TÀI LIỆU DẠY THÊM TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẦY ĐỦ ĐÁP ÁN (WORD)

Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

CHUYÊN ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I – CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM

 ( x ) ' = a.x
1
 ( x) ' =
2 x
'
æ1ö
÷= - 1
ç
÷
ç
èx ø
x2
a

a- 1

a ( e ) ' = u '.e
( )
 ( a ) ' = a .lna a ( a ) ' = u '.a .lna

 ex ' = ex

a ( u ) ' = a.u .u '
u'
a ( u) ' =
2 u

'
æ1÷
ö
u'
a ç
=- 2
÷
ç
èu ø
u

 ( sin x) ' = cosx
 (cosx)' = - sin x
1
 ( tan x) ' =
cos2 x
1
 ( cot x) ' = sin2 x

a

a- 1

x

x

u

u

u

u

. ) ' = u '.v + v '.u
 ( uv

( v ) = u '.vv- v 'u

 u

'

2

1
x
1
 ( ln x ) ' =
x

a ( sin u) ' = u '.cosu
a (cosx)' = - u '.sin u
u'
a ( tanu) ' =
cos2 u
u'
a ( cot u) ' = sin2 u

 ( ln x) ' =

 ( loga x) ' =

u'
u
u'
a ( ln u ) ' =
u

a ( ln u) ' =

1
u'
a ( loga u) ' =
x lna
u lna

II – CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Hê thưc lương cơ ban
sin2 x + cos2 x = 1

tan x =

sin x
cosx

1+ tan2 x =

1
cos2x

Công thưc nhân đôi – nhân ba – ha bâc
sin2x = 2sin x.cosx
cos2x = cos2 x - sin2 x = 2cos2 x - 1 = 1- 2sin2 x
1- cos2x ;
1+ cos2x
Þ sin2 x =
cos2 x =
2
2

tan x.cot x = 1
cosx
cot x =
sin x

1+ cot2 x =

1
sin2 x

sin3x = 3sin x - 4sin3 x
cos3x = 4cos3 x - 3cosx

Công thưc công cung

(3sin – 4sin)
(4cô – 3 cô)

Công thưc biên đôi tông thanh tich
a +b
a- b
cosa + cosb = 2cos
.cos
2
2
a +b
a- b
cosa - cosb = - 2sin
.sin
2
2
a +b
a- b
sina + sinb = 2sin
.cos
2
2
a +b
a- b
sina - sinb = 2cos
.sin
2
2
a
Công thưc tinh sin a, cosa theo t = tan
2

sin( a ± b) = sina.cosb ± cosa.sinb
cos( a ± b) = cosa.cosb msina.sinb
tana + tanb
tan ( a + b) =
1- tana.tanb
tana - tanb
tan ( a - b) =
1+ tana.tanb

Môt sô công thưc khac

Đăt t = tan

sin x + cosx = 2sin ( x + p 4) = 2cos( x - p 4)
sin x - cosx = 2sin ( x - p 4) = 2cos( x + p 4)
1
3 + 1cos4x
cos4 x + sin4 x = 1- sin2 2x =
2
4
1

a
2


Chuyờn - Hm s n iu

3 2
5 + 3cos4x

sin 2x =
4
8
2
tan x + cot x =
sin2x
cot x - tan x = 2cot 2x

ỡù
2t
ùù sin a =
1+ t2
ùù
ùù
1- t2
ị ùớ cosa =
ùù
1+ t 2
ùù
ùù tan a = 2t
ùù
1- t2
ợ

cos6 x + sin6 x = 1-

III PHNG TRINH LNG GIAC C BAN

ỡù sin x = 0 ị x = kp
ùù

c biờt: ùù sin x = 1 ị x = p + k2p
ớ
2
ùù
ùù sin x = - 1 ị x = - p + k2p
2
ùợ

ộ
1. Phng trinh: sin u = sin v ờu = v + k2p
ờu = p - v + l 2p
ờ
ở
( k;l ẻ Â )

ỡù cosx = 0 ị x = p + kp
ùù
2
ù
ù
cos
x
=
1
ị
x
=
k
2
p

c biờt: ớ
ùù
ùù cosx = - 1 ị x = p + k2p
ùợ

ộu = v + k2p
2. Phng trinh: cosu = cosv ờ
ờu = - v + l 2p
ờ
ở
tan u = tan v u = v + kp
3. Phng trinh:
p
ék : u, v ạ
+ kp
2
cot u = cot v u = v + kp
4. Phng trinh:
ék : u, v ạ kp

ùỡ tan x = 0 x = kp
c biờt: ùớ
ùù tan x = 1 x = p 4 + kp
ợ
ỡù cot x = 0 x = p 2 + kp
ù
c biờt: ớù
p
ùùợ cot x = 1 x = 4 + kp
5. Phng trinh lng giac cụ iờn dang: a sin x + b cosx = c ( 1)

iờu kiờn co nghiờm: a2 + b2 c2 .
Chia hai vờ cho a2 + b2 , ta c:
a
b
c
( 1)
sin x +
cosx =
2
2
2
2
2
a +b
a +b
a + b2
a
b
, cosa =
aẻ ộ
0, 2pự
t sin a = 2
ờ
ỳ
2
2
2
ở
ỷ . Phng trin tr thanh:

a +b
a +b
c
c
sin a.sin x + cos a.cosx =
cos(x - a) =
= cos b
2
2
2
a +b
a + b2
x = a b + k2p (k ẻ Â)

(

)

6. Phng trinh lng giac ng cõp bõc hai dang: a sin2 x + b sin x cosx + c cos2 x = d ( 2)
Kiờm tra xem cosx = 0 co phai la nghiờm hay khụng ? Nờu co thi nhõn nghiờm nay.
Khi cosx ạ 0 , chia hai vờ phng trinh ( 2) cho cos2 x , ta c:
a.tan2 x + b.tan x + c = d(1 + tan2 x)
2
. +c - d = 0 đ t đ x
t t = tan x , a vờ phng trinh bõc hai theo t : (a - d)t + bt

7. Phng trinh ụi xng dang: a ( sin x cosx) + b sin x cosx + c = 0 ( 3)
p
t t = cosx sin x = 2.cos x m ; t Ê 2 .
4

1
ị t2 = 1 2sin x.cosx ị sin x.cosx = (t2 - 1)
2

(

)

2


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

 Thay vao phương trinh ( 3) , ta đươc phương trinh bâc hai theo t ® t ® x
8. Phương trinh đôi xưng dang: a sin x ± cosx + bsin x cosx + c = 0 ( 4)

(

)

p
1
; ÐK : 0 £ t £ 2 Þ sin x.cosx = ± (t2 - 1)
4
2
 Giai tương tư như dang trên. Khi tim x cân lưu y phương trinh chưa dâu tri tuyêt đôi.

 Đăt t = cosx ± sin x = 2. cos x m

IV – PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SÔ

1. Phương trinh bâc hai: ax2 + bx + c = 0 ( 1)
a/ Giai phương trinh bâc hai
Nêu b la sô le

Nêu b la sô chăn
Tính D ' = b'2- ac vơi b' = b2
 Nêu D ' < 0 Þ Phương trinh vô
nghiêm.
 Nêu D ' = 0 Þ Phương trinh co
b'
nghiêm kep: x = .
a
 Nêu D ' > 0 Þ Phương trinh co hai
é
êx1 = - b'- D '
ê
a
nghiêm phân biêt: ê
ê
êx2 = - b'+ D '
ê
a
ë

Tính D = b2 - 4ac
 Nêu D < 0 Þ Phương trinh vô
nghiêm.
 Nêu D = 0 Þ Phương trinh co
b

nghiêm kep: x = .
2a
 Nêu D > 0 Þ Phương trinh co hai
é
êx1 = - b - D
ê
2a
nghiêm phân biêt: ê
ê
êx2 = - b + D
ê
2a
ë
b/ Đinh lí Viet

