Hinh hoc 12 ky II T 30-34

Tiết 30,31,32,33
Đ 2. phơng trình mặt phẳng
I/ Mục tiêu
1. Kiến thức
- Hiểu đợc khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
- Nắm đợc khái niệm tích có hớng của hai vectơ
- Biết phơng trình tổng quát của mặt phẳng, điều kiện vuông góc hoặc song song của hai mặt
phẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
2. Kĩ năng
- Xác định đợc vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
- Biết cách viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng và tính đợc khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng
- Xác định đợc vị trí tơng đối của hai mặt phẳng
3. T duy, thái độ
- Rèn kĩ năng t duy tính toán hình học
- Giáo dục tính chính xác, khoa học
II/ Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
Giáo viên: Bảng phụ hình 3.7, 3.8, mô hình mặt phẳng
Học sinh: Ôn tập kiến thức có liên quan (Tích vô hớng, cách xác định mặt phẳng...)
III/ Tiến trình bài dạy học
Tiết 30
Ngày dạy: Lớp C1
Lớp C2
Lớp C3
1. Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi: Nêu các cách xác định mặt phẳng
2. Bài mới
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung
Hoạt động 1: Định nghĩa vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng
Giáo viên

- Nêu định nghĩa vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng
- Yêu cầu học sinh nhận xét vectơ
kn
r
với
0k
Học sinh
- Đọc hiểu định nghĩa vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng
- Nhận xét vectơ
kn
r
với
0k

I/ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa: Cho mặt phẳng
( )

. Nếu vectơ
n
r

khác vectơ
0
r
và có giá vuông góc với mặt phẳng
( )

thì
n
r
đợc gọi là vectơ pháp tuyến của
( )

Chú ý: Nếu
n
r
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )

thì
kn
r
với
0k
cũng là vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng
( )

Bài toán : Trong không gian Oxyz cho mặt
Hoạt động 2: Giải bài toán xác định
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Giáo viên
- Đọc bài toán và hớng dẫn học sinh xác
định cách giải
- Hớng dẫn học sinh giải bài toán
- Nêu khái niệm tích có hớng (hay tích
vectơ) và kí hiệu

- Hớng dẫn học sinh cách tính tích có hớng
của hai vectơ không cùng phơng
- Lấy ví dụ minh hoạ
Học sinh
- Đọc hiểu bài toán và xác định cách giải
theo hớng dẫn
- Giải bài toán
- Ghi nhớ khái niệm và kí hiệu của tích có
hớng (hay tích vectơ)
- Ghi nhớ cách tính tích có hớng của hai
vectơ không cùng phơng
- Giải ví dụ minh hoạ
phẳng
( )

và hai vectơ không cùng phơng
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; , ; ;a a a a b b b b= =
r r
có giá song song
hoặc nằm trong mặt phẳng
( )

. Chứng minh
rằng mặt phẳng
( )

nhận vectơ

( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
; ;n a b a b a b a b a b a b=
r
làm vectơ pháp tuyến
Giải: Ta có
( ) ( ) ( )
1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1
.a n a a b a b a a b a b a a b a b= + +
r r
1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1
0a a b a a b a a b a a b a a b a a b= + + =
Tơng tự
. 0b n =
r r
Do đó vectơ
n
r
vuông góc với cả hai vectơ
a
r
và
b
r
Tức là giá của vectơ
n
r
vuông góc với hai đờng
thẳng cắt nhau của mặt phẳng
( )

(là giá của hai
vectơ
a
r
và
b
r
)
=> Giá của vectơ
n
r
vuông góc với mp
( )


Vì
a
r
và
b
r
không cùng phơng nên các toạ độ của
n
r
không đồng thời bằng 0 hay
0n
r r
Vậy vectơ
n

r
là một vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng
( )

Vectơ
n
r
xác định nh trên đợc gọi là tích có h-
ớng (hay tích vectơ) của hai vectơ
a
r
và
b
r
Kí hiệu :
n a b=
r r r
hoặc
,n a b

=

r r r
Ví dụ1: Trong không gian Oxyz cho ba điểm
( ) ( ) ( )
2; 1;3 , 4;0;1 , 10;5;3A B C
Hãy tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (ABC)
Giải: Ta có

( )
2;1; 2AB =
uuur
và
( )
12; 6;0AC =
uuur
=>
( )
12; 24; 24n AB AC= =
r uuur uuur
là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng (ABC)
L u ý : Có thể chọn
( )
1;2; 2n =
r
Ví dụ 2: Hãy tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng
( )

biết
( )

