Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.88 MB, 51 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
NGẠC NGỌC KHÔI
DƢỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI
CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƢỚI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN-2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
NGẠC NGỌC KHÔI
DƢỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI
CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƢỚI
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN-2016
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả
Ngạc Ngọc Khôi
ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám đốc TTGDTX Tỉnh Hà Giang cùng các
đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và
hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2016
Tác giả
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................iii
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 2
3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 2
4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2
Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 4
1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị ........................................... 4
1.2. Hàm đa điều hoà dưới................................................................................... 7
1.3. Hàm đa điều hoà dưới cực đại
............................................................... 9
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức .................................................................... 10
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor ............................................................ 13
1.6. Các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong
n
................. 17
Chƣơng 2: DƯỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯƠ
.......́ I19
2.1. Độ đo Monge - Ampère của dưới thác triển cực đại .................................. 19
2.2. Thế vị trên miền Kahler .............................................................................. 21
2.3. Dưới thác triển của các hàm tựa đa điều hòa dưới ..................................... 30
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 45
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
n
Cho
hoà dưới âm
.
j
0
j
( ) là lớp các hàm đa điều
với giá trị biên 0 và độ đo Monge-Ampere hữu hạn trên
trên
( ) là lớp các hàm đa điều hoà dưới âm
giảm
sup
là một miền giả lồi. Ký hiệu
các hàm đa điều hoà dưới trong
(dd c j )n
. Nếu
và
trên
0
sao cho tồn tại dãy
( ) hội tụ đến
là các miền siêu lồi với
( ) thì có thể chỉ ra rằng tồn tại một hàm đa điều hòa dưới
sao cho
thác triển của
trên
tới
và
(dd c )n
thỏa mãn
n
và
( )
(dd c )n . Hàm như thế được gọi là dưới
.
El Mir, năm 1980, đã cho một ví dụ về một hàm đa điều hòa dưới trên
song đĩa đơn vị trong
2
mà hạn chế lên một song đĩa bé hơn không có dưới
thác triển lên toàn bộ không gian. Đồng thời chỉ ra rằng, sau khi làm yếu đi tính
kỳ dị của hàm đa điều hòa dưới đã cho bằng sự hợp thành với hàm lồi tăng
thích hợp, có thể đạt được dưới thác triển toàn cục. Kết quả này được tổng quát
bởi Alexander và Taylor, năm 1984.
U. Cegrell và A. Zeriahi, năm 2003 đã chứng minh rằng hàm đa điều hòa
dưới với độ đo Monge – Ampere bị chặn đều trên một miền siêu lồi bị chặn
luôn có dưới thác triển đa điều hòa dưới đến một miền siêu lồi lớn hơn. U.
Cegrell, S. Kolodziej và A. Zeriahi, năm 2005 đã chỉ ra rằng hàm đa điều hòa
dưới với độ đo Monge – Ampere trên một miền siêu lồi bị chặn luôn có dưới
thác triển đa điều hòa dưới toàn cục với cấp tăng lôga ở vô cùng.
2
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài “Dưới thác triển cực
đại của hàm đa điều hoà dưới”. Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều
nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả gần đây của U. Cegrell, S.
Kolodziej và A. Zeriahi về dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả của lý thuyết đa thế vị.
+ Nghiên cứu độ đo Monge - Ampère của dư ới thác triển cực đại , thế vị
trên miền Kahler và dưới thác triển của các hàm tựa đa điều hòa dưới.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương
pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 46 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về dạng vi phân
và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm
đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh BedfordTaylor, các lớp năng lượng và năng lượng có trọng trong
n
.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả gần đây
của U. Cegrell, S. Kolodziej và A. Zeriahi về dưới thác triển cực đại của hàm
đa điều hoà dưới. Trong đó đề cập đến bài toán dưới thác triển địa phương và
3
toàn cục của hàm (quasi-) đa điều hoà dưới từ miền con “chính qui” của đa tạp
Kahle compact. Chứng minh c ận đúng trên khối lư ợng Monge - Ampère phức
của một hàm cho trước kéo theo sự tồn tại của một dư ới thác triển tới một miền
con chí nh quy lớn hơn hoặc tới toàn bộ đa tạp compact . Trong một vài trường
hợp sẽ chỉ ra rằng dư ới thác triển cực đại có một độ đo Monge - Ampère phức
hoàn toàn xác định và thu được đánh giá chính xác trên độ đo này. Cuối cùng là
một ví dụ của hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn
xác định và cận phải trên khối lượng Monge - Ampère của nó trên hình cầu đơn
vị trong
n
mà dưới thác triển cực đại tới không gian xạ ảnh phức
có độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định toàn cục.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
n
không
4
Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị
n
Giả sử
ej
là không gian vectơ n chiều với cơ sở chính tắc
j
(0,..., 0,1, 0,..., 0) , ở đó 1 ở vị trí thứ j . Giả sử với mỗi 1
u j là hàm tọa độ thứ j : u j (x )
n
f :
x j . Một ánh xạ
n kí hiệu
n
...
