CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP 11

BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT
PHẦN A: TỔ HỢP
I. Quy tắc đếm:
1. Quy tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo k phương án khác nhau mà mỗi
phương án có số cách thực hiện lần lượt là n1, n2, ..., nk. Nếu các phương án là độc lập với
nhau tức là không có cách thực hiện nào xuất hiện trong hai phương án trở lên thì công
việc đó có n = n1 + n2 + .. + nk cách thực hiện.
2. Quy tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn để hoàn
thành. Nếu giai đoạn thứ i có n i cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n i+1 cách thực
hiện giai đoạn tiếp theo thì công việc đó có n = n1.n2...nk cách thực hiện.
Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B đến thành phố C
có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố A đến C
có 4 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với D hoặc nối A đến D. Hỏi
có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS: có 20 cách.
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 200000, chia hết cho 3, có thể được viết bởi các
chữ số 0, 1, 2?
ĐS: Có 2.34 = 162 (số)
Bài 3: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
a) gồm 3 chữ số.
b) gồm 4 chữ số khác nhau.
c) gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
d) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
ĐS: a) 6.7.7 = 294
b) 6.6.5.4 = 720
c) 6.5.4.3 + 3.5.5.4.3 = 1260 d) 6.5.4.3.2 +
5.5.4.3.2 = 1320
Bài 4: Có 20 đội bóng đá tham gia tranh cúp vô địch ngoại hạng Anh. Cứ 2 đội phải đấu
với nhau 2 trận gồm lượt đi và lượt về. Hỏi có bao nhiêu trận đấu? Nếu mỗi vòng đấu là

mỗi đội đã đá thêm một trận thì có mấy vòng đấu?
ĐS: có 20.19 = 380 trận, 38 vòng đấu
Bài 5:
a. Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có
mấy cách chọn lấy 3 bông hoa gồm đủ ba màu?
b. Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau mà các chữ số đều khác
nhau?
ĐS: a. 5.6.7 = 210. b. 15.
Bài 6:
a. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?
b. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
c. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa
thì giống nhau?
d. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho cả 2 và 5
ĐS: a. 168.
b. 20 c. 900 d. 72.
Bài 7: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt
màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo và cà vạt nếu:
a. Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
b. Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
ĐS: a. 35.
b. 29.


II. Hoán vị:
1. Khái niệm giai thừa:
n! = n(n – 1)....2.1
Qui ước: 0! = 1
Tính chất: n! = (n – 1)!n
2. Hoán vị (không lặp): Cho tập hợp gồm n phần tử, n là số nguyên dương, mỗi cách xếp