Nêu phương trinh ( 1) co hai nghiêm phân biêt x1, x2 thi:
b
 Tông hai nghiêm: S = x1 + x2 = a
Þ x1 c
 Tích hai nghiêm: P = x1.x2 =
a
c/ Dâu cac nghiêm cua phương trinh

x2 =

ìï a ¹ 0
 Phương trinh co hai nghiêm phân biêt Û ïí
ïï D > 0
î
. <0

 Phương trinh co hai nghiêm trai dâu Û ac
 Phương trinh co hai nghiêm phân biêt cung dâu
ìï D > 0
Û ïí
ïï P > 0
î

3

D
2 D'
=
a
a


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

ìï D > 0
ïï
ï
 Phương trinh co hai nghiêm âm phân biêt Û ïí P > 0
ïï
ïï S < 0
ïî

 Phương trinh co hai nghiêm dương phân biêt
ìï D > 0
ïï
ï

Û ïí P > 0
ïï
ïï S > 0
ïî
d/ So sanh hai nghiêm cua phương trinh bâc hai g(x) = ax2 + bx + c = 0 vơi 1 sô β bât ki
ìï
ïï D > 0
ï
 x2 > x1 > b Û ïí a.g( b) > 0
ïï
ïï S > b
ïî 2
ìï
ïï D > 0
ï
 x1 < x2 < b Û ïí a.g( b) > 0
 x1 < b < x2 Û a.g( b) < 0
ïï
ïï S < b
ïî 2
2. Phương trinh ba ax3 + b'x2 + c 'x + d ' = 0 ( 2)
éx = a
Û (x - a)( ax2 + bx + c) = 0 Û ê
êax2 + bx + c = 0 ( 3)
ê
ë
2
2
Đăt g(x) = ax + bx + c , D = b - 4ac
 Phương trinh ( 2) co 3 nghiêm phân biêt Û ( 3) co 2 nghiêm phân biêt

ìï D > 0
x ¹ a Û ïí
ïï g(a ) ¹ 0
ïî
 Phương trinh ( 2) co 2 nghiêm phân biêt Û ( 3) co nghiêm kep x ¹ a hoăc ( 3) co hai
éïì D = 0
êï
êíï g(a) ¹ 0
êïïî
nghiêm phân biêt trong đo co 1 nghiêm x = a Û ê
êïì D > 0
êï
êí
êïïïî g(a) = 0
ë
 Phương trinh ( 2) co 1 nghiêm Û ( 3) vô nghiêm hoăc ( 3) co nghiêm kep x = a
éìï D = 0
êï
êí
Û êïïïî g(a) = 0
ê
êD < 0
ê
ë
3. Phương trinh bâc bôn trung phương : ax4 + bx2 + c = 0 ( 4)

4


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

Đăt t = x2. ÐK : t ³ 0 . Phương trinh ( 4) Û at2 + bt + c = 0 ( 5)
 Phương trinh ( 4) co 4 nghiêm phân biêt Û ( 5) co 2 nghiêm dương phân biêt
ìï D > 0
ïï
ï
Û ïí P > 0
ïï
ïï S > 0
ïî
 Phương trinh ( 4) co 3 nghiêm phân biêt Û ( 5) co 1 nghiêm t = 0 va 1 nghiêm
ìï c = 0
ï
t > 0 Û ïí - b
ïï > 0
ïî a
 Phương trinh ( 4) co 2 nghiêm phân biêt Û ( 5) co 2 nghiêm trai dâu hoăc ( 5) co
éac < 0
ê
ê
nghiêm kep dương Û êïìï D = 0
êí
êïï S > 0
ëî
4. Phương trinh chưa căn thưc
ìï B ³ 0
A = B Û ïí
ïï A = B 2
ïî
5. Phương trinh chưa dâu gia tri tuyêt đôi

ìï A ³ 0 ( hay B ³ 0)
A = B Û ïí
ïï A = B
ïî

ìï B ³ 0
A = B Û ïí
ïï A = ±B
î

A = B Û A = ±B

6. Bât phương trinh chưa căn thưc
éìï B < 0
êï
êíï A ³ 0
êïî
A³ BÛ ê
êìï B ³ 0
êï
êíï
2
êïïîA ³ B
ë

ìï B ³ 0
ïï
ï
A £ B Û ïí A ³ 0

ïï
ïï A £ B 2
ïî

7. Bât phương trinh chưa dâu gia tri tuyêt đôi
éA ³ B
A ³ B Û ê
êA £ - B
ê
ë

A £B Û -B£A£B

V – HÌNH HỌC PHẲNG

Trong măt phăng Decac Oxy cho:
o Bôn điêm: A ( xA , yA ) , B ( xB , yB ) , C ( xC , yC ) va M ( xo, yo )
o Đương thăng D : ax + by + c = 0.
5


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu
2

o Đương tron (C m ) : (x - a)2 + ( y - b) = R hay ( C m ) : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 co tâm
la I ( a,b) va ban kính la R = a2 + b2 - c .
uuur
 Vectơ AB = ( xB - xA ; yB - yA ) Þ Đô dai đoan thăng AB = ( xB - xA ) 2 + ( yB - yA ) 2
(khoang cach giưa hai điêm A, B)
xB - xA

x - xA
= C
 Đê ba điêm A ( xA , yA ) ; B ( xB , yB ) va C ( xC , yC ) thăng hang Û
.
yB - yA
yC - yA
 Khoang cach tư điêm M ( xo, yo ) đên đương thăng D : ax + by + c = 0 la:
d( M , D) =

axo + bxo + c

a2 + b2
 Đê A va B đôi xưng nhau qua đương thăng D Û D la đương thăng trung trưc cua đoan
thăng AB.
uuur uuur 2
1
1
 Diên tích ΔABC: SD ABC = AB .AC .sin A =
AB 2.AC 2 - AB .AC
2
2
1
1
1
abc
= p( p - a) ( p - b) ( p - c) = a.ha = bh
. b = ch
.c=
= pr
2

2
2
4R
Trong đo: R, r , p lân lươt la ban kính đương tron ngoai tiêp, ban kính đương tron nôi tiêp va
nưa chu vi.
 Đê A va B nằm vê 2 phía (khac phía) so vơi đương thăng

(

)

D Û ( axA + byA + c) .( axB + byB + c) < 0.
 Đê A va B nằm vê cung phía so vơi đương thăng D Û ( axA + byA + c) .( axB + byB + c) > 0.
 Đê A va B cung nằm trong đương tron hay cung nằm ngoai đương tron
Û PA / (Cm).PB / (Cm) > 0 Û ( xA2 + yA2 - 2axA - 2byA + c) ( xB2 + yB2 - 2axB - 2byB + c) > 0.
 Đê A va B nằm vê hai phía khac nhau đôi vơi đương tron (1 điêm phía trong, môt điêm phía
2
2
2
2
ngoai) Û PA / (Cm).PB / (Cm) < 0 Û ( xA + yA - 2axA - 2byA + c) ( xB + yB - 2axB - 2byB + c) < 0.

