SKKN dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình

Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình


PHềNG GD&T PH C
TRNG THCS èNH CAO

SNG KIN KINH NGHIM
Dựng bt ng thc gii phng trỡnh,
h phng trỡnh
Mụn: Toỏn hc
Ngi vit: Trn ng Tin
Giỏo viờn: Toỏn

Nm hc: 2013 - 2014
1


“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh
“

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG: THCS ĐÌNH CAO
Tổng điểm:.................. Xếp loại:....................
TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
HIỆU TRƯỞNG

Nguyễn Văn Hạnh

................................................................................................................................

XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

PHÒNG GD&ĐT PHÙ CỪ
Tổng điểm:.................. Xếp loại:....................
TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

2


“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh
“

PHẦN I: PHẦN LÍ LỊCH
- Họ và tên: Trần Đăng Tiền.
- Chức vụ: Giáo viên – Tổ trưởng tổ Khoa học Tự nhiên.
- Đơn vị công tác: Trường THCS Đình Cao.
- Tên sáng kiến kinh nghiệm “ Dùng bất đẳng thức để giải phương

trình, hệ phương trình”

3


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình


PHN 2: NI DUNG
A. M U
1. t vn
a, Thc trng ca vn :
Giỳp hc sinh l mt trong nhng nhim v quan trng nht m ngi thy
nht thit phi lm. Nhim v ú khụng phi l d nú ũi hi phi cú thi gian,

kinh nghim, phi cú lũng tn tõm v nhng nguyờn tc ỳng n. Ngi hc
sinh vi s n lc ca bn thõn phi thu c cng nhiu cng tt nhng kinh
nghim c lp cụng tỏc. Nhng nu Hc sinh ng mt mỡnh trc mt bi toỏn
m khụng cú giỳp no, hay mt s giỳp quỏ ớt thỡ khụng th tin b gỡ
c. Mt khỏc nu thy giỳp nhiu quỏ thỡ hc sinh chng cũn gỡ phi lm.
Thy giỏo phi giỳp va phi khụng nhiu quỏ, cng ớt quỏ v nh vy hc
sinh cú mt cụng vic hp lý.Trong cỏc kỡ thi chn hc sinh gii cp huyn, cp
tnh ca trung hc c s v thi vo lp 10 chỳng ta thng gp bi toỏn gii
phng trỡnh, h phng trỡnh khụng chớnh tc, chỳng thng c thit k di
ý tng ca mt bt ng thc tớnh cht bt ng thc no ú.
Phng trỡnh, h phng trỡnh khụng chớnh tc l s phi hp nhiu lung
kin thc, k nng gii toỏn. Bi toỏn ũi hi ngi lm toỏn phi hiu bit sõu
sc bt ng thc, linh hot trong s dng. Ngi lm toỏn cn tỡm tũi, cng c
h thng, liờn h cỏc kin thc, ng thi tp cho chỳng ta lm quen vi nghiờn
cu, khỏm phỏ v p toỏn hc.
L giỏo viờn dy toỏn nhiu nm tụi nhn thy cn phi tp hp li thnh
mt chuyờn dy cho hc sinh s dng dng toỏn mt cỏch cú h thng
nhm cho hc sinh hiu rừ v s dng dng toỏn mt cỏch chớnh xỏc, linh hot,
khi dy tớnh tớch cc, ch ng, t giỏc hc tp ca hc sinh nhm giỳp hc
sinh cú th gii mt s bi toỏn nhanh, gn v tit kim c thi gian .
Cn c vo thc t trờn, yờu cu ca vic bi dng hc sinh khỏ gii v c
bit l vic phỏt huy tớnh tớch cc ch ng sỏng to ca hc sinh trong hot
ng hc tp. Vi cỏc lý do nờu trờn tụi cú ý tng xõy dng ti: Dựng bt
ng thc gii phng trỡnh h phng trỡnh.
4


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

b, í ngha v tỏc dng ca gii phỏp mi.

Theo ti ny khi a vo ỏp dng s cú tỏc dng sau:
Nhm nõng cao cht lng Gii phng trỡnh, h phng trỡnh bng
phng phỏp dựng bt ng thc. Giỳp cho thy v trũ trong dy v hc
t c kt qu cao trong cỏc k thi hc sinh gii Toỏn, gii toỏn
trờn mỏy tớnh b tỳi khi THCS, hc sinh cú nim tin v k

