Kinh nghiệm sử dụng tích phân giải một số bài tập vật lý trung học phổ thông và ôn luyện học sinh giỏi

MỤC LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

1. PHẦN MỞ ĐẦU.
1.1. Lý do chọn đề tài.
Vật lý là môn khoa học thực nghiệm trong đó các định luật, công thức vật
lý được xây dựng trên biểu thức toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm. Để
xác định các đại lượng vật lý, giải thích sự thay đổi các đại lượng vật lý, giải
thích các hiện tượng vật lý nhất thiết phải dùng các công thức toán học như các
hàm số sơ cấp, phép tính đạo hàm, vi phân, tích phân …Các kiến thức toán học
này đòi hoi sự tư duy và khả năng ghi nhớ để có thể hiểu và nắm vững kiến
thức. Hơn nữa, trong giai đoạn hiện nay khi hình thức thi trắc nghiệm được áp
dụng trong các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia đòi hoi phương pháp giải
nhanh và tối ưu là rất cấp thiết để các em có thể đạt được kết quả cao.
Khi nghiên cứu, giảng dạy, giải các bài tập vật lý tôi thấy được ứng dụng
của toán học rất nhiều. Trong các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã có rất nhiều
tác giả khai thác mảng ứng dụng toán học trong dạy học vật lý. Vi phân và tích
phân là những công cụ toán học rất quan trọng được sử dụng trong vật lí. Trong
quá trình giảng dạy ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia và bồi dưỡng học
sinh gioi đặt ra một số bài toán vật lý có nhiều cách làm, trong đó có cách làm
dùng tích phân hoặc phải dùng tích phân mới giải được. Tôi nhận thấy dùng
phương pháp tích phân giải bài vật lý cho kết quả nhanh và nâng cao khả năng
tư duy cho học sinh, các em có hứng thú học tập môn vật lý hơn. Khi học sinh
hiểu được nội dung bài học, các em có sự say mê lĩnh hội kiến thức mới từ đó
phát huy tối đa tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong việc học tập.
Xuất phát từ tình hình thực tế tôi đang giảng dạy hiện nay, đa số học sinh
khi giải bài tập thì nhiều học sinh còn gặp khó khăn, nhất là khâu áp dụng các
kiến thức toán học cơ bản cho bài tập vật lí, các em chưa hình dung các kiến
thức toán được áp dụng như thế nào. Điều này không chỉ các em học sinh khá
mà ngay cả học sinh trong đội tuyển của trường. Ngoài ra, một số bài tập có
nhiều cách giải nếu dùng tích phân kết hợp với máy tính casio cho kết quả nhanh

hơn nhiều so với giải bằng phương pháp thông thường.
Đó cũng chính là lý do tôi chọn nghiên cứu đề tài “Kinh nghiệm sử dụng
tích phân giải một số bài tập vật lí trung học phổ thông và ôn luyện học sinh
giỏi tại trường THPT Yên Định 2 ” nhằm giúp học sinh hiểu sâu về các kiến
thức vật lý, áp dụng kiến thức toán học vào giải bài tập vật lí được tốt hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Khi giảng dạy bộ môn vật lý tại trường trung học phổ thông Yên Định 2,


tôi nhận thấy hầu hết các em học sinh đều rất lúng túng khi làm các bài tập có áp
dụng các công thức toán học. Từ đó mục đích của tôi khi thực hiện đề tài này là:
Cung cấp cho học sinh cách giải một số loại bài tập vật lý có sử dụng
công cụ toán học là tích phân.
Giúp giải nhanh một số bài tập vật lý thi trắc nghiệm có sử dụng tích phân
trong máy tính cầm tay casio.
Trên cơ sở vận dụng tích phân nhằm bồi dưỡng học sinh gioi trung học
phổ thông và thi trung học phổ thông quốc gia.
Phát triển khả năng tư duy cho học sinh khi sử dụng các kiến thức toán
học nhằm tiếp cận kiến thức vật lý chương trình đại học (vật lý đại cương) và
ngày càng yêu thích môn học vật lý.
Rèn luyện cho các em học sinh các kỹ năng giải bài tập vật lý, vận dụng
các kiến thức vật lý để giải một số bài tập ứng dụng trong đời sống phần cơ,
nhiệt, điện nhằm phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh về môn vật lý có
tầm quan trọng trong kĩ thuật và đời sống.
Giúp học sinh củng cố được kiến thức, phát triển năng lực tư duy, tạo ra
không khí hứng thú và lôi cuốn học sinh tham gia môn học, nâng cao chất lượng
học tập bộ môn vật lý nhằm đạt được kết quả cao trong kỳ thi trung học phổ
thông quốc gia và thi học sinh gioi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Các kiến thức về vi phân và tích phân chương trình phổ thông.

Các kiến thức vật lý có sử dụng đến phép tổng tích phân như : quãng
đường s, vận tốc v, thời gian t, từ thông Φ , lực F, mô men lực M, điện lượng q,
công A, công suất trung bình P, nhiệt lượng Q…
Một số kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay casio khi tính tích phân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Giáo viên nghiên cứu, sưu tầm và biên soạn tài liệu về các dạng bài tập
trong chương trình vật lý phổ thông có sử dụng tích phân để giải. Trong tài liệu
đó giáo viên hướng dẫn cụ thể cho học sinh từng phương pháp, cách giải với các
ví dụ cụ thể để các em có thể hiểu và vận dụng.
Phương pháp phân tích, so sánh, tổng hợp, thực nhiệm sư phạm.
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết, đọc sách giáo khoa,
sách giáo viên phổ thông, các sách đại học và các tài liệu tham khảo khác.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin, xử lý số liệu:
- Xác định đối tượng học sinh áp dụng đề tài.
- Trình bày kiến thức cơ sở sách giáo khoa và cách vận dụng tích phân.
- Đưa ra các bài tập áp dụng trong từng dạng để học sinh luyện tập.
- Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh bằng các đề kiểm tra.
- Đánh giá, điều chỉnh phương pháp cho phù hợp từng đối tượng học sinh.
- Chọn lớp 12B1 khóa 2013-2016 làm lớp thực nghiệm, lớp 12A1 khóa
2012-2015 làm lớp đối chứng.

2


2. PHẦN NỘI DUNG.
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài.
* Định nghĩa tích phân xác định
Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định và bị chặn trên đoạn [ a; b] . Chia đoạn
[ a; b] thành n phần tùy ý bởi các điểm chia : a = x0 < x1 < ... < xn = b . Trên mỗi đoạn
n

[ xk −1; xk ] lấy bất kì điểm ξk Khi đó I n = ∑ f ( ξk ) ∆ k = f ( ξ1 ) ∆1 + f ( ξ2 ) ∆ 2 + ... + f ( ξn ) ∆ n
k =1

n

Nếu tồn tại maxlim
∑ f ( ξk ) ∆k = I không phụ thuộc cách chia đoạn [ a; b] và cách chọn
∆ →0
k

k =1

điểm ξ k thì giới hạn này gọi là tích phân xác định của hàm số f ( x ) trên đoạn

[ a; b] và kí hiệu là:

b

∫ f ( x ) dx . Khi đó hàm số

y = f ( x ) được gọi là khả tích trên

a

đoạn [ a; b] . [ a; b] gọi là khoảng lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, x là
biến số lấy tích phân, f ( x ) là hàm số dưới dấu tích phân, f ( x ) dx gọi là biểu
thức dưới dấu tích phân [4].
* Khái niệm vi phân:
Cho hàm số y = f(x). Số gia ∆x . Khi ∆x rất nho thì được kí hiệu là dx,

dx : gọi là vi phân của biến số x.
dy = y , dx : gọi là vi phân của hàm số y.
Trường hợp hàm số hợp: y = f(u) với u = g(x)
Vi phân của hàm số y là : dy = yu , du = yu ,u x , dx
* Áp dụng tích phân trong vật lý:
Loại 1: Các đại lượng vật lý có sử dụng phép tính đạo hàm:
Để xác định vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chuyển động ta sử dụng
dv
dx
= x, ; a =
= v , = x ,, . Ngược lại, nếu biết
kiến thức về đạo hàm như : v =
dt
dt
vận tốc tức thời v(t), gia tốc tức thời a(t) và các điều kiện ban đầu. Để xác định
vị trí và quãng đường đi sau thời gian t ta sử dụng phép tính ngược lại của đạo
hàm là phép lấy tích phân.
Loại 2: Các đại lượng vật lý có sử dụng phép tính tổng:
Các đại lượng vật lý có sử dụng phép tính tổng như: tính công của một lực
thực hiện, tính điện trường tổng hợp, từ trường tổng hợp, điện trở, từ thông, điện
lượng chuyển qua tiết diện của dây dẫn, tìm mô men quán tính của vật rắn, tìm
3


công của dòng điện xoay chiều, nhiệt lượng toa ra trên một điện trở, công suất
trung bình của dòng điện xoay chiều...
b

