Sáng kiến kinh nghiệm

sở gd-đt Hà Tây Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam
trờng thpt Quốc Oai
Độc lập Tự do Hạnh phúc

đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2007 - 2008
I. sơ yếu lý lịch
Họ và tên : Nguyễn Quốc Huy
Ngày tháng năm sinh : 31/ 03/ 1977
Năm vào ngành : 1999
Chức vụ: Giáo viên giảng dạy Toán
Đơn v công tác: Trờng THPT Quốc oai
Trình độ chuyên môn: Đại học S phạm Toán
Hệ đào tạo: Chính quy
Bộ môn giảng dạy: Toán
Hiện tại: Học viên Cao học LL&PP Toán
tại khoa s phạm ĐHQG Hà Nội
Ngoại ngữ: Anh C
Khen thởng: Chiến sĩ thi đua cấp cơ sở năm học 2006 - 2007
1
Ii. Khái quát đề tài sáng kiến kinh nghiệm
1. Tên đề tài: Vận dụng phơng pháp hằng số biến thiên để giải một số lớp
phơng trình.
2. Lý do nghiên cứu:
T duy là khởi đầu mọi sự sáng tạo. Tuy nhiên cần chú ý rằng mỗi loại t duy
chỉ nảy sinh trên cơ sở, một phạm vi hoạt động khác nhau của con ngời. Chẳng
hạn, t duy khoa học càng ngày càng hiệu quả khi chủ thể liên tục hoạt động nhận
thức lý tình, còn t duy nghệ thuật ngày càng điêu luyện trong hoạt động t duy hình
tợng. Chính vì thế, t duy Toán học và đặc biệt là hoạt động giải toán của học sinh
trong một môi trờng cụ thể
Chúng ta đặt vấn đề cùng giải các phơng trình sau:

1) x
3
+
3
68 15
x x
=
2) x
4
+x
3
-x
2
-15x 25 = 0
3) x
log
3
7
= 2
log
3
x
+ log
3
x
5
4) 7
cotx
11
cotx

= 12cotx
1
5)
1 1 5 4
2 3 14 21
x x
x x

=
ữ ữ

6) 2
log
5
x
3
+ 2
log
5
x
2

= x + x
log
5
7
Thử đặt bút:
* Biến đổi:
3 6 2
3

68 15
15 68 0x x x
x x
+ = + =
đặt x
2
= t > 0, phơng trình trở
thành t
3
15t +
68
=0
Đó là một phơng trình bậc ba. Không có nhận xét về đoán nghiệm vô tỷ nên
việc đoán nghiệm của phơng trình này để biến đổi nó thành phơng trình tích vẫn
còn khó khăn.
* Xem phơng trình x
4
+ x
3
x
2
15x 25 = 0 (*)
Đó là một phơng trình bậc 4 đầy đủ đối với x. Lẽ tự nhiên ta liên tởng tới các
phơng trình bậc 4 đã biết cách giảI : ax
4
+ bx
2
+ c = 0, (x + a)
4
+ (a + b)

4
= c, ax
4
+
bx
2
+ cx
2
+ kbx + k
2
a
2
= 0; x
4
= ax
2
+ bx + c. Mong rằng chúng sẽ mách bảo cách
đặt ẩn phụ để đa về phơng trình bậc hai. Đáng tiếc phơng trình (*) không rơi vào
các dạng quen thuộc ấy.
2
Một ý thức thờng trực là đoán nghiệm (tìm vận may) để từ đó biến đổi (*) về
phơng trình tích. Đáng tiếc việc này cũng chẳng thành, bởi phơng trình không có
nghiệm hữu tỉ.
Dịch chuyển sang con đờng biến đổi VT(*) thành tích của hai tam thức bậc
hai.
* Một thủ thuật thờng dùng là phơng pháp hệ số bất định:
Gọi F(x) = (x
2
+mx+n) (x
2