n phần tử này theo một thứ tự nào đó gọi là một hoán vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n!
3. Hoán vị lặp: Cho tập hợp gồm k phần tử a 1, a2, ..., ak, k là số nguyên dương. Một cách
sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 lần lặp phần tử a1, n2 lần lặp phần tử a2, …, nk lần lặp
phần tử ak sao cho n1 + n2 + …+ nk = n, theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị
lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử.
Số hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử là
n!
Pn(n1, n2, …, nk) =
n1 !n 2 !...n k !
Chứng minh: giả sử ta có n phần tử thì ta có n! hoán vị nếu không lặp, trong đó nếu có n 1
phần tử a1 giống nhau thì trong n! hoán vị có n1! lần trùng lặp cách sắp xếp do ta đổi chổ
n1 phần tử giống nhau. Chứng minh tương tự thì nếu có n 2 phần tử a2 giống nhau thì số
lần trùng lặp cách sắp xếp nhân thêm n 2!. Như vậy nếu a1, a2, ..., ak lần lượt lặp lại n1,
n2, ..., nk lần thì số lần trùng lặp trong toàn bộ cách sắp xếp nói trên là n 1!n2!...nk!. Nếu ta
gọi Pn(n1, n2, …, nk) là số cách sắp xếp khác nhau cần tìm thì n1!n2!...nk!Pn(n1, n2, …, nk) =
n!. Từ đó suy ra công thức nói trên.
Ví dụ: Nếu có 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh thì có bao nhiêu cách xếp tất cả bi thành
một dãy 5 bi?
Mỗi cách xếp 5 bi nói trên là hoán vị lặp cấp 5 kiểu (2, 3) của 2 phần tử bi đỏ và xanh.
Số cách xếp sẽ là P5(2, 3) = 5!/(2!3!) = 10 cách
4. Hoán vị vòng: Cho tập hợp gồm n phần tử, n là số nguyên dương, mỗi cách xếp n
phần tử này theo một thứ tự trên một vòng tròn kín là một hoán vị vòng của n phần tử.
Số các hoán vị vòng của n phần tử là: Qn = (n – 1)!
Chứng minh: Nếu xếp thành vòng tròn thì không phân biệt được vị trí dầu và vị trí cuối
so với hoán vị không vòng. Trên vòng tròn ta phải có chiều quy ước để xét thứ tự. Nếu
lấy một vị trí bất kì trên vòng làm điểm đầu tách ra khỏi đuôi thì ta được một cách sắp
xếp của hoán vị không vòng theo thứ tự đã quy ước. Như vậy ta có thể tách ở n vị trí khác
nhau trên vòng tạo thành n hoán vị khác nhau không vòng. Trong khi đó tất cả những
hoán vị đó trên vòng tròn thì lại chỉ tính là một cách sắp xếp nên số hoán vị vòng nhỏ hơn

số hoán vị không vòng n lần. Gọi Qn là số hoán vị vòng thì ta được nQn = n!. Từ đó ta suy
ra công thức đã cho.
Ví dụ: Có 4 người tham gia hội nghị bàn tròn có đúng 4 ghế bố trí cách đều nhau. Vậy số
cách xếp 4 người này vào bàn tròn là 3! = 6 cách. Để dễ dàng kiểm chứng ta gọi tên 4
người là A, B, C, D thì 6 cách trên bao gồm các thứ tự sau: ABCD, ADCB, ACBD,
ADBC, ABDC, ACDB.
Bài 1: Chứng minh rằng
a) Pn – Pn–1 = (n – 1)Pn–1.
b) Pn = (n – 1)Pn–1 + (n – 2)Pn–2 + ... + 2P2 + P1 + 1
1 1 1
1
c) 1 + + + + ... + < 3
1! 2! 3!
n!
2
n
1
1
=
+
d)
n! (n − 1)! (n − 2)!
x!− (x − 1)! 1
=
Bài 2: Giải phương trình:
(x + 1)!
6
ĐS: x = 2; x = 3

Bài 3: Giải bất phương trình:

1  5
(n + 1)!
n.(n − 1)!

.
−
≤5

n − 2  n + 1 (n − 3)!4! 12(n − 3).(n − 4)!2! ÷


(1)

ĐS: n = 4, n = 5, n = 6
Bài 4: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi
trong các số đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số 5?
b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
c) Bắt đầu bằng 23?
d) Không bắt đầu bằng 345?
ĐS: a) 4!
b) 5! – 4!
c) 3! d) 5! – 2!
Bài 5: Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các
số tự nhiên có được từ các hoán vị của 4 phần tử trên?
ĐS: Tổng tất cả các số là: 3! (1 + 2 + 3 + 4).(1 + 10 + 100 + 1000) = 66660
Bài 6: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các
quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:

a) Một cách tuỳ ý?
b) Theo từng môn?
ĐS: a) P12
b) 3!(5!4!3!)
Bài 7: Có 4 học sinh nam là A 1, A2, A3, A4 và 2 học sinh nữ B 1, B2 được xếp ngồi xung
quanh một bàn tròn có 7 chổ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a) Một cách tuỳ ý?
b) A1 không ngồi cạnh B1?
ĐS: a) Q6 = 5!
b) 3(4!)
Bài 8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó
chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
8! 7!
2
3
ĐS: − = C7 5!+ 4C7 4! = 5880
3! 3!
Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ
số này bằng 9.
ĐS: có ba bộ số thỏa mãn điều kiện là {1, 2, 6}; {1, 3, 5}; {2, 3 ,4}. Số các số cân tìm là
3.(3!) = 18
Bài 10: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi
trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh
nhau?
ĐS: 480.
Bài 11: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế
dài có 5 chỗ ngồi sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa?
b. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
ĐS: a. 24.