6


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

Chương

1

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô
Bai 1: Sư đông biên – Nghich biên cua ham sô
  

1 – Dạng toán 1: Xét tính đơn điệu (tìm khoảng tăng – giảm) của hàm sô y = f(x)
 Lý thuyêt giao khoa
 Đinh nghĩa:
Ham sô y = f (x) đồng biên trên K Û " x1, x2 Î K va x1 < x2 Þ f (x1) < f (x2) .
Ham sô y = f (x) nghich biên trên K Û " x1, x2 Î K va x1 < x2 Þ f (x1) > f (x2) .
 Điêu kiên cân: Gia sư y = f (x) co đao ham trên khoang I.
Nêu y = f (x) đồng biên trên khoang I thi f '(x) ³ 0, " x Î I .
Nêu y = f (x) nghich biên trên khoang I thi f '(x) £ 0, " x Î I .
 Điêu kiên đu: Gia sư y = f (x) co đao ham trên khoang I.
Nêu y ' = f '(x) ³ 0 , " x Î I [ f '(x) = 0 tai 1 sô hữu han điêm] thi y = f (x) đồng biên trên
I.
Nêu y ' = f '(x) £ 0 , " x Î I [ f '(x) = 0 tai 1 sô hữu han điêm] thi y = f (x) nghich biên
trên I.
Nêu y ' = f '(x) = 0, thi y = f (x) không đôi trên I.
Đăc biêt: Nêu khoang I đươc thay bơi đoan hoăc nửa khoang thi y = f (x) phai liên tục
trên đo.
 Phương phap giai
 Bươc 1: Tim tâp xac đinh cua ham sô. Thương găp cac trương hơp sau:

7


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

y=

P (x)
P (x)
Þ T XÐ: Q(x) ¹ 0
y=
Þ T XÐ: Q(x) > 0
y = Q(x) Þ T XÐ: Q(x) ³ 0
Q(x)
Q(x)

 Bươc 2: Tim cac điêm tai đo y ' = f '(x) = 0 hoăc y ' = f '(x) không xac đinh, nghĩa la:
tim đao ham y ' = f '(x) . Cho y ' = f '(x) = 0 tim nghiêm xi vơi ( i = 1; 2; 3...n) .
 Bươc 3: Sắp xêp cac điêm đo theo thư tư tăng dân va lâp bang biên thiên đê xet dâu
y ' = f '(x) .
 Bươc 4: Dưa vao bang biên thiên, kêt luân cac khoang đồng biên va nghich biên cua ham
sô.
+ f '(x) = y ' ³ 0 Þ Ham sô đồng biên (tăng) trên khoang……va……
+ f '(x) = y ' < 0 Þ Ham sô nghich biên (giam) trên khoang…va……
 Môt sô lưu ý khi giai toan
 Lưu ý 1: Đôi vơi ham phân thưc hữu ty thi dâu “=” không xay ra.
 Lưu ý 2:

ax + b
 Đôi vơi ham dang: y = cx + d thi ham sô luôn đồng biên (hoăc nghich biên) trên TXĐ,
nghĩa la luôn tim đươc y ' > 0 (hoăc y ' < 0 ) trên TXĐ.
2
Đôi vơi ham dang: y = ax + bx + c luôn co ít nhât hai khoang đơn điêu.

a ' x + b'
4

3
2
 Đôi vơi ham dang: y = ax + bx + cx + dx + e luôn co ít nhât môt khoang đồng biên va
môt khoang nghich biên.
 Ca ba ham sô trên không thể luôn đơn điêu trên ¡ .

 Lưu ý 3: Bang xet dâu môt sô ham thương găp
 Nhi thưc bâc nhât: y = f (x) = ax + b , ( a ¹ 0)
b
x
−∞
a
ax + b

trai dâu vơi a

0

+∞

cung dâu vơi a

2
 Tam thưc bâc hai : y = f (x) = ax + bx + c , ( a ¹ 0)

• Nêu D < 0 , ta co bang xet dâu:

x

f (x)

−∞

+∞

cung dâu vơi a

• Nêu D = 0, ta co bang xet dâu:
x

f (x)

−∞
cung dâu vơi a

-b
2a
0

+∞

cung dâu vơi a

• Nêu D > 0 , goi x1, x2 la hai nghiêm cua tam thưc f (x) = 0, ta co bang xet dâu:
8


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

x

f (x)



−∞

x1
0

cung dâu vơi a

x2
trai dâu vơi a

+∞

0

cung dâu vơi a

Đôi vơi ham ma co y ' = f '(x) = 0 co nhiêu nghiêm, ta xet dâu theo nguyên tắc: (phương
phap chung)
• Thay 1 điêm lân cân xo gân xn bên ô phai cua bang xet dâu vao f '(x) .
[Thay sô xo sao cho dễ tim f '(x) ].
• Xet dâu theo nguyên tắc: Dâu cua f '(x) đôi dấu khi đi qua nghiêm đơn va không đôi
dấu khi qua nghiêm kép.

 Lưu ý 4: Xem lai 1 sô cach giai phương trinh lương giac thương găp va ta co thê đưa ham sô
lương giac vê dang đa thưc trong 1 sô trương hơp.
 Lưu ý 5: Cach tính đao ham ham sô dang hữu ti (phân thưc).

a b
c d
ax + b
ad - cb . Cach nhơ: Tích đương cheo chính trư tích đương
Þ y' =
=
2
2
cx + d
( cx + d)
( cx + d)
Cách nhơ: (Anh bạn ăn cháo hai lần bỏ chạy)
cheo phu.
y=

a
y=

b

x2 + 2

a

c

x+

b c

a ' c'
a ' b'
b' c ' ( b'a - a 'b) x2 + 2( c 'a - a 'c) x + ( c 'b - b'c)
ax2 + bx + c
Þ
y
'
=
=
2
2
a 'x2 + b'x + c '
( a 'x2 + b'x + c ')
( a 'x2 + b'x + c ')

 Môt sô vi dụ
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a/ y = - x4 + 4x2 - 3 .
b/ y = x4 - 6x2 + 8x + 1.
d/ y = - x3 + 6x2 - 9x + 4 .

c/ y = x4 + 4x + 6 .

e/ y = x3 + 3x2 + 3x + 2.

f/ y = x2 - 2x .

g/ y =

2x - 1

.
x- 1

h/ y =

3x + 1
.
1- x

i/ y =

j/ y =

- x2 + 2x - 1
.
x +2

k/ y =

x2 - 8x + 9
.
x- 5

l/ y =

(

n/ y = x + 1- 2 x2 + 3x + 3 .

)

6x2 + 1 .

m/ y = 4 - 3x

3 - 2x
.
x +7
x +2
x2 - x + 3

o/ y = 3 x2 - 2x .

Bai giai tham khao
a/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y = - x4 + 4x2 - 3 .
* Ham sô đa cho xac đinh trên D = ¡ .
* Tính y ' = - 4x3 + 8x .
é4x = 0
ê
Û
* Cho y ' = 0 Û - 4x + 8x = 0 Û 4x(- x + 2) = 0 Û ê 2
- x +2= 0
ê
ë
* Bang xet dâu:
x
–
0
- 2
2

y'
+
0
– 0 + 0
–
9
1
1
y
–
–3
3

2

éx = 0
ê
êx2 = 2 Û
ê
ë
+

–

éx = 0
ê
.
ê
x=± 2
ê

ë

.


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

* Dưa vao bang biên thiên:

(

) ( )
Ham sô nghich biên trên: ( - 2;0) va ( 2;+¥ ) .

 Ham sô đồng biên trên: - ¥ ;

2 va 0; 2 .

b/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y = x4 - 6x2 + 8x + 1 .
* Ham sô đa cho xac đinh trên D = ¡ .
éx = - 2
* Tính y ' = 4x - 12x + 8 = 0 = 4( x - 1) ( x + 2) . Cho y ' = 0 Û 4( x - 1) ( x + 2) = 0 Û ê
êx = 1
ê
ë
* Bang xet dâu:
2

2

3

- ¥

x
y'

- 2
0

-

+

+¥

1
0

+

+¥

y

+¥
4
- 23

* Dưa vao bang biên thiên, ham sô nghich biên trên ( - ¥ ;- 2) va đồng biên trên

( - 2;1ùûúÈ éëê1; +¥ ) hay ham sô đồng biên trên khoang ( - 2;+¥ ) .
c/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y = x4 + 4x + 6 .
* Tâp xac đinh: D = ¡ .
* Tính: y ' = 4x3 + 4. Cho y ' = 0 Û 4x3 + 4 = 0 Û x = - 1.
* Bang biên thiên:
- ¥

x
y'

- 1
0

-

+¥
+

+¥

+¥

y = f (x)

3

* Dưa vao bang biên thiên:
 Ham sô nghich biên trên: ( - ¥ ;- 1) .
 Ham sô đồng biên trên: ( - 1; +¥ ) .
d/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y = - x3 + 6x2 - 9x + 4 .