+px+q). Khai triền F(x) và đồng nhất F(x) với
VT(*). Việc này dẫn tới giải hệ 4 phơng trình với 4 ẩn m, n, p, q. Xem ra lối mòn
còn lắm chông gai!
* Lại còn nhớ phơng trình chứa tham số, chúng ta có thể tráo đổi vai trò ẩn và
tham số để biến đổi phơng trình bậc cao về phơng trình tích. Phơng trình trên
không thuộc dạng đó.
* Với phơng trình còn lại:
3 3
log 7 log
5 cot cot
3
2 log .7 11 12cot
x
x x
x x x= + =
,
1 1 5 4
2 3 14 21
x x
x x

=
ữ ữ

, 2
log
5
x
3
+ 2

log
5
x
2

= x + x
log
5
7
, x
log
7
11
+ 3
log
7
x
= 2x, đó là
những phơng trình luỹ thừa với nhiều cơ số khác nhau. Phơng pháp sử dụng định
lý Roll cũng không phải là chìa khoá nảy tách cho cánh cửa bật ra tập nghiệp
các phơng trình này. Xem ra cổng của các phơng trình ấy không đặt trên những
con đờng mà chúng ta đang đặt chân.
Đề tài này trình bày bí mật đang đứng im sau lâu đài của các phơng trình nh
thế.
3. Lịch sử nghiên cứu:
Các sách giáo khoa; sách tham khảo đã đề cập đến phơng pháp hằng số biến
thiên. Song việc trình bày còn nhiều điểm hạn chế.
4. Phạm vi nghiên cứu:
Vận dụng phơng pháp hằng số biến thiên để giải một số phơng trình: Đại số,
phơng trình m, phơng trình lôgarit, phơng trình vô tỷ.

5. Vấn đề nghiên cứu:
Đa ra cách đặt ẩn phụ cho các bài toán: Đại số, phơng trình m, phơng trình
lôgarit, phơng trình vô tỷ.
3
6. Giả thuyết nghiên cứu:
Nếu vận dụng phơng pháp hằng số biến thiên để giải một số lớp phơng trình
sẽ nâng cao hiệu quả việc dạy và học toán.
7. Phơng trình chứng minh luận điểm:
Nghiên cứu tài liệu: Các tài liệu về lĩnh vực Toán học, phơng pháp dạy học
môn Toán, giáo dục học, tâm lý.
Quán sát, thực nghiệm, điều tra.
8. Thời gian thực hiện đề tài:
Học kỳ 2, năm học 2007 2008.
iIi.nội dung đề tài
Trong quá trình giải một bài toán ta có thể đặt một biểu thức của phơng trình
làm ẩn phụ.
Đặt ẩn phụ là bí quyết thành công của nhiều lời giải bài toán. Đặt ẩn phụ
cũng nh vẽ thêm đờng trong hình học, tìm đợc nhà tài trợ trong kinh tế. Khó mà
nói hết các cách đặt ẩn phụ. Tuỳ theo sự hiểu biết về góc độ bài toán mà ta có các
cách đặt ẩn phụ khác nhau. Khi ẩn phụ đăng quang, phơng trình có thể diễn ra
các hình thái nh sau:
* ẩn mới thay thế hoàn toàn ẩn cũ (nh trờng hợp phơng trình trùng phơng
chẳng hạn). Ta nói rằng đó là phép đặt ẩn phụ toàn phần.
* ẩn mới không thay thế hoàn toàn ẩn cũ mà cả ẩn mới và ẩn cũ cùng chung
tồn tại trong một phơng trình. Ta nói rằng đó là phép đặt ẩn phụ không toàn phần.
Trong trờng hợp này, cách đối xử với hai ẩn cũng khác nhau.
+ Vai trò giữa ẩn cũ và ẩn mới hoàn toàn bình đẳng với nhau. Khi đó thờng
bài toán đợc đa về giải hệ phơng trình hai ẩn.
+ ai trò giữa ẩn cũ và ẩn mới không bình đẳng với nhau. Khi đó thờng ẩn cũ
trở thành các hệ số của phơng trình tháp tùng cho ẩn mới.

