Luận án tiến sĩ bất đẳng thức tích chập suy rộng kontorovich lebedev – fourier và ứng dụng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————

PHẠM VĂN HOẰNG

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG
KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
—————*—————

PHẠM VĂN HOẰNG

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG
KONTOROVICH–LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã ngành: 62460102

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO
PGS. TS. TRỊNH TUÂN

Hà Nội - 2017


MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Ảnh của hàm f qua phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, kí hiệu
là KL[f ], được xác định theo công thức
∞

KL[f ](y) =

Kiy (x)f (x)dx,

∀y ∈ R+ ,

(0.1)

0

với Kν (x) là hàm Macdonald có chỉ số thuần ảo ν = iy.
Đến nay, những kết quả về biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trên
các không gian hàm với hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu; không gian Lebesgue
Lp với trọng cũng như xem xét trên không gian hàm suy rộng đã khá phong
phú và sâu sắc. Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trên không gian hai
chiều, không gian nhiều chiều; biến đổi rời rạc, biến đổi hữu hạn liên quan
đến biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev cũng đã được các nhà toán học
quan tâm nghiên cứu.
Tích chập đối với các biến đổi tích phân đã được xây dựng và ứng dụng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Năm 1998, Kakichev V.A. và Thao N.X. đã
γ

đưa ra định nghĩa tích chập suy rộng (TCSR) f ∗ h với hàm trọng γ của
γ

hai hàm f và h đối với ba phép biến đổi tích phân T1 , T2 và T3 nếu f ∗ h
thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
γ

T1 f ∗ h (y) = γ(y) T2 f (y) T3 h (y),

(0.2)

và cho điều kiện cần để xác định TCSR khi biết một số ràng buộc cụ thể về
nhân của các biến đổi tích phân tương ứng.
Tích chập của hai hàm f, h đối với biến đổi tích phân KontorovichLebedev xác định bởi công thức
∞ ∞

1
(f ∗ h)(x) =
KL
2x

e− 2 ( x + θ + τ ) f (τ )h(θ)dτ dθ,
1

0

τθ

τx

θx

x ∈ R+ .

(0.3)

0

Trong luận án này, ta nghiên cứu về TCSR Kontorovich-Lebedev - Fourier.
Đó là các TCSR mà trong đẳng thức nhân tử hóa (0.2) có biến đổi tích phân
1


ở vế trái T1 là biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev có công thức (0.1), còn
T2 , T3 là biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, hoặc Fourier
cosine, nhưng T2 , T3 không đồng thời là biến đổi tích phân KontorovichLebedev.
Khi cố định hàm h trong tích chập với hai hàm f, h, ta sẽ nhận được biến
đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng, gọi là biến đổi tích phân
kiểu tích chập, chẳng hạn biến đổi liên quan đến tích chập Mellin
∞

f (x) → g(x) :=

k(xy)f (y)dy.
0

Các biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosine, Fourier sine đã được
nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, tuy nhiên vẫn chưa có biến đổi
tích phân kiểu TCSR Kontorovich-Lebedev - Fourier được xây dựng.
Bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier của hai hàm f, h là cơ bản

nhưng không đúng trong trường hợp thông thường f, h thuộc không gian L2 .
Năm 2000, Saitoh S. đánh giá được chuẩn của tích chập (f ∗ g) trong
F

không gian Lp với trọng gọi là bất đẳng thức Saitoh với tích chập. Những
kết quả tiếp theo nghiên cứu về ứng dụng của bất đẳng thức kiểu này đã
được các nhà toán học Saitoh S., Tuan V.K., Yamamoto M., Duc D.T., Nhan
N.D.V. nghiên cứu và nhận được nhiều ứng dụng thú vị.
Trong một số công trình gần đây, sử dụng biến đổi tích phân KontorovichLebedev để nghiên cứu các bài toán về trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện
từ với trở kháng hình nón tròn đã đạt được những kết quả quan trọng, tiêu
biểu như công trình các tác giả Bernard J.M.L., Lyalinov M.A., Zhu N.Y., ở
đó một số đại lượng vật lý cơ bản của trường nhiễu xạ sóng âm, trường sóng
điện từ có thể biễu diễn qua công thức tích phân Kontorovich-Lebedev Điều
này làm nảy sinh nhu cầu biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm, thế Debye của
trường nhiễu xạ sóng điện từ qua TCSR Kontorovich-Lebedev-Fourier.
Năm 2011, Yakubovich S.B. chỉ ra một nghiệm của phương trình tán xạ
∂
u(x, t) =
∂t

x2

∂2
∂
+
3x
+ 1 − x2 u(x, t).
2
∂x
∂x

Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi xét lớp phương trình dạng parabolic
∂
u(x, t) =
∂t

∂2
∂
x2 2 + 3x
+ 1 − x2 u(x, t) +
∂x
∂x

∞

H(u, x, t, θ)u(θ, t)dθ,
0

2


trên miền (x, t) ∈ R+ × R+ trong một số trường hợp cụ thể của hàm
H(u, x, t, θ).
Từ những phân tích ở trên, như một sự tiếp nối tự nhiên và mở rộng
hướng nghiên cứu, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là Bất đẳng thức tích
chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier và ứng dụng.

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của Luận án là nghiên cứu các bất đẳng thức và biến đổi tích
phân kiểu TCSR Kontorovich-Lebedev - Fourier.

Đối tượng nghiên cứu là TCSR, bất đẳng thức TCSR, biến đổi tích phân
kiểu TCSR đối với các biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, Fourier,
Fourier sine, Fourier cosine và một số ứng dụng trong phương trình tích
phân, phương trình đạo hàm riêng và bài toán Toán-Lý.
Phạm vi nghiên cứu là các biến đổi tích phân, tích chập, TCSR liên quan
đến các biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, Fourier, Fourier cosine,
Fourier sine.

3. Phương pháp nghiên cứu
Trong Luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp biến đổi tích phân,
phương pháp toán tử, phương pháp giải tích hàm, sử dụng phương pháp đánh
giá bất đẳng thức tích phân. Bên cạnh đó, các tính chất của các biến đổi tích
phân Kontorovich-Lebedev, Fourier cosine, Fourier sine cũng được sử dụng.