* Ham sô đa cho xac đinh trên D = ¡ .
éx = 1
2
ê
¢
y
=
0
Û
3
x
+
12
x
9
=
0
Û
* Tính y ' = - 3x + 12x - 9 . Cho
êx = 3.
ê
ë
2

10


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

* Bang biên thiên:

- ¥

x
y'

1
0

-

3
0
4

+

+¥

y

+¥

-

- ¥

0
* Dưa vao bang biên thiên:
 Ham sô nghich biên trên: ( - ¥ ;1) va ( 3;+¥ ) .
 Ham sô đồng biên trên: ( 1;3) .

e/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y = x3 + 3x2 + 3x + 2 .
* Ham sô đa cho xac đinh trên D = ¡ .
* Tim y ' = 3x2 + 6x + 3. Cho y ' = 0 Û 3x2 + 6x + 3 = 0 Û x = - 1.
* Bang biên thiên:
- ¥

x
y'

+¥

- 1
0

+

+
+¥

y = f (x)

1

- ¥

é- 1; +¥ ) .
* Dưa vao bang biên thiên: Ham sô đồng biên trên ( - ¥ ;- 1ù
ú
ûÈ ê
ë

Hay ham sô đồng biên trên tâp xac đinh D = ¡ .
f/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y = x2 - 2x .
éx £ 0
2
ùÈ é2; +¥ ) .
* Ham sô đa cho xac đinh khi: x - 2x ³ 0 Û ê
ú ë
ê
êx ³ 2 Þ Tâp xac đinh: D = ( - ¥ ;0û
ê
ë
x- 1
, " x Î ( - ¥ ;0) È ( 2; +¥ ) . Ham sô không co đao ham tai: x = 0;x = 2 .
* Ta co: y ' =
x2 - 2x
x- 1
= 0 Û x - 1 = 0 Û x = 1.
* Cho y ' = 0 Û
x2 - 2x
* Bang biên thiên:
x
y'

- ¥

-

0

-

1
0

y

* Dưa vao bang biên thiên:
 Ham sô nghich biên trên: ( - ¥ ;0) .
11

+

2

+¥
+


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

 Ham sô đồng biên trên: ( 2;+¥ ) .
2x - 1
.
x- 1

g/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y =

* Ham sô đa cho xac đinh trên: D = ¡ \ {1}.
2.( - 1) - 1.( - 1)
- 1

* Ta co: y ' =
=
< 0, " x Î D .
2
(x - 1)
(x - 1)2
* Bang biên thiên:
- ¥

x
y'

1

-

+¥

+¥

2

y

-

- ¥

2

* Dưa vao bang biên thiên: Ham sô nghich biên trên ( - ¥ ;1) va ( 1;+¥ ) .
3x + 1
3x + 1
.
=
1- x
- x +1

h/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y =
* Ham sô xac đinh va liên tuc trên D = ¡ \ {1} .
* Tim y ' =

3.1- ( - 1) .1
2

(1- x)
* Bang biên thiên:

=

4
(1- x)2

> 0; " x ¹ 1.

- ¥

x
y'

+¥

1

+

+

+¥

y

- 3
- ¥

- 3

* Ham sô đa cho đồng biên (tăng) trên cac khoang: ( - ¥ ;1) va ( 1;+¥ ) .
i/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y =

3 - 2x
- 2x + 3
=
.
x +7
x +7

* Ham sô đa cho xac đinh va liên tuc trên: D = ¡ \ { - 7} .
* Tính y ' =

( - 2) .7 - 1.3 - 17
=
( x + 7)
( x + 7)
2

2

< 0, " x Î D = ¡ \ { - 7} .

* Bang biên thiên:
x
y'
y

- ¥

- 7

-

-

+¥

+¥

- 2
- ¥

Þ Ham sô đa cho luôn nghich biên trên: ( - ¥ ;- 7) va ( - 7; +¥ ) .
12

- 2


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

j/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y =

- x2 + 2x - 1
.
x +2

* Ham sô đa cho xac đinh trên: D = ( - ¥ : - 2) È ( - 2; +¥ ) .
* Ta co: y ' =

- x2 - 4x + 5

( x + 2)

* Cho y ' = 0 Û

2

, " x ¹ 2.

- x2 - 4x + 5

( x + 2)

2

éx = - 5
= 0 Û - x - 4x + 5 = 0 Û ê
êx = 1 .
ê
ë
2

* Bang biên thiên:
x
y'
y

- ¥

-

- 5
0

- 2

+

+¥

1
0

0

+

+¥

-

- ¥

12

- ¥

* Dưa vao bang biên thiên:
 Ham sô nghich biên trên: ( - ¥ ;- 5) va ( 1;+¥ ) .
 Ham sô đồng biên trên: ( - 5;- 2) va ( - 2;1) .
k/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y =

x2 - 8x + 9
.
x- 5

* Ham sô đa cho xac đinh va liên tuc trên: D = ¡ \ { 5} .
* Ta co: y ' =

x2 - 10x + 31

( x - 5)

2

> 0, " x ¹ 5 .

Þ Ham sô đồng biên trên ( - ¥ ;5) va ( 5;+¥ ) .
l/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y =

x +2
x2 - x + 3

.

* Ham sô đa cho xac đinh khi: x2 - x + 3 > 0đúng " x Î ¡ Þ TXÐ : D = ¡ .
( 2x - 1) ( x + 2)
- 7x + 8
=
* Ta co: y ' = x2 - x + 3 .
2
2
2 x - x +3
2 x - x+3
- 7x + 8
8
= 0 Û - 7x + 8 = 0 Û x = .
* Cho y ' = 0 Û
7
2 x2 - x + 3
* Bang biên thiên:
x

8
7

- ¥
13

+¥

+¥


Chuyờn - Hm s n iu

+

y'

-

0

y
ổ
ổ
8ử
8
ữ
ỗ- Ơ ; ữ
ỗ ; +Ơ
* Ham sụ a cho ng biờn trờn ỗ

va nghich biờn trờn ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
7ứ
ố
ố7

ử
ữ
ữ
.
ữ
ữ
ứ

m/ Tim cac khoang n iờu cua cac ham sụ: y = ( 4 - 3x) 6x2 + 1 .
* Ham sụ a cho xac inh trờn D = Ă .
6x ( 4 - 3x)
- 36x2 + 24x + 24
2
y
'
=
3
6
x
+
1

+
=
* Ta co:
.
6x2 + 1
6x2 + 1
ộ 1+ 7
ờx =
ờ
- 36x + 24x + 24
2
- 3 .
= 0 - 36x + 24x + 24 = 0 ờ
* Cho y ' = 0
ờ
2
1
7
6x + 1
ờx =
ờ
- 3
ở
2

* Bang biờn thiờn:

- Ơ

x

+

y'

1+ 7
- 3
0

-

1- 7
- 3
0

+Ơ
+

y
* Da vao bang biờn thiờn:
ổ 1+ 7 ử
ổ
ữ
1- 7
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
Ơ
;

; +Ơ
Ham sụ a cho ng biờn trờn: ỗ
va
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
- 3 ứ
ữ ỗ
ỗ
ỗ
ố
ố - 3
ổ
ử
ỗ1+ 7 1- 7 ữ
ữ
;
Ham sụ nghich biờn trờn: ỗ
.
ữ
ỗ
ữ
ỗ
- 3 ứ
ữ
ỗ
ố - 3

ử
ữ
ữ
.
ữ
ữ
ữ
ứ

n/ Tim cac khoang n iờu cua cac ham sụ: y = x + 1- 2 x2 + 3x + 3 .
* Ham sụ a cho xac inh trờn D = Ă .
* Ta co: y ' = 1-

2x + 3

x2 + 3x + 3 - ( 2x + 3)

.
x2 + 3x + 3
ỡù
ùù x 3
2
2
x = - 1.
* Cho y ' = 0 x + 3x + 3 = ( 2x + 3) ùớ
2
ùù 2
ùùợ x + 3x + 3 = ( 2x + 3)
* Bang biờn thiờn:
x

y'

x2 + 3x + 3

=

- Ơ

- 1
0

+
14

-

+Ơ


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

y

* Dưa vao bang biên thiên:
 Ham sô đa cho đồng biên trên: ( - ¥ ;- 1) .
 Ham sô nghich biên trên: ( - 1; +¥ ) .