nng

vn dng dng toỏn gii phng trỡnh v h phng trỡnh. Gúp phn
nõng cao cht lng dy hc toỏn v cỏc b mụn khỏc ngy cng cao
hn. Thc t qua theo dừi cht lng bi dng hc sinh gii khi 8, 9 cú ỏp
dng sỏng kin kinh nghim trờn thỡ tụi thy rng a s cỏc em tớch cc t duy,
hng thỳ vi bi tp mi, kin thc mi hn so vi cỏc lp cũn li. c bit l
trong lp luụn cú s thi ua tỡm ra cỏch gii hay nht, nhanh nht. Khụng khớ lp
hc luụn sụi ni, khụng gũ bú, hc sinh c c lp t duy. iu hng thỳ hn
l phỏt huy c trớ lc ca cỏc em, giỳp cỏc em phỏt trin k nng nghiờn cu
khoa hc hng thỳ trong vic tỡm tũi kin thc mi, k nng mi.
c, Phm vi nghiờn cu:
Hc sinh cỏc lp khi 8 khi 9 trng THCS ỡnh cao huyn Phự C - Tnh
Hng yờn.
2. Phng phỏp tin hnh
a, C s lý lun v thc tin
Núi n dy hc l mt cụng vic va mang tớnh khoa hc va mang tớnh
ngh thut. Do ú ũi hi ngi giỏo viờn cn cú nng lc s phm vng vng,
phng phỏp ging dy phự hp theo hng tớch cc giỳp hc sinh ch ng
trong vic chim lnh kin thc. Vic to cho hc sinh nim hng thỳ trong hc
tp Gii phng trỡnh h phng trỡnh bng phng phỏp dựng bt ng thc
hon ton ph thuc vo nng lc s phm ca giỏo viờn . Ngoi vic lờn lp
ngi giỏo viờn phi khụng ngng hc hi, tỡm tũi ti liu cú liờn quan lm
sao cú th truyn th cho hc sinh mt cỏch nh nhng, d hiu, phự hp vi

kh nng tip thu ca tng i tng hc sinh.

5


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

Hng i mi phng phỏp dy hc Toỏn hin nay trng THCS l
tớch cc húa hot ng hc tp ca hc sinh, khi dy v phỏt trin kh nng t
hc, nhm hỡnh thnh cho hc sinh t duy tớch cc, c lp, sỏng to, nõng cao
nng lc phỏt hin v gii quyt vn , rốn luyn k nng vn dng kin thc
vo thc tin: tỏc ng n tỡnh cm em li nim vui, hng thỳ hc tp cho hc
sinh. c bit hin nay ton ngnh giỏo dc ang ra sc thc hin cuc vn ng
Xõy dng trng hc thõn thin, hc sinh tớch cc thỡ vic to hng thỳ hc
tp cho hc sinh cng chớnh l to cho cỏc em cú nim tin trong hc tp, khi
dy trong cỏc em ý thc mi ngy n trng l mt nim vui
Bn thõn tụi l mt giỏo viờn ó trc tip ging dy mụn Toỏn tụi cú nhiu
nm tham gia vo cụng tỏc bi dng hc sinh gii mụn Toỏn, Toỏn trờn mỏy
tớnh ti trng THCS ỡnh Cao tụi thy rng:
- i vi hc sinh gii phng trỡnh, h phng trỡnh bng phng phỏp dựng
bt ng thc cỏc em rt tớch cc vỡ mt s iu nh kt qu nhanh, chớnh xỏc,
lm c nhiu bi tp trong khong thi gian ngn, to hng thỳ cho hc sinh
hc toỏn.
- i vi giỏo viờn a s trong khi ú kin thc ó khú li rng ln v bao trựm.
Do ú thi gian vo nghiờn cu, tỡm tũi cú kin thc vng v sõu thỡ rt
khú, cú l mi ngi cựng mt suy ngh rng - c gng hon thnh nhim v l
c cũn nghiờn cu tỡm tũi ó cú cỏc nh khoa hc.
- Nguyờn nhõn gúp phn khụng nh na cho rng vic nghiờn cu tỡm li gii
cho cỏc bi toỏn l nhng ngi phi cú trớ tu, phi l bc v nhõn. Suy ngh ny
ch ỳng mt phn vỡ Ngc khụng mi thỡ khụng sỏng c.

Do ú ũi hi ngi giỏo viờn phi cú thi gian, cú tõm huyt v tinh thn hc
hi cao thỡ mi ỏp ng c chuyờn mụn, cụng vic ging dy ca mỡnh. Toỏn
hc cao cp cú kin thc, cú cỏch gii nhanh v khoa hc vi bi toỏn trờn song
khụng vn dng c vo cp hc ph thụng, hoc cha tỡm c phng phỏp
khoa hc hc sinh tip cn cho phự hp vi chng trỡnh hc, v ni dung
sỏch giỏo khoa hin hnh.
b, Cỏc bc tin hnh
*-Nghiờn cu ti liu :
+SGK - Sỏch tham kho ; tp trớ toỏn hc.
*-S dng phng phỏp phõn tớch i lờn (xung), tng hp
6


