Giáo trình phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

đại học huế
trung tâm đào tạo từ xa

TS. Lê văn hạp

Giáo trình
Phơng trình vi phân
và
phơng trình đạo hàm riêng
(Sách dùng cho hệ đào tạo từ xa)

Huế - 2008

1


Mục lục
Lời nói đầu ...................................................................................................................5
Phần A: phơng trình vi phân ..............................................................................6
Chơng I: các khái niệm cơ bản. cách giải các phơng trình Cấp một
và cấp hai đơn giản..................................................................................................6
Đ1. các khái niệm cơ bản của phơng trình vi phân..............................6
Đ2. cách giải một số phơng trình vi phân cấp một............................10
Đ3. cách giải một số phơng trình vi phân cấp cao đơn giản .........22
Chơng II: sự tồn tại và duy nhất nghiệm .....................................................28
Đ1. bổ sung về không gian mêtric..............................................................28
Đ2. sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phơng trình vi phân .........30
Đ3. Sự thác triển nghiệm ................................................................................32
Đ4. các định lí về sự tồn tại nghiệm và sự duy nhất nghiệm.............33
Chơng III hệ phơng trình vi phân tuyến tính ........................................39
Đ1. các khái niệm cơ bản.................................................................................39

Đ2. Hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất ...........................42
Đ3. Hệ phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất .............46
Đ4. Hệ phơng trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng .....................48
Đ5. Phơng trình vi phân tuyến tính cấp n..............................................53
Chơng IV: Phơng trình tuyến tính cấp hai ...............................................66
Đ1. Các định lí so sánh ....................................................................................66
Đ2. Sự tồn tại giá trị riêng đối với bài toán biên Sturm-Liouville
của phơng trình vi phân cấp hai .............................................................71

2


Phần B: phơng trình đạo hàm riêng .............................................................74
Chơng I Nhập môn . Phân loại phơng trình..........................................74
Đ1. Các định nghĩa và ví dụ.............................................................................74
Đ2. Phơng trình đạo hàm riêng cấp một................................................78
Đ3. Dạng tổng quát của phơng trình tuyến tính cấp m.
Khái niệm đặc trng........................................................................................82
Đ4. Phân loại phơng trình đạo hàm riêng Tuyến tính cấp hai
trong trờng hợp hai biến ..........................................................................84
Đ5. Phân loại phơng trình đạo hàm riêng Tuyến tính cấp hai
trong trờng hợp nhiều biến .....................................................................90
Chơng II: Phơng trình loại elip ....................................................................94
Đ1. Phơng trình laplace và hàm điều hoà ............................................94
Đ2. Các tính chất của hàm điều hoà...........................................................99
Đ3. Bài toán Dirichlet....................................................................................103
Đ4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền bị
chặn .................................................................................................................110
Đ5. bài toán dirichlet trong hình tròn .................................................114
Chơng III: Phơng trình loại Hyperbol .....................................................118

Đ1. Bài toán cauchy của phơng trình truyền sóng và định lí duy
nhất nghiệm......................................................................................................118
Đ2. Công thức nghiệm của bài toán cauchy đối với phơng trình
truyền sóng.....................................................................................................121
Đ3. Phơng pháp hạ thấp..............................................................................126
Đ4. Bài toán hỗn hợp ......................................................................................128
Đ5. Phơng pháp tách biến để giải bài toán hỗn hợp ........................131

3


Chơng IV: Phơng trình loại parabol .......................................................135
Đ1. Nguyên lí cực trị trong miền bị chặn đối với phơng trình
truyền nhiệt ....................................................................................................135
Đ2. Nguyên lí cực trị trong miền không bị chặn đối với phơng
trình truyền nhiệt.........................................................................................137
Đ3. Công thức Poission đối với phơng trình truyền nhiệt...........139
Hớng dẫn giải bài tập........................................................................................143
Phần A .......................................................................................................................143
Chơng I .............................................................................................................143
Chơng II ............................................................................................................145
Chơng III ...........................................................................................................146
Chơng IV...........................................................................................................151
Phần B .......................................................................................................................152
Chơng I .............................................................................................................152
Chơng II ............................................................................................................153
Chơng III ...........................................................................................................154
Chơng IV...........................................................................................................155