b. 12.
Bài 12: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: 5 người Mỹ, 4 người Nga, 3
người Anh, 3 người Pháp, 2 người Đức. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành
viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau?
ĐS: 4976640.


III. Chỉnh hợp:
1. Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phân tử, n là số nguyên dương. Từ đó
chọn ra k phần tử sao cho k là số nguyên dương không lớn hơn n, đồng thời sắp k phần tử
đó theo thứ tự. Mỗi cách chọn như trên gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
n!
A kn =
= n(n − 1)...(n − k + 1)
(n − k)!
0
Quy ước: A n = 1
2. Chỉnh hợp lặp:
Cho tập A gồm n phần tử, n là số nguyên dương. Một dãy gồm k phần tử của A
sao cho k là số nguyên dương, trong đó mỗi phần tử có thể được chọn một hoặc nhiều lần
tùy ý, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n
phần tử của tập A. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là A kn = nk.
Bài 1: Chứng minh rằng
1
1
1
n −1
a. 2 + 2 + ... + 2 =
với n là số nguyên dương lớn hơn 1

A2 A3
An
n
k
k
k −1
b. A n = A n −1 + k.A n −1
n +2
n +1
2
n
c. A n + k + A n + k = k .A n + k
Bài 2: Giải phương trình
3
3
2
2
2
a) A n = 20n
b) A n + 5A n = 2(n + 15)
c) 3A n − A 2n + 42 =
0.
ĐS: a) n = 6
b) n = 3
c) n = 6
2
2
Bài 3: Tìm số nguyên dương n sao cho 2Pn + 6A n − Pn A n = 12
ĐS: n = 2; n = 3
Bài 4: Giải bất phương trình

A 4n + 2 143
A 4n + 4
15
−
<0
<
a)
b)
Pn + 2 4Pn −1
(n + 2)! (n − 1)!
ĐS: a) n = 3; 4; 5
b) 2 ≤ n ≤ 36
Bài 5: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để
ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
ĐS: 86400
Bài 6: Trong không gian cho 10 điểm phân biệt trong đó không có 4 điểm nào tạo thành
hình bình hành. Từ các điểm trên ta lập được bao nhiêu vector khác nhau không kể vector
không? ĐS: 90
Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho
a) Các chữ số khác nhau?
b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
ĐS: a) 27216 b) 59049
Bài 8: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu
a) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
b) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?
ĐS: a. 1260 b. 1560
Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho
a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
b) Chữ số đầu và cuối khác nhau?
c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?

ĐS: a) 900
b) 8100
c) 9.10 = 90


IV. Tổ hợp
1. Tổ hợp (không lặp):
Cho tập A gồm n phần tử, n là số nguyên dương. Mỗi tập con gồm k phần tử của
A, k là số nguyên dương không lớn hơn n, được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
n!
k
Số các tổ hợp chập k của n phần tử: C n =
k!(n − k)!
Chứng minh: so với chỉnh hợp cùng số k và n thì tổ hợp luôn ít hơn chỉnh hợp k!
lần vì khi hoán vị k phần tử này ta được một chỉnh hợp mới chập k của n phần tử. Do đó
k!Ckn = A kn . Từ đó suy ra công thức trên.
0
Qui ước: C n = 1
Tính chất:
C0n = Cnn = 1