Dấu tích phân

∫

có nghĩa là phép lấy tổng. Sau đó, đi tìm hàm dưới dấu

a

tích phân cũng như xác định cận trên, cận dưới của tích phân sao cho chính xác.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Hiện nay, tại trường trung học phổ thông Yên Định 2, có nhiều em học
sinh rất lúng túng khi làm các bài tập áp dụng các công thức toán học và hay
nhầm lẫn. Trong đó, khó khăn lớn nhất của các em là việc xác định bài toán
thuộc dạng nào để ra đưa phương pháp giải phù hợp cho việc giải bài toán đó.
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh gioi bộ môn vật lý về
phần cơ học, điện học, nhiệt học, tôi thấy đa số học sinh chưa biết vận dụng kiến
thức vi phân và tích phân đã học ở môn toán để giải các bài tập vật lý.
Một số học sinh khi giải bài tập chỉ biết bấm máy tính casio nhưng chưa
hiểu kiến thức vật lý có liên quan đến công thức toán học mà các em bấm máy.
Một số học sinh tuy rất thành thạo tính toán nhưng không hiểu bản chất
hiện tượng vật lý nên mò mẫm hoặc bắt chước máy móc các bài tập đã biết
nhưng không cùng thể loại vì vậy không thể thiết lập được biểu thức toán học
dưới dấu tích phân cho các dạng bài tập khác nhau.
Các bài tập vật lý có sử dụng tích phân trong chương trình trung học phổ
thông còn rất ít, chủ yếu viết về tính mô men quán tính chương vật lý chất rắn
lớp 12 nâng cao trong khi các bài tập vật lý có sử dụng tích phân trong chương
trình đại học lại quá khó để học sinh có thể hiểu được (tích phân đường, tích
phân mặt, tích phân 2 lớp, 3 lớp…)
Bài toán có sử dụng tích phân là một dạng rất mới đối với kinh nghiệm
của học sinh, đặc biệt là học sinh lớp 10 và 11 do các em chưa được học môn
toán về tích phân. Mặt khác, hiện nay các tài liệu tham khảo đang còn rất ít và
chưa đa dạng. Từ đó, đối với giáo viên cũng gặp không ít những khó khăn trong

việc truyền thụ kiến thức cho học sinh.
Có thể nói, đối với các bài tập vật lý phổ thông sử dụng công cụ toán học
tích phân hiện nay được khai thác rất ít. Trong đề tài này tôi đã đi sâu, tìm hiểu,
mở rộng các dạng bài toán sử dụng phương pháp này.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Một số bài toán vật lý ta cần phải biến đổi để có thể phân ly biến số:
f ( x)dx = g ( y )dy

Sau đó lấy tích phân cả 2 vế với cận phù hợp theo các điều kiện ban đầu:
x2

y2

x1

y1

∫ f ( x)dx = ∫ g ( y )dy

Một số bài toán vật lý sau khi biến đổi dẫn đến việc tính tổng :
n

S = f(x1). ∆ x1 + f(x2). ∆ x2 + f(x3). ∆ x3 +…

=

∑ f ( x ).∆x
i =1

i

i

4


n

=

∆ S1

+

∆ S2

+ ∆ S3

∑ ∆S

+… =

i =1

i

Nếu ∆ x rất nho ta kí hiệu là dx: gọi là vi phân của biến x
Nếu ∆ S rất nho ta kí hiệu là dS: gọi là vi phân đại lượng S
Như vậy: ∆ Si = f(xi). ∆ xi hay viết dạng vi phân dS = f(x).dx
b

b

a

a

Từ định nghĩa tích phân ta có: S = ∫ dS = ∫ f ( x)dx
Ta chia nho thành các vi phân, sau đó dùng tích phân để cộng lại.
Trong các bài toán có dùng tích phân, thường ta gặp đại lượng vật lý này
phụ thuộc vào đại lượng vật lý khác.
Cách giải quyết là chia nho tìm đại lượng vi phân rồi sau đó lấy tích phân
trên đoạn ta xét.
Trong đề tài nghiên cứu này, đây tôi chia thành 4 giải pháp dùng tích phân
giải một số bài tập ở một số phần trong chương trình vật lý phổ thông:
+ Phần cơ học lớp 10 .
+ Phần nhiệt học lớp 10.
+ Phần điện, điện từ lớp 11.
+ Phần cơ, điện lớp 12.
2.3.1. Giải pháp 1: dùng tích phân giải một số bài tập phần cơ học lớp 10.
Dạng 1: Tính quãng đường và tốc độ trung bình:
Khi tốc độ của vật thay đổi theo thời gian, ta chia nho thời gian thành các
khoảng vi phân dt. Trong khoảng thời gian nho này tốc độ của vật coi như không
đổi nên quãng đường vi phân tương ứng là : dS = v dt
t2

Vậy: quãng đường tổng cộng: S = ∫ v dt và tốc độ trung bình : v =
t1

S

t

Nếu vật chuyển động thẳng nhanh dần đều theo chiều dương. Mốc thời
t

1
2

t
0

1
2

2
2
gian t = 0 khi v = v0 thì v = v0 + a.t → S = ∫ (v0 + at )dt = (v0t + at ) = v0t + at
0

Dạng 2: Tính quãng đường hoặc thời gian:
Ta tìm mối liên hệ giữa dx và dt: v =

dx
→ dx = vdt
dt

Dạng 3: Tính vận tốc hoặc thời gian:
Ta tìm mối liên hệ giữa dv và dt: a =

dv F

= → Fdt = mdv
dt m

Dạng 4: Tính quãng đường hoặc vận tốc:
Ta tìm mối liên hệ giữa dv và dx: a =
Fdx = mvdv

dv dv dx vdv F
=
=
= →
dt dx dt
dx m

Dạng 5: Tính công của lực đàn hồi khi vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2:
Vì lực đàn hồi thay đổi theo độ biến dạng x, nên ta chia nho độ biến dạng
toàn phần thành n đoạn biến dạng vô cùng nho vi phân dx sao cho tương ứng
với độ biến dạng này lực đàn hồi F được coi là không đổi.
5


Công nguyên tố (vi phân): dA = F.dx = -kx.dx.
x
1 2 x2 1 2 1 2
A
=
Suy ra:
∫x −kxdx = − 2 kx x = 2 kx1 − 2 kx2 = Wt1 − Wt2
1
2

1

Nhận xét: Công của lực đàn hồi bằng độ giảm thế năng giữa 2 vị trí.
Ví dụ 1: Vật khối lượng m ném lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận
2
tốc ban đầu v0. Lực cản không khí: Fc = kv (v là vận tốc tức thời, mg > kv2)
a) Tính độ cao lớn nhất vật đạt được.
b) Tính thời gian từ lúc ném đến khi vật đạt độ cao lớn nhất.
Phân tích và hướng dẫn giải
Trong giai đoạn vật ném lên thì vật chuyển động thẳng không đổi chiều
nên độ cao của vật chính là tọa độ x. Chọn trục tọa độ phương thẳng đứng, gốc
tọa độ O trùng với vị trí ban đầu của vật, chiều dương hướng lên.
a)
Đề cho v0, yêu cầu tính h = x nên ta áp dụng công thức liên hệ dv và dx:
Fdx = mvdv → (−mg − kv 2 )dx = mvdv → dx = −
→

hmax

∫
0

b)

mvdv
mg + kv 2

mvdv
m 0 d (mg + kv 2 )

m
kv02
dx = − ∫
=
−
→
h
=
ln(1
+
)
max
2
2k v∫ mg + kv 2
2k
mg
v mg + kv
0

0

0

Đề cho v0, yêu cầu tính t nên ta áp dụng công thức liên hệ dv và dt:
Fdt = mdv → (−mg − kv 2 )dt = mdv
t