4

Lời nói đầu

Phơng trình vi phân (vi phân thờng và đạo hàm riêng) là một trong các công cụ cơ bản để
nghiên cứu các vấn đề về khoa học tự nhiên, khoa học kĩ thuật và khoa học xã hội.
Do vậy, phơng trình vi phân trở thành một bộ môn quan trọng ở bậc Đại học không chỉ đối
với ngành Toán mà còn đối với các ngành kĩ thuật.
Giáo trình này đợc biên soạn dựa trên bài giảng đã dạy nhiều năm cho sinh viên khoa Toán
ĐHSP Huế. Chúng tôi có bổ sung thêm nhiều ví dụ minh hoạ, nhiều chứng minh chi tiết cũng
nh phân định một số phần dành cho đọc thêm để phù hợp cho đối tợng là học viên từ xa.
Nội dung giáo trình chia làm hai phần :
Phần A : Phơng trình vi phân.
Phần B : Phơng trình đạo hàm riêng.
Để học tốt giáo trình này, sinh viên cần nắm vững các kiến thức về giải tích cổ điển, hàm biến
số phức, không gian mêtric và đại số tuyến tính .
Chúng tôi chân thành cảm ơn các cán bộ giảng dạy Tổ Giải tích khoa Toán ĐHSP Huế đã
nhiệt tình đóng góp cho việc biên soạn giáo trình này.
Chúng tôi mong đợc bạn đọc góp ý kiến về những thiếu sót cho lần biên soạn này. Xin chân
thành cám ơn.
Tác giả

5


Phần A
phơng trình vi phân
Chơng I
Các khái niệm cơ bản. cách giải các
phơng trình Cấp một và cấp hai đơn giản

Đ1. các khái niệm cơ bản của phơng trình vi phân
Phơng trình vi phân (PTVP) là phơng trình có chứa biến độc lập, hàm phải tìm (hàm ẩn) và
các đạo hàm (hay vi phân) của nó.
Ví dụ
a) y = x 2 + 1,
b) y 2 y + 2 y = 2 x + 3,
c)

2 z 2 z
+
= 0,
x 2 y 2

là các PTVP.
Trong PTVP, nếu ẩn hàm là hàm một biến, ta có phơng trình vi phân thờng (nói gọn là
PTVP). Nếu ẩn hàm là hàm của nhiều biến, ta có phơng trình đạo hàm riêng.
Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phơng trình.
Ví dụ. a) PTVP cấp 1 ;

b) PTVP cấp 2 ;

c) PTĐHR cấp 2.

PTVP cấp n tổng quát có dạng
F ( x, y, y,..., y( n ) ) = 0 ,

(1)

trong đó x (a, b) R ; y = y( x ) ; y,..., y ( n ) là các đạo hàm của y ; F : G R n + 2 R là hàm
của n + 2 biến.

Đặc biệt
y ( n ) = f ( x, y, y,..., y ( n 1) ) ,

(2)

trong đó f : G R n + 1 R là hàm n + 1 biến.
(2) gọi là PTVP cấp n giải đợc đối với đạo hàm.
Nói riêng PTVP cấp một có dạng: F ( x, y, y) = 0 hay

y = f ( x , y )

6


Nghiệm của phơng trình (1) hay (2) là hàm

: (a, b) R R
y = ( x )

x

sao cho với mọi x (a, b) thì ( x, y, y,..., y n ) G R n + 2 (hay R n + 1 ) và thoả mãn phơng trình
(1) (hay (2)).
Ví dụ.

y = x 2 + 1

suy ra

y =

y=

x3
+x+C
3

x4
x2
+
+ C1 x + C2 , trong đó C1, C2 là hai hằng số bất kì.
12
2

Nói chung, nghiệm của (1) hay (2) là hàm phụ thuộc vào n hằng số tuỳ ý C1 , C2 ,..., Cn :
y = ( x, C1 , C2 ,..., Cn ).
Trong PTVP, ngời ta thờng gặp bài toán sau đây, gọi là bài toán Cauchy.
Bài toán Cauchy đối với PTVP cấp một :
Tìm nghiệm

: (a, b) R
x

( x )

của phơng trình y = f ( x, y ) và thoả mãn điều kiện đầu cho trớc : ( x0 ) = y0
y

y( x0 )

= f ( x, y)

(3)

= y0

Bài toán Cauchy đối với PTVP cấp n có dạng:
y ( n )

y( x0 )

= f ( x, y, y,..., y ( n 1) )
= y0 ; y( x 0 ) = y01 ; y( x0 ) = y02 ;..., y ( n 1) ( x 0 ) = y0, n 1

(4)

trong đó x, y0 , y01 , y02 ,..., y0,n 1 là các giá trị cho trớc.
Các loại nghiệm của PTVP.
Xét phơng trình y ( n ) = f ( x, y, y,..., y n 1 ).

(2)

Giả sử với mỗi ( x, y0 , y01 , y02 ;..., y0,n 1 ) G R n + 1 bài toán (4) có nghiệm duy nhất, khi đó:
+ Hàm y = ( x, c1 , c2 ,..., cn ) phụ thuộc n hằng số c1 , c2 ,..., cn gọi là nghiệm tổng quát (NTQ)
của (2) nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau đây :

7


) Từ hệ

y = ( x, c1 ,..., cn )

y = ( x, c1 ,..., cn )

....................
y ( n 1) = ( n 1) ( x, c ,..., c )
1
n

Ta có thể giải đợc các ci = ( x, y, y,..., y ( n ) ), i = 1, n với mọi ( x, y, y,..., y( n 1) ) G .