4. Cấu trúc và các kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được chia
thành bốn chương như sau:
Chương 1 trình bày các kiến thức đã biết liên quan biến đổi tích phân
Kontorovich-Lebedev, Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và những định lý,
mệnh đề có liên quan đến Luận án.
Chương 2 xây dựng tích chập suy rộng mới đối với các biến đổi tích phân
Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine. Nghiên cứu tính chất toán
tử của tích chập suy rộng này như sự tồn tại, tính bị chặn, đẳng thức nhân
tử hoá, đẳng thức Parseval, từ đó xây dựng biến đổi tích phân kiểu tích chập
suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier. Nhận được điều kiện cần và đủ để
3


biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng nói trên là đẳng cấu, đẳng cự giữa
hai không gian L2 (R+ ) và L2 (R+ ; x) và ứng dụng giải một lớp phương trình

vi-tích phân.
Chương 3 nghiên cứu các bất đẳng thức về chuẩn đối tích chập suy rộng
Kontorovich-Lebedev-Fourier trên các không gian hàm Lp với trọng. Nhận
được các bất đẳng thức kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Saitoh, kiểu Saitoh
ngược đối với các tích chập suy rộng này. Những bất đẳng thức đối với tích
chập Kontorovich-Lebedev cũng được giới thiệu và vận dụng để đánh giá
nghiệm của một lớp phương trình vi-tích phân liên quan đến toán tử Bessel.
Chương 4 tìm hiểu một số ứng dụng của tích chập suy rộng KontorovichLebedev trong nghiên cứu trường nhiễu xạ sóng âm, thế Debye của trường
nhiễu xạ sóng điện từ. Nghiên cứu một lớp phương trình đạo hàm riêng dạng
parabolic.

5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Luận án đã xây dựng và nghiên cứu tính chất toán tử của tích chập suy
rộng mới đối với ba phép biến đổi tích phân khác nhau Kontorovich-Lebedev,
Fourier sine, Fourier cosine, từ đó nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu
tích chập suy rộng tương ứng.
Luận án đã nghiên cứu và thiết lập được những bất đẳng thức về chuẩn
đối với tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier. Từ đó nhận được
ứng dụng trong nhiều bài toán khác nhau: giải và đánh giá nghiệm của một
số lớp phương trình tích phân, phương trình vi tích phân, phương trình đạo
hàm riêng dạng parabolic; biểu diễn và ước lượng tiệm cận, ước lượng điểm,
ước lượng theo chuẩn của một số đại lượng vật lý trong bài toán với trở kháng
hình nón tròn của nhiễu xạ trường sóng âm và sóng điện từ.
Những kết quả của Luận án đã góp phần làm phong phú thêm về lý
thuyết biến đổi tích phân, về biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, về
bất đẳng thức tích chập, về lý thuyết phương trình tích phân, phương trình
vi-tích phân, phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng và đưa ra
một số hướng ứng dụng trong vật lý của tích chập suy rộng. Các kết quả và
ý tưởng của Luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu các tích chập suy rộng
khác.

Nội dung chính của Luận án dựa trên các công trình đã công bố, liệt kê
ở mục "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án".

4


Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1

Không gian Lebesgue Lp(Ω) và Lp(Ω; ρ)

Cho Ω là một miền trong Rn và p là số thực 1 ≤ p < ∞.
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi Lp (Ω) là không gian các hàm f đo được trên Ω
thỏa mãn
 p1

f

Lp (Ω)

|f (x)|p dx < ∞.

=

(1.1)

Ω

Một số tính chất không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞
Mệnh đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Minkowski). Cho f, g ∈ Lp (Ω). Ta có
f +g

Lp (Ω)

≤ f

Lp (Ω)

+ g

Lp (Ω) .

(1.3)

Mệnh đề 1.1.2 (Bất đẳng thức H¨
older). Cho f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lp1 (Ω).
Ta có
|f (x)g(x)|dx ≤ f Lp (Ω) g Lp1 (Ω) ,
(1.4)
Ω

1
1
+
= 1.
p p1

với p1 là số mũ liên hợp của p tức là

Mệnh đề 1.1.3 (Bất đẳng thức H¨
older ngược). Cho hai hàm dương f
f
và g thoả mãn 0 < m ≤ ≤ M < ∞ trên tập X ⊆ Rn . Khi đó, ta có
g


 p1 



f dµ 

X

 p1

1

gdµ

≤ Ap,p1

X

m
M

1

X

5

1

f p g p1 dµ,

(1.5)


nếu tích phân ở vế phải của (1.5) hội tụ. Ở đây, p1 là số mũ liên hợp của p,
và Ap,q (t) được xác định theo công thức
1

Ap,q (t) = p

t− pq (1 − t)

− p1 − 1q

q

1

1

1

1

(1 − t p ) p (1 − t q ) q

.

(1.6)

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử ρ(x) là một hàm không âm trên Ω. Ta gọi Lp (Ω; ρ),
1 ≤ p < ∞, là không gian các hàm f đo được trên Ω thỏa mãn
 p1



|f (x)|p ρ(x)dx < ∞,

||f ||Lp (Ω;ρ) = 
Ω

và ρ là hàm trọng của không gian này.

1.2

Biến đổi tích phân Fourier

Biến đổi tích phân Fourier cosine của hàm f ∈ L1 (R+ ) được xác định bởi
∞

(Fc f )(y) :=

2
π

f (x) cos(yx) dx, y ∈ R+ .

(1.11)

0

Biến đổi tích phân Fourier sine của hàm f ∈ L1 (R+ ) được xác định bởi
∞

(Fs f )(y) :=

2
π

f (x) sin(yx) dx, y > 0.