C kn = C nn −k
C kn = C kn −−11 + Ckn −1
n − k + 1 k −1
C kn =
Cn
k
2. Tổ hợp lặp:
Cho tập A gồm n phần tử, n là số nguyên dương và số tự nhiên k bất kì. Một tổ
hợp lặp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử chọn từ A không phân biệt thứ

tự, trong đó mỗi phần tử có thể lặp một hay nhiều lần.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: C kn = C kn + k −1 = C nn −+1k −1
Chứng minh: giả sử cứ mỗi phân tử thứ i trong tập A ta chọn ra ki lần sao cho tổng
k1 + k2 + ... + kn = k, trong đó i có giá trị từ 1 đến n, ki có giá trị từ 0 đến k, nếu ki = 0
nghĩa là không chọn phần tử thứ i. Bây giờ ta quy ước cách chọn trên thành cách sắp xếp
một chuỗi có k lần xuất hiện số 1 và chèn số 0 vào sao cho các nhóm số 1 lần lượt có k1,
k2, ..., kn số 1. Ví dụ: 11110100111 nghĩa là có 4 lần chọn phần tử thứ nhất, có 1 lần chọn
phần tử thứ 2, 0 có lần nào chọn phần tử thứ 3, có 3 lần chọn phần tử thứ 4. Như vậy
trong chuỗi quy ước sẽ có (n – 1) số 0 ngăn cách thành n nhóm số 1, trong đó có k lần
xuất hiện số 1 vì mỗi số 1 tương ứng với một phần tử được chọn và số thứ tự phần tử
được chọn là số thứ tự của nhóm. Một nhóm trong đó có thể là rỗng nếu không có số 1
nào giữa hai số 0 liên tiếp. Như vậy mỗi một chuỗi (n – 1 + k) số như trên tương đương
một chỉnh hợp lặp chặp k của n phần tử. Chuỗi trên có phân biệt vị trí trước và sau gồm
hai phần là phần số 0 và phần số 1. Nếu ta chọn ra k vị trí để đánh số 1 thì các vị trí còn
lại trong n + k – 1 vị trí sẽ phải là 0. Số cách chọn như vậy lại là số tổ hợp chập k của n +
k – 1 phần tử. Vậy số chỉnh hợp lặp có công thức như đã nêu trên.
3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
Chỉnh hợp: có phân biệt thứ tự chọn phần tử nghĩa là chọn a1 rồi chọn a2 và chọn a2 rồi
chọn a1 được tính là hai cách khác nhau nếu a1 và a2 là khác nhau.
Tổ hợp: không phân biệt thứ tự chọn phần tử nghĩa là chọn a1 rồi chọn a2 và chọn a2 rồi
chọn a1 được tính là cùng một cách mặc dù a1 và a2 là khác nhau.


Dạng 1: Rút gọn biểu thức tổ hợp
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau
n
n
n
a. E1 = C n .C2n .C3n
8

9
10
C15
+ 2C15
+ C15
Pn + 2
+
b. E2 = k
10
A n .Pn − k
C17
ĐS: a. (3n)!/(n!)3
b. (n + 1)(n + 2) + 1
Bài 2: Rút gọn biểu thức
C 2n
C kn
Cnn
1
C
+
2
+
...
+
k
+
...
+
n
E3 = n

C1n
Cnk −1
C nn −1
ĐS: n(n + 1)/2

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp
Bài 3: Chứng minh các hệ thức sau:
k
p−k
p
k
a) C n .C n − k = C n .C p (k ≤ p ≤ n)
n r −1
C n −1
r
Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau:
m +1
m −1
m
m +1
a) C n + C n + 2C n = C n + 2
r
b) C n =

k
k −1
k −2
k −3
k
b) C n + 3C n + 3C n + C n = Cn +3 (3 ≤ k ≤ n)