) Hàm y = ( x, c1 , c2 ,..., cn ) thoả mãn (2) với mọi giá trị của c1 , c2 ,..., cn , nhận đợc từ hệ )
khi ( x, y, y,..., y ( n 1) ) G .
+ Nếu nghiệm của (2) tồn tại dới dạng ( x, y, c1 ,..., cn ) = 0 và thoả mãn hai điều kiện ) và )
thì ( x, y, c1 ,..., cn ) = 0 gọi là tích phân tổng quát của (2).
+ Nếu y = ( x ) của (2), mà tại mỗi điểm trên đồ thị của nó bài toán Cauchy (4) có lời giải
duy nhất, gọi là nghiệm riêng (NR).
Nghiệm y = ( x ) của (2) có đợc từ nghiệm tổng quát với các giá trị xác định ci = ci0 , i = 1, n
sẽ là nghiệm riêng.
+ Nghiệm của (2), y = ( x ) , mà tại mọi điểm trên đồ thị của nó, tính duy nhất nghiệm của
bài toán Cauchy bị phá vỡ, gọi là nghiệm kì dị (NKD).
Giải một PTVP là tìm tất cả các nghiệm của nó. Nếu cho thêm điều kiện đầu thì tìm nghiệm
riêng thoả mãn điều kiện đó.
Ví dụ cơ học dẫn đến PTVP1.

Bài toán. Một chất điểm có khối lợng m chuyển động theo trục Ox dới tác dụng của một
lực là bx (b > 0) hớng về gốc toạ độ. Hãy tìm qui luật chuyển động của chất điểm đó, biết rằng
lúc t = 0 chất điểm ở vị trí x = x0 và có vận tốc v = v0.
Ta cần tìm hàm x = x(t) biểu diễn quy luật chuyển động của chất điểm, x(t) là hoành độ của

chất điểm ở thời điểm t.

o

m
x0
2

d x
b
d2 x
Theo định luật Newton ta có m 2 = bx hay 2 + 2 x = 0 (với 2 = ), đó là hệ thức
dt
dt
m
để tìm x(t), một phơng trình vi phân cấp hai theo ẩn hàm x(t).
Dễ kiểm chứng rằng x (t ) = C1 cos t + C2 sin t (C1, C2 là hai hằng số tuỳ ý), là nghiệm tổng
quát của phơng trình.
Khi t = 0, vì x = x0 nên C1 = x0.
1

Dành cho sinh viên đọc thêm

8


MÆt kh¸c v =

dx
= − C1ω sin ωt + C2 ω cos ωt , nªn khi t = 0 ta cã v0 = C2 ω .

dt

VËy quy luËt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm cã d¹ng :
x (t ) = x0 cos ωt +

v0
sin ωt .
ω

(1)

9


Đ2. cách giải một số phơng trình vi phân cấp một
2.1. Phơng trình tách biến
Phơng trình tách biến là phơng trình có dạng:

M ( x )dx + N ( y)dy = 0 ,

(1)

trong đó M, N là các hàm liên tục trên (a, b) R .
x
(1) d M ( x )dx +
x0
x

M ( x )dx +

x0



y

N( y)dy = 0,

x 0 , x, y0 , y (a, b)



y0

y

N( y)dy = C ,

C : hằng số.

y0

Vậy tích phân tổng quát của (1) là

M( x )dx + N ( y) = C

trong đó C là hằng số.

Phơng trình (1) không có nghiệm kì dị.
Phơng trình dạng M1 ( x )N1 ( y )dx + M2 ( x )N2 ( y )dy = 0 ,

(2)

trong đó Mi, Ni là các hàm liên tục trên (a, b), i = 1, 2 có thể đa đợc về dạng tách biến.
Giả sử N1 ( y). M2 ( x ) 0
(2)

M1 ( x )
N ( y)
dx + 2
dy = 0 ,
M2 ( x )
N1 ( y)

Tích phân tổng quát



M1 ( x )
N ( y)
dx + 2
dy = C ,
M2 ( x )
N1 ( y)

C là hằng số bất kì.
Ngoài ra nếu y = b là nghiệm của N1(y) = 0 (hay x = a là nghiệm của M2(x) = 0 )) thì nó cũng
là nghiệm của phơng trình (2). Tuỳ trờng hợp nghiệm này có thể là nghiệm riêng hay nghiệm kì

dị.