gọi
p
tuyến tính nếu nó là tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định.
là p
tuyến tính sao cho f (v1,..., v p )
Một ánh xạ p
gọi là ánh xạ p
từ
n
n
...
0 khi v j
tuyến tính thay dấu. Tập các ánh xạ p
tới
p
kí hiệu
n
(
v j 1,1
j
n
tuyến tính thay dấu
, ).
p
n
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử
ánh xạ
:U
Nếu đặt dxk (x )
trên
p
(
n
uk ,1
là tập mở. Một p
k
n, x
thì ta có thể viết mỗi p
'
I
hàm trên
dạng vi phân
dưới dạng:
(i1,..., ip ),1
.
i1
là
, ).
(x )
ở đó I
dạng vi phân trên
...
ip
I
(x )dx I
n, dx I
dxi
1
... dxi ,
p
I
(x ) là các
5
'
Giả sử
I
i1
1
(p
ip
...
I
dx I là p
'
dạng và
J
n và 1
j1
q ) dạng cho bởi công thức
L
ik
k
jl với 1
l1
1
j1
j2
l1
1
lp
...
lp
...
l
q và
n với
q
jq
...
p,1
bậc n . Cho
(p
( 1)
I
J
1,...,n
là
dx L
L
dxl
0 nếu
... dxl
1
i2
...
p q
,
ip và
để tạo thành dãy tăng
n.
q
với p
dạng
dx L , ở đó
L
là hoán vị của dãy i1
Nếu f là một hàm thì f
Mọi p
dx L
L
trong tập hợp
dạng, ở đó
(x )dxJ là q
n khi đó tích ngoài
jq
...
J
là p
f
và (f )
f(
).
n đều bằng 0. Các dạng có bậc cực đại là các dạng
dạng lớp C 1 . Vi phân ngoài (đạo hàm ngoài) của
là
1) dạng cho bởi:
d
'd
I
Nếu d
0 ta nói
Giả sử
dx1
dx I
I
là dạng đóng. Mọi dạng có bậc cực đại là đóng.
L1( ) . Khi đó
... dxn ,
dx1
dV là độ đo Lebesgue trên
... dxn
dV ,
.
Định nghĩa 1.1.2. Một dòng bậc p hay có chiều (n
là dạng tuyến tính liên tục T :
(n p )
( ) , giá trị của T tại
(n p )
( )
p) trên tập mở
. Nếu
, kí hiệu bởi T ( ) hay T ,
n
là dạng trong
.
6
Bây giờ giả sử p, q
0,1,..., n . Ta kí hiệu
n
bậc (p, q) hệ số hằng trên
. Khi đó nếu w
w
J
ở đó wJK
, dzJ
dz j
k1
1
kq
...
Khi đó dạng thể tích trên
n
Nếu w
( p,p )
với w j
(1,0)
Giả sử
dzk
... dzk tổng lấy theo các
q
1
(k1,..., kq ) với 1
1
n!
...
n
n
( ) ).
...
jp
...
i
dz
2 n
n ,
z
n
cho bởi:
i
2
2
2n
n
j 1
dz j
dz j
cho bởi:
i
dz
2 1
dz1
i
dz
2 2
i
( )n dz1
2
dz1
... dzn
dzn
i
w
2 2
w2
có thể biểu diễn w
i
w
2 1
w1
dz 2
...
i
w
2 p
dzn
wp
thì w gọi là dạng dương sơ cấp.
n
là tập mở. Tập các dạng vi phân song bậc (p, q ) với hệ số
thuộc C 0 ( , ) (tương ứng C 0 ( , ) ) được kí hiệu
( p,q )
0
j1
n.
i
2
1
n!