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

ca dy hc .
*- So sỏnh, tng kt
*- Kt hp vi hi ng s phm nh trng cựng nghiờn cu vn dng kin
thc hp lý khụng quỏ sc hc sinh trong khuụn kh chng trỡnh hc .
Tng kt kinh nghim bng thc t ging dy (c bit l bi dng hc
sinh gii) ca bn thõn v ng nghip
bi dng hc sinh gii Toỏn núi chung v gii toỏn trờn mỏy tớnh núi riờng
cú hiu qu theo tụi phi lm c nhng cụng vic sau:
- u nm phõn loi i tng hc sinh, chn nhng em hc khỏ Toỏn tr
lờn v chm hc vo i tuyn HSG Toỏn.
- Chun b ti liu, sỏch tham kho, sỏch nõng cao mụn Toỏn.
- Son ni dung bi dng hc sinh gii, trong ni dung bi dng hc sinh gii
phi h thng, phõn loi c tng dng Toỏn khi c phõn cụng bi dng
- Lờn k hoch bi dng hc sinh gii theo tng tun .
- Thng xuyờn tỡm hiu v nghiờn cu cỏc kin thc cú liờn quan trờn mng

internet.
- Cỏc dng toỏn gii phng trỡnh, h phng trỡnh v cỏc bt ng thc trong
chng trỡnh THCS.
* Thi gian to gii phỏp:
Nm hc 2012 2013; 2013 - 2014.
B. NI DUNG
1. Mc tiờu
Sỏng kin kinh nghim ny c ỏp dng trong hai khi 8 v khi 9 kh
nng nhn thc ca hc sinh khụng ng u, a s hc sinh cũn thiu ng c
hc tp, li hc, khụng tớch cc hc tp vỡ cho rng õy l chuyờn khú
khụng quan trng, khụng thit thc vy vic phỏt huy tớnh tớch cc ca mt s
hc sinh ú rt hn ch. Hn na nhng hc sinh trờn ớt c s quan tõm ca
gia ỡnh.Vỡ vy ũi hi s c gng tn tõm ca ngi thy dn giỳp cỏc em hũa
nhp vi kh nng nhn thc chung cu mụn hc.
Rốn luyn Gii phng trỡnh h phng trỡnh bng phng phỏp dựng bt
ng thc l mt trong nhng cỏch hỡnh thnh kin thc, k nng mi cho hc
sinh phng phỏp luyn tp thụng qua bi tp l quan trng nõng cao cht
7


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

lng dy v hc b mụn. Vi hc sinh hat ng gii bi tp l hot ng tớch
cc cú tỏc dng sau:
- Rốn k nng vn dng kin thc ó hc, kin thc tip thu c qua bi
ging thnh kin thc ca mỡnh, kin thc c nh lõu khi c vn dng
thng xuyờn.
- o sõu m rng kin thc ó hc mt cỏch sinh ng, phong phỳ, hp
dn.
- L phng tin ụn tp, cng c, h thng hoỏ mt cỏch tt nht kin

thc ó hc.
- Phỏt trin nng lc nhn thc, rốn trớ thụng minh cho hc sinh.
2. GII PHP CA TI
1.2. QU TRèNH THC HIN
A- p dng bt ng thc Cauchy
1. Kin thc
Bt ng thc Cauchy l mt bt ng thc quen thuc i vi hu ht
hc sinh. Tuy nhiờn, ngi ta vn xõy dng c nhiu bi toỏn mi hay khú.
Bt ng thc cauchy c phỏt biu:
Cho dóy s khụng õm a1,a2,......an. Ta cú bt ng thc:
a1 + a2 + .....an n

n

a1a2 ...an

V du bng xy ra khi v ch khi a1=a2=....=an
Bt ng thc c chớnh minh trong rt nhiu ti liu, xin phộp khụng
trỡnh by chng minh trong bi vit ny.
2. Mt s vớ d.
Phng trỡnh, h phng trỡnh gii bng cỏch dựng bt ng thc cauchy
rt phong phỳ v a dng. Thụng qua cỏc vớ d in hỡnh mong rng chỳng ta s
nhn dng nhanh c im ca bi toỏn.
Vớ d 1: Gii phng trỡnh:
x + y + z + 4 = 2. x 2 + 4. y 3 + 6. z 5

* Li gii:

iu kin cú ngha: x 2 ; y 3 ; z 5.
8

Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

p dng Bt ng thc Cauchy, ta cú:
2 x 2 x 2 +1

(1)

6 z 5 z 5+9

4

y 3 y 3 +4

(2)

(3)