Ví dụ . Giải phơng trình

x 1 y 2 dx + y 1 x 2 dy = 0

(*)

Tìm đờng cong tích phân đi qua điểm (0, 1).
Điều kiện để phơng trình (*) có nghĩa là : ( x, y) [0,1]2 .
Với x 1, y 1 thì (*) trở thành :

10


x
1 x

2

dx +

y
1 y2

dy = 0 .

Tích phân tổng quát:

x
1 x2

dx +

y



1 y2

dy = C , trong đó C là hằng số.

Hay 1 x 2 + 1 y 2 = C , C : hằng số dơng.
Xét y = 1(1 < x < 1) , đây là nghiệm kì dị của phơng trình.
Thật vậy, chẳng hạn đờng cong tích phân y = 1, tại điểm (0 ; 1) có hai đờng cong tích phân
đi qua nó là:
y = 1 và 1 x 2 + 1 y 2 = 1 .
y
1
x

-1

0

1

-1

Tơng tự, với đờng y = 1 ta cũng lí luận tơng tự bằng cách thay điểm (0, 1) bởi điểm (0, 1).

2.2. Phơng trình thuần nhất
Định nghĩa
Hàm
f : R2 R
( x, y )

f ( x, y )

đợc gọi là hàm thuần nhất cấp n nếu nó thoả mãn:
f (tx, ty ) = t n f ( x, y ),

t R, ( x, y ) R 2 .

Phơng trình vi phân thuần nhất là phơng trình dạng

y = f ( x , y ) ,

(1)

với f là hàm thuần nhất cấp 0.

11


Cách giải phơng trình thuần nhất :
Đặt t =

1

( x 0), phơng trình (1) trở thành
x
y
y
y = f ( x, y) = f (tx, ty) = f (1, ) = ( ) .
x
x

Đặt z =

y
, z là hàm ẩn mới.
x
y = zx + z = ( z ) .

Hay

z =

( z ) z
.
x

Nếu ( z ) z 0 ta viết phơng trình trên lại :
dz
dx
=
.
( z ) z
x

Đây là phơng trình tách biến có tích phân tổng quát
dz

(z) z = ln x
Thế z =

+ C ; C là hằng số bất kì.

y
vào ta đợc tích phân tổng quát của phơng trình (1)
x

Nếu z = z0 là nghiệm của ( z ) z = 0 thì y = z0 x cũng là nghiệm của (1). Nghiệm này có
thể là nghiệm kì dị hoặc nghiệm riêng.

Ví dụ. Giải phơng trình :
Điều kiện
Nếu

Hay

dx
=
dy

y
.
x

()

y
0.
x

y
0 . Đặt y = zx. Phơng trình (*) trở thành
x
dz
x + z = z.
dx
xdz = ( z z )dx

Nếu z z 0 . Ta có :
dz
z z

=

dx
.
x

Tích phân tổng quát



dz
z z

=



dx
+ ln c , c 0 , hay
x

12


2 ln
ln

z 1 = ln x + ln c
1

z 1 = ln

c0

,

cx
z 1

x =

1
c

( z 1) x = C,

(

C=

1
0
c

y
1) x = C .
x

Nếu x > 0, y > 0 thì

y

x = C.

Nếu x < 0, y < 0 thì

y x = C .

(*)

z z = 0 có hai nghiệm z0 = 0, z1 = 1 hay y0 = 0,

Ngoài ra phơng trình

y1 = x ( x 0) .

y0 = 0 là nghiệm kì dị. Thật vậy với điểm (a, 0) (a > 0) nằm trên đờng y = 0 còn có đờng cong tích
phân khác đi qua, đó là

y

x

= a ( a > 0) .

y1 = x là nghiệm riêng. Nghiệm này có thể ghép vào tích phân tổng quát (*) ứng với C = 0.
* Phơng trình dạng :
ax + by + c
y = f
.
ax + by + c

(2)

Có thể đa đợc về phơng trình thuần nhất.
Nếu c = c = 0 thì (2) là phơng trình thuần nhất.
Nếu c hay c 0 , D =

a b
0 thì ta dùng phép biến đổi :
a b

x = x1 + h

y = y1 + k
trong đó h, k là nghiệm của hệ:
ah + bk + c = 0

ah + bk + c = 0
Khi đó (2) sẽ là phơng trình thuần nhất
ax + by1
y1 = f 1
.
ax1 + by1

13


Nếu D =

a b
a = a
và (2) đa về phơng trình tách biến :
= 0 thì
a b
b = b

(ax + by ) + c
y = f
= F (ax + by ) .
ax + by + c
Đặt z = ax + by z = a + by = a + bF ( z ) . Ta có phơng trình tách biến :

dz

= a + bF ( z) .
dx
2.3. Phơng trình tuyến tính cấp một
Định nghĩa
Phơng trình tuyến tính cấp một là phơng trình có dạng:

A( x ) y + B( x ) y = C( x ) ,
trong đó A, B, C là các hàm liên tục.
Nếu A( x ) 0 thì phơng trình trở thành:

y + p( x ) y = q ( x ) ,
với p( x ) =

(1)

B( x )
C( x )
là các hàm liên tục.
, q( x ) =
A( x )
A( x )

Nếu q( x ) 0 thì (1) có dạng y + p( x ) = 0 , gọi là phơng trình tuyến tính thuần nhất.
Nếu q(x)

0, thì (1) gọi là phơng trình tuyến tính không thuần nhất.

