SKKN Toan 9

A. Đặt vấn đề
Hiện nay, trong các trờng THCS vấn đề giảng dạy kiến thức cơ bản, nâng
cao cho học sinh lớp 9 để các em có một nền tảng vững chắc khi bớc vào PTTH là
một vấn đề đang đợc quan tâm đặc biệt. Đây là một trong những nhiệm vụ quan
trọng của công tác giảng dạy đồng thời là nỗi khó khăn cho những giáo viên giảng
dạy lớp 9.
Đối với riêng bộ môn toán, vấn đề trên lại càng phức tạp bởi đây là một
môn học khó, kiến thức đa dạng, phong phú rất rộng. Với khả năng khiêm tốn của
mình, là một giáo viên nhiều năm dạy lớp 9, tôi nhận thấy phần giải hệ phơng trình
bậc nhất hai ẩn là một phần quan trọng trong chơng trình đại số lớp 9. Tuy nhiên
để thấy đợc điều đó thì phải bắt đầu bằng việc năn vững những dạng bài tập cơ bản
và thông qua đó học sinh sẽ đợc tiếp cận các dạng và phát triển, nâng cao thêm
năng lực và t duy, các kỹ năng tính toán, lòng say mê nghiên cu khoa học.
Trong thế giới nhỏ bé của đề tài này, tôi xin đợc hệ thống hoá lại các kiên
thức về phần giải hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn số và đa ra một số phơng pháp thích
hợp để giải các bài tập về phần này, nhằm giúp học sinh nắm vững kiến thức và có
kỹ năng giải các bài tập một cách nhanh chóng và có hiệu quả tốt.
B. Nội dung nghiên cứu
I. Lý do chọn đề tài:
Làm thế nào để học sinh có thể tự mình tìm ra đợc đờng lối giải một bài
toán? Đó là nghệ thuật của mỗi ngời thầy và cũng là một trong những yêu cầu cấp
bách trong việc đổi mới phơng pháp dạy và học hiện nay. Chúng ta vẫn biết rằng
không thể có một đờng lối nào, một cách giải nào đợc nảy ra từ một nền tảng trông
không hoặc nghèo nàn của tri thức. Chính vì vậy khi dạy về giải hệ phơng trình
bậc nhất hai ẩn đòi hỏi học sinh phải nắm vững định nghĩa, các tính chất, các điều
kiện tồn tại. Đồng thời học sinh cũng phải biết biến đổi các phép toán một cách
thành thạo và phải biết lựa chọn phơng pháp giải thích hợp lý đối với từng bài.
Để giúp cho việc học tập phần này của học sinh đợc thuận lợi hơn, tôi xin
trình bày toàn bộ hệ thống kiến thức các dạng bài tập cơ bản đối với phơng pháp
cụ thể sau đây.
1

II. Cơ sở lý luận:
Trớc biết học sinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản về hệ phơng trình
nh sau:
1. Định nghĩa:
Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn số:
ax + by = c và
a x + b y = c

Mỗi phơng trình đều có vô số nghiệm. Nghiệm chung vủa hai phơng trình đợc gọi
là nghiệm của hệ phơng tình bậc nhất hai ẩn .
(I)
1
2
ax + by = c ( )
a x + b y = c ( )




2. Nghiệm và số các nghiệm của hệ , ý nghĩa hình học:
Mỗi phơng trình (1) hoặc (2) của hệ trên là một đờng thẳng trên mặt phẳng
toạ độ.
Mỗi nghiệm (1) hoặc (2) là toạ độ (x, y) của 1 điểm thuộc đờng thẳng (1)
hoặc (2).
Nh vậy nghiệm của hệ phải là cặp (x, y) nghiệm đúng cả (1) và (2)

Đó là toạ độ (x, y) của các điểm chung của hai đờng thẳng (1) và (2) đợc vẽ
trên cùng một hệ trục toạ độ. Và số nghiệm của hệ là số điểm chung của 2 đờng
thẳng (1) và (2) đó.
VD1: Giải hệ phơng trình:

5x - 2y = 12 (3)
4x + y = 7(4)




Ta vẽ 2 đờng thẳng 5x 2y = 12 và 4x + y = 7.
Đây là đồ thị hàm số : y =
+ 5
x - 6
2
và y = - 4x + 7.
Có:
1
=
5
a
2
và
2
a - 4=
và
1 2
a a
.
Và chúng cắt nhau tại điểm . M (2; -1).
Vậy nghiệm của chúng là:
x = 2
y = -1

.
Nghiệm của hệ trên là duy nhất
(Vì 2 đờng thẳng phân biệt nếu cắt nhau
thì chỉ cắt duy nhất tại 1 điểm).
2
7
(3)
Để minh hoạ cnghiệm và số nghiệm của
hệ phơng trình ta xét thêm 2 ví dụ nữa.
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:
4x - 2y = 1 (5)
2x - y = 3 (6)