Cng (1), (2), (3), ta cú:
2 x 2 + 4 y 3 + 6. z 5 x + y + z + 4

Du = xy ra khi x 2 = 1;

y 3 = 2;

z 5 = 3

Vy nghim ca phng trỡnh l: (x ; y; z) = (3; 5; 8)
Nhn xột: õy l phng trỡnh vụ t khụng chớnh tc, bi toỏn cũn cú

nhng cỏch gii khỏc, tuy nhiờn vi cỏch gii dựng bt ng thc Cauchy l
dng ý ca ngi vit. õy l bi toỏn c bn, chỳng ta cú th to nhiu bi
tng t vi mt chỳt bin i.
Vớ d 2: Gii phng trỡnh: 16 x 4 + 5 = 63 4 x 3 + x
Li gii:
iu kin cú ngha: Vỡ 16x4 + 5 > 0 nờn 3 4 x 3 + x > 0 x > 0
p dng Bt ng thc Cauchy cho 3 s dng 4x; 4x2 +1 ; 2 ta cú:
6 3 4 x 3 + x = 3 3 4 x(4 x 2 + 1).2 4 x + (4 x 2 + 1) + 2 = 4 x 2 + 4 x + 3

=> 16x4 + 5 4x2 + 4x + 3
8x4 - 2x2 - 2x + 1 0
(2x-1)2 . (2x2 + 2x + 1) 0
(2x - 1)2 0, vỡ (2x2 + 2x + 1) 0, nờn x = 1/2 tha món
Nhn xột: õy l bi toỏn phng trỡnh vụ t khú, hiu gii bng cỏch
nõng lờn ly tha thỡ bi toỏn phc tp v khú gii c . Bng cỏch quan sỏt, s
dng iu kin hp lý, bt ng thc Cauchy kt hp vi bin i tng ụng
chỳng ta tỡm ra li gii. Quan sỏt k chỳng ta cú th to ra mt lp bi toỏn bng
cỏch bin i i lờn.
Vớ d 3: Gii h phng trỡnh
9


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

2x2 +

1
=3
y4

2 y2 +

1
=3
x4

Li gii: Cng v vi v ta cú:
2 x2 +

1
1
+ 2 y2 + 4 = 6
4
x
y

(1)

ỏp dng Bt ng thc Cauchy ta cú: x 2 + x 2 +
y2 + y2 +

1
1
3.3 x 2 x 2 . 4 = 3
4
x
x

1
1

3.3 y 2 y 2 . 4 = 3
4
y
y
x2 =

1
x4
1

2
Vy du bng xy ra (1) khi: y = y 4 x = 1
y= 1

Vy nghim ca h phng trỡnh l:
( x ; y) = (1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1)
Nhn xột: ng gúc no ú, thỡ õy l l phng trỡnh i xng loi
2, bi toỏn cú th gii theo phng trỡnh chung ú. Vn dng bt ng thc
cauchy trong bi l li gii c ỏo v sỏng to. Ch s dng bt ng thc
Cauchy thỡ phng trỡnh (1) d phỏt hin hn so vi h phng trỡnh u bi
cho. ỏp dng cỏch gii, ta cú th to ra nhiu bi hay v khú hn.
Vớ d 4: Gii h phng trỡnh :
2x2
=y
1 + x2
2 y2
=z
1+ y2
2z2
=x

1+ z2

Li gii:
10


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

D thy ( x; y; z) = (0; 0; 0) l mt nghim ca h phng trỡnh
Xột x, y, z 0 v x, y, z > 0
p dng Bt ng thc Cauchy ta cú: 1+ x2 2x , 1+ y2 2y ,1 +z2 2z.
2 y2
2x2
2z2

y

x
z Vy t h phng trỡnh ta cú:
Nờn ta cú:
;
;
1+ y2
1+ x2
1+ z2

y x z y do ú x = y = z . Gii ra ta cú: x = y = z = 1
Vy h phng trỡnh cú hai nghim (x, y, z) = {(0, 0, 0) ; (1, 1, 1)}
Nhn xột: õy l h phng trỡnh cú dng hoỏn v, ngoi cỏch gii trờn,
bi toỏn cũn cỏch gii khỏc. Tuy nhiờn cỏch gii trờn ngn gn, phự hp vi hc

sinh THCS hn, Bt ng thc Cauchy ó em li li gii hay, c ỏo.
B- p dng bt ng thc BUNHIACễPSKI.
1- Kin thc:
Khi nhc n bt ng thc chỳng ta khụng th khụng nhc n Bt ng
thc Binhiacụpski. õy l mt bt ng thc quen thuc vi hc sinh, c s
dng nh mt cụng c, trong phn ny chỳng ta nghiờn cu di dng ng dng
gii phng trỡnh, h phng trỡnh khụng mu mc. Trc ht ta phỏt biu bt
ng thc Binhiacụpski.
Gi s: a1, a2,, an v b1, b2,bn l hai hóy s tựy ý.
Ta cú bt ng thc.
(a1b1 + a2b2+ anbn) (a12 + a22 + .... + an2 ).(b12 + b22 + .... + bn2 ) .
a

a

a

1
2
n
V du bng xy ra khi: b = b = .... b
1
2
n

Bt ng thc c chng minh trong rt nhiu ti liu, xin phộp khụng
trỡnh by cỏch chng minh trong bi vit ny.
2. Mt s vớ d:
K thut dựng bt ng thc Bunhiacụpski trong gii phng trỡnh, h
phng trỡnh thng phong phỳ v a dng. Khi gii dng toỏn bng phng

11


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

phỏp ny, cn quan sỏt, cú k nng nhn bit cỏc cp s. Sau õy l mt s vớ d
phõn tớch nhn bit ny:
Vớ d 1: Gii phng trỡnh
7 x + x 5 = x 2 12 x + 38

Li gii:
iu kin cú ngha: 5 x 7.
p dng bt ng thc Bunhia-cụpski ta cú:
V trỏi: 7 x + x 5 1 + 1.