0

0

v0

Thời gian: → ∫ dt = − ∫

→ dt = −

mdv
mg + kv 2

mdv
m
kv02
→
t1 =
arctg
mg + kv 2
kg
mg

Ví dụ 2: Một vật khối lượng m chuyển
động không vận tốc đầu trên mặt phẳng
r
ngang do tác dụng của lực kéo F không đổi có phương ngang. Hệ số ma sát
giữa vật và mặt phẳng ngang thay đổi theo vận tốc: µ = a + bv (a, b là hằng số).
a) Xác định thời gian để vật đạt vận tốc v.
b) Tính quãng đường vật đạt được vận tốc v.
Phân tích và hướng dẫn giải
Chọn chiều dương là chiều chuyển động. Fms = µ N = (a + bv)mg
a)

Đề yêu cầu tính t theo v nên ta áp dụng công thức liên hệ dv và dt:
mdv
F − amg − bmgv
t
1
F − amg
1 v d ( F − amg − bmgv)
→ ∫ dt = − ∫
→t=
ln
bg F − amg − bmgv
bg 0 F − amg − bmgv
0
Fhl dt = mdv → [F − (a + bv)mg ]dt = mdv

b)

→ dt =

Đề yêu cầu tính s theo v nên ta áp dụng công thức liên hệ dx và dv:
mvdv
F − amg − bmgv
s
v
v F − amg
mgbv
mvdv
→s=− −
ln(1 −
)

→ ∫ dx = ∫
2 2
bg
mb g
F − amg
0
0 F − amg − bmgv
Fhl dx = mvdv → [F − (a + bv)mg ]dx = mvdv → dx =

Ví dụ 3: Một vật nho m đang nằm yên trên một mặt phẳng

y
O

α

u
r
F
x6


ngang nhẵn. Lúc t = 0 vật đó chịu tác dụng của một lực phụ
thuộc thời gian theo quy luật F = at; a là hằng số. Lực hợp
với mặt phẳng ngang một góc α không đổi. Xác định:
a) Vận tốc vật khi bắt đầu rời mặt ngang.
b) Quãng đường vật đi được cho đến khi bắt đầu rời mặt ngang [7].
Phân tích và hướng dẫn giải
a)
Phương trình định luật II Niu-tơn trên các trục Ox và Oy:

Phương Oy: at sin α + N − mg = 0 .
mg
Khi vật dời mặt ngang thì N = 0 → t =
a sin α
a
dv
Phương Ox: at cos α = max = m x → ( cos α )tdt = dvx
dt
m
t

v

x
a
a
→ ∫ ( cos α )tdt = ∫ dvx → vx = ( cos α )t 2
m
2m
0
0

Vận tốc vật khi bắt đầu dời mặt ngang: v = vx = (
b)

a
mg 2 cos α
cos α )t 2 =
2m
2a sin 2 α

Để tính quãng đường ta áp dụng công thức liên hệ giữa dx và dt:
x
t
a
a
2
→ dx = vx dt = ( cos α )t dt → ∫ dx = ∫ ( cos α )t 2 dt
2m
2m
0
0
Quãng đường vật đi được cho đến khi bắt đầu rời mặt ngang:
mg
a
m 2 g 3 cos α
3
→x=
cos α )t =
(thay t =
)
2
3
a sin α
6m
6a sin α
Ví dụ 4: Một dây AB có chiều dài l , được treo thẳng đứng vào một
điểm cố định A. Khối lượng m của dây phân bố đều trên chiều dài
và tạo ra lực căng.
a) Tính tốc độ truyền sóng ngang trên dây ở điểm M.

x
b) Tính thời gian để chấn động từ đầu trên A đến B [2].
Phân tích và hướng dẫn giải

A
M

B

x
l

Lực căng dây tại M bằng trọng lượng của đoạn dây MA : F = mg
F .l
= g .x
m
dx
1 dx
Tốc độ truyền sóng: v = = g.x → dt =
dt
g x

Tốc độ truyền sóng trên dây: v =

t

Thời gian sóng truyền từ A đến B là: t = ∫
0

1 dy

l
=2
g
g y

Ví dụ 5: Một vật nho trượt xuống một mặt phẳng nghiêng góc α với mặt phẳng
ngang. Ban đầu vật ở gốc tọa độ của trục Ox dọc theo hướng trượt của vật. Hệ
số ma sát trượt giữa mặt phẳng nghiêng với vật tại tọa độ x là µ = kx, với k là
hằng số. Tìm vị trí vật dừng lại và tốc độ cực đại trong quá trình vật trượt [5].
Phân tích và hướng dẫn giải
7


Theo phương Oy : N = mgcosα
Theo phương Ox : mg.sinα – µN = ma
dv dx
dv
→ a = g sin α − kxgcosα =
=v
dx dt
dx
x

v

0

0

→ ( g sin α − kxgcosα )dx = vdv → ∫ ( g sin α − kxgcosα ) dx = ∫ vdv

1
1
→ g ( x sin α − k x 2cosα ) = v 2 . Vật dừng : v = 0 → x = 2 tan α
k
2
2
1 2
1 2
Đặt v = y = g ( x sin α − k x cosα ) . vmax khi ymax.
2
2
tan α
→ vmax = g sin α tan α
Lấy đạo hàm y , = 0 → x =
k
k
Ví dụ 6 : Từ độ cao h = 30 m so với mặt đất, một vật được ném theo phương
ngang với tốc độ ban đầu v0 = 15 m/s. Bo qua mọi ma sát. Đơn vị: Độ dài (m);
tốc độ (m/s). Hãy tính:
a) Tầm xa của vật.
b) Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian 2s đầu tiên [1].
Phân tích và hướng dẫn giải
a) Tốc độ của vật: v = vx2 + v y2 = v02 + g 2t 2
Tầm xa của vật được tính theo công thức: L = v0

2h
≈ 37,1028(m)
g

Thời gian từ khi ném vật đến khi vật chạm đất là: t =

2h
≈ 2, 4735( s ) > 2( s)
g

Tại thời điểm t = 2 s, vật chưa chạm đất.
2

2
2 2
Quãng đường vật đi được trong thời gian 2s đầu tiên là S = ∫ v0 + g t dt
0

2

b)

Tốc độ trung bình :

v=

S
=
t

∫

v02 + g 2t 2 dt

0

t

= 18,5581(m / s )

2.3.2. Giải pháp 2: dùng tích phân giải một số bài tập phần nhiệt học lớp 10
∆U = A + Q
*Nguyên lý I nhiệt động lực học:
dU = dA + dQ
Dạng vi phân:
3
3
nRT → dU = nR.dT
2
2
nRT
*Phương trình trạng thái chất khí: pV = nRT → p =
V

Chất khí đơn nguyên tử nên:

U=

Xét sự thay đổi thể tích nho vi phân dV. Lúc này có thể coi như áp suất
không thay đổi là p. Với quy ước dấu theo nguyên lý I nhiệt động lực học.
Ta có công nguyên tố chất khí thực hiện: dA = − pdV
Vb

*Biểu thức tổng quát tính công chất khí: A = − ∫ pdV
Va

8


- Xét quá trình đẳng tích: V = const

→ dV=0 → A = 0

- Xét quá trình đẳng áp: p = const

→ A = − p ∫ dV = − p (Vb − Va )