(1.12)

0

1.3

Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev

Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trên không gian L1 (R+ ; ρ(x)).
Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev có công thức (0.1).
Mệnh đề 1.3.1 (Về tính duy nhất). Nếu hai hàm f, g thuộc không gian

L1 (R+ ; K0 (x)) có cùng ảnh qua phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, tức là ta
có KL[f ](y) = KL[g](y), ∀y ∈ R+ , thì f = g hầu khắp nơi (h.k.n.).
6


Mệnh đề 1.3.2. Cho hàm f ∈ L1 (R+ ; K0 (βx)) với 0 < β < 1. Với mỗi
điểm Lebesgue của hàm f ta có
∞

f (x) = lim−
η→π

2
π2x

y sinh ηπKiy (x)KL[f ](y)dy.

(1.38)

0

Ta có định lý kiểu Wiener-Levy cho biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev
trên không gian Lα (R+ ) := L1 (R+ , Kα (x)), α ≥ 0.
Định lý 1.3.1. Cho f thuộc không gian Lα (R+ ). Nếu
F(s) = λ + KL[f ](s) = 0
với mọi số phức s trên dải đóng | (s)| ≤ α, bao gồm cả điểm vô cùng thì tồn
tại duy nhất q thuộc Lα (R+ ) sao cho
1
= λ + KL[q](s).
λ + KL[f ](s)

Biến đổi Kontorovich-Lebedev trên không gian Lp (R+ ; ρ), p ≥ 2.
Cho f ∈ L2 (R+ ; x). Khi đó, biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev của
hàm f được định nghĩa theo công thức
N

KL[f ](y) = lim

Kiy (x)f (x)dx.

N →∞

(1.41)

1
N

Chú ý rằng định nghĩa (0.1) và (1.41) tương đương nếu f ∈ L2 (R+ ; x) ∩
L0 (R+ ).
Định lý 1.3.2. Cho hàm f thuộc không gian L2 (R+ ; x). Biến đổi tích phân
Kontorovich-Lebedev của hàm f xác định bởi công thức (1.41) hội tụ theo
chuẩn trong không gian L2 (R+ ; y sinh πy). Công thức biến đổi KontorovichLebedev ngược của hàm f được xác định như sau
∞

2
f (x) = 2
π x

y sinh πyKiy (x)KL[f ](y)dy.

(1.42)

0

Sự hội tụ của tích phân (1.42) theo chuẩn trong không gian L2 (R+ ; x). Biến
đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (1.41) là đẳng cấu, đẳng cự giữa hai không
2
gian L2 (R+ ; x) và L2 (R+ ; 2 y sinh πy).
π
7


Chương 2
BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TCSR
KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER
Trong chương này, chúng tôi xây dựng TCSR đối với các biến đổi tích
phân Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine. Từ đó, nghiên cứu
một số tính chất toán tử của TCSR này như sự tồn tại của chúng trên những
lớp không gian hàm cụ thể, tính bị chặn, đẳng thức nhân tử hoá, đẳng thức
Parseval. Cuối chương, chúng tôi xây dựng biến đổi tích phân kiểu TCSR
Kontorovich-Lebedev-Fourier và nhận được tính đẳng cấu, đẳng cự giữa hai
không gian Lebesgue với trọng và công thức ngược của biến đổi tích phân
này. Các kết quả chính của chương này là Định lý 2.1.1, 2.1.2, 2.2.1.
Nội dung của chương này dựa vào một phần của hai bài báo [1, 2 ] trong
Danh mục công trình đã công bố của luận án.

2.1
2.1.1

TCSR Kontorovich-Lebedev - Fourier sine
- Fourier cosine

Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1. TCSR của hai hàm f, h đối với các biến đổi tích phân
Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, và Fourier cosine được xác định bởi công
thức
∞ ∞
(f ∗ h)(x) =

K(x, τ, θ)f (τ )h(θ)dτ dθ, x ∈ R+ ,
0

(2.1)

0

nếu tích phân vế phải (2.1) tồn tại, ở đây,
K(x, τ, θ) =

1
[sinh(τ + θ)e−x cosh(τ +θ) + sinh(τ − θ)e−x cosh(τ −θ) ]
2
π

là nhân của tích chập suy rộng (2.1).

8

(2.2)

TCSR (2.1) có đẳng thức Parseval
∞

2
(f ∗ h)(x) = 2
π x

yKiy (x)(Fs f )(y)(Fc h)(y)dy,

x ∈ R+ .

(2.3)

0

và đẳng thức nhân tử hóa
KL[f ∗ h](y) =

1
(Fs f )(y)(Fc h)(y),
sinh πy

y ∈ R+ ,

khi f, h thuộc không gian thích hợp, với hàm trọng γ(y) =

2.1.2

(2.4)

1
.
sinh πy

Tính chất toán tử

Định lý 2.1.1. Giả sử các hàm f, h thuộc không gian L1 (R+ ). Khi đó, tích
chập suy rộng (f ∗ h) là một hàm thuộc không gian C0 (R+ ), thoả mãn đẳng
thức Parseval (2.3) và đẳng thức nhân tử hóa (2.4). Hơn nữa, ta có (f ∗ h)
2
thuộc không gian L1 R+ ; 2√πx2x+1 và ước lượng chuẩn sau đây thoả mãn
(f ∗ h)

f

2
L1 R+ ; √π 2x
2

L1 (R+ )

h

L1 (R+ ) .

(2.8)

x +1

Định lý 2.1.2. Giả sử các hàm f, h thuộc không gian L2 (R+ ). Khi đó, tích

chập suy rộng (f ∗ h) là một hàm thuộc không gian C0 (R+ ), thoả mãn đẳng
4 2
thức Parseval (2.3). Hơn nữa, ta có (f ∗ h) thuộc không gian L2 (R+ ; π 2x ) và
ước lượng chuẩn sau đây thoả mãn
(f ∗ h)

f

4 2

L2 (R+ ; π 2x )

L2 (R+ )

h

L2 (R+ ) .

(2.11)

Đẳng thức nhân tử hoá (2.4) đúng nếu thêm giả thiết f ∈ L1 (R+ ).
Định lý 2.1.3. Giả sử hàm f thuộc không gian L2 (R+ ), hàm h thuộc không
gian L1 (R+ ). Khi đó, tích chập suy rộng (f ∗ h) là một hàm thuộc không gian
C0 (R+ ), thoả mãn đẳng thức Parseval (2.3) và đẳng thức nhân tử hóa (2.4).
4 2
Hơn nữa, ta có (f ∗ h) thuộc không gian L2 R+ ; 2√πxx2 +1 và ước lượng chuẩn
sau đây thoả mãn
(f ∗ h)

f

π 4 x2
L2 R+ ; √
2
2

x +1

9

L2 (R+ )

h

L1 (R+ ) .