(

)

1

o/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y = 3 x2 - 2x = x2 - 2x 3 .
* Ham sô đa cho xac đinh trên D = ¡ .
2
1
2x - 2
2
y ' = ( 2x - 2) x - 2x 3 =
* Ta co:
3
3 x2 - 2x

(

)

(

)

2
3

2x - 2

=
3

(x

2

)

- 2x

2

; " x ¹ 0, x ¹ 2

.

Ham sô không co đao ham tai x = 0 va x = 2.
* Cho y ' = 0 Û 2x - 2 = 0 Û x = 1.
* Bang biên thiên:
x
y'

- ¥

0

-

1
0

-

+

2

+¥
+

y

* Dưa vao bang biên thiên:
 Ham sô nghich biên trên ( - ¥ ;1) .
 Ham sô đồng biên trên ( 1;+¥ ) .
Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

ù.
a/ y = x - sin x , x Î é
ê
ë0; pú
û

2
ù.
c/ y = sin x + cosx , é
ê0; pû
ú
ë

e/ y =

ù.
b/ y = 2sin x + cos2x , x Î é
ê
ë0; pú
û
d/ y = sin3 x - cos2x + sin x + 2.

cosx + 2sin x + 3
.
2cosx - sin x + 4

2
f/ y = x - 2x - 3 .

Bai giai tham khao
ù
a/ Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô: y = x - sin x , x Î é
ê
ë0; pú
û
ù.
* Ham sô đa cho xac đinh trên đoan é
ê0;pû
ú
ë
* Ta co: y ' = 1- cosx .
ìï x Î é0; pù
ê û
ú
ïí

ë
é
ù
0;p
:
y
'
=
0
Û
Û
* Trên đoan ê
ë ú
û
ïï 1- cosx = 0
îï
* Bang biên thiên:
x
y'

ìï x Î é0; pù
ê û
úÛ
ïí
ë
ïï cosx = 1
îï

é0; pù
ïì

ê û
ú
ïí x Î ë
Û x = 0.
ïï x = k2p , ( k Î ¢ )
ïî
p

0
0

+
15


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

y
ù.
* Dưa vao bang biên thiên: Ham sô đa cho đồng biên trên é
ê
ë0;pú
û
b/ Tim cac khoang đồng biên va nghich biên cua ham sô: y = 2sin x + cos2x , x Î

é0; pù
ê
ë ú
û

ù.
* Ham sô đa cho xac đinh trên đoan é
ê0;pû
ú
ë

ù.
* Ta co: y ' = 2cosx - 2sin2x = 2cosx - 4cosx.sin x = 2cosx ( 1- 2sin x) , x Î é
ê
ë0; pú
û
éx = p
ìï x Î é0; pù
ïï
ê
ê
ë ú
û
2
ê
ï écosx = 0
ï
ê
p
é
ù
ê
0;
p
:

y
'
=
0
Û
Û
x
=
* Trên đoan ê
í
.
ê
ë ú
û
ïï ê
6
1
ê
ê
ïï sin x =
êx = 5p
ïïî ê
2
ê
ë
6
ë
* Bang biên thiên:
x
y'

p

0

6
0

+

p

2
0

-

5p

6
0

+

p
-

y

* Dưa vao bang biên thiên:

(

) va ( p 2 ;5p 6) .
Ham sô nghich biên trên: ( p ; p ) va ( 5p ; p) .
6 2
6

 Ham sô đồng biên trên 0; p


6

2
ù.
c/ Tim cac khoang đồng biên va nghich biên cua ham sô: y = sin x + cosx , é
ê0; pû
ú
ë

ù.
* Ham sô đa cho xac đinh trên đoan é
ê
ë0;pú
û
ù.
* Ta co: y ' = 2sin x.cosx - sin x = sin x ( 2cosx - 1) , x Î é
ê0; pû
ú
ë

ù
ïìï x Î é
ê0; pû
ú
ë
ï
ù
ïì x Î é
0; pû
ïï ésin x = 0
p
ê
ú
ï
ë
é
ù
0;
p
:
y
'
=
0
Û
Û
Û
x
=
* Trên đoan ê

í
í
.
ê
ú
ë û
ïï sin x ( 2cosx - 1) = 0 ïï ê
3
ïî
ïï êcosx = 1
2
ïî ë
* Bang biên thiên:
x
y'

p

0

3
0

+

y

* Dưa vao bang biên thiên:
16

p
-


Chuyờn - Hm s n iu

(

Ham sụ ng biờn trờn: 0; p

(

3

).
)

Ham sụ nghich biờn trờn: p ; p .
3
d/ Tim cac khoang ng biờn va nghich biờn cua ham sụ: y = sin3 x - cos2x + sin x + 2 .
* Ta co: y = sin3 x - cos2x + sin x + 2 = sin3 x + 2sin2 x + sin x + 1.
t t = sin x ; t ẻ [- 1; 1]
* Ham sụ a cho tr thanh f (t) = t 3 + 2t2 + t + 1, " t ẻ [- 1; 1]
ột = - 1 ẻ
ờ
2
2
f
'
t

=
3
t
+
4
t
+
1
;
f
'
t
=
0

3
t
+
4
t
+
1
=
0
ị
* Tim ( )
()
ờ
ờt = - 1 ẻ
3

ở
* Bang biờn thiờn:


t
f '( t )

1

1

+

0



0

+

1

f ( t)

+

1

3

ộ- 1;1ự
ờ
ỳ
ở
ỷ
ộ- 1;1ự
ờ
ỳ
ở
ỷ

+
5

23

27

ổ
ổ1 ử
1ử
ữ
ữ
ỗ- 1;- ữ
ỗ- ;1ữ
* Ham sụ f ( t ) nghich biờn trờn ỗ
va ng biờn trờn ỗ
. Hay ham sụ y = f ( x) nghich
ữ

ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
3ứ
ố
ố 3 ứ

(

)

(

)

biờn trờn khoang - p 2;arcsin( - 13) va ng biờn trờn khoang arcsin( - 13) ; p 2 .
e/ Tim cac khoang ng biờn va nghich biờn cua ham sụ: y =

* t t = tan ( x 2) đ sin x =

cosx + 2sin x + 3
2cosx - sin x + 4

2t
1- t2
cos
x
=

va
.
1 + t2
1+ t 2

1- t2
2t
+ 2.
+3
2
2
t2 + 2t + 2
1
+
t
1
+
t
1
f
t
=
=
* Luc o, ( ) tr thanh: ( )
.
1- t2
2t
t2 - t + 3
2.
+4

1+ t2 1+ t2
* Tim TX: t2 - t + 3 ạ 0, " t ẻ Ă ị D = Ă .
* Tim f ( t ) ' =

- 3t2 + 2t + 8

(t

2

)

- t +3

* Cho f '( t) = 0
* Bang biờn thiờn:

2

.

- 3t2 + 2t + 8

( t2 -

t + 3)

2

ột = - 4

3
= 0 - 3t2 + 2t + 8 = 0 ị ờ
ờ
t
=
2
ờ
ở

17

( 1) .


Chuyờn - Hm s n iu
4



t
f '( t )



+

2

3

0

+

0



2

+

f ( t)

2



11

* Da vao bang biờn thiờn:
ổ
- Ơ ; Ham sụ f ( t ) nghich biờn trong khoang ỗ
ỗ
ỗ
ố
ổ4 ử
ữ
Ham sụ f ( t ) ng biờn trong khoang ỗ
.

ỗ- ;2ữ
ữ
ữ
ỗ
ố 3 ứ

4ử
ữ
ữ
va ( 2;+Ơ ) .
ữ
ữ
3ứ

2
f/ Tim cac khoang ng biờn va nghich biờn cua ham sụ: y = x - 2x - 3 .