Vb

Va

- Xét quá trình đẳng nhiệt: paVa = pV = nRT
Vb

Vb

Va

Va

→ A = − ∫ pdV = − paVa ∫

dV
V
V

= − paVa ln b = −nRT ln b
V
Va
Va
paVan
= paVan .V − n
n
V

- Xét quá trình politropic: paVan = pV n = const → p =
Vb

Vb

Va

Va

→ A = − ∫ pdV = paVan ∫ V − n dV

Ví dụ 1: Cho n mol khí lí tưởng đơn nguyên tử có nhiệt dung C thay đổi theo
hệ thức: C = aT ( a là hằng số, T là nhiệt độ tuyệt đối).
a) Tính nhiệt lượng truyền cho khí làm nó tăng nhiệt độ từ T1 đến T2.
b) Thiết lập sự phụ thuộc của thể tích khí V theo nhiệt độ T.
Phân tích và hướng dẫn giải
a)

b)

dQ

→ dQ = CdT = aTdT
dT
T2
Q
1
→ ∫ dQ = ∫ aTdT → Q = a (T22 − T12 )
2
0
T1
3
3
Chất khí đơn nguyên tử nên: U = nRT → dU = nR.dT
2
2
nRT
Phương trình trạng thái chất khí: pV = nRT → p =
V
nRT
dV
Công chất khí thực hiện: dA = − pdV = −
V
3
nRT
dV + aTdT
Dạng vi phân nguyên lý I: dU = dA + dQ → nR.dT = −
2
V
3
dT
dV

3
→ ∫ (− nR)
→ aT − nR ln T = nR ln V + C
+ ∫ adT = ∫ nR
2
T
V
2

Ta có nhiệt dung: C =

Ví dụ 2: Có 1 g khí lý tưởng Heli thực hiện một chu trình
như hình vẽ. Cho P0 = 105Pa; T0 = 300K.
a) Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4.
b) Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của
chu trình [5].
a)

1

2P

2

0

P0
0

3

4

T
T0

2T0

Phân tích và hướng dẫn giải
Quá trình 1 – 4 là quá trình đẳng tích nên V1 = V4.
µ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T1 = 300K và P1 = 2.105 Pa:
Xét ở trạng thái 1: P1V1 =

b)

P

m RT1 1 8,31.300
m
=
= 3,12.10−3(m3)
RT1 → V1 =
5
µ P1 4 2.10
µ

V2 = 2V1 = 6,24.10 – 3 m3; V3 = 2V2 = 12,48.10 – 3 m3.
Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình:
9

A12 = − p1(V2 − V1) = −6,24.102(J )
V3
2
Quá trình đẳng nhiệt 2-3: A23 = p2V2 ln = 8,65.10 (J )
V2

Quá trình đẳng áp 1-2:

Quá trình đẳng áp 3-4: A34 = p3(V4 − V3) = −9,36.102 J
Quá trình đẳng tích 4-1: A41 = 0
Ví dụ 3: Một khối khí lý tưởng thực hiện chu trình mà
p (atm)(2)
(4)
đường biểu diễn vẽ ở hình vẽ. Tính công A mà khí sinh ra 2,5
trong một chu trình. Với (1) → (2) và (4) → (1) là quá trình 1,2 (1)
(3)
→
→
politropic; (2) (3) là quá trình đẳng nhiệt; (3) (4) là
V (lít)
quá trình đẳng tích. Đơn vị: công (J) [1].
1
2
Phân tích và hướng dẫn giải
Công mà khối khí thực hiện trong chu trình: A= A12 + A23 + A34 +A 41
Quá trình politropic (1) → (2): p1V1n = p2V2n = pV n = const
P2
2,5
ln

V2
V2
P1
1, 2
n
→n=
→ Công A12 = ∫ pdV = p1V1 ∫ V − n dV ≈ 187, 0106( J )
=
V1
1
V1
V1
ln
ln
V2
2
ln

Quá trình đẳng nhiệt (2) → (3): p2V2 = p3V3 = p1V3 → V3 =
→ A23 =

V3

V3

∫ pdV = p V ∫ V
2 2

V2

p2V2
p1

−1

dV ≈ 371,8471( J )

V2

Quá trình đẳng tích (3) → (4): Công A 34 = 0
Quá trình politropic (4) → (1): p4V4n = p1V1n = pV n = const
P4
P
P
ln 2
ln 2
V1
P1
P1
P1
n
→n=
→ A41 = p1V1 ∫ V − n dV ≈ −616, 7056( J )
=
=
V
V
pV
V4
ln 1 ln 1 ln 1 1

V4
V3
p2V2
Công mà chất khí thực hiện trong 1 chu trình A ≈ 57,8579( J )
ln

2.3.3. Giải pháp 3: dùng tích phân giải một số bài tập phần điện, từ lớp 11.
r2

Dạng 1: Hiệu điện thế giữa 2 điểm trong điện trường: U = ∫ Edr
r1

r2

Dạng 2: Công của lực điện trường: A = ∫ Fdr
r1

Dạng 3: Năng lượng điện trường: W = ∫ ω dV ( ω : mật độ năng lượng)
V

ur r

Dạng 4: Từ thông qua diện tích S: Φ = ∫ B.ndS
S

10


Dạng 5: Lực từ : F = ∫ B.idx . Mô men lực từ: M = ∫ B.i.x.dx
l

l

Dạng 6: Hiện tượng cảm ứng và tự cảm:
Φ

t

0

0

dΦ
ecu = R.i = −
→ d Φ = − R.idt → ∫ d Φ = − ∫ R.idt → ∆Φ = − R.∆q
dt
Φ
t
etc = R.i = − L

R
R
R
di
di
R
→ = − dt → i = e − L t +C = e − L t .eC = I e − L t
0
dt
i

L

Ví dụ 1: Cho một quả cầu tích điện đều điện tích Q, bán kính R. Tính hiệu điện
thế giữa 2 điểm M1 và M2 cách tâm quả cầu lần lượt là r1 và r2 trong trường hợp:
a) 2 điểm M1 và M2 bên trong quả cầu.
b) 2 điểm M1 và M2 bên ngoài quả cầu.
Phân tích và hướng dẫn giải
a)

4 3
πr
q 3
r3
r3
=
=
→
q
=
Q
Vì điện tích phân bố đều nên:
Q 4 π R3 R3
R3
3

Cường độ điện trường tại một điểm bên trong quả cầu: E = k
r2

r2

r1

r1

Hiệu điện thế giữa M1 và M2 là: U = ∫ E.dr = ∫ k
b)

q
r
=k
Q
2
ε .r
ε .R 3

r
r2
Qdr
=
k
Q (r22 − r12 )
3
3
ε .R
2ε .R

Q
ε .r 2
r2
r2

Q
Q 1 1
Hiệu điện thế giữa 2 điểm M1 và M2 là: U = ∫ E.dr = ∫ k ε .r 2 dr = k ε ( r − r )
1
2
r1
r1

Cường độ điện trường tại một điểm bên ngoài quả cầu: E = k

Ví dụ 2: Hai chất điểm khối lượng m1 và m2, mang các điện tích cùng dấu q 1 và
q2 nằm trên sàn ngang nhẵn không ma sát cách nhau một khoảng d trong chân
không. Tính công của lực điện trường khi tách 2 vật từ khoảng cách d1 đến d2.
Hướng dẫn giải
Công của lực điện trường khi tách 2 vật từ khoảng cách d1 đến d2:
d2

d2

d1

d1

A12 = ∫ Fdr = ∫ k

q1q2
1 d 2 kq1q2 kq1q2
dr = − kq1q2
=
−

= Wt1 − Wt2
2
r
r d1
d1
d2

Nhận xét: Công lực điện bằng độ giảm thế năng.
Ví dụ 3: Một điện tích Q được phân bố đều trong khắp thể tích của một quả cầu
bán kính R. Tính năng lượng điện trường bên trong và bên ngoài trong quả cầu.
Phân tích và hướng dẫn giải
4
V = π r 3 → dV = 4π r 2 .dr
3
dW ε E 2
ω
=
=
Mật độ năng lượng điện trường:
dV k 8π
ε E2
4π r 2 .dr
Yếu tố vi phân năng lượng điện trường: dW=ωdV=
k 8π