(2.15)


Định lý 2.1.4. Giả sử hàm f thuộc không gian Lp (R+ ), hàm h thuộc không
gian Lp1 (R+ ), với p > 1 và p1 là số mũ liên hợp của p. Khi đó, tích chập suy
rộng (f ∗ h) là hàm liên tục bị chặn. Hơn nữa, với mọi r 1, (f ∗ h) thuộc
r
, và
không gian Lr R+ ; r 2x
2
π
(f ∗ h)

2.1.3

r

Lr (R+ ;r( π2x2 )

f

)

Lp (R+ )

h

Lp1 (R+ ) .

(2.17)

Tính không có ước của không

Định lý 2.1.5 (Định lý kiểu Titchmarsh). Giả sử f, h là các hàm liên
tục, thuộc không gian L1 (R+ ; ex ). Nếu có (f ∗ h)(x) ≡ 0, x ∈ R+ thì f (x) ≡
0, x ∈ R+ , hoặc h(x) ≡ 0, x ∈ R+ .

2.2

Biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng
Kontorovich-Lebedev - Fourier

Chúng tôi giới thiệu toán tử vi phân bậc vô hạn sau đây



d2
d
−x 2 
x x−
N 
dx
dx 

D∞ = lim DN = lim
1 +
.
N →∞
N →∞
k2



(2.22)

k=1

Bây giờ, ta xét biến đổi tích phân kiểu TCSR Kontorovich-Lebedev - Fourier:
Th : L2 (R+ ) −→ L2 (R+ ; x),
f −→ g,
trong đó g xác định bởi công thức

∞
1 ∞ x
g(x) = Th [f ](x) = D

x
π2
0

∞


K(x, τ, θ)f (τ )h(θ)dτ dθ .

(2.24)

0

Định lý 2.2.1. Giả sử hàm h thuộc không gian L1 (R+ ). Phép biến đổi tích
phân Th là đẳng cấu, đẳng cự giữa hai không gian L2 (R+ ) và L2 (R+ ; x) khi
và chỉ khi h thỏa mãn điều kiện
π4θ
|(Fc h)(θ)| =
.
2 sinh πθ
2

10

(2.25)


Hơn nữa, ta có công thức biến đổi ngược
1 d
f (x) = − 2

π dx

∞

k=1

1 d2
1− 2 2
k dx

∞ ∞

(e−θ cosh(x−τ ) + e−θ cosh(x+τ ) )h(τ )g(θ)dτ dθ.
0

0

(2.26)

2.3

Phương trình vi-tích phân liên quan TCSR

Tiếp theo, ta xét một lớp phương trình vi-tích phân liên quan đến toán
tử vi phân bậc vô hạn (2.24) được viết gọn
(f ∗ ϕ)(x) + Th [f ](x) = g(x),
3

với h ∈ L1 (R+ ), ϕ, g ∈ L2 (R+ ; x) là các hàm đã cho thoả mãn
2y sinh πyKL[g](y)

∈ L2 (R+ );
π 2 (Fs ϕ)(y) + sinh πy(Fc h)(y)

y −1 (Fs ϕ)(y) ∈ L2 (0; 1),

f là hàm cần tìm. Ta nhận được nghiệm của phương trình trong không gian
L2 (R+ )
∞

f (τ ) =

2
π

2y sinh πyKL[g](y)
sin τ ydy.
π 2 (Fs ϕ)(y) + sinh πy(Fc h)(y)
0

Kết luận Chương 2
Các kết quả chính đạt được:
• Xây dựng tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine Fourier cosine. Chứng minh sự tồn tại và tính bị chặn, đẳng thức nhân
tử hoá, đẳng thức Parseval, tính không có ước của không của tích chập
suy rộng này.
• Xác định được điều kiện cần và đủ để biến đổi tích phân kiểu tích chập
suy rộng là đẳng cấu, đẳng cự giữa hai không gian L2 (R+ ) và L2 (R+ ; x).
• Cho công thức nghiệm đóng của một lớp phương trình vi-tích phân.
11

Chương 3
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG
KONTOROVICH-LEBEDEV
Trong chương này, chúng tôi xây dựng một số bất đẳng thức kiểu Young,
kiểu Saitoh đối với tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier được
giới thiệu ở chương 1 và chương 2 trên một lớp các không gian hàm Lp (R+ )
với trọng. Ngoài ra, chúng tôi cũng nhận được bất đẳng thức đối với tích
chập Kontorovich-Lebedev, từ đó nhận được một số ước lượng về nghiệm
của phương trình vi-tích phân có liên quan đến toán tử Bessel. Các kết quả
chính của chương này là Định lý 3.1.1, 3.1.2, 3.2.1, 3.2.2, 3.3.1. Nội dung của
chương này dựa vào một phần của các bài báo [2, 3, 4] trong Danh mục
công trình đã công bố của Luận án.

3.1

Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng
Kontorovich-Lebedev - Fourier

3.1.1

Bất đẳng thức kiểu Young

Định lý 3.1.1 (Định lý kiểu Young). Cho các số thực dương p, q, r lớn
hơn 1 thoả mãn p1 + 1q + 1r = 2. Khi đó, với các hàm số f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R+ ),
−x

h ∈ Lr R+ ; xe1+kr , k >

r−1
r ,

ta có

∞

(f ∗ g)(x) · h(x)dx

4
Ck,r f
π2

Lp (R+ )

g

Lq (R+ )

h

−x

Lr (R+ ; xe1+kr )

.