k −1
k
k
Gợi ý: Sử dụng tính chất C n + C n = Cn +1
Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau:
k
k −1
k −2
k −3
k −4
a) C n + 4C n + 6C n + 4C n + C n = C n + 4 k (4 ≤ k ≤ n)
n + 1 p −1
p
Cn
b) C n +1 =
p
k
k −2
c) k(k − 1)C n = n(n − 1)C n −2 ( 2 < k < n)
Bài 6: Chứng minh các hệ thức sau:
0
p
1
p −1
p
0
p
a) C r .Cq + C r .Cq + ... + C r .C q = C r +q
0 2
1 2

n 2
n
b) (C n ) + (Cn ) + ... + (C n ) = C 2n
0
2
4
2p
1
3
2p −1
2p −1
c) C 2p + C2p + C2p + ... + C2p = C2p + C2p + ... + C2p = c
1
2
3
p p
p p
d) 1 − Cn + C n − C n + ... + (−1) C n = (−1) C n −1
Gợi ý: a) Sử dụng (1 + x)r.(1 + x)q = (1 + x)r+q. So sánh hệ số của xp ở 2 vế.
b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n
c) Sử dụng (x + y)2p và (x – y)2p.
r
r −1
r
d) Sử dụng C n = C n −1 + C n −1 , với r lẻ thì nhân 2 vế với –1.


Dạng 5: Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp
Bài 7: Giải các phương trình sau:
A4

24
a) 3 n n − 4 =
A n +1 − Cn
23
1
1
1
b) x − x = x
C 4 C5 C6
x −1
x −2
x −3
x −10
c) C x + C x + C x + ... + C x = 1023
ĐS: a) n = 5 b) x = 2
c) x = 10
Bài 8: Giải các phương trình sau:
x +4
2x −10
2
x
2
1
a) C10+ x = C10+ x
b) y − C4 .y + C3 .C3 = 0

2
x −2
c) A x − 2 + C x = 101

x +3
3
1
2
3
d) C8+ x = 5A x + 6
e) C x + 6C x + 6C x – 9x² + 14 = 0
ĐS: a) x = 14, x = 8 b) y = 3, x = 2
c) x = 10
d) x = 17
e) x = 7
Bài 9: Giải các bất phương trình:
Pn +5
C nn −−13
1
5 2
4
3
≤ 60A kn ++32
a) 4 <
b)
c) C n −1 − Cn −1 − A n −2 < 0
(n − k)!
A n +1 14P3
4
ĐS: a) n ≥ 6
b) Xét với n ≥ 4: bpt vô nghiệm; các nghiệm (n, k) là (0; 0), (1; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3)
c) n = 6; 7; 8; 9; 10
Bài 10: Giải các phương trình và bất phương trình:
x −2

3
3
x −2
5
x −5
a. C x +1 + 2C x −1 = 7(x – 1)
b. A x + C x = 14x.
c. A x = 336C x − 2 .

C nn −−13
1
5 2
4
3
C
−
C
−
A
<
0.
e. n −1
f. 4 <
.
n −1
n −2
A n +1 14P3
4
1 2
6 3

2
2
2
g. 2C x +1 + 3A x < 30.
h. A 2x − A x ≤ C x + 10.
2
x
ĐS: a. x = 5. b. x = 5.
c. x = 8.
d. x = 7.
e. 5 ≤ n < 11
f. n > 6
g. x = 2.
h. x = 3, x = 4.
Bài 11: Giải các hệ phương trình:
5C xy +1 = 6C xy +1
C xy − C xy +1 = 0
a)  y
b)  y
y −1
y −1
C x +1 = 3C x
 4C x − 5C x = 0
ĐS: a) (8; 3)
b) (17; 8)
Bài 12: Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình:
y
y
3C xy = C xy + 2
lg(3C3x ) − lg C1x ≤ 1

 2A x + 5C x = 90
a.  y
b. 
c. 
y
x
x
5A x + 2C x = 80
 x − 3y ≤ 6
 24C y = A y
ĐS: a. x = 5, y = 2. b. x = 4, y = 8.
c. 3 ≤ x ≤ 6; x, y đều là số nguyên dương
k
k +1
k+2
Bài 13: Tìm số tự nhiên k sao cho C14 , C14 , C14 lập thành một cấp số cộng.
ĐS: k = 4; 8.
2x
2x − 4
d. 11C28 = 225C 24 .


Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học
Bài 14: Cho 20 câu hỏi, trong đó có 8 câu lý thuyết và 12 bài tập. Người ta cấu tạo thành
các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 5 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít
nhất 2 câu lý thuyết và 2 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
ĐS: 9856
Bài 15: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm
muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý.

b) Có 2 nam và 2 nữ.
c) Có ít nhất một em nam.
d) Có ít nhất một nam và một nữ.
ĐS: a) 91390
b) 31500
c) 90025
d) 77375.
Bài 16: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra
3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem
thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?
ĐS: 1200.
Bài 17: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao
nhiêu cách lấy được:
a. 4 viên bi cùng màu?
b. 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?
ĐS: a. 20.
b. 150.
Bài 18: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được
chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng một
lần.
ĐS: 544320.
Bài 19: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số
a. Chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chữ số đứng đầu là chữ số 2?
b. Gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ
số lẻ?
ĐS: a. 360.
b. 2448.
Bài 20:
a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0
nhưng không có chữ số 1.

b. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3
có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
ĐS: a. 33600 b. 11340.
Bài 21: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 sao cho trong mỗi số
được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi
có bao nhiêu số như vậy? ĐS: 1800.
Bài 22: Từ một tập thể gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn
một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
a. Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ?
b. Trong tổ có một tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong
tổ? ĐS: a. 2974.
b. 15048.
Bài 23: Một đoàn tàu có 3 toa chở khác nhau đánh dấu là I, II, III. Trên sân ga có 4 khách
chuẩn bị đi tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu.
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu sao cho một toa có 3 trong 4 vị
khách nói trên. ĐS: a. 81. b. 24.
Bài 24: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách
chia số học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và
mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá.
ĐS: Xét 2 trường hợp rồi cộng ta được 3780.


V. Nhị thức Newton
1. Công thức khai triển nhị thức Newton:
n

n
k n −k k
Với mọi số nguyên dương n và cặp số thực a, b ta có: (a + b) = ∑ C n a b

k =0

2. Tính chất:
i) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
ii) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
k n−k k
iii) Số hạng tổng quát hay số hạng thứ (k + 1) có dạng: Tk +1 = Cn a b , k là số nguyên
không âm và không lớn hơn n.
k
n −k
iv) C n = C n
k −1
k
k
v) C n + C n = Cn +1

Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton
Bài 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức
1 10
1 5
2 6
3
2
2
a) (x + 4 )
b) (4 x + )
c) (3x − )
x
2x
x

ĐS: a) 45
b) 160
c) 2160
Bài 2: Tìm hệ số của x4y3 trong khai triển (2x + 3y)7.
ĐS: 15120
Bài 3: Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xkym trong đó k + m < n, k và m là
hai số tự nhiên
k
m
k m n −k − m
ĐS: C n .Cn − k x y z
Bài 4: Khai triển và rút gọn đa thức P(x) = (1 + x) + (1 + x)² + (1 + x)³ + ... + (1 + x)12 sẽ
được đa thức P(x) = ao + a1x + a2x² + ... + a12x12. Hãy xác định hệ số a9?
ĐS: 286
Bài 5: Cho đa thức P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)² + 3(1 + x)³ + ... + 20(1 + x)20 = ao + a1x +
a2x² + a3x³ + ... + a20x20. Hãy xác định hệ số a18?
ĐS: 4179
Bài 6: Trong khai triển P(x) = (3 – x)20, hãy tính tổng các hệ số của đa thức P(x).
ĐS: 220.
Bài 7: Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức: ( 3 3 + 2)5
a
b
+ 3 )17 , tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa
Bài 8: Trong khai triển của nhị thức (
b
a
giống nhau?
ĐS: 24310a5b5.
1
3 2