Yếu tố vi phân thể tích:

11

- Cường độ điện trường bên trong quả cầu: E = k

q
r
=k
Q
2
ε .r
ε .R 3

R
r2
kQ 2 4
kQ 2
ε k 2 6 Q2
2
→
W=
r
dr
=
ε E2
kQ
ε .R
∫0 2ε R6
→ dW=
4π r 2 .dr =
4π r 2 dr =
r 4 dr
10ε R

k 8π
k 8π
2ε R 6
Q
- Cường độ điện trường tại một điểm bên ngoài quả cầu: E = k 2
ε .r
2
Q
∞
kQ 2
kQ 2
εk2 2 4
2
2
εE
dr =
ε .r 4π r 2 dr = kQ dr → W= ∫
→ dW=
4π r 2 .dr =
2ε r 2
2ε R
2
R
k 8π
k 8π
2ε r
Ví dụ 4: Cuộn dây có độ tự cảm L = 2.10 -6 H và điện trở R = 1 Ω được mắc vào
2

L,R

một nguồn điện so suất điện động không đổi E = 3 V
(hình vẽ). Sau khi dòng điện trong ống dây đã ổn định,
người ta đảo rất nhanh khóa K từ vị trí (1) sang vị trí (2).
a) Xác định quy luật biến đổi của dòng điện sau đó.
b) Xác định nhiệt lượng toa ra trên điện trở R1 [3].
Phân tích và hướng dẫn giải
Khi K ở vị trí (1), ta có: I1 =

R1

(2)

K
(1)

E

E
.
R

Khi K ở vị trí (2): trong cuộn dây xảy ra hiện tượng tự cảm:
etc = ( R + R1 )i = − L

di
dt

→

di
( R + R1 )
=−
dt
i
L

R+ R
R+R
R+R
R + R1
)t + C → i = e − L t +C = e − L t .eC = I e − L t
0
L
R+R
−(
).0
E
E − ( R +LR ).t
L
→
i
=
I
e
=
I
=
I
=

i
=
e
Điều kiện đầu: với t = 0 thì
0
0
1
R
R

→ ln i = −(

1

1

1

1

b)

1

Nhiệt lượng toa ra trên R1:
∞

∞

R + R1

−2(
).t
E2
R1 LE 2
L
Q = ∫ i R1dt = ∫ 2 R1e
dt =
= 6.10−6 ( J )
2
R
2 R ( R + R1 )
0
0
2

Ví dụ 5: Trong cùng một mặt phẳng với một dòng điện thẳng dài vô hạn có
cường độ I, người ta đặt hai thanh kim loại song x
A I
song với dòng điện cách dòng điện một khoảng x0 0
v
và cách nhau l (hình vẽ). R là điện trở nối hai thanh l
R
B
kim loại. Trên hai thanh trượt người ta lồng vào một
thanh kim loại AB dài l. Thanh AB trượt thẳng đều trên các thanh với vận tốc v.
a) Xác định suất điện động và dòng điện cảm ứng xuất hiện.
b) Tính lực để giữ cho thanh AB chuyển động với vận tốc không đổi [5].
Phân tích và hướng dẫn giải
a)
Từ thông qua đoạn thanh dx cách dòng điện một đoạn x khi chuyển động:

2.10−7 I
dφ= B.dS =
v.t.dx
x

x0
l

x
R

⊕

A I
dx

12


Từ thông qua đoạn AB khi chuyển động là:
φ=

x0 + l

∫

x0

x +l

0
x +l
2.10−7.I.v.t.dx
dx
= 2.10−7.I.v.t ∫
= 2.10−7.I.v.t.ln 0
x
x
x0
x0

Độ lớn suất điện động cảm ứng xuất hiện: ec
Độ lớn dòng điện cảm ứng xuất hiện:
b)

i=

ec
R

=−

=

x +l
dφ
= 2.10−7.I.v.In 0
dt
x0

x +l
2.10−7.I.v
.In 0
R
x0

Lực từ tác dụng lên phần tử của thanh có chiều dài dx:
dF = Bidx =

x +l
2.10−7.I 2.10−7.I.v
.
.In 0
dx
x
R
x0

Lực để giữ cho thanh AB chuyển động với vận tốc không đổi có độ lớn
bằng lực từ F =

x0 + l

∫

x0

x +l
2.10−7.I 2.10−7.I.v
4.10−14.I 2.v 2 x0 + l

.
.In 0
dx =
.In
x
R
x0
R
x0

Ví dụ 6: Cho mạch điện như hình vẽ. Nguồn điện có suất điện động E = 6V,
K
điện trở trong r = 0,5 Ω , cuộn thuần cảm L = 0,5H, điện trở
R = 4,7 Ω . Ban đầu khóa k mở, sau đó đóng khóa k
L
E,r
a. Tính cường độ dòng điện cực đại I0 trong mạch
R
b. Xác định khoảng thời gian kể từ lúc đóng khóa k đến lúc
dòng điện trong mạch đạt giá trị 0,65I0 [1].
Phân tích và hướng dẫn giải
a) Dòng điện trong mạch đạt giá trị ổn định cực đại : I 0 =

E
≈ 1.153846154( A)
R+r

b) Khi đóng khóa k dòng điện trong mạch tăng dần. Xét trong khoảng thời gian
dt kể từ thời điểm t ta có phương trình: E − L

L
di
di
= ( R + r )i → dt =
E − ( R + r )i
dt

Thời gian kể từ lúc đóng khóa k đến lúc dòng điện trong mạch đạt 0,65I0 là:
t

0,65

E
R+r

∫ dt = ∫
0

0

L
di → t ≈ 100944437(s)
E − ( R + r )i

Ví dụ 7:Một thanh kim loại có khối lượng m chiều dài a có thể quay xung quanh
mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm O. Đầu kia của thanh tiếp xúc
với dây
dẫn uốn thành hình tròn. Thanh được đặt trong từ trường

đều B vuông góc với mặt phẳng quay của thanh. Nguồn điện có

điện trở trong r nối một cực nối với điểm O cực còn lại nối với
dây dẫn hình tròn như hình vẽ. Hãy tìm quy luật biến thiên của
suất điện động để thanh quay đều với tốc độ góc không đổi ω [5].
Phân tích và hướng dẫn giải
π a 2 dα a 2ω.dt
=
Trong khoảng thời gian dt diện tích mà thanh quét được là: dS =
2π
2
dΦ
dS B.a 2ω
e(t ) − ec
= B.
=
Dòng điện xuất hiện trong thanh: I =
với eC =
.
R

dt

dt

2

Momen lực từ vi phân tác dụng lên đoạn dx cách tâm là khoảng x: dM = IBxdx
13


a

Momen lực từ tác dụng lên cả thanh: M = ∫ IBxdx =
o

IBa 2 e(t ) − ec Ba 2
=
.
2
R
2

Vì thanh quay đều nên momen từ cân bằng với momen của trọng lực
e(t ) − ec Ba 2 mga sin α mga sin ωt
a 2 Bω mgR
.
=
=
→ e(t ) =
+
sin ωt
R

2

2

2

2

Ba

2.3.3. Giải pháp 4: dùng tích phân giải một số bài tập phần cơ, điện lớp 12.
Dạng 1:Tính quãng đường vật dao động điều hòa từ thời điểm t1 đến t2:
T
2

Tách: ∆t = (t2 − t1 ) = n. + ∆t1
Bấm máy : S1 =

t2

∫

v dt =

T
t1 + n
2

t2

∫

T
t1 + n
2

với ∆t1 <

T
2

−ω A sin(ωt + ϕ ) dt . Vậy: S = n.2A + S
1

Lưu ý học sinh: chuyển sang góc rad, dt là dX bấm ALPHA,)
π
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 10cos(2π t + )(cm) .
3