(3.1)

0

Ở đây,

Ck,r = Γ 1 +

kr
r−1

+ Γ −1 +

kr
.
r−1

(3.2)

Hệ quả 3.1.1 (Bất đẳng thức kiểu Young). Cho p, q, r là các số thực
lớn hơn 1 thoả mãn p1 + 1q = 1 + 1r . Giả sử f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R+ ). Khi đó ta
12


có bất đẳng thức kiểu Young đối với tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev
−x
- Fourier sine - Fourier cosine trên không gian Lr (R+ ; γ), với γ(x) = xe1+kr ,
k > r−1
r , như sau
f ∗g

3.1.2

Lr (R+ ;γ)

4

Ck,r f
π2

≤

Lp (R+ )

g

Lq (R+ ) .

(3.9)

Bất đẳng thức kiểu Saitoh

Định lý 3.1.2. Cho hai hàm không triệt tiêu ρ1 , ρ2 sao cho tích chập suy
rộng (ρ1 ∗ρ2 )(x) xác định trên R+ . Khi đó, với hai hàm bất kỳ F1 ∈ Lp (R, |ρ1 |)
và F2 ∈ Lp (R, |ρ2 |), p > 1, ta có bất đẳng thức kiểu Saitoh đối với tích chập
suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier cosine trên không gian
Lp (R; |ρ|)
1

(F1 ρ1 )∗(F2 ρ2 ) · (ρ1 ∗ρ2 ) p −1

Lp (R+ ;|ρ|)

≤ ρ

1
p

L1 (R+ ;A(x))

với hàm trọng ρ ∈ L1 (R+ ; A(x)), A(x) =

3.2

F1

Lp (R+ ;|ρ1 |)

F2

Lp (R+ ;|ρ2 |) ,

(3.12)

√
2 x2 +1 −x
π2 x e .

Bất đẳng thức đối với tích chập KontorovichLebedev

3.2.1

Bất đẳng thức kiểu Young

Mệnh đề 3.2.1 (Định lý kiểu Young ). Cho các số thực p, q, r lớn hơn 1
thoả mãn p1 + 1q + 1r = 2. Khi đó, với f ∈ Lp (R+ ; xp−1 ), g ∈ Lq (R+ ; xq−1 ) và
h ∈ Lr R+ ; Kx0 (x)

r

ta có bất đẳng thức

∞

(f ∗ g)(x)h(x)dx ≤ 2
KL

1−r
r

f

Lp (R+ ;xp−1 )

g

Lq (R+ ;xq−1 )

h

Lr (R+ ;

K0 (x)
xr

).

0

(3.19)
Mệnh đề 3.2.2 (Bất đẳng thức kiểu Young). Cho p, q, r là các số thực
lớn hơn 1 thoả mãn p1 + 1q = 1 + 1r . Giả sử f ∈ Lp (R+ ; xp−1 ), g ∈ Lq (R+ ; xq−1 ).
13


Khi đó, ta có bất đẳng thức kiểu Young đối với tích chập Kontorovich-Lebedev
xr
trên không gian Lr (R+ ; γ), với γ(x) = (K0 (x))
r−1
(f ∗ g)
KL

3.2.2

1

Lr (R+ ;γ)

≤ 2− r f

Lp (R+ ;xp−1 )

g

Lq (R+ ;xq−1 ) .

(3.25)

Bất đẳng thức kiểu Saitoh

Mệnh đề 3.2.3. Cho hai hàm không triệt tiêu ρ1 , ρ2 sao cho (ρ1 ∗ ρ2 )
KL

xác định trên R+ . Khi đó, với hai hàm bất kỳ F1 ∈ Lp (R+ , |ρ1 |) và F2 ∈
Lp (R+ , |ρ2 |), p > 1, ta có bất đẳng thức kiểu Saitoh đối với tích chập KontorovichLebedev trên không gian Lp (R+ ; |ρ|)
1

((F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 ))(ρ1 ∗ ρ2 ) p −1
KL

KL

≤ ρ

Lp (R+ ;|ρ|)
1
p
−x

L1 (R+ ; e2x dx)

F1

Lp (R+ ;|ρ1 |)

F2

Lp (R+ ;|ρ2 |)

(3.27)

−x

với ρ(x) ∈ L1 R+ ; e2x .

3.2.3

Bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược

Kí hiệu
ϕ(τ ) = e

−

τ3
1
3 + 6τ 3

(3.35)

Định lý 3.2.1. Cho ρ1 và ρ2 là các hàm dương thoả mãn (ρ1 ∗ ρ2 ) xác định
KL

trên R+ . Giả sử F1 ∈ Lp (R+ ; ρ1 ϕ) và F2 ∈ Lp (R+ ; ρ2 ϕ), p > 1, là các hàm số
thoả mãn
1

1

1

1

m1p ≤ F1 (x) ≤ M1p < ∞, m2p ≤ F2 (x) ≤ M2p < ∞, ∀x ∈ R+ ,

(3.36)

với m1 , m2 , M1 , M2 là các hằng số dương, ϕ(τ ) được xác định theo (3.35).
Khi đó ta có bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược đối với tích chập KontorovichLebedev trên không gian Lp (R+ )
1

||((F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 ))(ρ1 ∗ ρ2 ) p −1 ||Lp (R+ ) ≥
KL

≥

1
K0
3

KL

√

2
3

1

p

Ap,p1

m1 m2
M1 M2

−1

F1

Lp (R+ ;ρ1 ϕ)

F2

Lp (R+ ;ρ2 ϕ) ,

(3.37)

với p1 là số mũ liên hợp của p, Ap,p1 (t) được xác định bởi công thức (1.6).
14


Định lý 3.2.2. Cho hàm ϕ xác định bởi (3.35) và f ∈ Lp (R+ ; ϕ), g ∈ Lp (R+ ; ϕ),
p > 1, thoả mãn điều kiện
0 < f (x) ≤ M < ∞, 0 < g(x) ≤ N < ∞, x > 0.

(3.42)

Khi đó, ta có ước lượng địa phương

(f ∗ g)(x) ≥
KL

ϕ(x)
f
(M.N )p−1 2x

p
Lp (R+ ;ϕ)

g

p
Lp (R+ ;ϕ) , x

∈ R+ ,

(3.43)

và bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược đối với tích chập Kontorovich-Lebedev
trên không gian Lr (R+ ), r > p,
√

5+r
6

2 K 1−r
( 32r )
3
3(M N )r(p−1)

||(f ∗ g)||Lr (R+ ) ≥
KL

3.3

1
r

f

Lp (R+ ;ϕ)

g

Lp (R+ ;ϕ) .

