Ung dung tich phan - tinh dien tich

Giải Tích 12 – CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Diện tích hình phẳng

1


2x

+

1

HOẠT ĐỘNG 1 :
Hãy tính diện tích hình thang vng giới hạn bởi các
đường thẳng : y = – 2x – 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5
y=

S1=SABCD= (AD+BC)xAB/2 = 28
Ở Hđ1 bài 2 ta đã tính diện tích S của hình thang
vng giới hạn bởi các đường thẳng :
y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5.

S

Ta có :
5

[

]

5

S = ∫ (2 x + 1)dx = xsánh diện tích hai
Các em hãy so + x = 30 − 2 = 28
2

1

S1

1
hình S và S1, cho nhận xét.

trong khi ðó :
−x

]

5
1

= −30 + 2 = −28

–
2x

1

2

y=

∫ (−2 x − 1)dx = [− x
5

1

1

nên ta có viêt : S1 = S = ∫ (2 x + 1)dx = 28

–

5

2


1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và
trục hoành
Cho (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b].
f(x)≥0 trên đoạn [a;b]. Hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục
hồnh và 2 đường thẳng x=a ; x=b có
diện tích S được tính theo cơng thức :
b

S = ∫ f ( x)dx

a

Trường hợp f(x) ≤ 0 trên
đoạn [a;b] thì :
b
S = SaABb= SaA’B’b =

∫ [− f ( x)]dx
a

.

3


Tổng quát
Cho (C) : y = f(x) liên tục trên
đoạn [a;b]. Hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị (C), trục hồnh và
2 đường thẳng x=a ; x=b có diện
tích S được tính theo cơng thức :

b

S = ∫ f ( x) dx
a

4

VD 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = x3 , trục hoành và 2 đường thẳng x=-1 ; x=2
Giải : Vì x3 ≤ 0 trên đoạn [-1;0]
và x3 ≥ 0 trên đoạn [0;2] nên:
2

0

2

−1

−1

0

S = ∫ x 3 dx = ∫ (− x 3 )dx + ∫ x 3dx
4 0

x
S=−
4

.

4 2

x
+
4

−1

0

17
=
4

5


Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai
đuờng cong.
Cho hai hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên [a;b]
Trong trường hợp f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a;b] Diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y=f(x), y=g(x), x=a, x=b là:
b

S = S1 − S 2 = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx.
a

Trong trường hợp tổng qt ta có
cơng thức
b

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a

.

6


b

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a

Chú ý : Nếu x[α;β],f(x)–g(x)≠0 thì :
β

β

α

α

S = ∫ f ( x) − g ( x) dx = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx
Do đó để tính diện tích S theo cơng thức trên ta cần khử
dấu trị tuyệt đối dưới tích phân bằng cách :
• Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 , giả sử pt có các
nghiệm c , d (a < c < d < b).
• Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) khơng
đổi dấu.
• Đưa dấu trị tuyệt đối ra khỏi tích phân trên từng đoạn.
7


Vd 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

thẳng : x = 0, x = π và đồ thị của 2 hàm số :
y = sinx , y = cosx .
Giải : Pthđgđ : sinx = cosx
⇔ x = π/4 ∈ [0; π]
Vậy diện tích hình phẳng là :
π

S = ∫ sin x − cos x dx
0

π

S=

π

4

∫ sin x − cos x dx + π∫ sin x − cos x dx
0

π

S=

4

π

4

∫ (sin x − cos x)dx + π∫ (sin x − cos x)dx
0

S = (cos x + sin x)

4

π
4
0

π

+ (cos x + sin x) π = 2 2
4

8


Vd 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
cong : y = x3 – x và y = x – x2.
Giải : Pthđgđ : x3 – x = x – x2
⇔ x3 + x2 – 2x = 0
⇔ x = -2 ; x = 0 ; x = 1

∫

x 3 + x 2 − 2 x dx

0

1

−2

S=

x–

−2

0

( x 3 + x 2 − 2 x)dx + ∫ ( x 3 + x 2 − 2 x)dx
∫
0

y=

S=

y = x3

1

x 2.

-x

Vậy diện tích hình phẳng là :

1

x
x
x
x
2
2
S =  + +x  + + +x 
 4 3

 4 3


 −2 
0
4

3

8 5 37
S= + =
3 12 12

4

3

9


Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết cơng thức tính
diện tích các hình phẳng sau (khơng cịn dấu trị tuyệt đối)

S2

S1

5

S1 =

∫ f ( x)dx.

−1

5

S 2 = ∫ [− f ( x)]dx.
−1

a

2

b

c

0

a

2

b

S = ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx + ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx

10


y

b

x)
=
y

y

=

f(

f(
x)

Củng cố: Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x);
các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau
(khơng cịn dấu trị tuyệt đối)

=

y
g(
x

)

S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx
a

=

g(
x

)

a

b

0

a

S = ∫ [ g ( x) − f ( x)] + ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx
11