đi qua hai điểm
( ) ( )
1; 2; 1 , 2; 1;1A B
và song song với trục Ox
Giải: Ta có
( )

1; 3;2AB =
uuur
và
( )
1;0;0i =
r
không
cùng phơng có giá song song hoặc nằm trên
( )


nên
( )
0; 2;3n AB i= =
r uuur r
là một vectơ pháp tuyến
của
( )

3. Củng cố: Chọn phơng án đúng
Cho ba vectơ
( )
3;0;1a =
r
,
( )
1; 1; 2b =
r
và
( )

2;1; 1c =
r
1. Tích
a b
r r
là vectơ có toạ độ
A.
( )
1; 7; 3
B.
( )
1;7; 3
C.
( )
1;7;3
D.
( )
1;7;3
2. Tích
( )
a b c+
r r r
là vectơ có toạ độ
A.
( )
2; 2; 6
B.
( )
2; 2; 6
C.

( )
2; 2;6
D.
( )
2; 2; 6
4. Hớng dẫn học bài: Rèn luyện kĩ năng xác định tích có hớng của hai vectơ
Tiết 31
Ngày dạy: Lớp C1
Lớp C2
Lớp C3
1. Kiểm tra bài cũ (không)
2. Bài mới
Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung
Hoạt động 3: Giải bài toán 1 và 2
Giáo viên
- Nêu và hớng dẫn học sinh giải bài toán 1
- Nêu và hớng dẫn học sinh giải bài toán 2
(Điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
với
( )
0
0
D
x A
A
=
và

0 0
0y z= =
)
Học sinh
- Đọc hiểu yêu cầu và giải bài toán 1 theo h-
ớng dẫn
- Đọc hiểu yêu cầu và giải bài toán 2 theo h-
ớng dẫn
II/ Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho mặt
phẳng
( )

đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và nhận
( )
; ;n A B C=
r
làm vectơ pháp tuyến. Chứng
minh rằng: điều kiện cần và đủ để điểm
( )
; ;M x y z
thuộc mặt phẳng
( )

là
( ) ( ) ( )

0 0 0
0A x x B y y C z z + + =
Giải: Ta có
( )
0 0 0 0
; ;M M x x y y z z=
uuuuuur
Vì
( )
M


nên
( )
0 0
M M n M M


r uuuuuur
0
. 0n M M =
r uuuuuur
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z + + =
Bài toán 2: Trong không gian Oxyz, chứng
minh rằng tập hợp các điểm
( )
; ;M x y z
thoả

mãn phơng trình
0Ax By Cz D+ + + =
(trong đó
2 2 2
0A B C+ +
) là một mặt phẳng nhận vectơ
( )
; ;n A B C=
r
làm vectơ pháp tuyến
Giải: Ta lấy điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
sao cho
Hoạt động 4: Phơng trình tổng quát của
mặt phẳng
Giáo viên
- Nêu định nghĩa phơng trình tổng quát của
mặt phẳng
- Hớng dẫn học sinh xác định vectơ pháp
tuyến từ phơng trình tổng quát và cách viết ph-
ơng trình tổng quát của mặt phẳng nếu biết
điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến của nó
- Lấy ví dụ minh hoạ
Học sinh
- Ghi nhớ định nghĩa phơng trình tổng quát
của mặt phẳng
- Xác định vectơ pháp tuyến từ phơng trình
tổng quát và cách viết phơng trình tổng quát

của mặt phẳng nếu biết điểm đi qua và một
vectơ pháp tuyến của nó theo hớng dẫn
- Giải ví dụ minh hoạ
Hoạt động 5: Xét các trờng hợp đặc biệt của
phơng trình mặt phẳng
Giáo viên
- Treo bảng phụ hình 3.7, 3,8 và hớng dẫn học
sinh xác định đặc điểm của mặt phẳng
( )

:
0Ax By Cz D+ + + =
với
2 2 2
0A B C+ +
trong các trờng hợp
+
0D
=
+
0A
=
+
0A B
= =
và
0C


- Yêu cầu học sinh thực hiện hđ 4 và 5 (sgk-

trang 73, 74

0 0 0
0Ax By Cz D+ + + =
Gọi
( )

là mặt phẳng đi qua điểm
0
M
và nhận
( )
; ;n A B C=
r
làm vectơ pháp tuyến. Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
0M A x x B y y C z z

+ + =
( )
0 0 0
0Ax By Cz Ax By Cz + + + + =
0Ax By Cz D + + + =
,
( )
0 0 0
D Ax By Cz= + +
1. Định nghĩa: Phơng trình có dạng
0Ax By Cz D+ + + =

