Đề thi học sinh giỏi Toán hấp dẫn

Đề thi chọn hs đi thi huyện
Thời gian: 120
/
Bài 1:
Cho M =
2 3
2 3
1
2
2 2
1
n n
n n n
+
+ + +

a, Rút gọn M.
b, Chứng tỏ rằng n

Z thì kết quả rút gọn ở câu (a) là một phân số tối giản.
c, Tìm n để M đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2:
a, Rút gọn: A =
2 2
( 1)
( )
1
a b c abc ab ac bc
a b a b
+ + + + + +
+ +

b, Rút gọn: B =
2 2
2 4 3 3 2 2
1
3
b
b
a b
ab
b a
a a ab a a b ab

+
ữ ữ
ữ ữ
+
+ +


c, Rút gọn: C=
2
3 2
2 5
2
2 9 12
4
x x
x x x
+ +
+ + +

Bài 3: a, Tìm n sao cho n
2
14n 256 là số chính phơng n

N
b, Tìm n sao cho n
2
+ 2n + 2004 là số chính phơng n

N
Bài 4: Cho 2 số dơng x,y > 0 thoã mãn x + y =
2007
2006
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: S =
2006 1
2006x y
+
.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đờng chéo , H là hình chiếu của
A trên OD. Biết rằng các góc DAH = HAO =OAB .
Chứng minh rằng: ABCD là hình chữ nhật .
Bài 6: Cho tam giác ABC, > 90
0
. Trong góc A vẽ các đoạn thẳng AD, AE sao cho
AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC. Gọi M là trung điểm của DE.
Chứng minh rằng: AM vuông góc với BC.
Bài 7: Giải phơng trình: a, (x
2
- 9)

2
= 12x + 1
b,
3
3 2 0x
x
+ =
Bài 8: Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:

2
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ +
+ +
+ + +


Đề số 2
Câu 1: Tìm các chữ số a , b, c thoả mãn:

bcabc
abc
a
)1(
=
Câu 2: Cho a,b,c lá các số thực dơng . Chứng minh rằng :

2
>
+

+
+
+
+
ba
c
ca
b
cb
a
Câu 3: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:
a, Nếu độ dài của 3 cạnh thoã mãn hệ thức :

ab
bc
ca
ab
cb
ac
ab
ca
ca
bc
cb
ab
+
+
+
+
+

=
+
+
+
+
+
Thì tam giác ABC cân.
b, Tìm: B
min
= 2
y
x
y
x
y
x
y
x
2
2
2
2
4
4
7
+

+

c, Tìm GTLN và GTNN(nếu có) của A=

2
3 1
2 1
x
x
x
+ +
+
Câu 4: Cho

ABC , AB =AC , trung tuyến AM, phân giác BD , BD = 2AM.
Tính các góc của

ABC ?
Bài 5: a, Tìm n sao cho n
2
14n 256 là số chính phơng n

N
b, Tìm n sao cho n
2
+ 2n + 2004 là số chính phơng n

N
6, Rút gọn: A =
2 2
( 1)
( )
1
a b c abc ab ac bc

a b a b
+ + + + + +
+ +