(

) (
2

7x +

x 5

)

2

=2

V phi: x2 - 12x + 38 = (x-6)2 + 2 2

(1)
(2)

Vy VT 2 VP
7 x
=
1

x 5
1

( x 6) 2 = 0

T (1), (2) ng thc xy ra khi:

x = 6

Vy phng trỡnh cú nghim duy nht x = 6
Nhn xột: õy l bi toỏn c bn i vi hc sinh. Nhn bit hai b s
7x ;

x 5 v 1; 1 s dng bt ng thc Buhnhia-cụpski ỏnh giỏ v trỏi

kt hp dựng hng ng thc ỏnh giỏ v phi. Cỏch thit k nhng bi toỏn
nh vy s kim tra c nhiu lung kin thc ca hc sinh.
Vớ d 3: Gii h phng trỡnh
( x + 3 y + 4 z ) 2 = 26(x 2 + y 2 + z 2 )
x 3 + y 3 + z 3 = 92

Li gii:
p dng bt ng thc Bunhia-cụpski ta cú:
( x + 3 y + 4 z ) 2 (12 + 32 + 4 2 )( x 2 + y 2 + z 2 )

( x + 3 y + 4 z ) 2 26( x 2 + y 2 + z 2 )

12

(1)


“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh
“
Đẳng thức (1) xảy ra khi

x y z
= = kết hợp với hệ phương trình ta tìm được
1 3 4

nghiệm duy nhất (x, y, z) = (1 ; 3 ; 4).
Nhận xét: Đây là hệ phương trình không mẫu mực. Để phát hiện ra cách
vận dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski trong bài ta chú ý đến vế phải của
phương trình thứ nhất (chứa x2 + y2 + z2), Sau đó chọn bộ số thích hợp là 1; 3; 4
và x, y, z để đánh giá. Phương trình thứ hai chỉ dùng khi đánh giá xong phương
trình thứ nhất. Những bài kiểu này dễ thiết kế, xong khó giải. Người giải phải có
kiến thức nhất định về bất đẳng thức.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
1 + x1 + 1 + x2 + ... 1 + x2006 = 2006.

2007
2006

1 − x1 + 1 − x2 + ... 1 − x2006 = 2006.

2005
2006

Lời giải:
Điều kiện có nghĩa; -1 ≤ xi ≤ 1 ; i = 1, 2 …., 2006.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
2006 2.

(

2007
=
2006

1 + x1 + 1 + x2 + ... + 1 + x2006

)

2

≤ (1 + 1 + ... + 1)(1 + x1 + 1 + x2 + ... + 1 + x2006 )
2006.2007 ≤ 2006.(2006 + x1 + x2 + ... + x2006 )

⇒ x1 + x2 + ... + x2006 ≥ 1
2006 2.

2005
=
2006

(

(1)

1 − x1 + 1 − x2 + ... + 1 − x2006

)

2

2006.2005 ≤ 2006.(2006 − x1 − x2 − ... − x2006 )

⇒x1 + x2 + ... + x2006 ≤ 1

(2)

Từ (1), (2) ⇒ x1 + x2 + ….+ x2006=1
điều kiện bất đẳng thức của hệ xảy ra, nên hệ đã cho tương đương với:
13


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

1 + x1 = 1 + x2 = ... = 1 + x2006

Tng ng vi:

1 x1 = 1 x2 = ... = 1 x2006
x1 + x2 + ... + x2006 = 1

=> x1 = x2 = x 2006 = 1/2006
Nhn xột: õy l bi toỏn khú, du bit rng phi s dng bt ng thc.
Cỏch ỏnh giỏ liờn lc hai phng trỡnh ri so sỏnh vi nhau ũi hi ngi gii
phi cú k nng thun thc, sỏng to, nhy bộn trong vn dng bt ng thc núi
chung.
1 + x1 + + 1 + x2 + ... 1 + xn = n.

n+k
n

1 x1 + + 1 x2 + ... 1 xn = n.

nk
n

Tng quỏt ta cú bi toỏn sau:

C- Gii phng trỡnh bng cỏch ỏnh giỏ cỏc n
1- Kin thc:
Nhiu bi toỏn tng chng khụng gii c , tht bt ng chung ta ch
cn ỏnh giỏ, so sỏnh cỏc n trong phng trỡnh thỡ bi toỏn cho ta mt li gii
thỳ v n bt ng.
K thut trong phn ny thng s dng quan sỏt cỏc n, ỏnh giỏ hai
v hoc gia cỏc phng trỡnh ca h tỡm ra s kiờn h gia cỏc n s, t ú
cú c mt phng trỡnh , h phng trỡnh n gin hn.