Tìm quãng đường vật đi trong khoảng thời gian từ lúc t1 = 2 đến lúc t2 = 5,75 (s).
Phân tích
t2

t2

t1

t1

Về lý thuyết ta có thể tính S = ∫ v dt = ∫ −ω A sin(ωt + ϕ ) dt ≈ 153,66(cm)
Tuy nhiên, thời gian tính rất dài khoảng vài chục phút với máy tính cầm
tay casio Fx 570 ES. Vì vậy, ta chia khoảng thời gian và chỉ thực hiện tính S1.
 x1, = − x1
Tại thời điểm t1+ 3T+ 0,5T vật ở trạng thái:  ,
đối xứng nên khi
v1 = −v1 > 0

tính S1 ta lấy cận tích phân từ t1 đến (t1 + 0,25) hoặc từ (t1+ 3T+ 0,5T) đến t2

Hướng dẫn giải
T
2

Tách: ∆t = (t2 − t1 ) = 3,75s = 7. + 0, 25s
S1 =

t2

∫

t1 + 7

v dt =
T
2

t2

∫

t1 + 7

−ω A sin(ωt + ϕ ) dt =
T
2

5,75

∫

5,5

π
2π .10.sin(2π t + ) dt = 13,66(cm)
3

Vậy S = 7.(2A) + S1 ≈ 153,66 (cm)
Dạng 2: Tính điện lượng qua tiết diện thẳng dây dẫn từ thời điểm t1 đến t2:
Tách: ∆t = (t2 − t1 ) = n.T + ∆t1
với ∆t1 < T
Bấm máy : ∆q1 =

t2

∫

idt .

Vậy: ∆q = 0 + ∆q1

t1 + nT

Lưu ý học sinh: không có dấu trị tuyệt đối, trong 1 chu kỳ thì ∆q = 0
Ví dụ 2: Mạch điện xoay chiều. Dòng điện trên dây dẫn biến thiên điều hòa với
phương trình: i = 20π cos(2π t +

5π
)(mA) . Xác định điện lượng qua tiết diện thẳng
6

của dây dẫn trong khoảng thời gian từ lúc t1 = 2s đến lúc t2 = 5,75 s.
Phân tích
14


Điện tích có giá trị âm, dương nên cách tính khác so với tính quãng đường
- Không lấy trị tuyệt đối trong phép lấy tích phân.
T
mà thành n.T
2

- Không chia thời gian thành n.

- Trong 1 chu kỳ thì ∆q = 0 .
Hướng dẫn giải
∆
t
=
(
t
−
t
)
=
3,75
s = 3.T + 0,75s
Tách
2
1

∆q = 0 + ∆q1 với ∆q1 =

t2

∫

idt =

5,75

t1 + 3T

∫

20π cos(2π t +

5

5π
)dt ≈ 3,66(mC ) .
6

Dạng 3: Tính mô men lực ma sát trong chuyển động quay của vật rắn:
n

Trường hợp hệ các lực:

M = F1r1 + F2 r2 + ... = ∑ Fi ri

Trường hợp tổng quát:

M = ∫ r.dF = I

i =1

V

dω
(lực F thay đổi theo r).
dt

Ví dụ 3: Phía trên một mặt bàn nằm ngang cố định có một đĩa đồng chất hình
trụ, bán kính R = 20 cm, khối lượng m quay đều quanh trục thẳng đứng tốc độ
góc ω0 = 1500 vòng/phút. Đĩa được hạ thấp dần chậm để tiếp xúc nhẹ nhàng
(không va chạm) với mặt bàn. Biết hệ số ma sát giữa đĩa và mặt bàn µ = 0,1 . Hãy
tính thời gian từ khi đĩa bắt đầu tiếp xúc với mặt bàn cho đến khi dừng hẳn và
góc mà đĩa quay được trong thời gian đó [1].
Phân tích và hướng dẫn giải
dm m
m
= =
Gọi ρ là khối lượng riêng, ta có: ρ =
dS S π R 2
Vi phân diện tích mặt tiếp xúc giữa đĩa và mặt bàn: dS = rdrdα

Vi phân lực ma sát: dFms = − µ.dN = − µ .dm.g = − µ

m
r.dr.dα .g
π R2

m
g .r 2 .dr.dα
2
πR
R
2π
m
m
R3
2µ mgR
2
M
=
−
µ
g
.
r
.
dr
.
d
α
=
−
µ
g
2π = −
Momen lực ma sát:

2
2
∫
∫
πR 0
πR
3
3
0

Vi phân momen lực ma sát lên đĩa là: dM = dFms .r = − µ

1
2
4µ g
2
3
3R
4µ g
3Rω0
t =0→t =
≈ 24,0265( s )
Đĩa dừng lại: ω = ω0 + γ t = ω0 −
3R
4µ g
ω 2 3Rω02
≈ 1887, 0367(rad ) → 300,3312 (vòng)
Góc mà đĩa quay được: ϕ = 0 =
2γ
8µ R

Chuyển động quay: M ms = I .γ = mR 2 .γ = − µ .m.g.R → γ = −

Ví dụ 4: Một hình trụ đặc đồng chất đang quay tốc độ góc
ω0 thì được đặt (không vận tốc tịnh tiến) xuống chân một
mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α so với mặt phẳng
ngang. Tìm thời gian hình trụ lên đến điểm cao nhất [6].
Hướng dẫn giải

α
15


Chuyển động quay: M = − Fms .R = I .γ → Fms = −

I dω
R dt

Chuyển động tịnh tiến của khối tâm:

I dω
dv
− mg sin α = m
R dt
dt
0
t
0
ω0 R
→ −I ∫ d ω − ∫ mgR sin αdt = mR ∫ dv → t =

2 g sin α
ω
0
0
Fms − P.sin α = ma → −

0

Dạng 4: Tính công, công suất và nhiệt lượng khi dùng dòng xoay chiều:
- Xét đoạn mạch xoay chiều RLC có: i = I 0cos(ω t+ϕ ) (A) và u = U 0cosω t (V)
Công suất tức thời: p = ui = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + ϕ )
tb

tb

ta

ta

Công của dòng điện: A = ∫ u.i.dt = (UIcosϕ )(tb − ta ) + ∫ UIcos(2ω t+ ϕ )dt
tb

A
1
u.i.dt
Công suất trung bình của đoạn mạch: P = =
t (tb − ta ) t∫
a

tb

tb

ta

ta

2
2
Nhiệt lượng toa ra: Q = ∫ i ( R + r )dt = I 0 ( R + r ) ∫

[1+cos(2ω t+2ϕ )]
dt
2
tb

Q
1
i 2 ( R + r )dt
Công suất toa nhiệt trung bình: Pn = =
∫
t (tb − ta ) t
a

- Cuộn cảm và tụ điện liên tục có sự thu năng lượng, rồi lại giải phóng năng
lượng. Nếu xét trong thời gian ∆t = t2 − t1 = n.T (n nguyên dương) hoặc ∆t >> T
t2

thì ∫ UIcos(2ω t + ϕ )dt = 0 . Ta thu được kết quả như SGK vật lý 12:
t1

Công của dòng điện xoay chiều trong đoạn mạch: A = (UI cos ϕ ).∆t
P = UI cos ϕ
Công suất trung bình của đoạn mạch :
Q = I 2 ( R + r ).∆t
Nhiệt lượng toa ra trong đoạn mạch:
Pn = I 2 ( R + r )
Công suất toa nhiệt trung bình của đoạn mạch:
Ví dụ 5: Cho mạch xoay chiều như hình vẽ. R = 25 Ω , cuộn dây có r = 24 Ω
u AB = 200 2 cos100π t (V)
C
L ,r
R
A

B

i = 2 2 cos(100π t + 1, 287) (A)
M
N
a) Tính công và công suất trung bình dòng
điện trong đoạn mạch trong khoảng thời gian từ t1 = 0,0025 s đến t2 = 0,005 s.
a) Tính nhiệt lượng toa ra và công suất toa nhiệt trung bình của dòng điện trong
đoạn mạch trong khoảng thời gian từ t1 = 0,0025 s đến t2 = 0,005 s.
Hướng dẫn giải
Công của dòng điện trong đoạn mạch từ thời điểm t1 = 0,0025 s đến t2 = 0,005 s:
t2