.
Vẽ hai đờng thẳng 4x 2y = 1 và 2x y = 3.
Đây là đồ thị của hai hàm số:
y = 2x -
1
2
và y = 2x 3.
Hai đờng thẳng (5) và (6) có cùng hệ số góc a = 2 và trung độ gốc khác nhau. Vậy
cúng song song với nhau. Do đó 2 đờng thẳng không có điểm chung.
Hệ phơng trình vô nghiệm
x + y = 1 (7)
4x + 2y = 2 (8)

Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình:
Vẽ 2 đờng thẳng:
X + y =1 và 4 x + 2y = 2.
Đó là đồ thị hàm số: y = - x + 1.
Hai đờng thẳng (7) và (8) trùng nhau
=> có vô số điểm chung.
Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm.

* Hỏi oanh chèn tiếp vào đây có đúng ko?
3. Giải hệ phơng trình nhiều ẩn đơn giản.
3
-6
M(2; -1)
-1
2
1/4
-1/2
3/2
-3
-2
-1
1
1
(7);(8)
(6)
(4)
Ví dụ:
(1)

x = 2 + z
y = 2 + 3z
z - 3x - 2y = -2





(2)
x + 2y = 3z=11
2x + 3y + z= -2
3x + y + 2z = 3





.
Loại hệ này gồm 3 hay 4 phơng trình với 3 hay 4 ẩn số.
Với loại này ta có thể rút 1 ẩn bất kỳ từ một phơng trình nào đó thế vào các
phơng trình còn lại. Khi còn 2 phơng trình với 2 ẩn số ta sẽ áp dụng phơng pháp
cộng hoặc phơng pháp thế để giải.
4. Một số hệ phơng trình bậc cao:
Loại hệ này sau khi giải ta có thể đợc nhiều nghiệm với nhiều cách giải phải
biến đổi dựa vào định lý Viết hoặc đặt ẩn phụ sao cho sau đó đa về một dạng
quen thuộc:
{
x + y = s
x . y = p
.

Theo định lý viết đảo thì x, y là nghiệm của phơng trình: X
2
SX + P = 0
với 2 khả năng sau:
* Nếu S
2
- 4P

0 thì nghiệm của hệ phơng trình là:
2


1 1
2

1 2
S - S - 4p
x = X =
2
S + S - 4P
y = X =
2

2

2
2
2
1
2
S + S - 4p
x = X =
2
S - S - 4P
y = X =
2







.
* Nếu S
2
4P < 0 hệ phơng trình đã cho là vô nghiệm.
Ví dụ: Giải các hệ phơng trình sau:
(1)
x + y = 5
x . y = 6

(2)
2 2
x + y - xy = 5
x + y = 5



.
Tóm tắt cách giải:
(1): x và y là nghiệm của phơng trình : X
2
5X +6 = 0.
--->
x = 3
y = 2



Hoặc
x = 2
y = 3



.
(2)
2 2
2
x + y - xy = 5 x + y - xy = 5

x + y = 5
(x + y) - 2xy = 5






.
Đặt: x + y = a và x.y = b.
4
Hệ trở thành:
{
2
a - b = 5

a - 2b = 5
.
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thể tìm đợc a, b. áp dụng cách giải nh hệ (1)
tìm đợc x,y.
5. Giải và biện luận hệ phơng trình bậc nhất với hệ số chữ.
- Hệ phơng trình loại này học sinh phải ôn tập và nắm vững điều kiện để hệ
có nghiệm, Vô số nghiệm hay vô nghiệm.
- Giải và biện luận phơng trình bậc nhất có hệ số chữ học sinh phải làm
thành thạo.
- Học sinh dựa vào 3 cách giait hệ phơng trình trên để giải .
Ví dụ 1: Tìm a để hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
x + y = 4
ax + 2y = 0

.
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
1 1
a 2
a 2

.
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình:
2
2mx + m y = 3
2x + my = 3



.
Vô nghiệm? Vô số nghiệm?
Giải
2
2mx + m y = 3 (1)
2x + my = 3 (2)



.
C1: Hệ trên vô nghiệm


2

2m m 3
=
2 m 3




m 1
.
Tơng tự hệ trên có vô số nghiệm khi và chỉ khi : m = 1.
C2: Từ (2) => x =
3 - my
2
.
Thay vào (1): 2m.
3 - my
2
+ m y = 3
2

3m m
2
y + m
2
y = 3
oy = 3m 3 (*)
+ Hệ đã cho có vô số nghiệm

(*) có vô số nghiệm.

m = 1.
+ Hệ đã cho vô nghiệm

(*) vô nghiệm

m

1.
5