, trong đó
2 2 2
0A B C+ +

đợc gọi là phơng trình tổng quát của mặt
phẳng
Nhận xét:
a) Mặt phẳng
( )

có phơng trình tổng quát

0Ax By Cz D+ + + =

có một vectơ pháp tuyến là
( )
; ;n A B C=
r
b) Mặt phẳng
( )

đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z

và nhận
( )
; ;n A B C=
r

khác vectơ
0
r
làm vectơ
pháp tuyến có phơng trình

( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z + + =
Ví dụ 3: Mặt phẳng
( )

có phơng trình
4 2 6 7 0x y z + =
có một vectơ pháp tuyến là
( )
4; 2; 6n =
r
Ví dụ 4: Lập phơng trình tổng quát của mặt
phẳng (ABC) với

( ) ( ) ( )
2; 1;3 , 4;0;1 , 10;5;3A B C
Giải: Theo ví dụ 1 mặt phẳng (ABC) có một
vectơ pháp tuyến là
( )
1;2; 2n =
r
=> Phơng trình mặt phẳng (ABC) là

( ) ( ) ( )
1. 2 2. 1 2. 3 0x y z + + + =

2 2 6 0x y z + + =
2. Các trờng hợp riêng
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
( )

có
phơng trình
0Ax By Cz D+ + + =
(1)
a) Nếu
0D =
thì
( )

đi qua gốc toạ độ O
b) Nếu
0A =
thì
( )

song song hoặc chứa
trục Ox
Tơng tự:
0B =
=>
( )

song song hoặc chứa trục Oy
0C =
=>
( )

song song hoặc chứa trục Oz
c) Nếu
0A B= =
và
0C
thì
( )

song song
hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy)
Tơng tự:
- Nêu khái niệm phơng trình của mặt phẳng
theo đoạn chắn
- Lấy ví dụ minh hoạ
Học sinh
- Quan sát bảng phụ hình 3.7, 3,8 và xác định
đặc điểm của mặt phẳng
( )

có pt
0Ax By Cz D+ + + =
với
2 2 2
0A B C+ +
trong

các trờng hợp
+
0D
=
+
0A
=
+
0A B
= =
và
0C


- Thực hiện hđ 4 và 5 (sgk-trang 73, 74)
- Ghi nhớ khái niệm phơng trình của mặt
phẳng theo đoạn chắn
- Giải ví dụ minh hoạ
0A C= =
và
0B
thì
( )

song song hoặc
trùng với mặt phẳng (Oxz)
0B C= =
và
0A
thì

( )

song song hoặc
trùng với mặt phẳng (Oyz)
Nhận xét: Nếu A, B, C, D đều khác 0 thì ph-
ơng trình (1) đa về dạng

0
x y z
a b c
+ + =
(2)
(trong đó
; ;
D D D
a b c
A B C
= = =
)
=> Mặt phẳng
( )

cắt các trục Ox, Oy, Oz lần
lợt tại
( ) ( ) ( )
;0; 0 , 0; ; 0 , 0; 0;a b c
Khi đó phơng trình (2) đợc gọi là phơng trình
của mặt phẳng theo đoạn chắn
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho ba điểm
( ) ( ) ( )

1;0;0 , 0; 2; 0 , 0; 0;3M N P
. Hãy viết phơng
trình của mặt phẳng (MNP)
Giải: áp dụng phơng trình của mặt phẳng theo
đoạn chắn ta có phơng trình của mặt phẳng
(MNP) là

0 6 3 2 6 0
1 2 3
x y z
x y z+ + = + + =
3. Củng cố: Ghi nhớ kiến thức
- Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
0Ax By Cz D+ + + =
, trong đó
2 2 2
0A B C+ +

- Các trờng hợp riêng (bảng phụ)
Phơng trình của
( )

Đặc điểm của
( )

0Ax By Cz+ + =
( )

đi qua gốc toạ độ O
0By Cz D+ + =

( )

song song hoặc chứa trục Ox
0Ax Cz D+ + =
( )

song song hoặc chứa trục Oy
0Ax By D+ + =
( )

song song hoặc chứa trục Oz
0Cz D+ =
( )

song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy)
0By D+ =
( )

song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxz)
0Ax D+ =
( )

song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oyz)
- Phơng trình của mặt phẳng theo đoạn chắn:
0
x y z
a b c
+ + =

=> mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lợt tại

( ) ( ) ( )
;0; 0 , 0; ; 0 , 0; 0;a b c
4. Hớng dẫn học bài:
BTVN: Bài 1, 2, 3, 4 (sgk-trang 80)
Tiết 32