* Trong phơng trình có tham số, nhiều khi ẩn phụ chính là tham số. Điều này
dẫn đến phơng pháp giải phơng trình bằng cách Tráo đổi vai trò giữa ẩn và tham
số.
4
Một số phơng trình bậc hai đối với tham số đã đợc giải theo phơng pháp này.
(Bạn đọc có thể tìm hiểu điều này trên một số tài liệu, chẳng hạn Phạm Quốc
Phong: Bồi dỡng Đại số 10, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội).
* Một lẽ cũng tự nhiên là ẩn phụ có thể là một hệ số nào đó của phơng trình.
Ta gọi đó là Phơng pháp hằng số biến thiên. Sự hiện diện của phơng pháp này đã
góp thêm lời giải độc đáo, trong một số trờng hợp nó còn là cứu cánh cho câu
trả lời. (Nhân dây xin nhắc lại rằng thông qua nhiều cách giải khác nhau của bài
toán, ta hiểu sâu sắc hơn bài toán và thúc đẩy t duy phát triển. Có lẽ lời giải của
bài toán không chỉ dừng lại ở đáp số).
Thí dụ 1: Tìm các nghiệm đúng phơng trình
3
3
68 15
x
x x
+ =
(1)
Lời giải
Điều kiện x 0 (2)
* x
0
là nghiệm của phơng trình (1)

3 3
0 0
3 3

0 0 0 0
68 15 2 17 17 2
17x x
x x x x

+ = + =
là nghiệm của phơng trình sau với
ẩn là a:
2
3 2 2 6 2
0 0 0 0
3
0 0
2 2
2 2 0
a a
x x a a x x
x x

+ = =
2
1 0
a x=
(3)
4
0
2
2
0
2 x

a
x
+
=
(4)
* Thay a
1
=
17
vào (3) ta có
2
0
17x =
(mâu thuẫn) (5)
* Thay a
2
=
17
vào (4) ta có
4
4 2
0
0 0
2
0
2
17 17 2 0
x
x x
x

+
= + =

2
0 0
17 3 17 3
2 2
x x

= = thoả mãn (2)
Từ (5), (6) kết luận phơng trình đã cho có các nghiệm là
0
17 3
2
x

=
Lời bình 1:
Nếu sử dụng biến đổi (1) x
6
15x
2
+ 2
17
= 0. Đặt x
2
= t > 0 ;
5
Ta có t
3

13t + 2
17
= 0. Đó là một phơng trình bậc ba. Không có nhận xét
về đoán nghiệm vô tỷ nên việc đoán nghiệm của phơng trình này để biến đổi nó
thành phơng trình tích vẫn còn khó khăn.
Thí dụ 2: Giải phơng trình
2 2
2
2
log log 5log 8 25log 2 0
4
x x
x
x + = =
(1)
Lời giải
Điều kiện 0 < x 1 (2)
Đặt log
2
x= t, ta có log
x
2 =
1
t
. log
x
8 =
3
t
, log

2
4
x
= t-2.
Phơng trình (1) trở thành
t
2
+ t 2 =
2
15 25
t t

t
4
+ t
3
2t
2
- 15t 25 = 0 (3)
Đặt a = 5, phơng trình trở thành a
2
+ 3at t
2
(t
2
t + 2) = 0 (4)
Xem (4) là phơng trình bậc hai đối với a, ta có = t
2
(2t + 1)
2

Bởi vậy (3)
2
2
3 (2 1)
( 1) 5
2
3 ( 1) ( 2)
5 2
2
t t t
a
a t t t t
t t t a t t
t t
a
+ +

=


= =





+ = +
=

=



2
2
5 0
2 5 0
t t
t t

=

+ + =


(Vô nghiệm)

1 21 1 21
2 2
2
1 21 1 21
log 2 2
2 2
t x x x


= = = =

(thoả mãn (2))
Vậy
1 21
2
2x

=
là các nghiệm của phơng trình đã cho.
Lời bình: Trong phơng trình chứa tham số, chúng ta thờng bắt gặp câu giải
phơng trình ứng với một giá trị nào đó của tham số. Có lẽ sẽ không sai khi nói
rằng (3) là phơng trình mà tham số đã nhờng lại cho số 5.
Thí dụ 3: Giải phơng trình x +
11 11x+ =
(1)
Lời giải
Điều kiện 0 < x < 8 (2)
Với điều kiện đó ta có (1) 11 x =
11 x+
(11 x)
2
= 11 +
x
(3)
Đặt 11 = a, phơng trình (3) đợc viết (a - x)
2
= a +
x
6