(3.44)

Phương trình vi-tích phân liên quan toán
tử Bessel

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu một lớp phương trình vi-tích phân
có dạng
∞ ∞

1
f (x) + B
2x

e− 2 ( x + θ + τ ) f (τ )h(θ)dτ dθ = g(x), x ∈ R+ .
1

0

τθ

τx

θx

(3.62)

0

Định lý 3.3.1. Cho g ∈ L2 (R+ ; x) và h ∈ L0 (R+ ), thỏa mãn điều kiện
1 − y 2 KL[h](y) = 0, ∀y > 0,

(3.63)

y 2 KL[h](y) ∈ L2 (R+ ; y sinh πy).

(3.64)

Nếu h thoả mãn điều kiện
KL−1 (y 2 KL[h](y)) = h1 (y) ∈ L0 (R+ ).

(3.65)

thì phương trình (3.62) có nghiệm duy nhất trong không gian L0 (R+ ) ∩

L2 (R+ ; x) và được biểu diễn dưới dạng tích chập
f (x) = g(x) + (g ∗ l)(x),
KL

15

(3.66)


với l xác định duy nhất
y 2 KL[f ](y)
= KL[l](y).
1 − y 2 KL[h](y)

(3.67)

Nếu các hàm g, l thoả mãn
g, l ∈ Lp (R+ ; ϕ(x)); 0 < g(x) ≤ M < ∞, 0 < l(x) ≤ N < ∞, ∀x > 0, (3.68)
thì ta nhận được ước lượng
f (x) ≥ g(x) +

ϕ(x)
g
(M.N )p−1 2x

Lp (R+ ;ϕ(x))

l

Lp (R+ ;ϕ(x)) , x

> 0.

(3.69)

Với các điều kiện (3.63), (3.64), (3.65), (3.68), ta có
i) công thức tiệm cận của nghiệm
f (x) = g(x) 1 + O

1
x

, x → ∞.

(3.70)

nếu thêm giả thiết g, l ∈ L1 (R+ ).
ii) ước lượng chuẩn
f

L2p (R+ ;xp )

1−p

≥ 2(M N )

g

Lp (R+ ;ϕ(x))

g

p
Lp (R+ ;(ϕ(x))p )

l

p
Lp (R+ ;ϕ(x))

1
2

(3.71)
nếu thêm giả thiết g ∈ Lp (R+; (ϕ(x))p ) và f ∈ L2p (R+ ; xp ).

Kết luận Chương 3
Các kết quả chính đạt được:
• Xây dựng được bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh
ngược đối với tích chập Kontorovich-Lebedev - Fourier.
• Xây dựng được bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh
ngược đối với tích chập Kontorovich-Lebedev.
• Nhận được điều kiện để giải một lớp phương trình vi-tích phân và ước
lượng nghiệm của lớp phương trình này.
16


Chương 4
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một số ứng dụng của tích chập

suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier trong lý thuyết nhiễu xạ và phương
trình đạo hàm riêng. Biểu diễn các đại lượng như trường nhiễu xạ sóng âm, thế
Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ theo tích chập suy rộng KontorovichLebedev - Fourier. Từ đó nghiên cứu bài toán xác định hàm phổ, ước lượng
giá trị biên độ, dáng điệu tiệm cận, tính bị chặn trên các không gian Lebesgue
Lp của các đại lượng này. Sử dụng biến đổi Kontorovich-Lebedev để nghiên
cứu một lớp phương trình parabolic có sự tham gia của hàm cần tìm trong
hạng tử tích phân và nhận được công thức nghiệm cũng như ước lượng nghiệm
cho bài toán này.
Các kết quả chính của chương này là các Mệnh đề 4.1.1, 4.2.1, 4.3.1 và các
Định lý 4.1.1, 4.2.1, 4.2.2, 4.3.1.
Nội dung chính của chương này dựa vào một phần của các bài báo [1, 2, 3,
4] trong Danh mục công trình đã công bố của Luận án.

4.1

Trường nhiễu xạ sóng âm với trở kháng
dạng nón

Chúng tôi xét biểu diễn trường nhiễu xạ với trở kháng hình nón tròn
i∞

4
U (kr, ω, ω0 ) = √
i 2π

−i∞

Kν (−ikr)
ν sin πν √
u(ω, ω0 , ν)dν,

−ikr

(4.1)

với u(ω, ω0 , ν) là hàm phổ và thuộc vào một lớp hàm phù hợp.
Đặt ν = iy, y ∈ R.
Mệnh đề 4.1.1. Giả sử u(ω, ω0 , y) ∈ L1 (R+ ; y sinh πy). Khi đó, ta có ước
lượng biên độ của trường nhiễu xạ sóng âm
√
2 2K0 ( (−ikr))
|U (kr, ω, ω0 )| ≤
u(ω, ω0 , ·) L1 (R+ ;y sinh πy) .
(4.4)
π|k|r
17


4.1.1

Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm theo TCSR

Tiếp theo, ta xét trường hợp riêng khi −ikr := x là số thực dương. Khi
1
đó, bằng cách chọn h1 (θ) = cosh
θ , và thế của hàm phổ u là hàm f được xác
2

định theo (Fs f )(y) = sinh (2πy)u(y), ta có
∞
√

−π x 2
U (kr, ω, ω0 ) := U (x) =
yKiy (x)(Fs f )(y)(Fc h1 )(y)dy
2 π2x
0

−π √
x(f ∗ h1 )(x).
(4.6)
=
2
Công thức (4.6) cho ta biểu diễn mới của U (x) theo tích chập suy rộng
Kontorovich-Lebedev - Fourier (2.1).

4.1.2

Tính bị chặn của trường sóng âm trên các không
gian Lp(R+), p ≥ 1

Định lý 4.1.1. Giả sử u là hàm thuộc không gian L2 (R+ ; sinh2 πx). Khi đó,
trường sóng âm U (x) thuộc không gian L1 (R+ ), và ước lượng chuẩn sau đúng
U

L1 (R+ )
√

ở đây, C =

4
π 2 Ck,r Γ

r
2

− kr

1 < q, r < 2, thỏa mãn

1
q

+

C u

πΓ( 2q )

Γ( 1+q
2 )
1
3
r = 2 , và

L2 (R+ ;sinh2 πx) ,

(4.7)

1
q

, với Ck,r xác định bởi công thức (3.2),
1
k ∈ ( r−1
r ; 2 ).