*
*
*
*
*

ỡù x2 - 2x - 3 khi x ẻ ( - Ơ ;- 1ựẩ ộ3; +Ơ )
ù
ỳ
ỷ ờ
ở
Ta co: y = x - 2x - 3 = ớ
.

2
ùù - x + 2x + 3 khi x ẻ ( - 1;3)
ùợ
TX: D = Ă .
ỡù 2x - 2 khi x ẻ ( - Ơ ;- 1) ẩ ( 3; +Ơ )
ù
y
'
=
Tim
.
ớ
ùù - 2x + 2 khi x ẻ ( - 1;3)
ùợ
Ham sụ khụng co ao ham tai x = - 1 va x = 3
Ta lai co:
o Trờn khoang ( - 1;3) : y ' = 0 x = 1
2

o Trờn khoang ( - Ơ ;- 1) : y ' < 0
o Trờn khoang ( 3;+Ơ ) : y ' > 0
* Bang biờn thiờn:
x

y'



1
0

1



+

+

3



+

y = f (x)
* Da vao bang biờn thiờn:
o Ham sụ nghich biờn trong cac khoang ( - Ơ ;- 1) va ( 1;3) .
o Ham sụ ng biờn trong cac khoang ( - 1;1) va ( 3;+Ơ ) .

Vớ du 3. Chng minh rng:
a/ Hm s y = x3 + x - cosx - 4 ng bin trờn Ă .
b/ Hm s y = 2sin x + tan x - 3x ng bin trờn na khong ộ
ờ0; p

ở

Bai giai tham khao
18

2

).


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

a/ Chưng minh rằng ham sô: y = x3 + x - cosx - 4 đồng biên trên ¡ .
2
* Ta co: y ' = f '( x) = 3x + 1+ sin x .

ìï 3x2 ³ 0, " x Î ¡
ï
Þ y ' ³ 0, " x Î ¡ .
* Ma: í
ïï 1+ sin x ³ 0, " x Î ¡
ïî
Do đo ham sô y = x3 + x - cosx - 4 đồng biên trên ¡ (đpcm).

)

é
b/ Chưng minh rằng ham sô: y = 2sin x + tan x - 3x đồng biên trên nưa khoang ê0; p .
ë 2

)

é
* Ham sô y = 2sin x + tan x - 3x liên tuc trên nưa khoang ê0; p va co đao ham:
ë 2

f '( x) = 2cosx +

1
2

cos x

- 3=

2cos3 x + 1- 3cos2 x
2

cos x

=

( 1-

2

cosx) ( 2cosx + 1)
2

cos x

é
* Do đo, ham sô y = 2sin x + tan x - 3x đồng biên trên nưa khoang ê0; p
ë 2

)

> 0, " x Î é
ê0; p 2
ë

)

(đpcm).

Ví dụ 4. Tùy vào giá trị của tham số m . Hãy khảo sát tính đơn điệu của hàm số:

1
1
y = x3 - m( m + 1) x2 + m3x + m2 + 1
3
2
Bai giai tham khao
* Ham sô đa cho xac đinh va liên tuc trên ¡ .
2
2
3
2
2
* Ta co: y ' = x2 - m(m + 1)x + m3 va D y ' = m (m + 1) - 4m = m (m - 1)
* Khi m = 0 thi y ' = x2 ³ 0, " x Î ¡ va y ' = 0 chi tai điêm x = 0 nên ham sô đồng biên trên
mỗi nưa khoang ( - ¥ ;0] va [ 0;+¥ ) . Do đo, ham sô đồng biên trên ¡ .
2

* Khi m = 1 thi y ' = ( x - 1) ³ 0, " x Î ¡ va y ' = 0 chi tai điêm x = 1 nên ham sô đồng biên
trên mỗi nưa khoang ( - ¥ ;1] va [1;+¥ ) . Do do, ham sô đồng biên trên ¡ .

* Khi m ¹ 0, m ¹ 1. Lúc nay:
é
m(m + 1) + m(m - 1)
êx1 =
= m2
ê
2
y ' = 0 Û x2 - m(m + 1)x + m3 = 0 Û ê
m(m + 1) - m(m - 1)
ê
=m
êx2 =
ê
2
ë
○ Nêu m < 0 hoăc m > 1 thi m < m2 hay x1 < x2 .
Bang xet dâu:
x
y'

−∞

+

m
0

–

m2

0

+∞

+

2
2
Do đo: Ham sô đồng biên trên ( - ¥ ;m) va ( m ;+¥ ) . Ham sô nghich biên trên ( m; m )
○ Nêu 0 < m < 1 thi m > m2 hay x1 > x2
Bang xet dâu:

x
y'

−∞

+

m2
0
19

–

m
0

+∞

+


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

(

)

(

)

2
2
Do đo: Ham sô đồng biên trên - ¥ ;m va ( m; +¥ ) . Ham sô nghich biên trên m ;m .

 Bai tâp ren luyên
Bai 1. Tim cac khoang đơn điêu cua cac ham sô.
1/ y = 2x3 + 3x2 + 1
4/ y = x3 - 6x2 + 12x + 7
1 3 1 2
7/ y = x - x - 2x + 2
3
2
4
10/ y = x - 2x2 + 3
1
y = x4 + x 3 - x + 5
2

2

13/ y = ( x + 2) ( 2 - x)

4 3
2
x + 6x2 - 9x 3
3
1 3
2
5/ y = x - 2x + 4x - 5
3
2/ y = -

8/ y = x3 - 2x2 + x + 1
11/ y = x4 - 2x2 - 5

2

4 5
x + x3 + 8
5
10
7
y = 2x5 + 5x4 + x3 3
3
x +2
19/ y =
2x + 1
x +2

22/ y =
x- 1
4
25/ y = x +
x
1
- 2x
28/ y =
x +1
2x
31/ y = 2
x - 9
1
34/ y = 2
x +3
x2 - 2x
37/ y =
x- 1
x4 + 48
40/ y =
x
43/ y = 2x - x2
16/ y = -

3 4
3 2
3
14/ y = x - 2x + x - 6x + 11
4
2

7 5
7
6
17/ y = 9x - 7x + x + 12
5

38/
41/

2

15/ y = ( x - 1) ( 1 + x)

2

18/

21/ y =

27/ y =

1
x +2
2
x - 2x + 3
y=
x +1
x- 2
y= 2
x +x +1

x- 3
y= 2
x - 3x + 2
x +1
y=
3 x

29/ y = - x + 1-

35/

1 3
x - 3x2 + 8x - 2
3
1 3
2
9/ y = x - x + 4x + 1
6
12/
6/ y =

3 - 2x
x +7
3x - 4
24/ y =
1- 2x

3x + 1
2- x
2x - 1

23/ y =
x +1
9
26/ y = x x
20/ y =

32/

3/ y = x3 + 3x2 + 3x + 2

x2 - 8x + 9
x- 5

2x + 5
x2 - 4
x2 - 5x + 3
33/ y =
x- 2
x
36/ y = 2
x +4
1
39/ y =
( x - 5) 2
30/ y =

42/ y = x2 + 2

44/ y = x 1- x2
x3

47/ y =
x2 - 6

45/ y = 3x2 - x3
x
48/ y =
25 - x2

49/ y = 64 - x2
52/ y = x + x

50/ y = 3x + 1
53/ y = x - x

51/ y = 4x - x2
54/ y = x.( x - 3)

55/ y = x2 - 2x + 3

56/ y = x2 + 2x + 3

57/ y = ( 4 - 3x) 6x2 + 1

46/ y =

x +2
x + 200

58/ y = x + 1- 2 x2 + 3x + 3
61/ y = 3 x2 - 2x

59/ y = x + 162/ y =

2x2 - x + 3
3x + 2
20

x2 - 4x + 3

60/ y = 3 3x - 5
2
63/ y = x + 5x + 6


Chuyờn - Hm s n iu
2
64/ y = x - 5x + 4

2
65/ y = - x + 1- 2x + 5x - 7

2
2
66/ y = x + x - 7x + 10

2
67/ y = 3x - 8x - 11

3
2

68/ y = x - 7x - 7x + 15

69/ y = - 3x + 7 + x2 - 6x + 9

Bai 2. Xet chiờu biờn thiờn cua cac ham sụ
ộ pự
1/ y = sin3x , x ẻ ờ0; ỳ
ờ 3ỷ
ỳ
ở
3/ y = sin2x , x ẻ ( - p 2; p 2)