Cách giải . Để giải phơng trình (1) ta thực hiện hai bớc :
B1 : Giải phơng trình thuần nhất tơng ứng

y + p( x ) y = 0 .

(2)

Đây là một phơng trình tách biến.
Với y 0 phơng trình trở thành:

dy
= p( x )dx .
y

Hay

ln y = p( x )dx + ln C1 , C1 0
p ( x ) dx
y = C1 e
p ( x ) dx
y = Ce

với C = C1 0 .

(3)

y = 0 cũng là nghiệm của phơng trình (2) (nghiệm riêng), nghiệm này đợc ghép vào (3) ứng với C = 0.
Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình (2) là :
p ( x ) dx
y = Ce
, C : là hằng số bất kỳ.

14

B2 : Biến thiên hằng số để tìm nghiệm tổng quát của phơng trình (1).
p ( x ) dx
Ta tìm nghiệm của (1) dới dạng y = C( x )e
trong đó C(x) là hàm cần xác định để
p ( x ) dx
y = C( x )e
là nghiệm của (1).

p ( x ) dx
dy d (C( x )) p ( x ) dx
.
e
=
C( x ) p( x ).e
dx
dx

Nh vậy C(x) phải là nghiệm đúng của phơng trình sau :
p ( x ) dx
p ( x ) dx
dC p ( x ) dx
e
p( x )C( x )e
+ p( x )C( x )e
= q( x )
dx

hay

p ( x ) dx
dC
.
= q( x )e
dx

Suy ra C( x ) = q( x )e

p ( x ) dx

dx + C .

Nghiệm tổng quát của phơng trình (1) có dạng:
p ( x ) dx
p ( x ) dx
p ( x ) dx
+ q( x )e
y = Ce
.e

(4)

trong đó C là một hằng số bất kỳ.

Nhận xét. Từ (4) ta nhận thấy: Nghiệm tổng quát của (1) bằng nghiệm tổng quát của phơng trình
thuần nhất tơng ứng (2), cộng với một nghiệm riêng (1).
2.4. Phơng trình Bernoulli
Định nghĩa
Phơng trình Bermoulli có dạng :

dy
+ p( x ) y = q ( x ) y ,
dx

(1)

trong đó R, q, p là hai hàm liên tục.

Cách giải
Nếu = 0 hay = 1 , (1) là phơng trình tuyến tính.
Giả sử 0 và 1 .
Chia hai vế của (1) cho y ( y 0) , ta đợc
1 dy
+ p( x ) y1 = q( x ) .

y dx
Đặt z = y1 suy ra

(2)

dz
dy
= (1 ) y
. Thế vào (2) ta đợc :
dx
dx

15

1 dz
+ p( x ) z = q ( x ) .
1 dx

(3)

Hay

dz
+ (1 ) p( x )z = (1 )q( x ) .
dx
Đây là phơng trình tuyền tính với ẩn là hàm z. Tích phân phơng trình này rồi trở về hàm ẩn cũ
y, ta đợc tích phân tổng quát của (1).
Nếu > 0 , thì phơng trình (1) có thêm nghiệm y = 0.
Với > 1, y = 0 là nghiệm riêng. Với 0 < < 1, y = 0 là nghiệm kì dị.

Ví dụ . Giải phơng trình
y + 2 y = y 2 e x .

()

Giả sử y 0 ta suy ra
1
y + 2 y 1 = e x .
2
y

()

z = y 1 0 z = y 2 y .

Đặt

Thế vào () ta đợc :
z + 2 z = e x .
Hay
z 2 z = e x .
Đây là phơng trình tuyến tính. Giải ra ta đợc NTQ
z = (Ce2 x + e x ) 1 ,

C : là hằng số.

Vậy NTQ của () là

y=

1
= Ce2 x + e x ,
z

C : hằng số bất kỳ.

y = 0 cũng là nghiệm của () , đây là nghiệm riêng.

2.5. Phơng trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân
2.5.1. Phơng trình vi phân toàn phần
Phơng trình M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = 0 ,

(1)

gọi là phơng trình vi phân toàn phần nếu tồn tại một hàm U ( x, y) khả vi sao cho :

M ( x, y)dx + N ( x, y)dy = d (U ( x, y)) .
Khi đó tích phân tổng quát của (1) và U ( x, y) = C (hằng số).