2. Mt vớ d:
Trong phn ny thụng qua mt vớ d, chỳng ta quan sỏt cỏch ỏnh giỏ gia
cỏc n hoc vi mt s, t ú xỏc nh c nghim ca h.
Vớ d 1: Gii phng trỡnh
20 x 2 + 10 x + 3
= y 2 + 2(2 x 3) y + 5 x 2 16 x + 20
2
3x + 2 x + 1

Li gii:
* Xột v trỏi:

14


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

20 x 2 + 10 x + 3 20 x 2 + 10 x + 3
( x 2) 2
=
7 + 7 =7 2
7
3x 2 + 2 x + 1
3x 2 + 2 x + 1
3x + 2 x + 1

ng thc xy ra khi x = 2

(1)

* Xột v phi: y2 + 2 (2x - 3) y + 5x2 - 16x + 20
= (y+2x-3)2 + (x-2)2 + 7
7

ng thc xy ra khi x = 2 , y = 1

(2)

T (1), (2) phng trỡnh cú mt nghim duy nht
Nhn xột: õy l bi toỏn rt phc tp, khụng gii c trc tip. Bng
cỏc quan sỏt chỳng ta ỏnh giỏ hai v ca phng trỡnh vi cựng s 7, bi toỏn
cú nghim duy nht. Cỏch to c bi toỏn ny khụng khú nhng gii c thỡ
khụng d.
Vớ d 2: Gii h phng trỡnh:
x + 1998 y = 1998
1998 x + y = 1998

Li gii:
iu kin ca bi: 0 x 1998

0 y 1998

- Nu x > y thỡ: x + 1998 y > y + 1998 x

=> Vụ lý

- Nu x > y thỡ: x + 1998 y > y + 1998 x

=> Vụ lý

- Vy x = y ta cú h phng trỡnh:

x + 1998 x = 1998

Bỡnh phng hai v: x + 2 x(1998 x) + 1998 x = 1998
x = 0 , x = 1998.
Vy phng trỡnh cú hai nghim (x ; y) {(0 ; 0) , (1998 ; 1998)}.
Nhn xột: Bi toỏn cú vai trũ bỡnh ng. Bng s ỏnh giỏ gia hai n, ta
tỡm c x = y l then cht ca bi. ý tng ny c s dng rng trong cỏc
bi cha n cú vai trũ nh nhau.
D -Mt s cỏch s dng khỏc ca bt ng thc.
15


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

1- Kin thc
ó núi v bt ng thc thỡ rt rng v khú, vic s dng cng a dng v
phong phỳ, cỏc thit mc trờn ó kim tra qua nhng nột chớnh, nhng kin thc
kinh in. Trong mc ny chỳng ta xột thờm mt s k thut khỏc m tng
chng nh n gin song ụi khi li gp khú khn. Mt s chỳ ý l:
- iu kin ca bi toỏn.
- Tớnh cht ca ly tha, 0 a 1, m > n > 0 => am an 1
1 a; m < n => am an.
- Bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i.
| A| +| B| | A + B| | A| - | B|

; | A| -A

- Lm tri bt ng thc khụng cht,

2. Mt s vớ d.
Sau õy thụng qua mt s vớ d, chỳng ta thy s linh hot ca ý tng s
dng, s dng phong phỳ ca ng dng bt ng thc.
Vớ d 1: Gii h phng trỡnh:
x +1 + y = 1
x + y +1 = 1

Li gii:
iu kin ca bi toỏn 0 x, y.
=> x + 1 1, y + 1 1. Vy:
x +1 + y 1
x + y +1 1

ng thc ch xy ra khi x = 0 , y = 0
Vy bi toỏn cú nghim duy nht x = y = 0
Nhn xột: Qu tht bi toỏn trờn cú li gii bt ng v n gin, ch cn
s dng iu kin ca bi nh mt nhn xột l tỡm c li gii. bi toỏn ny

16


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

khụng khú, cú th gii theo cỏch khỏc nhng di v khụng p.. Vỡ vy trc khi
gii h phng trỡnh vụ t nờn quan tõm n iu kin n s.
Vớ d 2: Gii h phng trỡnh:
x 2006 + y 2006 = 1

(1)

x 2007 + y 2007 = 1

(2)

Li gii:
T phng trỡnh (1) ta cú: | x| 1, | y| 1 => 1 - x 0,1 -y 0.
Ly phng trỡnh (1) tr i (2) v vi v, ta cú:
x 2006 (1 x ) + y 2006 (1 y ) = 0