5/ y = x - sin x , x ẻ [ 0;2p]
ộ pự
2
7/ y = sin x + cosx + 1, x ẻ ờ0; ỳ
ờ 2ỷ
ỳ
ở
4 3
9/ y = 2sin x - sin x , x ẻ [ 0; p]
3
3
11 y = sin x - cos2x + sin x + 2

13/ y = sin3 x - 3sin2 x + 2
ộ pự
15/ y = cos3 x + 3cos2x - 15cosx + 2, x ẻ ờ0; ỳ
ờ
ở 2ỳ

ỷ
3 - sin x
17/ y =
sin x + cosx - 1

cot x
, x ẻ ( 0; p)
x
4/ y = sin2x - x , x ẻ ( - p 2; p 2)
p 5p ử
ổ
; ữ
6/ y = x + 2cosx , x ẻ ỗ
ỗ
ữ
ố6 6 ứ
ộ pự
8/ y = 2.cos2x + sin x , x ẻ ờ0; ỳ
ờ 2ỷ
ỳ
ở
2/ y =

10/ y = cos3 x - 6cos2 x + 9cosx + 5
12/ y = 2cos2 x + 2 3sin x - 2
ổ pữ
ử
ổ pữ
ử
x - ữ+ 3cosỗ

x + ữ, x ẻ [ 0; p]
14/ y = 3sinỗ
ỗ
ỗ
ố
ố
6ứ
3ứ
1
1
sin4x - ( 2 - 3) cos2x, x ẻ
8
4
2 + cosx
18/ y =
sin x + cosx + 2

16/ y =

ổ pử
ỗ
0; ữ
ỗ
ữ
ố 2ứ

Bai 3. Chng minh rng ham sụ
1/ y = 1- x2 nghich biờn trờn oan [ 0;1] .
4 3
2

2/ y = x - 2x + x - 3 ng biờn trờn toan truc sụ.
3
x- 2
3/ y =
ng biờn trờn mi tõp xac inh cua no.
x +2
- x2 - 2x + 3
4 y=
nghich biờn trờn mi tõp xac inh cua no.
x +1
ộ pự
ộp ự
5/ y = sin2 x + cosx ng biờn trờn oan ờ0; ỳva nghich biờn trờn oan ờ ; pỳ.
ờ 3ỷ
ỳ
ờ3 ỳ
ở
ở
ỷ
2
6/ y = 2x - x ng biờn trờn khoang ( 0,1) va nghich biờn trờn khoang ( 1,2) .
x
7/ y = 2
ng biờn trờn ( - 1,1) va nghich biờn trờn cac khoang ( - Ơ ;- 1) ẩ ( 1; +Ơ )
x +1
8/ y = x - sin x ng biờn trờn khoang ( 0; 2p) .
2 3
2
2
9/ y = x - (m - 4)x + (m - 6m + 60)x + 7 luụn ng biờn trờn tng khoang xac inh cua

3
no.
10/ y = - x3 + (2 - m)x2 - (m2 + 4)x - 3 luụn nghich biờn trờn tng khoang xac inh cua no.
11/ y = x3 + x - cosx - 4 luụn ng biờn trờn Ă .
12/ y = cos2x - 2x + 3 luụn ng biờn trờn Ă .

21


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

13/ y = cua no.

1 3
x - (3 + m)x2 - (m2 - m + 10)x - 1 luôn nghich biên trên tưng khoang xac đinh
3

(m + 3)x + 3m - 1
luôn đồng biên trên tưng khoang xac đinh cua no.
x +m
mx + 2
15/ y =
luôn đồng biên trên tưng khoang xac đinh cua no.
- 2x + m
(m - 3)x + m2
16/ y =
luôn nghich biên trên tưng khoang xac đinh cua no.
x+4
x2 - m2x - 2
17/ y =

luôn nghich biên trên tưng khoang xac đinh cua no.
1- x
x2 + 2x - 1- 3m2
18/ y =
luôn đồng biên trên tưng khoang xac đinh cua no.
x +m
- x2 + 6x + m2 + 3m - 4
19/ y =
luôn nghich biên trên tưng khoang xac đinh cua no.
x- 4
é pù
20/ y = ( x - sin x) ( p - x - sin x) luôn đồng biên trên khoang ê0; ú.
ê 2û
ú
ë
21/ y = cos2x - 2x + 3 luôn nghich biên trên ¡ .
x
22/ y = tan đồng biên trên cac khoang ( 0;p) va ( p,2p) .
2
3x
æ p÷
ö
æp p ö
0; ÷va nghich biên trên khoang ç
; ÷
23/ y = cos3x +
luôn đồng biên trên ç
÷.
ç
ç

è 18ø
è18 2ø
2
24/ y = 3x - sin( 3x - 1) luôn đồng biên trên tưng khoang xac đinh cua no.
25/ y = - 5x + cot ( x - 1) luôn nghich biên trên tâp xac đinh cua no.
26/ y = cosx - x luôn nghich biên trên tâp xac đinh cua no.
27/ y = sin x - cosx - 2 2.x luôn nghich biên trên tâp xac đinh cua no.

14/ y =

Bai 4. Tuy vao điêu kiên cua tham sô m , hay khao sat tính đơn điêu cua ham sô
1 3 1 2
3
1/ y = x - mx + m x + m - 3
3
2
1
1
3
2
2/ y = ( m - 1) x - ( m - 1) x + x + 2m + 3
3
2
2 – Dạng toán 2: Tìm điều kiện của tham sô để h/s đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định
D hay hàm bậc ba dạng y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đơn điệu bằng e

 Lý thuyêt giao khoa: Cho ham sô y = f ( x, m) vơi m la tham sô, co tâp xac đinh D.
Ham sô






Ham sô
Ham sô
Ham sô

y = f ( x, m)
y = f ( x, m)
y = f ( x, m)
y = f ( x, m)

đồng biên trên D

Û y' ³ 0 "x Î

nghich biên trên D
đồng biên trên

D

Tham số

,
D
Û y' £ 0 "x Î

y' ³ 0
¡ Û y ' = f '(x, m) ³ 0, " x Î ¡ Û min
xÎ ¡

nghich biên trên

y' £ 0
¡ Û y ' = f '(x, m) £ 0, " x Î ¡ Û max
xÎ ¡
22


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

Ham sô đồng biên trên


¡

thi no phai xac đinh trên

¡

.

 Phương phap giai
 Loai 1: Nêu y ' = f '(x, m) = ax2 + bx + c thi:
 Đê ham sô y = f ( x, m) đồng biên (tăng) trên
ïì a > 0
¡ Û y ' = f '(x, m) ³ 0; " x Î ¡ Û ïí
ïï D £ 0
î
ìï a < 0