16


Ví dụ

(3 x 2 + y )dx + ( x + 2 y )dy = 0
d ( x 3 ) + d ( xy ) + d ( y 2 ) = 0
d ( x 3 + xy + y 2 ) = 0
x 3 + xy + y 2 = C (hằng số)

Hay

Trong trờng hợp tổng quát, xuất hiện hai vần đề :
1) Khi nào thì (1) là phơng trình là vi phân toàn phần.
2) Xác định tích phân của nó.
Ta giả thiết rằng M, N C1 (G), trong đó G là một miền đơn liên trong 2 .
Ta có định lí sau đây (đợc chứng minh trong phần tích phân đờng).
Điều kiện cần và đủ để (1) là phơng trình vi phân toàn phần là :
M
N
( x, y) =
( x, y),
y
x

( x, y) G .

Khi đó vế trái của (1) là vi phân của hàm:
x

M(t, y)dt +

U ( x, y) =

x0
x

U ( x, y) =

M(t, y0 )dt +

x0

y

N ( x , )d
0

hay

y0

y

N( x, )d .

y0

2.5.2. Thừa số tích phân
Nếu phơng trình (1) không phải là phơng trình vi phân toàn phần, nhng tồn tại hàm
à( x, y) sao cho :

à( x, y) M ( x, y)dx + à( x, y)N ( x, y)dy = 0
là một phơng trình vi phân toàn phần, thì à( x, y) gọi là thừa số tích phân của phơng trình (1).
Vậy : Khi nào thì (1) tồn tại thừa số tích phân và cách tìm các thừa số tích phân này ?

Định lí . Nếu (1) có tích phân tổng quát U ( x, y) = C (C : hằng số), trong đó U C 2 , thì (1) có
thừa số tích phân.
(Xem chứng minh ở tài liệu tham khảo)
Chú ý
+ Khi (1) có thừa số tích phân à( x, y) thì (1) có vô số thừa số tích phân dạng :

à1 ( x, y) = à( x, y).(U ),

C1 .

(chứng minh nh bài tập)

17


Cách tìm thừa số tích phân
Nói chung, không có phơng pháp tổng quát để tìm thừa số tích phân của phơng trình (1), ta chỉ có
thể tìm đợc nó trong một số trờng hợp đặc biệt.
Giả sử à( x, y) là thừa số tích phân của (1). Khi đó ta có :

(àM ) (àN )
=
,
y
x
hay
N

M N
à
à
M
= à

.
x
y
x
y

(4)

Giải phơng trình đạo hàm riêng này rất phức tạp. Tuy nhiên nếu :
+ à = à (x) chỉ phụ thuộc vào x . Khi đó (4) trở thành :

M N

à
y
x

=
= ( x )
N
à
ln à = ( x )dx + ln c ,
à( x ) = Ce

hay

( x ) dx

c0

. Tơng tự, nếu :

+ à = à( y) . Khi đó

M N

à
y
x
=
= ( y )
à
M
và

à( y) = Ce

( y ) dy

.

Ví dụ . Tìm thừa số tích phân của phơng trình sau :
(x2 y)dx + (x2y2 + x)dy = 0.

(5)

Ta có
M N

= 1 2 xy 2 1 = 2( xy 2 + 1),
y
x
nên

M N

2
y
x
= .
N
x
dx
2
1
2 ln x
= 2.

Xét à = e x hay à = e
x

18


Thử lại : Nhân hai vế của (5) với à =

1
ta đợc:
x2

y
1
)dx + ( y 2 + )dy = 0
2
x
x
xdy ydx
dx + y 2 dy +
=0
x2
y3
y
d( x +
+ ) = 0.
3
x

(1

Vậy à =

1
là thừa số tích phân của (5) và tích phân tổng quát của (5) là :
x2

y3
y
+ = C (C : hằng số).
x+
3
x
Chú ý . Biết đợc thừa số tích phân à , ta tìm đợc tích phân tổng quát lẫn nghiệm kì dị của
phơng trình.
1
Thật vậy, Mdx + Ndy = d (U ) = 0 .
à
d (U ) = 0 cho ta tích phân tổng quát.
1
= 0 có thể cho ta nghiệm kì dị.
à

2.6. Phơng trình Lagrange và Clairaut
Trong mục này, ta xét hai phơng trình cấp một không giải đợc đối với đạo hàm.

2.6.1. Phơng trình Lagrange
Đó là phơng trình có dạng

y = (

dy
dy
). x + ( )
dx
dx

(1)

trong đó , là hai hàm khả vi tuỳ ý.
Chọn p =

dy
, phơng trình (1) trở thành :
dx

y = ( p ) x + ( p )
dy = pdx = ( p )dx + [( p ) x + ( p)]dp,
hay

[( p ) p]dx + [( p ) x + ( p )]dp = 0.
Giả sử ( p) p 0 . Phơng trình trên đợc viết lại:
( p)
( p)
dx
+
.
x=
dp ( p) p
p ( p)