a )12
Bài 9: Tìm số hạng chứa a7 trong khai triển (6 a +
3
ĐS: 59136a7.
1 16
Bài 10: Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển ( 3 x + )
x
ĐS: 1820.
Bài 11: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau
1 13
a. ( 4 x + x)10
b. (x + 3 )
x
2
6 7
10 10
0 13
3 9
6 5
9
ĐS: a. C10 x, C10 x , C10 x .
b. C13 x , C13 x , C13 x , C13 x.


Bài 12:
a. Tìm số hạng của khai triển ( 3 + 3 2)9 là một số nguyên.
b. Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển ( 5 3 + 3 7)36 .
c. Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên của khai triển ( 3 + 4 5)124 .
ĐS: a. T4 = 4536, T10 = 8
b. T7, T22, T37

c. 32 số hạng
n
Bài 13: Trong khai triển (1 + x) theo lũy thừa tăng của x, cho biết: T3 = 4T5 và 3T4 =
40T6. Tìm n và x?
ĐS: n = 6, x = 1/2 hoặc x = –1/2
1 n
2
Bài 14: Cho biết trong khai triển (x + ) theo thứ tự giảm dần bậc của x, tổng các hệ
x
số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46. Tìm hạng tử không chứa x.
ĐS: 84.
Dạng 2: Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp
Bài 15: Chứng minh rằng
0
1
2
n
n
a. S = C n + Cn + C n + ... + C n = 2 .
0
2
4
2n
1
3
5
2n −1
2n −1
b. S = C 2n + C2n + C2n + ... + C 2n = C2n + C2n + C2n + ... + C2n = 2
0

1
2 2
k k
n n
n
c. S = C n + 2C n + 2 Cn + ... + 2 Cn + ... + 2 Cn = 3 .

32n + 1
2
Bài 16: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức (x² + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ
số của số hạng chứa x12 trong khai triển đó.
ĐS: 210.
Bài 17: Chứng minh rằng
n +1
n+2
2n +1
2n
a. S1 = C2n +1 + C 2n +1 + ... + C2n +1 = 2
2
4
2n
d. S = C02n + 22 C2n
+ 2 4 C2n
+ ... + 22n C2n
=

16 0
15 1
14 2
16

16
b. S2 = 3 C16 − 3 C16 + 3 C16 − ... + C16 = 2 .
0
2
2
4
4
2n 2n
2n −1
2n
Bài 18: Chứng minh C 2n + C2n 3 + C2n 3 + ... + C2n 3 = 2 .(2 + 1)
Bài 19: Dùng đẳng thức (1 + x)m.(1 + x)n = (1 + x)m+n, chứng minh rằng
0
k
1
k −1
2
k −2
m
k −m
k
a. C m .C n + Cm .Cn + C m .C n + ... + Cm .Cn = Cm + n , m ≤ k ≤ n
0 2
1 2
2 2
n 2
n
b. (Cn ) + (Cn ) + (C n ) + ... + (C n ) = C 2n .
0
k

1
k +1
2
k +2
n −k
n
c. C n .C n + C n .C n + C n .C n + ... + C n .C n =

(2n)!
(n − k)!(n + k)!

Bài 20: Tính giá trị các biểu thức
2n 0
2n − 2 2
0 2n
2n −1 1
2n −3 3
1 2n −1
A = 2 C 2n + 2 C2n + ... + 2 C 2n và B = 2 C 2n + 2 C2n + ... + 2 C2n
ĐS: A = (9n + 1)/2, B = (9n – 1)/2
17 0
1 16 1
17 17
17
Bài 21: Chứng minh 3 C17 + 4 .3 .C17 + ... + 4 C17 = 7