M

x 2006 (1 x ) + y 2006 (1 y ) 0

ng thc ch xy ra khi x = 0, y = 1 hoc x = 1, y = 0
Vy bi toỏn cú hai nghim x = 0, y = 1 v x = 1, y = 0.
Nhn xột: bi toỏn ny ó s dng tớnh cht ca ly tha 0 a 1, m >
n > 0 =>am an 1 chỳng ta cú th m rng v s n. Dng bi ny cú dựng
tớnh giỏ tr biu thc v vn l tỡm giỏ tr ca n, Cỏch thit k kiu bi ny
khụng khú.
Vớ d 3: Gii phng trỡnh
x2 x +1 + x2 x 2 = 3

Li gii:
Cỏch 1: ỏp dng bt ng thc A + B A + B. Du bng xy ra khi
2
2
2
2
A. B > 0, Vy ta cú x x + 1 + x x 2 = x x + 1 + 2 x + x

x2 x +1+ 2 x2 + x = 3
ng thc xy ra khi ( x 2 x + 1).(2 x 2 + x) 0
M x2 -x + 1 > 0 =>2- x2 + x 0 - 1 x 2.
Cỏch 2: ỏp dng bt ng thc A A du bng xy ra khi A 0
x2 -x + 1 > 0 => | x2 -x + 1| = x2 -x + 1.
17


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

| x2 -x - 2| (-x2 - x - 2).
| x2 -x + 1| + | x2 -x - 2| x2 -x + 1 - (x2 -x - 2) = 3
ng thc xy ra khi: x2 -x - 2 0 - 1 x 2.
Nhn xột: Thụng thng hc sinh dựng phng ỏn phỏ du giỏ tr tuyt
i. Nhng cỏch gii bi ny l s dng bt ng thc cha du giỏ tr tuyt
i ó cho li gii n gin v ngn gn. Nu chỳng ta tng thờm cỏc biu thc
cha du giỏ tr tuyt i thỡ c nhiu bi toỏn hay v khú.
2.2 Kt qu thc hin
Vn dng phng phỏp Gii phng trỡnh, h phng trỡnh bng phng phỏp
dựng bt ng thc ó hỡnh thnh cho hc sinh mt s k nng v gii phng
trỡnh, h phng trỡnh. Giỳp cho hc sinh nhỡn nhn mt dng toỏn di lng
kớnh nhiu mt vi nhiu mu sc khỏc nhau trong quỏ trỡnh vn dng linh hot
cỏc k thut gii.
- ễn tp, cng c v o sõu cỏc kin thc v s hc, i s cú liờn quan
ng thi giỳp cho hc sinh hỡnh thnh thúi quen suy ngh nh hng tỡm tũi li
gii trc mt bi toỏn. T ú giỳp hc sinh cú thúi quen gii toỏn theo mt trỡnh
t khoa hc.
- Xõy dng c mt h thng phng phỏp v k nng Giỳp cho hc sinh
v giỏo viờn cú mt t liu tham kho cho hot ng dy hc toỏn hc vi vic
bi dng hc sinh khỏ, gii trong nh trng ph thụng hin nay.

- Hỡnh thnh hc sinh thúi quen khai thỏc kin thc c bn trong chng
trỡnh theo chiu sõu. Giỳp cho cỏc em cú c t duy sõu sc linh hot, c lp
sỏng to trong quỏ trỡnh gii toỏn.
- Giỳp cho hc sinh phõn loi c cỏc dng bi tp v phng phỏp, k
nng gii cho tng loi to iu kin cho cỏc em nhỡn nhn mt vn toỏn hc
(phng trỡnh v h phng trỡnh) di con mt hon thin hn.
- Hỡnh thnh hc sinh thúi quen khỏm phỏ, khai thỏc tỡm tũi li gii cho mt
bi toỏn phỏt huy c tớch cc suy ngh trong quỏ trỡnh gii toỏn.
- Gúp phn trau di cho hc sinh nhng phm cht nh tớnh c lp kiờn trỡ
sỏng to tớch cc tỡm tũi v giỳp cỏc em hon thin dn cỏc phm cht o c,
phm cht trớ tu trong quỏ trỡnh hc toỏn nh trng ph thụng.
- Phỏt huy c c tớnh t hc, t tỡm tũi nghiờn cu gúp phn tụ im cho
vic i mi phng phỏp ging dy v hc tp ca giỏo viờn v hc sinh m ht
nhõn l: " Ly lụgic hc ca hc sinh lm trung tõm " t ú nõng cao tng bc
cht lng hc tp mụn Toỏn cho cỏc em.
18