Giả sử rằng f = F1 ρ1 , h1 = F2 ρ2 , với ρ1 (τ ) = 1; ρ2 ∈ L1 (R+ ), chọn
p
1
ρ(x) = x1+ 2 , ρ2 (θ) = cosh
θ , ta nhận được ước lượng
2

U

4.1.3

Lp (R+ ;xp e(p−1)x )

≤π

2− p4

2

1
2p

p
p
2Γ(1 + ) + Γ(3 + )

2
2

1
p

F1

Lp (R+ ) .

(4.13)

Ước lượng tại lân cận đỉnh nón

Ta tiếp tục xét trường nhiễu xạ sóng âm trong trường hợp thế của hàm
phổ g được xác định bởi (Fc g)(t) = sinh (2πt)u(t).
U

L2 (Rr ;x2 )

≥

r
tanh β e−r cosh α cosh β g
πM

với g ∈ L2 (Rα ), α > 0, β > 0, M = sup g(x) < ∞.
x∈R+

18

2
L2 (Rα ) .


4.2

Thế Debye của nhiễu xạ sóng điện từ

Mệnh đề 4.2.1. Giả sử g{uj ,vj } (ω, ω0 , iy) ∈ L1 (R+ ; sinh πy). Ta có ước lượng
biên độ
√
2 2
s s
| uj , vj | ≤
K0 ( (−ikr)) g{uj ,vj } (ω, ω0 , ·) L1 (R+ ;sinh πy)
|k| π|k|r
1
.
(4.19)
+π|K 21 (−ikr)| g{uj ,vj } ω, ω0 ,
2
Xét trường hợp riêng −ikr = x > 0 tức là arg(−ik) = 0. Chú ý rằng
π −x
K 21 (x) = 2x
e và Kν (x) là hàm chẵn theo ν, thế Debye trong trường hợp
này có thể biểu diễn theo công thức:
∞
2 2  y sinh πy Kiy (x)
√ g{uj ,vj } (ω, ω0 , iy)dy

usj , vjs =
ik π
x
y 2 + 14
0

+π

π e−x
1
g{uj ,vj } ω, ω0 ,
2 x
2

. (4.20)

Ta nhận được ước lượng tiệm cận của thế Debye
2 πy

Định lý 4.2.1. Giả sử g{uj ,vj } (ω, ω0 , iy) ∈ L1 R+ ; yy3e+1 . Ta có

 O ln
√x ,
x → 0+ ,
2π
1
x
s s
g{u ,v } ω, ω0 ,
+

uj , vj =
 O e−x , x → ∞.
ikx j j
2
x

4.2.1

(4.23)

Xác định hàm phổ của thế Debye trường nhiễu
xạ

Trong trường hợp biết dữ liệu của thế Debye, ta có thể tìm được hàm phổ
g{uj ,vj } ω, ω0 , 21 tại iy, xác định theo công thức
g{uj ,vj } (ω, ω0 , iy)
1
ik
= y2 +
KL √
4
2π 3 x
=

1
y +
4

usj , vjs

∞

2

Kiy (x)
0

√

ik
2π 3 x

1
2πi e−x
g{uj ,vj } ω, ω0 ,
+
k x
2
usj , vjs
19

−

(y)

2 e−x
1
g
ω,
ω

,
0
{u
,v
}
π x3/2 j j
2

dx.


4.2.2

Biểu diễn thế Debye trường nhiễu xạ theo tích
chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier

Gọi f{uj ,vj } (ω, ω0 , x) là hàm số thoả mãn
sinh(πy)g{uj ,vj } (ω, ω0 , iy) = (Fs f{uj ,vj } (ω, ω0 , .))(y).
Ta có f{uj ,vj } (ω, ω0 , x) là biến đổi Fourier sine của hàm sinh(πy)g{uj ,vj } (ω, ω0 , iy)
và f{uj ,vj } (ω, ω0 , x) là hàm bị chặn. Nhắc lại kết quả quen thuộc
x

Fc e− 2

(y) =

1
1
.
2π y 2 + 41

Sử dụng công thức (4.20) và (2.3), chúng ta có thể biểu diễn nhiễu xạ thế
Debye theo tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier như sau
√
2
t
2π
x
2π e−x
1
usj , vjs =
(f{uj ,vj } (ω, ω0 , t) ∗ e− 2 )(x) +
g{uj ,vj } ω, ω0 ,
.
ik
ik x
2

4.2.3

Ước lượng địa phương

Định lý 4.2.2. Giả sử g{uj ,vj } (ω, ω0 , iy) ∈ L1 (R+ ; sinh πy). Thế Debye của
trường nhiễu xạ có ước lượng đều trên miền x ∈ R+
usj , vjs

4.3

2πi e−x
1

g{uj ,vj } ω, ω0 ,
+
k x
2
√
8 2
≤ √ g{uj ,vj } (ω, ω0 , iy)
|k| π

e−x
L1 (R+ ;sinh πy) √ . (4.25)
x

Phương trình dạng parabolic

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu phương trình parabolic đã được giới
thiệu ở phần mở đầu
∞

∂
u(x, t) = L[u](x, t) +
∂t

H(u, x, t, θ)u(θ, t)dθ,
0

20

(4.26)

trên miền (x, t) ∈ R+ × R+ với điều kiện ban đầu
u(x, 0) = u0 (x), x > 0.

(4.27)

Ở đây, H(u, x, t, θ) là một hàm nào đó và L là toán tử vi phân cấp hai được
xác định như sau
L[u](x, t) :=

∂2
∂
x
+
3x
+ 1 − x2 u(x, t),
2
∂x
∂x
2

(4.28)

Để nghiên cứu phương trình (4.26), chúng tôi giới thiệu không gian hàm
SKL(R+ ) bao gồm tất cả các hàm u(x, t) sao cho ảnh của hàm u(x, t) theo
biến x qua biến đổi Kontorovich-Lebedev là U (y, t) thỏa mãn
(A1) U (y, t) ∈ L2 (R+ ; (1 + y)6 eπy ), ∀t ∈ R+ ,
(A2) Ut (y, t) ∈ L1 (R+ ; (1 + y)1/2 eπy/2 ), ∀t ∈ R+ .