(2)

19


Nếu xem p là biến độc lập, x là hàm của p thì (2) là phơng trình tuyến tính. Giải (2) ta đợc
nghiệm tổng quát:

x = A( p).C + B( p),

C : là hằng số.

y = A1 ( p).C + B1 ( p) ,

Suy ra

trong đó A, A1, B, B1 là các hàm của p. Vậy tích phân tổng quát của (1) đợc biểu diễn dới dạng
tham số.
x = A( p ).C + B ( p )

y = A1 ( p ).C + B1 ( p )
C : hằng số, p : tham số.
Ngoài ra nếu ( pi ) pi = 0 thì y = pi x + ( pi ) cũng là nghiệm của (1). Tuỳ trờng hợp, các
nghiệm này có thể là nghiệm riêng hay nghiệm kì dị.
Vậy nghiệm kì dị của phơng trình Lagrange, nếu có là các đờng thẳng.

Ví dụ . Giải phơng trình
y = y 2 x + y 2 .

p = y =

Đặt

(3)

dy
dy = pdx .
dx

Mặt khác
y = p2 x + p2

(4)

dy = pdx = p 2 dx + (2 px + 2 p)dp ,
hay

p( p 1)dx + 2 p( x + 1)dp = 0 .
Nếu p( p 1) 0 p 0 và p 1 .
Phơng trình đợc viết lại
dx
2x
2
+
=
.
dp p 1 1 p

(5)

Đây là phơng trình tuyến tính theo ẩn hàm x = x(p). Giải phơng trình (5) ta đợc nghiệm tổng
quát.

x=

C1
1 , C1 : hằng số.
( p 1)2

Vậy tích phân tổng quát của (3) :

20


C1

x = ( p 1)2 1

C1 ; hằng số

2
C
C
p
1
1
y = p2 (
) + p2 =

( p 1)2
( p 1)2
Khử p giữa x và y ta đợc : y = ( x + 1 + C )2 với C = C1 .
Nếu p(p 1) = 0 p = 0 hay p = 1.
Thay vào (4) ta đợc :
y = 0 là nghiệm kì dị

;

y = x + 1 là nghiệm riêng.

2.6.2. Phơng trình Clairaut
Đó là phơng trình có dạng :

y=

dy
dy
x + ( )
dx
dx

Giả thiết là hàm phi tuyến đối với

(1)

dy
dy
, vì nếu ( ) là hàm tuyến tính thì (1) là một
dx

dx

phơng trình tách biến.
Đặt p =

dy
là tham số. Phơng trình (1) trở thành :
dx

y = px + ( p) ,

(2)

suy ra : dy = pdx = pdx + [ x + ( p)]dp,
hay

( x + ( p))dp = 0 .
* dp = 0 p = C y = Cx + (C ) với C là hằng số. NTQ của (1) là một họ đờng thẳng.
* x + ( p) = 0 x = ( p) .
Thay x = ( p) vào (2) ta đợc nghiệm cho dới dạng tham số.
y

x

= p ( p) + ( p )
= ( p )

21

Đ3. cách giải một số phơng trình vi phân cấp cao đơn giản
3.1. Dạng F ( x, y ( n ) ) = 0

(1)

a) Nếu (1) có dạng y( n ) = f ( x ) ,

(1.1)

với f là hàm liên tục trên (a, b), thì nghiệm tổng quát của (1) có dạng :
x

y=

x

x

d d... f ( x )d

x0

+

x0

+

x0

C1
( x x 0 )n 1
(n 1)!

C2
( x x 0 )n 2 + ... + Cn 1 ( x x 0 ) + Cn ,
(n 2)!

trong đó các Ci , i = 1, n là những hằng số.
b) Nếu (1) có dạng tham số :
x
(n)
y

= (t )

(1.2)

= (t )

trong đó C1 , C , thì ta có :
y ( n 1) = y ( n ) dx = (t )(t )dt + C1 = 1 (t, C1 ).
y ( n 2) = 1 (t, C1 )(t )dt + C2 = 2 (t, C1 , C2 ).
..................................

y = n 2 (t, C1 ,..., Cn 2 )(t )dt + Cn 1 = n 1 (t, C1 ,..., Cn 1 ).
y = n 1 (t, C1 ,..., Cn 1 )(t )dt + Cn = n (t, C1 ,..., Cn ).
Vậy dạng tham số của tích phân tổng quát của phơng trình (1.2) là
x = (t )

y = n (t, C1 ,..., Cn )