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

Vỡ vy trong cỏc nm hc va qua trong quỏ trỡnh dy bi dng Hc sinh
gii nm hc no tụi cng cú hc sinh gii cp huyn v trong kỡ thi tuyn sinh
vo lp 10 tụi cú hc sinh t im tuyt i mụn Toỏn. c bit nm hc 2013
- 2014 hc sinh ca tụi tham d kỡ thi chn hc sinh gii cp huyn 3 trong
s 4 em d thi( u t gii ba) v cú 1 hc sinh t gii nhỡ thi Violympic trờn
mng cp huyn.
C. KT LUN
1.Kt lun
- Khi cha c tip cn vi cỏc bi toỏn khụng chớnh tc, hu ht hc sinh u
t ra lỳng tỳng, mt phng hng tỡm ra li gii. Khi lm quen vi s phõn tớch

sõu sc, hu ht cỏc em u thớch thỳ v say mờ bi s mi l, sỏng to, khụng
mỏy múc.Vi kin thc nh vy cỏc em nm bi tt hn, liờn h cỏc kin thc
vi nhau mt thit hn, thc s bi b cỏc cht toỏn cho cỏc em tt hn trong
cỏc mụn hc khỏc cng nh trong cuc sng.
Nhiu hc sinh ca tụi khi c hc, ó thnh cụng nhiu trong k thi hc sinh
gii toỏn, thi vo cỏc lp cht lng cao ca trng THPT Phự C trong nhng
nm gn õy.
Phng trỡnh, h phng trỡnh khụng chớnh tc l mt dng toỏn khú, a dng,
thng c dựng trong cỏc k thi chn hc sinh gii cỏc cp, cng nh thi vo
cỏc lp cht lng cao. Cỏc bi toỏn nh vy luụn l vn nan gii i vi hu
ht hc sinh núi chung, hc sinh khỏ gii núi riờng.
Trong mt s nm qua, bng s trn tr tỡm ra ý tng cho nhng bi toỏn
hay v khú ny,tụi ó tỡm tũi, phõn dng ging dy nhm mc ớch truyn t
hiu qu nht n vi hc sinh.
Tht bt ng, khi ging dy chuyờn ny, tụi thy hc sinh rt say mờ
mi khi t mỡnh khỏm phỏ ra li gii. Bc u ó lm cho hc sinh khỏm phỏ,
t tỡm cỏc kin thc cú liờn quan gii. Qua õy, tụi cng thy kin thc toỏn
hc sinh c nõng nhiu phn khỏc nhau.
S dng bt ng thc v tớnh cht ca nú vo gii phng trỡnh, h
phng trỡnh l mt ng dng ln. S phõn chia nh trờn ch l ý tng ca tụi
19


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình

cũn nhiu phn cha nờu ht, ti ny hy vng giỳp chỳng ta phn no khú
khn trong ging dy v hy vng cỏc bn ng nghip nờu tip nhng ng dng
m bi vit ny cha nờu c.
Mc dự ó ginh nhiu thi gian, cụng sc, tỡm hiu, rỳt kinh nghim v c
gng cho bn ti song do nhiu lớ do, trong ú lớ do cũn hn ch v kin

thc cng nh phng phỏp nờn SKKN chc khụng th trỏnh khi thiu xút.Tụi
mong c s úng gúp, b sung.
2- Kin ngh:
- Vi nh trng: Cn khuyn khớch ng viờn mi giỏo viờn thc hin v ỏp
dng nhng sỏng kin hay y mnh phong tro chuyờn mụn trong nh
trng.
- Vi Phũng, S giỏo dc: ngh quan tõm u t m nhiu chuyờn bi
dng cỏc chuyờn cú liờn quan n mụn Toỏn c bit bi dng giỏo viờn ụn
hc sinh gii nõng cao trỡnh , phng phỏp, nng lc s phm cho giỏo
viờn dy hc.
Tụi xin cam oan õy l SKKN ca bn thõn tụi t t nn múng v cú s tham
kho ca ng nghip trong T v ti liu trờn mng. Khụng sao chộp ca ngi
khỏc.
Ngy 20 thỏng 3 nm 2013
NGI VIT
TRN NG TIN

20


“Dïng bÊt ®»ng thøc ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh
“

Mục lục
Nội dung

Trang

- Phần lí lịch
A. Mở đầu.

1. Đặt vấn đề
- Thực trạng vấn đề
- Ý nghĩa và ......
- Phạm vi nghiên cứu
2. Phương pháp tiến hành
- Cơ sở lý luận và thực tiễn
- Các biện pháp tiến hành..........
B. Nội dung
1. Mục tiêu
2. Giải pháp
- Kết quả thực hiện
C. Kết luận
- Kết luận
- Đề xuất, kiến nghị
* Mục lục
* Tài liệu tham khảo

3
4
4
5
5
6
7
8
18
19
20
21
22

21


Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình


Ti liu tham kho
- SBT mụn Toỏn 8, 9.
- Mt s vn phỏt trin Toỏn 8, 9 tp 1, 2 ca V Hu Bỡnh.
- 12 chuyờn Toỏn S cp ca NXB Giỏo Dc
- Tỡm hiu v PT i s ca V Hong Lõm v Nguyn .
- Toỏn nõng cao chuyờn i s 8, 9.

22