4.3.1

Phương trình parabolic tuyến tính liên quan tích
chập suy rộng Kontorovich-Lebedev

Trước hết, chúng ta xét phương trình (4.26) trong trường hợp
∞

1
H(u, x, t, θ) =
πx

x2 + θ2 + 2xθ cosh τ Ψ(τ )dτ, x, θ ∈ R+ , (4.30)

K0
0

với Ψ là hàm đã cho. Ta giả sử rằng:
∞

(B1) Ψ ∈ L1 (R+ ) sao cho
∞∞

(B2) u0 (x) =
0 0

Ψ(x)dx ≤ 0.
0

1
−x cosh(τ +θ)

2πx [e

− e−x cosh(τ −θ) ]e−τ f (θ)dτ dθ, x ∈ R+ , với

f ∈ L1 (R+ ) là hàm đã cho.
Định lý 4.3.1. Giả sử Ψ và u0 là các hàm thoả mãn điều kiện (B1)-(B2).
Phương trình dạng parabolic (4.26) với điều kiện ban đầu (4.27) trong trường
hợp H(u, x, t, θ) có dạng (4.30) có nghiệm duy nhất trong không gian hàm
SKL(R+ ) và có công thức dạng tích chập Kontorovich-Lebedev - Fourier
u(x, t) = (f ∗ g(·, t))(x).

(4.32)

Nếu thêm giả thiết f ∈ Lp (R+ ), g(·, t) ∈ Lq (R+ ), ∀t ∈ R+ , với p, q là các số
e−x
thực lớn hơn 1, thoả mãn pq < p + q < 2pq thì ta có u(x, t) ∈ Lr (R+ ; 1+kr
),
21


pq
với r = p+q−pq
và k >
−x
e
gian Lr (R+ ; 1+kr
)

u(x, t)

r−1
r .

Hơn nữa, ta có ước lượng của nghiệm trên không

e−x
Lr R+ ; 1+kr

(

4
≤
) π 2 Ck,r f

Lp (R+ )

g(·, t)

Lq (R+ )

(4.33)

với t ∈ R+ .
Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp
∞

1
H(u, x, t, θ) =
πx

K0

x2 + θ2 + 2xθ cosh τ Ψ (τ )dτ,

(4.49)

0

với Ψ ∈ C 2 (R+ ) là hàm đã cho. Chúng ta giả sử rằng:
(C1) Ψ, Ψ ∈ L1 (R+ ) ∩ L2 (R+ ) và Ψ (0) = 0.
(C2) u0 ∈ L2 (R+ ; x) ∩ L2 (R+ ).
Mệnh đề 4.3.1. Giả sử Ψ và u0 là các hàm thoả mãn điều kiện (C1)-(C2).
Phương trình dạng parabolic (4.26) với điều kiện ban đầu (4.27) trong trường
hợp H(u, x, t, θ) có dạng (4.30) có nghiệm duy nhất trong không gian hàm
SKL(R+ ) và có công thức dạng tích chập Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine
u(x, t) = (g1 (·, t) ∗ f ))(x).
(4.60)
1

Nếu thêm giả thiết g1 (·, t) ∈ Lp (R+ ), ∀t ∈ R+ , u0 ∈ Lp (R+ ; ρ2 (θ))1−p K0 (θ)),
p là số thực lớn hơn 1, ρ2 (x) ∈ L1 (R+ ; K0 (vθ)), thì ta có ước lượng của nghiệm
trên không gian Lp (R+ ; xp K01−p (x))
u(x, t)

Lp (R+ ;xp K01−p (x))

≤

1
ρ2

π

p1
L1 (R+ ;K0 (θ))

g1 (·, t)

Lp (R+ )

u0

Lp (R+ ;(ρ2 (θ))1−p K0 (θ)) ,

(4.61)

với p1 là số mũ liên hợp của p.

4.3.2

Phương trình parabolic phi tuyến liên quan tích
chập Kontorovich-Lebedev

Cuối cùng, ta xét trường hợp
∞

1
H(u, x, t, θ) =
2x

1 τθ

τx

θx

e− 2 ( x + θ + τ ) u(τ, t)dτ,
0

22

(4.62)


với u(x, t) thuộc lớp C 2,1 (R2+ ) và u(x, t) ∈ SKL(R+ ).
Xét điều kiện ban đầu
u(x, 0) = u0 (x),

x ∈ R+ ,

(4.64)
2

y
với u0 ∈ L0 (R+ ) và tồn tại số thực dương C sao cho KL[u0 ](y) ≤ 1+C
.
Do đó, bằng tính toán đơn giản ta nhận được nghiệm của phương trình
trên là
y2
U (y, t) =
,

(4.72)
1 + C(y)ey2 t
2

với C(y) = KL[uy 0 ](y) − 1 ≥ C > 0. Từ đó, ta tính được u(x, t) theo công thức
biến đổi ngược Kontorovich-Lebedev.

Kết luận Chương 4
Các kết quả chính đạt được:
• Nhận được ước lượng biên độ của trường nhiễu xạ sóng âm U (x). Biểu
diễn U (x) theo tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier và
nhận được ước lượng theo chuẩn của U (x) trên các không gian Lp với
trọng.
• Nhận được ước lượng biên độ của thế Debye trường nhiễu xạ sóng điện
từ usj , vjs . Biểu diễn usj , vjs theo tích chập suy rộng KontorovichLebedev - Fourier, tìm được ước lượng địa phương của thế Debye và
xác định hàm phổ với dữ liệu cho trước.
• Xây dựng công thức nghiệm dạng tích chập, tích chập suy rộng
Kontorovich-Lebedev của một lớp phương trình dạng parabolic và đánh
giá chuẩn của nghiệm trên các không gian Lebesgue.

23