. Một vật di chuyển với gia tốc a ( t) = −20 ( 1 + 2 )

−2

( m / s ) . Khi t = 0
2

thì vận

tốc của vật là 30m / s . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết
quả đến chữ số hàng đơn vị).
A. S = 106m .
B. S = 107m .
C. S = 108m .
D. S = 109m .
Hướng dẫn giải
Ta có v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ −20 ( 1 + 2t ) dt =
−2

v ( 0 ) = 30 ⇔ C + 10 = 30 ⇔ C = 20 . Vậy

10
+ C . Theo đề ta có
1 + 2t

quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là:

2

2
 10

S = ∫
+ 20 ÷dt = ( 5 ln ( 1 + 2t ) + 20t ) = 5ln 5 + 100 ≈ 108m
0
1 + 2t

0

Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc a(t ) = 3t 2 + t (m/s2).
Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 2s .
A. 10 m/s
B. 12 m/s
C. 16 m/s
D. 8 m/s.
Hướng dẫn giải
Câu 1.

Ta có v(t) = ∫ a (t ) dt = ∫ (3 t 2 + t) dt = t 3 +

t2
+ C (m/s).
2

Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s) ⇒ v(0) = 2 ⇒ C = 2 .
Vậy vận tốc của vật sau 2s là: V (2) = 23 +

22
+ 2 = 12 (m/s).
2

Đáp án B.
Ví dụ 26. Thành phố Thanh Hóa định xây cây cầu Nguyệt viên bắc ngang con sông
Mã dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi
nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ
rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi
lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi
nhịp cầu)
A: 20m3
B: 50m3
C: 40m3
D: 100m3

Hướng dẫn giải
15


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol
trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)

Gọi Parabol trên có phương trình ( P1 ): y1 = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx (do (P) đi qua O)
20
1
= ax 2 + bx − là phương trình parabol dưới
100
5
2 2 4
2 2 4
1
x +
x ⇒ y2 = −
x +
x−
Ta có (P1 ) đi qua I và A ⇒ ( P1 ) : y1 = −
625
25
625
25
5
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là S = 2S1 với S1 là phần giới hạn bởi y1; y2 trong
khoảng (0; 25)
⇒ y2 = ax 2 + bx −

0,2

S = 2( ∫
0

25

2 2 4
1
(−
x + x)dx + ∫ dx) ≈ 9,9m2
625
25
5
0,2

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày
V = S .0, 2 ≈ 9,9.0, 2 ≈ 1,98m3 ⇒ số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu ≈ 2m3
Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần ≈ 40m3 bê tông. Chọn đáp án C
Ví dụ 27. Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi
một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một
hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)

Hình 1
Kí hiệuV là thể tích của hình nêm (Hình 2).Tính V .

Hình 2

16


3
A. V = 2250( cm )

B. V =

225π

cm3
4

(

)

3
C. V = 1250( cm )

3
D. V = 1350( cm )

Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có
phương trình : y = 225 − x2, x ∈  −15;15
Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ,

( x ∈ −15;15 )

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là
S ( x ) (xem hình).
Dễ thấy NP = y và
MN = NP tan450 = y = 15 − x2 khi đó

( )

S x =

(

)

1
1
MN .NP = . 225 − x2 suy ra thể tích
2
2
15

15

(

)

(

1
hình nêm là : V = ∫ S x dx = ∫ . 225 − x2 dx = 2250 cm3
2 −15
−15

( )

)

BÀI TẬP
Câu 1. Cần phải đặt một ngọn đèn ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn
có bán kính a . Hỏi cần phải treo đèn ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều

ánh sáng nhất? Biết rằng cường độ ánh sáng C được biểu thị bằng công thức
C =k

sinα
, trong đó α là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỉ lệ
r2

chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng.
A. h =

a 2
.
2

B. h =

a 3
.
2

C. h =

a 2
.
3

D. h =

a 3
.

3

Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó phần
thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai
tỷ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v = 10km/h thì phần thứ hai bằng 30
ngàn đồng/giờ. Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1
km đường là nhỏ nhất?
A. ≈ 15(km / h).
B. ; 8(km / h).
C. ≈ 20(km / h).
D. ≈ 6.3(km / h).
Câu 3. Một đĩa tròn bằng thép trắng có bán kính bằng R . Người ta phải cắt đĩa theo
một hình quạt, sau đó gấp lại thành hình nón để làm một cái phễu. Cung tròn của
hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để thể tích cái phễu lớn nhất?
A.
B. ≈ 294 o
C. ≈ 12,56o
D. ≈ 2,8o
≈ 66o
Câu 4. Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí. Tàu thứ nhất
chạy theo hướng nam với vận tốc 6 hải lí/giờ, còn tàu thứ 2 chạy theo hướng về
Câu 2.