ï
 Đê ham sô y = f ( x, m) nghich biên trên ¡ Û y ' = f '(x, m) £ 0; " x Î ¡ Û í
ïï D £ 0
î
Đôi vơi ham phân sô hữu ti thi dâu “=” không xay ra.
 Loai 2: Nêu y ' = ax + b ; " x Î [ a; b] thi:
ïì y '(a) ³ 0
 Đê ham sô y = f ( x, m) đồng biên trên [ a; b ] Û y ' ³ 0 ; " x Î [ a; b] Û ïí
ïï y '(b) ³ 0
ïî
ïìï y '(a) £ 0
 Đê ham sô y = f ( x, m) nghich biên trên [ a; b ] Û y ' £ 0 ; " x Î [ a; b] Û í
ïï y '(b) £ 0
ïî
2
 Loai 3: Nêu y ' = f '(x) = ax + bx + c hoăc y ' = f '(x) la môt ham bât kỳ nao khac, ma ta
cân
y ' = f '(x) ³ 0 hay y ' = f '(x) £ 0 trên khoang ( a,b) hoăc đoan [a,b] (hoăc trên nưa
đoan
hay nưa khoang nao đo). Thi ta lam theo cac bươc sau:
 Bươc 1: Tim miên xac đinh cua y ' = f '(x) .
 Bươc 2: Đôc lâp (tach) m (hay biêu thưc chưa m ) ra khỏi biên x va chuyên m vê môt
vê. Đăt vê con lai la g(x) . Lưu y khi chuyên vê thanh phân thưc thi phai đê y
điêu kiên xac đinh cua biêu thưc đê khi xet dâu g'(x) ta đưa vao bang xet dâu
g '(x) .
 Bươc 3: Tính g'(x) . Cho g '(x) = 0 va tim nghiêm.
 Bươc 4: Lâp bang biên thiên cua g'(x) .
 Bươc 5: Kêt luân: “Lớn hơn sô lớn – Bé hơn sô bé”. Nghĩa la: khi ta đăt m ³ g(x) ( 1)
hoăc m £ g(x) ( 2) thi dưa vao bang biên thiên ta sẽ lây gia tri m ³ sô lớn nhất
trong bang biên thiên ưng vơi ( 1) hoăc m £ sô nhỏ nhất trong bang ưng vơi

( 2) .
 Loai 4: Tim m đê ham số y = ax3 + bx2 + cx + d co đô dai khoang đồng biên (nghich
biên) = e .
Ta giai như sau:
23


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

 Bươc 1: Tính y ' = f '(x) .
ìï a ¹ 0
( 1) .
 Bươc 2: Tim điêu kiên đê ham sô co khoang đồng biên va nghich biên: ïí
ïï D > 0
î
2
2
( 2) .
 Bươc 3: Biên đôi x1 - x2 = e thanh ( x1 + x2 ) - 4x1.x2 = e
 Bươc 4: Sư dung đinh ly Viet đưa (2) thanh phương trinh theo m .
 Bươc 5: Giai phương trinh, so vơi điêu kiên (1) đê chon nghiêm.
 Môt sô lưu ý khi giai toan
☼ Lưu ý 1: Cân sư dung thanh thao đinh lí Viet va so sanh nghiêm cua phương trinh bâc hai
vơi sô β.
☼ Lưu ý 2: Ta co thê dung dang toan loai 3 đê giai bai toan tim tham sô m cua môt bât
phương trinh hoăc tim điêu kiên đê phương trinh co nghiêm, vô nghiêm hoăc 1, 2,
…n nghiêm, …
 Môt sô vi dụ
Ví dụ 1. Tìm tham số m để hàm số: (Xem lại phương pháp giải toán loại 1)
a/ y = x3 - 3x2 + 3(m + 2)x + 3m - 1 đồng biến trên ¡ .

b/ y = x3 - ( 2m - 1) x2 + ( 2 - m) x + 2 đồng biến trên ¡ .
c/ y = x3 + ( m - 3) x2 + 2mx + 2 đồng biến trên tập xác định của nó.
3
2
2
2
d/ y = - x + 3x + 3( m - 1) x - 3m - 1 luôn giảm.

1
( 3 - m) x3 - ( m + 3) x2 + ( m + 2) x - 3 luôn tăng trên ¡ .
3
2
3
2
f/ y = 13( m - 1) x + ( m + 1) x + 3x + 5 luôn đồng biến trên ¡ .
e/ y =

Bai giai tham khao
a/ Tim tham sô m đê ham sô: y = x3 - 3x2 + 3(m + 2)x + 3m - 1 đồng biên trên ¡ .
* Ham sô đa cho xac đinh trên D = ¡ .
2
* Đê ham sô đồng biên trên ¡ Û y ' = 3x - 6x + 3( m + 2) ³ 0, " x Î ¡ .
ïì a > 0
ïì 3 > 0
Û ïí
Û íï
Û m³ - 1 .
ïï D ' £ 0
ïï 9 - 9(m + 2) £ 0
î

ïî
* Vây m ³ - 1thi ham sô đồng biên trên ¡ .
3
2
b/ Tim tham sô m đê ham sô: y = x - ( 2m - 1) x + ( 2- m) x + 2 đồng biên trên ¡ .

* Ham sô đa cho xac đinh trên D = ¡ .
2
* Đê ham sô đồng biên trên ¡ Û y ' = 3x - 2( 2m - 1) x + ( 2- m) ³ 0, " x Î ¡ .

24


Chuyên đề - Hàm số đơn điệu

ìï a = 3 > 0
5
ï
Û ïí
Û
1
£
m
£
.
2
ïï D ' = ( 2m - 1) - 3( 2- m) = 4m2 - m - 5 £ 0
4
ïî
5

* Vây - 1 £ m £ thi ham sô đồng biên trên ¡ .
4
3
2
c/ Tim tham sô m đê ham sô: y = x + ( m - 3) x + 2mx + 2 đồng biên trên tâp xac đinh cua no.

* Ham sô đa cho xac đinh trên D = ¡ .
2
* Đê ham sô đồng biên trên tâp xac đinh D = ¡ Û y ' = 3x + 2( m - 3) x + 2m ³ 0, " x Î ¡ .
ìï a = 3 > 0
ï
Û ïí
Û 6- 3 3 £ m £ 6 + 3 3
2
ïï D ' = ( m - 3) - 3.2m = m2 - 12m + 9 £ 0
ïî
é
ù
* Vây m Î ê6- 3 3;6 + 3 3úthi ham sô đồng biên trên tâp xac đinh D = ¡ .
ë
û

(

)

3
2
2
2

d/ Tim tham sô m đê ham sô: y = - x + 3x + 3 m - 1 x - 3m - 1 luôn giam.

* Ham sô đa cho xac đinh trên D = ¡ .
2
2
* Đê ham sô luôn giam trên D = ¡ Û y ' = - 3x + 6x + 3 m - 1 £ 0

(

)

ìï a = - 3 < 0
Û ïí
Û m = 0.
ïï D ' = 9 + 3.3 m2 - 1 = 9m2 £ 0
ïî

(

)

e/ Tim tham sô m đê ham sô: y =

1
3- m) x3 - ( m + 3) x2 + ( m + 2) x - 3 luôn tăng trên ¡ .
(
3

* Ham sô đa cho xac đinh trên D = ¡ .
2

* Đê ham sô luôn tăng trên ¡ Û y ' = ( 3- m) x - 2( m + 3) x + ( m + 2) ³ 0
ìï a = 3- m > 0
ï
Û ïí
Û
2
ïï D ' = ( m + 3) - ( 3 - m) ( m + 2) = 2m2 + 5m + 3 £ 0
ïî

(

ìï m < 3
ï
3
ïí
Û - £ m £ - 1.
ïï - 3 £ m £ - 1
2
ïïî 2

)

2
3
2
f/ Tim tham sô m đê ham sô: y = 1 m - 1 x + ( m + 1) x + 3x + 5 luôn đồng biên trên ¡ .
3

* Ham sô đa cho xac đinh trên D = ¡ .
2

2
* Đê ham sô luôn đồng biên trên ¡ Û y ' = m - 1 x + 2( m + 1) x + 3 ³ 0 .

(

éìï a = b = 0
êï
êíï c ³ 0
ê
Û êîï
Û
êïìï a > 0
êí
ï £0
êD
ëïî

éìï m2 - 1 = 2 m + 1 = 0
(
)
êï
êíï 3 > 0
êïîï
Û
êì 2
êïï m - 1 > 0
êí
êï - 2m2 + 2m + 4 £ 0
êïïî
ë

)

ém = - 1
ê
êìï m Î - ¥ ;(
êï
êí
êïï m Î ( - ¥ ;ëïî
25

1) È ( 1; +¥ ) Û m Î ( 1;+¥ ) È é
ê
ë2;+¥ ) .
é2; +¥ )
1ù
úÈ ë
ê
û