... dz j , dz K
thì w có thể biểu diễn:
q
( j1,..., j p ), K
Dạng K a hler chính tắc trên
dV
dz K
p
1
bộ đa chỉ số J
( p,q )
' wJKdzJ
p, K
là tập các dạng phức song
( p,q )
( p,q )
( ) (tương ứng
7
Định nghĩa 1.1.3. Mỗi phần tử T
(
(n p,n p )
( )) gọi là một dòng song
bậc (p,q ) hay (p, q ) dòng (tương ứng song chiều (n
phần tử của (
p, n
q)). Những
(n p,n q )
0
( )) gọi là dòng cấp 0 , song bậc (p,q ) (hay
(p, q ) dòng cấp 0 ).
n
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử T là (p, p) dòng trên tập mở
. T được gọi
là dương nếu với mỗi dạng sơ cấp
i
2
ta có T
1
1
i
2
2
2
...
i
2
n p
n p
C(n
là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel trên
p,n p )
.
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X
được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi
x
X : u(x )
là một tập con mở của
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với
b
n
, hàm
n
và u :
,
u(a
b) là điều hoà dưới hoặc trùng
:a
b
là
trên bất kỳ thành phần liên
. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a
phần của tập hợp
u
tập hợp
là mở trong X.
Định nghĩa 1.2.2. Cho
thông nào của
,
và
trên mỗi thành
. Trong trường hợp này, ta viết
PSH ( ) . (ở đây kí hiệu PSH ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong
).
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:
Mệnh đề 1.2.3. Nếu u, v
u
v.
PSH ( ) và u
v hầu khắp nơi trong
, thì
8
Mệnh đề 1.2.4. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền
bị chặn, tức là nếu
u
là một tập con mở liên thông bị chặn của
PSH ( ) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z
u(z )
z
V : u(z )
Định lý 1.2.6. Cho
y
y
n
được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm
u, v
(ii ) Nếu
lim u j
j
u
v
uj
PSH ( ) hoặc u
là các số không âm và
j
PSH ( ) là dãy giảm, thì
.
(iii ) Nếu u :
, và nếu u j
tập con compact của
, thì u
A
,
. Khi đó
PSH ( ) .
là liên thông và
(iv ) Giả sử u
n
là một tập con mở trong
PSH ( ) , thì
PSH (V ) sao cho
.
(i ) Họ PSH ( ) là nón lồi, tức là nếu
u
,
E đều có một lân cận V của a và một hàm u
E V
và
sup lim sup u(y ) .
Định nghĩa 1.2.5. Tập hợp E
a
n
j
PSH ( ) hội tụ đều tới u trên các
PSH ( ) .
PSH ( ) sao cho bao trên của nó u
sup u là bị
A
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều
hoà dưới trong
.
Định lý 1.2.7. Cho
là một tập con mở của
n
.
và v
(i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà dưới trong
là lồi, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong
.
0 . Nếu
:
9
(ii ) Cho u
PSH ( ) , và v
PSH ( ) , v
0 trong
. Nếu
lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong
(iii ) Cho u, v
: 0,
0,
0 trong
là lồi và (0)
0 , thì v (u / v)
n
Định nghĩa 1.2.8. Một miền bị chặn
0 trong
. Nếu
PSH ( ) .
được gọi là miền siêu lồi nếu tồn
tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục
c
là
.
, và v
PSH ( ) , u
:
:
(
, 0) sao cho với
0
z
c
: (z ) c
.
1.3. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại
Định nghĩa 1.3.1. Cho
là một tập con mở của
n
và u :
là hàm
đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact
tương đối G của
v
, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho
PSH (G ) và v
u trên
G , đều có v
u trong G.
Sau đây là một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới cực đại:
Mệnh đề 1.3.2. Cho
n
là mở và u :
là hàm đa điều hoà dưới.
Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i ) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của
nếu lim inf(u(z ) v(z ))
z
ii ) Nếu v
cho u
v
0, với mọi
PSH ( ) và với mỗi
trong
\ K , thì u
và mỗi hàm v
G , thì u
PSH ( ) ,
v trong G ;
0 tồn tại một tập compact K
v trong
.
sao
10
iii ) Nếu v
PSH ( ) , G là một tập con mở compact tương đối của
v trên G thì u
u
iv ) Nếu v
v trong G ;
PSH ( ) , G là một tập con mở compact tương đối của
lim inf(u(z )
z
v(z ))
, và
G , thì u
0, với mỗi
, và
v trong G ;
(v ) u là hàm cực đại.
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức
n
Cho u là đa điều hoà dưới trên miền
. Nếu u
C 2( ) thì
toán tử:
c
dd u
n
:
c
dd u
...
c
dd u
2
u
z j zk
n
4 n ! det
n
với dV là yếu tố thể tích trong
n
có thể xem như độ đo Radon trên
dV ,
1 j ,k n
gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này
, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên
dd cu
C0
n
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn
địa phương trên
um
u và
thì tồn tại dãy
dd cum
n
lim
m
um
m 1
PSH ( ) C ( ) sao cho
hội tụ yếu tới độ đo Radon
dd cum
n
d ,
trên
C0
tức là:
.
11
Hơn nữa
không phụ thuộc vào việc chọn dãy um
(dd cu)n
như trên, ta ký hiệu:
và gọi là toán tử Monge-Ampe của u .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe.
Mệnh đề 1.4.1. Giả sử
tụ yếu tới độ đo Radon
i ) Nếu G
lim inf
j
j
là tập compact thì (K )
(G ) .
lim sup
j
iii ) Nếu E compact tương đối trong
: ( E)
Chứng minh. i ) Ta có
(K ) : K
(G )
(K )
Từ đó
ii ) Ta có (K )
cận mở của K và
( )
(G )
inf
j
( )
j
lim inf
j
j
(V ) : V
(K )
j
0 thì (E )
lim
j
G . Giả sử K
lim inf
j
K ,V
,V
j
j
(E ) .
G là tập
(G ) .
lim
j
j
j
( )
(K ) .
V 0 . Giả sử V là một lân
1 trên K . Khi đó
1 và
lim sup
(K ) .
(G ) .
C 0(V ) , 0
( )
j
1 trên K . Khi đó
1 và
lim
(V )
Từ đó
sup
C 0(G ) , 0
compact. Lấy
hội
. Khi đó
là tập mở thì (G )
ii ) Nếu K
n
là dãy các độ đo Radon trên tập mở
j
lim sup
j
j
(K ) .
12
iii ) Viết E
E . Khi đó
IntE
(E )
(int E )
lim inf
j
lim sup
Mặt khác
(E )
lim sup
j
j
(E )
Từ đó
(E )
lim sup
j
(E ) .
Vậy
(E )
lim
j
0 trên
dương, đóng trên
z
và lim u(z )
z
(E ) .
PSH ( ) Lloc ( )
0 . Giả sử T là (n
vdd cu T
0 thì
0 , đặt u
1, n
1) dòng
udd cv T .
T và dd cv T là các độ đo Borel dương
max u,
và u tăng tới 0 khi
. Khi đó u
0 và là hàm đa điều
giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu
Lebesgue ta có
udd cv T
(u
(E ) .
udd cv T .
Chứng minh. Chú ý rằng dd cu
hòa dưới trên
j
. Khi đó
Đặc biệt, nếu lim v(z )
. Với
j
là miền bị chặn và u, v
vdd cu T
trên
j
j
lim inf
(E ) .
n
Mệnh đề 1.4.2. Giả sử
sao cho u, v
j
j
(int E )
j
u )dd cv T
lim
0
(u
lim
0
u )dd cv T và
(u
u)
dd cv T .
1/ j
13
Do lim u (z )
0 nên u
z
'
miền
(u
u)
u
nên dd cu
. Lấy
. Khi đó với j đủ lớn,
0
và do giả thiết T là (n
C0
1/ j
đóng trên
u
u
sao cho
0 là tập compact tương đối trong
u
1, n
1) dòng dương,
T là (n, n) dòng dương, đóng với mọi
PSH ( ) Lloc ( ) , suy ra
(u
dd cv T
u)
vdd c ((u
1/ j
vdd c ((u
u)
1/ j
\
1/ j
'
) T
u)
1/ j
) T
'
vdd c ((u )
) T
1/ j
vdd c ((u
) T
'
vdd c (u
u)
1/ j
) T
'
vdd c (u
1/ j
) T.