17


tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao lâu khoảng cách giữa hai con
tàu là lớn nhất?
A.

7
giờ.
17

B.

17
giờ.
7

C. 2 giờ.

D. 3 giờ.

Khi nuôi một loại virus trong một dưỡng chất đặc biệt sau một khoảng thời
gian, người ta nhận thấy số lượng virus có thể được ước lượng theo công thức
m ( t ) = m0 .2kt , trong đó m0 là số lượng virus (đơn vị “con”) được nuôi tại thời
điểm ban đầu; k là hệ số đặc trưng của dưỡng chất đã sử dụng để nuôi virus; t
là khoảng thời gian nuôi virus (tính bằng phút). Biết rằng sau 2 phút, từ một
lượng virus nhất định đã sinh sôi thành đàn 112 con, và sau 5 phút ta có tổng
cộng 7168 con virus. Hỏi sau 10 phút nuôi trong dưỡng chất này, tổng số virus
có được là bao nhiêu?
A. 7.340.032 con.
B. 874.496 con.
C. 2.007.040 con.
D. 4.014.080 con.
Câu 6. Ông Bảy gửi 350 triệu đồng ở hai ngân hàng Thanh Hóa và Ninh Bình theo
phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng Thanh Hóa với lãi suất
2,3% một quý trong thời gian 24 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Ninh
Bình với lãi suất 0,69% một tháng trong thời gian 14 tháng. Tổng lợi tức đạt

được ở hai ngân hàng là 47,1841059 triệu đồng (chưa làm tròn). Hỏi số tiền ông
Bảy lần lượt gửi ở ngân hàng Thanh Hóa và Ninh Bình là bao nhiêu?
A. 120 triệu và 230 triệu.
B. 230 triệu và 120 triệu.
C. 100 triệu và 250 triệu.
D. 250 triệu và 100 triệu.
Câu 7. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm 3. Với
chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất
Câu 5.

6
Ar = 4 3 2

2π

8
B. r = 6 3 2

2π

8
C. r = 4 3 2

2π

6
D. r = 6 3 2

2π

Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như
hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một
người đi từ A đến bờ sông để lấy nước và mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà
B
người đó phải đi là:
A. 569,5m
B.671,4m
61
C. 779,8m
D. 741,2m A
5m
48

Câu 8.

7m
11
8
Sô
m
Câu 9. Hiện tại hệ thống các cửa hàng điện thoại của Thế
nggiới di động đang bán
Iphone 7 32GB với giá 18.790.000đ. Người mua có thể chọn 03 hình thức mua
điện thoại. Hình thức 1 trả tiền ngay lập tức 18.790.000đ. Hình thức 2 trả trước
18


50% còn lại 50% chia đều cho 08 tháng mỗi tháng, tiền phí bảo hiểm
64.500đ/tháng, lãi suất của hình thức này là 0%. Hình thức 3 trả trước 30%, số
tiền còn lại chia đều cho 12 tháng, tiền bảo hiểm 75.500đ/tháng. Sau 12 tháng

tổng số tiền người mua phải trả là 21.858.000đ. Hỏi người mua trả góp theo hình
thức 3 phải mua trả góp với lãi suất bao nhiêu phần trăm / tháng (làm trong đến
hàng thập phân số 2)?
A. 1,37%
B. 16,44%
C. 12%
D.2,42%
Hiện tại hệ thống các cửa hàng điện thoại của Thế giới di động
đang bán Iphone 7 32GB với giá 18.790.000đ. Người mua có thể chọn 03 hình
thức mua điện thoại. Hình thức 1 trả tiền ngay lập tức 18.790.000đ. Hình thức 2
trả trước 50% còn lại 50% chia đều cho 08 tháng mỗi tháng, tiền phí bảo hiểm
64.500đ/tháng, lãi suất của hình thức này là 0%. Hình thức 3 trả trước 30%, số
tiền còn lại chia đều cho 12 tháng, tiền bảo hiểm 75.500đ/tháng. Sau 12 tháng
tổng số tiền người mua phải trả là 21.858.000đ. Hỏi người mua trả góp theo hình
thức 3 phải mua trả góp với lãi suất bao nhiêu phần trăm / tháng (làm trong đến
hàng thập phân số 2)?
A. 1,37%
B. 16,44%
C. 12%
D.2,42%

Câu 10.