0,005

t1

0,0025

A = ∫ u.i.dt =

∫

200 2cos(100π t).2 2cos(100π t+1, 287)dt ≈ −0,51( J )

Nhận xét: công của dòng điện có thể âm vì có những lúc u AB >0, nhưng
dòng điện chạy từ B đến A nên công của lực điện trường âm.
16


P=

Công suất trung bình dòng điện trong mạch:

A
≈ −203,76(W)
t

Nhiệt lượng toa ra trong đoạn mạch từ thời điểm t1 = 0,0025 s đến t2 = 0,005 s:
t2

Q = ∫ i ( R + r )dt =
2

t1

0,005

∫

(25 + 24)(2 2) 2 cos 2 (100π t + 1, 287) dt ≈ 0,585( J )

0,0025

Công suất toa nhiệt trung bình của dòng điện trong mạch: Pn =

Q
≈ 234,13(W)
t

BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1: Một đĩa kim loại đồng chất, bán kính R (m) quay đều quanh trục đối
xứng đi qua khối tâm và vuông góc mặt đĩa với tốc độ góc ω (rad / s ) . Tính hiệu
điện thế giữa tâm và vành của bánh xe [3].
R
R
mω 2 R 2
2
→
(V )
ĐS: A = − ∫ mω rdr = − ∫ eEdr U=
0

2e

0

Bài 2: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 9cos(10πt - π/3) (cm,s).
Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 4/15 s kể từ lúc vật bắt
đầu dao động.
4
15

ĐS: S = ∫ -90π sin(10π t- π ) dt = 45(cm)
3

0

Bài 3: Mạch dao động điện từ LC lý tưởng. Điện tích hai bản tụ biến đổi theo
phương trình q = 9.cos(10πt - π/3) ( µC ,s). Tính điện lượng qua tiết diện thẳng
dây dẫn trong khoảng thời gian 4/15 s kể từ lúc thời điểm ban đầu.
4
15

ĐS: ∆q = ∫ -90π sin(10π t- π )dt = 0 (không có dấu trị tuyệt đối)
3

0

Bài 4: Khung dây chữ nhật cạnh a và b đặt gần dây dẫn thẳng dài, cạnh b song
song dây dẫn, mặt phẳng khung chứa dây dẫn. Cạnh PQ của
khung cách dây đoạn x0 . Dây dẫn thẳng mang dòng điện I.
Khung dây có điện trở R, hệ số tự cảm L. Tính:
a) Độ biến thiên từ thông khi quay khung 1800 quanh MN.
b) Lượng điện tích đi qua khung khi quay khung 1800.

x0 + 2a
−∆Φ 2.10-7 . I.b.
x + 2a
=
ln 0
ĐS: ∆Φ = 2.10 .I.b.ln
; ∆q =
x0
R
R
x0
-7

Bài 5: Cho mạch điện như hình vẽ: nguồn điện, điện trở R = r 0 = r = a. Lúc đầu
k1 và k2 đều đóng. Sau đó ngắt k1. Khi mạch đã ổn định.
L,r0
a) Tính điện lượng dịch chuyển qua cuộn dây
E,r
k1
b) Tính nhiệt lượng toả ra trên toàn mạch [5].
k2
etc
L di
E
=−
ĐS: I R = I L = I 0 =
, i=
R + r0
R + r0 dt
3a

0
LE
1
q = ∫ idt = 2 ,
dQ = i 2 ( R + r0 )dt = − L.i.di → Q = LI 02
6a
2
I

R

0

Bài 6: Một ống dây mắc vào nguồn điện một chiều suất điện động E, điện trở
trong không đáng kể. Ống dây có đường kính D, được quấn đều dọc theo chiều
17


dài ống bằng một dây dẫn có tiết diện S, điện trở suất ρ . Lúc t = 0 đóng khóa k.
Tại thời điểm t1 dòng điện trong ống dây đạt cực đại I1 và ổn định, khi đó điện
tích qua ống dây là q1. Tính độ lớn cảm ứng từ bên trong ống dây khi đó [6].
t1

ĐS:

t1

B
E
I1 = → ∫ I1.Rdt − R ∫ idt = ∫ NSdB → I1.R.t1 − Rq1 = NSB

R
0
0
0

R=ρ

l
4 Nπ D
R ( I1.t1 − q1 ) 4 ρ ( I1.t1 − q1 )
=ρ
→B=
=
2
S
πD
NS
DS

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Tôi đã áp dụng chuyên đề nghiên cứu này trong hoạt động giảng dạy học
sinh trường trung học phổ thông Yên Định 2 và đã đạt được một số kết quả:
Học sinh học tập một cách tích cực, tự giác, độc lập, sáng tạo, sôi nổi,
hứng thú với bài học, tiếp thu kiến thức nhanh chóng, hiệu quả hơn.
Học sinh nắm bắt kiến thức nhanh và hình thành kĩ năng thực hành tốt,
yêu thích và học tốt bộ môn hơn, kích thích phong trào thi đua học tập trong lớp.
Đa số học sinh có bước chuyển biến lớn, có ý thức hơn, ngoan ngoãn và
cố gắng hơn trong quá trình học tập tại lớp và về nhà.
Học sinh hiểu được bản chất của phép tính vi phân và tích phân, biết cách

ứng dụng phép tính vi phân và tích phân để giải một số bài toán vật lý.
Theo phản hồi từ phía học sinh khi học tiếp lên đại học, khi
đã học qua chuyên đề này các em dễ dàng tiếp cận môn toán
giải tích và môn vật lý đại cương. Qua đó kiến thức của chuyên
đề này sẽ tiếp tục được liên thông và mang lại hiệu quả thiết
thực, đồng thời có ảnh hưởng tích cực đến những học sinh khóa
sau tại trường trung học phổ thông Yên Định 2 trở nên có hứng
thú và ngày càng yêu thích môn vật lý hơn.
Đề tài cũng đã một phần bổ sung cho phương pháp dạy
học theo hình thức thi trắc nghiệm có sử dụng máy tính cầm tay
casio, làm tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh trong
quá trình ôn tập thi trung học phổ thông quốc gia và thi học
sinh giỏi môn vật lý, đồng thời cũng là tài liệu tham khảo bổ
xung kinh nghiệm cho các giáo viên khi ôn luyện thi học sinh
giỏi.
Năm học 2014-2015 tôi dạy lớp mũi nhọn 12A1, phụ trách đội tuyển HSG
Năm học 2015-2016 tôi dạy lớp mũi nhọn 12B1, phụ trách đội tuyển HSG
Trình độ học sinh 2 khóa mũi nhọn là tương đương. Đề kiểm tra kiến thức
của 2 khóa giống nhau. Lớp 12A1 tôi chưa dạy học sinh cách dùng tích phân
giải bài tập (lớp đối chứng). Lớp 12B1 tôi dạy học sinh cách dùng tích phân giải
bài tập (lớp thực nghiệm). Kết quả như sau:
HSG
Sĩ Điểm Điểm Điểm
HSG
THI
Năm Lớp
QG
số 9-10 7-8 5-6
CẤP TỈNH THPT QG
CASIO