Ví dụ . Giải phơng trình e y + y = x .
Chọn t = y là tham số. Ta có hệ :
e t + t = x

= y
t

22


y = ydx = t (et + 1)dt =

t2
+ tet et + C1 .
2

t2
+ C1 ](et + 1)dt.
2
2
t 3
t
t3
y = ( )e2 t + ( 1 + C1 )et +
+ C1t + C2 .
2 4
2
6

Vậy biểu diễn tham số của NTQ là :
y = ydx = [(t 1)et +

x = et + t


t 3 2t
t2
t3
t
y = ( )e + ( 1 + C1 )e + + C1t + C2

2 4
2
6
trong đó C1, C2 là hằng số bất kỳ.

3.2. Dạng F ( y ( n ) , y ( n 1) ) = 0

(2)

a) Nếu (2) có dạng y( n ) = f ( y ( n 1) )

(2.1)

Đặt z = y ( n 1) Phơng trình (2.1) trở thành :

z = f ( z ) .

Giả sử ta giải đợc NTQ: z = ( x, C1 ) . Khi đó ta có phơng trình dạng 3.1 a :

y( n 1) = ( x, C1 ) .
b) Nếu phơng trình (2) có dạng tham số :

y ( n 1)
(n)
y
Ta viết
Suy ra

dx =

= (t ),

C1

= (t ),

0

d ( y ( n 1) ) (t )
=
dt .
y( n )
(t )

x=

(t )

(t ) dt + C

1

y ( n 2) = y ( n 1) dx = (t )

= 1 (t, C1 )
(t )
dt + C2 = 2 (t, C2 )
(t )

.......................
y

x

= n (t, C1 ,..., Cn )
= 1 (t, C)

trong đó C1, C2,...,Cn là hằng số bất kỳ.
Đây là dạng tham số của tích phân tổng quát.

23


Ví dụ . Giải phơng trình
3

ay = (1 + y2 ) 2 , a : hằng số.

( )

Đặt z = y , phơng trình () trở thành :
3

az = (1 + z 2 ) 2 ,
hay
dx =

adz

az

x =

3
2 2

1 + z2

(1 + z )

+ C1 .



< < ) suy ra
2
2
Mặt khác y = z = tg , suy ra

Đặt z = tg

(

y = tgdx = a tg cos d = a cos + C2 .
Vậy NTQ :
x C1 = a sin ,

y C2 = a cos ,
Hay

: tham số
C1 , C2 : hằng số.

( x C1 )2 + ( y C2 )2 = a 2 .

3.3. Dạng F ( y ( n 1) , y ( n ) ) = 0
a) Nếu (3) có dạng

(3)
y( n ) = f ( y ( n 2) ) .

Đặt z = y ( n 2) ta có phơng trình : z = f ( z ) .
Nhân hai vế của phơng trình với 2 z ( z 0) ta đợc phơng trình :

2zz = 2zf (z) .
Từ đó

2 zzdx = 2 zf (z)dx ,

hay

(z)2 = 2 f (z)dz + C1
z = 2 f ( z)dz + C1 , C1 : hằng số
dx =

Suy ra
x =

dz
2 f ( z)dz + C1
dz
2 f ( z)dz + C1

+ C2 ,

24


C1, C2 : hằng số.
Thế z = y ( n 2 ) ta có phơng trình dạng : F ( x, y ( n 2) , C1 , C2 ) = 0 .
Đây là phơng trình dạng (3.1).
b) Nếu (3) có dạng tham số :
( n 2)
y
(n)
y

= (t ),

C1

= (t ),

C

Ta viết lại nh sau :
dy ( n 2) = y ( n 1) dx,

dy ( n 1) = y ( n ) dx .

Từ đó suy ra :
2 y ( n 1) dy ( n 1) = 2 y ( n ) dy( n 2 ) .
hay
d ( y ( n 1) )2 = (t )(t )dt
= (t )(t )dt + C1 = 1 (t, C1 ),

y ( n 1)

C1 : hằng số.

Vậy ta có hệ

y ( n 1)
= 1 (t, C1 )
( n 2)
= (t ),
y
Đây là phơng trình (3.2) dạng b).

C1 :hằng số.

Bài tập
1.1. Tìm họ đờng cong mà đờng thẳng tiếp tuyến với chúng nằm giữa hai trục toạ độ đợc chia
thành hai phần bằng nhau bởi tiếp điểm.
1.2. Tìm nghiệm của các phơng trình sau :

a) y =

x
1 + x2 + 1 + x2

;

c) ( x 2 1) y + 2 xy 2 = 0, y(0) = 1;

b) y =
e) y =

d ) 2 x yy + y = 2 ;
2

2

25

2
x x4 1

;

4x + 2y 1 .