III. KẾT LUẬN
III.1/ Kết quả thu được
Trên đây là những cách chuyển từ những nội dung thực tiễn về bài toán quen
thuộc trong quá trình giảng dạy tìm tòi và nghiên cứu tôi đã hệ thống lại các phương
pháp và đưa ra các bài tập có tính minh hoạ .
Trong thực tế ngoài những vấn đề tôi trình bày bày còn có rất nhiều các điều
thực tế khác trong đời sống lao động sản xuất.Tuy nhiên sau nhiều năm áp dụng

sáng kiến này trong việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trường THPT Trần Phú Nga Sơn đã thu được kết quả như sau :
- Làm cho các em yêu thích hơn về môn học.
- Có cách giải hợp lý, hay, ngắn gọn trong suy luận và tư duy chặt chẽ
- Số học sinh giỏi, học sinh thi vào Đại học, Cao đẳng ở các năm ngày càng tăng.
- Năm học 2016 -2017 giảng dạy lớp 12D áp dụng sáng kiến, đạt kết quả như
sau:
Khi chưa áp dụng
Đã áp dụng sáng kiến
Sỉ số : 45
Số lượng
%
Số lượng
%
Hiểu và vận dụng
2
4%
35
77%
Hiểu và chưa biết vận dụng 10
22%
7
16%
Không vận dụng được
33
74%
3
7%
19

III.2/ Bài học kinh nghiệm rút ra .
Sau một thời gian đưa vào áp dụng , bồi dưỡng học sinh tôi tự rút ra một số kinh
nghiệm sau :
- Giáo viên phải nghiên cứu kỹ kiến thức sách giáo khoa, tài liệu tham khảo .
- Lựa chọn đúng phương pháp bộ môn phù hợp với đối tượng học sinh.
- Để áp dụng và làm bài tập tốt cần cho học sinh nắm vững cơ sở lí thuyết của
vấn đề tránh những thiếu sót và không chặt chẽ trong quá trình giải của học sinh.
- Khi cho làm tiết luyện tập cần lưu ý kĩ thuật kĩ năng của các em.
sau mỗi bài tập cần chốt lại phần cơ bản của vấn đề và nhận xét nhằm lôi cuốn học
sinh có lòng say mê toán học .

III.3/ Kiến nghị , đề xuất .
Với đề tài: ‘‘ MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12
GIẢI BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TẾ ÔN THI THPT QUỐC GIA ”
tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản. Trong mỗi giờ dạy ôn thi có đưa ra cơ
sở lí thuyết và những ví dụ có các hoạt động khám phá rất cụ thể nhằm giúp học
sinh có thể tự tìm ra lời giải cho mình, từ đó hình thành cho mình phương pháp giải
toán nói chung để giải quyết các bài toán này.
Các bài tập đưa ra từ dễ đến khó, có những bài tập có lời giải chi tiết nhưng
có những bài tập chỉ có hướng dẫn học sinh phải biết chiếm lĩnh tri thức, phát triển
khả năng tư duy cho học sinh. Hệ thống các bài tập trong đề tài này chủ yếu là các
bài tập trong các đề thi minh họa, thử nghiệm, tham khảo của bộ giáo dục nên khi
học sinh hiểu bài và làm được thì tạo nên hứng thú và động lực học tập rất tốt cho
các em.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫ có nhiều học sinh còn bỡ ngỡ trong
quá trình giải bài toán, lập luận còn thiếu căn cứ, suy diễn chưa hợp lý logic và đặc
biệt một số dạng chưa phù hợp với học sinh trung bình và yếu.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhưng do trình độ bản thân và tài liệu tham
khảo còn hạn chế lại chưa có khinh nghiệm trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên
trong cách trình bày không tránh khỏi sơ xuất thiếu sót. Rất mong được sự giúp đỡ,

góp ý của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp để tôi rút kinh nghiêm trong quá trình
giảng dạy của mình trong thời gian sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Xác nhận của cơ quan đơn vị

Nga Sơn, ngày 5 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan sáng kiến trên đây do tôi tự
nghiên cứu không sao chép .
Người viết

Nguyễn Văn Hồi
20


21