201
4
1 Nhì, 3
12A1
0
7
16
23
5
6
Ba, 1 KK
18


201
6

12B
1

4
7

18

23

6

1 KK

3 Nhì, 2
Ba, 2 KK

1 HS đạt
điểm 10

Các kết quả trong thực nghiệm và trong các kỳ thi đã khẳng định: việc
giải bài tập sử dụng tích phân đã góp phần nâng cao đáng kể chất lượng đại trà,
thi trung học phổ thông quốc gia và thi học sinh gioi môn vật lý của trường
trung học phổ thông Yên Định 2. Đặc biệt so với cách dạy truyền thống thì cách
dạy theo chủ đề của đề tài đã áp dụng trong năm học 2015-2016 tại lớp 12B1,
trường trung học phổ thông Yên Định 2 đã mang lại hiệu quả rõ rệt:
+ 01 em đạt điểm 10 môn vật lý kỳ thi THPTQG (Nguyễn
Tùng Dương)
+ 01 em đạt giải KK quốc gia casio môn Vật lý (Trịnh Văn
Linh). Năm 2016 đoàn Thanh Hóa có 5 em tham dự đã đạt 1 giải
Ba, 1 giải KK của em Linh.
3. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Qua nghiên cứu và thực hiện đề tài này, bản thân tôi đã thu được những
bài học kinh nghiệm quý báu và bổ ích:
- Mỗi môn học trong chương trình phổ thông đều có vai trò rất quan trọng
trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong quá trình giảng
dạy, người giáo viên phải đặt ra kết quả đầu ra của hoạt động dạy học là giúp
học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo,
tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn để học sinh có khả năng tiếp cận và
chiếm lĩnh những nội dung kiến thức mới.
- Dạy học phải vừa mang tính khoa học, nhưng đồng thời cũng cần tính
nghệ thuật và sáng tạo. Muốn dạy học môn vật lý có hiệu quả, đáp ứng được yêu

cầu đào tạo ngày càng cao hiện nay đòi hoi người giáo viên phải nổ lực, sáng
tạo, không ngừng cải tiến phương pháp, biên soạn tỉ mĩ các chuyên đề nghiên
cứu để nâng cao hiệu quả giảng dạy. Đồng thời khai thác nội dung các bài tập
vật lý hay và bổ ích để khơi dậy niềm đam mê và tính sáng tạo của học sinh.
- Cần phải đặt học sinh vào các tình huống có vấn đề để lôi cuốn học sinh
tham gia hoạt động giáo dục; Phải phân loại mức độ kiến thức để có thể nâng
cao mức độ kiến thức khi học sinh thực hiện tốt hoặc hạ thấp mức độ kiến thức
khi học sinh không đủ khả năng để tránh trường hợp học sinh bị quá tải kiến
thức. Đặc biệt, sau mỗi dạng bài, mỗi chủ đề giáo viên nên chốt kiến thức của
dạng đó, đồng thời tăng cường cho học sinh hoạt động nhóm, thảo luận nhóm,
vai trò của giáo viên chỉ là người trọng tài, tổ chức còn học sinh là người tích
cực chủ động thực hiện.
- Xây dựng được một phương pháp tốt cũng chưa đủ mà đòi hoi người
giáo viên phải có lòng nhiệt tình, yêu nghề, sẵn sàng tận tình trả lời giải đáp
những thắc mắc của học sinh; phải không ngừng học tập nghiên cứu để có kiến
thức rộng, hiểu kỹ vấn đề mới có thể đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao từ
phía học sinh. Giáo viên cần chọn các bài tập hay, cho học sinh ôn luyện nhiều,
lựa chọn phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh, đồng thời hệ thống
lại các kiến thức cơ bản để học sinh nắm vững và khắc sâu.
19


Đề tài đã được áp dụng trong hoạt động giáo dục tại trường trung học phổ
thông Yên Định 2 trong thời gian chưa nhiều, xong đã thu được một số kết quả
nhất định, có ảnh hưởng đến phong trào thi đua học tập trong trường. Để đề tài
mang lại hiệu quả, ý nghĩa hơn nữa cần được áp dụng ở phạm vi rộng hơn.
Đề tài có thể làm tài liệu chia sẻ chung, trao đổi học hoi kinh nghiệm
giảng dạy của các đồng nghiệp trong tổ vật lý trong nhà trường, đồng thời là tài
liệu tham khảo bổ ích cho học sinh trong quá trình ôn luyện thi trung học phổ
quốc gia và ôn luyện thi học sinh gioi.

Khả năng phát triển của đề tài: trong đề tài này, tôi chủ yếu đưa ra một số
bài tập ở một số chương trong chương trình vật lý phổ thông có sử dụng phép
tính tích phân hoặc phải dùng tích phân mới giải được với số lượng ví dụ và bài
tập minh họa chưa nhiều. Do đó đề tài có thể mở rộng đa dạng các thể loại bài
tập với mức độ khó khác nhau và ở nhiều chương khác trong chương trình vật lý
phổ thông.
3.2. Kiến nghị.
* Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:
- Thường xuyên tổ chức các buổi hội thảo, chuyên đề về công tác dạy học
để các giáo viên trong Tỉnh có dịp học hoi, trao đổi công tác chuyên môn.
- Tổ chức báo cáo sáng kiến kinh nghiệm của những đề tài đạt giải cao
trong năm học vào dịp hè để nhanh chóng ứng dụng các sáng kiến, giải pháp hay
vào công tác giảng dạy cho năm học tiếp theo.
* Đối với nhà trường:
- Tăng cường tổ chức các buổi ngoại khóa nêu gương cá nhân điển hình,
các buổi ngoại khóa hướng nghiệp cho học sinh tạo động lực và tinh thần học
tập vì ngày mai lập nghiệp của học sinh trong trường.
- Mua thêm sách tham khảo, báo vật lý tuổi trẻ trang bị cho thư viện nhà
trường. Trang bị thêm máy chiếu đa năng cho các phòng học để giáo viên tăng
cường ứng dụng công nghệ thông tin và sử dụng nguồn học liệu mở internet.
- Sáng kiến kinh nghiệm sau mỗi năm được lưu bản in tại thư viện nhà
trường, đồng thời gửi bản Word lên email của các thành viên trong tổ để trao đổi
rút kinh nghiệm, đưa các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng dãi trong trường.
Với những kiến thức và kinh nghiệm của bản thân, tôi đã rất cố gắng trình
bày nội dung đề tài được rõ ràng, song chắc chắn đề tài không tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong sự đóng góp ý kiến của các cấp
quản lý, người có cùng lĩnh vực chuyên môn, các bạn đồng nghiệp, các em học
sinh để đề tài ngày càng hoàn thiện và mang lại hiệu quả thiết thực hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!.

XÁC NHẬN CỦA
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2017
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Người viết
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
20


của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.

Nguyễn Văn Tường

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Đề thi casio quốc gia môn vật lý năm 2009, 2010.
[2]. Đề thi chọn học sinh gioi tỉnh Thanh Hóa năm học 2011-2012.
[3]. Lương Duyên Bình, Nguyễn Hữu Hổ, Lê Văn Nghĩa, Nguyễn Quang SinhBài tập vật lý đại cương-Tập 2- Nxb GD 1997.
[4]. Nguyễn Đình Trí, Lương Trọng Vinh, Dương Thủy Vỹ- Giáo trình toán học
cao cấp- Tập 1- Nxb GD 2005.
[5]. Nguồn tài liệu trên website: />[6]. Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong- Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 lần
thứ IX-2003-NXB GD 2003.
[7]. Vũ Thanh Khiết, Phạm Quý Tư, Hoàng Hữu Do, Nguyễn Anh Thi, Nguyễn
Đức Hiệp- 121 bài tập vật lý lớp 10 nâng cao- NXB Đồng Nai 1996.

21


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Tường.
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Yên Định 2.

TT

1.

2.

3.

4.

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Kinh nghiệm sử dụng Ngành GD cấp
phương trình toán học giải tỉnh; Tỉnh Thanh
một số bài tập chất khí.
Hóa
Kinh nghiệm giải bài tập
Ngành GD cấp
về chuyển động quay vật
tỉnh; Tỉnh Thanh
rắn chương trình Vật lý 12
Hóa

nâng cao.
Sử dụng phương pháp
năng lượng và kỹ năng suy
Ngành GD cấp
luận logic nâng cao kết
tỉnh; Tỉnh Thanh
quả học tập chương hạt
Hóa
nhân nguyên tử cho học
sinh lớp 12.
Sử dụng bài tập đồ thị Ngành GD cấp

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

B

2005-2006

C

2008-2009

C

2011-2012

C

2012-2013

22


5.

nâng cao kết quả học tập
tỉnh; Tỉnh Thanh
chương chất khí cho học
Hóa
sinh lớp 10 nâng cao
Kinh nghiệm giải một số
bài tập chương động lực Ngành GD cấp
học vật rắn vật lý 12 bằng tỉnh; Tỉnh Thanh
định luật bảo toàn mô men
Hóa
động lượng và năng lượng.

C

2013-2014

23