'
Nhưng dd c (u
vdd c (u
1/ j
1/ j
dd c (u
T ) hội tụ yếu tới dd cu
1/ j
) T hội tụ yếu tới vdd cu
vdd cu T
'
Từ đó cho
) T
vdd c (u
lim inf
j
0 suy ra
T . Khi đó
T . Vậy
1/ j
'
) T
(u
u )dd cv T .
'
vdd cu T
vdd cu T . Cho
ta được
bất đẳng thức cần chứng minh.
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor
Định lý 1.5.1. Giả sử
cho lim inf(u(z )
z
v(z ))
n
là miền bị chặn và u, v
0 . Khi đó
PSH ( ) L ( ) sao
14
(dd cv )n
(dd cu )n .
u v
(1.1)
u v
Chứng minh. Trước tiên, theo giả thiết có lim inf(u(z )
v(z ))
z
có nghĩa là với mọi
0 tồn tại K
u(z )
v(z )
nữa
u
v
u
.
Hơn
u
v
v thì cho
sử lim infz
khi
u
và u
Từ
thiết
giả
u(z )
0 . Vậy u
v(z ))
v trên
v
và u
lim inf(u(z ) v(z ))
u
nên
v(z ) với z gần biên
v trên
, >0 ,
v . Vì vậy có thể giả
v là tập mở, u, v liên
max u
u(z )
. Vậy u
,v .
v(z )
u(z )
. Theo công thức Stokes ta có
(dd cu )n
(dd cu)n
hay
(dd cu )n
(dd cu )n .
u v
Vì u
v nên (dd cu )n
(dd cv )n
u v
thì
.
0 , đặt u
. Với
z
v(z )
u
\ K thì
0 . Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên
khi
a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó
tục trên
bởi
0 suy ra (1.1) đúng trên u
(u(z )
z
sao cho
thay
0 . Điều này
u v
(dd cv)n . Vậy
(dd cu )n
lim inf
0
u v
(dd cu)n .
u v
hay
gần biên
15
b ) Giả sử u, v tùy ý và
là miền sao cho u
v
/2
. Tồn tại
hai dãy u j và vk các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của
và v sao cho u j
vk trên
v
v
sao cho
j
uj v
uj v
uj
(dd cv )n
G và vì u j
(dd cv )n
uj
(dd cv )n
G
uj
vì C n G,
là tập mở nên
(dd cvk )n
lim
k
,
uj v
và (dd cvk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n .
uj
v
(dd cvk )n
uj
liên tục trên
(dd cv)n .
lim
u v
Từ
0 . Lấy
\ G . Ta có
(dd cv)n
Nhưng u j
u j , vk
, u, v là các hàm
\G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm
trên F
1
là tập mở sao cho C n G,
0 và giả sử G
liên tục trên
với mọi i, k . Có thể coi
giảm tới u
G và u j
(dd cvk )n
uj v
v
uj
(dd cvk )n
G
(dd cvk )n
u j vk
Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và vk ta thu được
(dd cvk )n
u j vk
(dd cu j )n .
u j vk
vk suy ra
.
16
Do đó
(dd cv)n
(dd cu j )n
lim inf lim inf
j
u v
k
2
uj vj
(dd cu j )n
lim sup
j
2 .
uj v
Hơn nữa
(dd cu j )n
(dd cu j )n
uj v
và do u
uj v
F là tập compact và u j
v
(dd cu j )n
lim sup
j
uj v
Do
F
v
u
v nên ta có
(dd cu )n
u v
F
F
(dd cu )n .
u v
0 tùy ý nên ta được
(dd cv )n
(dd cu )n .
u v
u v
0 ta có
Từ đó với mọi
(dd cv )n
u
(dd c (u
v
u
))n
(dd cu)n .
v
u
v
Nhưng
u
khi
v
u
v
và
u
v
0 . Do đó
(dd cv )n
u v
(dd cu )n .
u v
u
v
17
n
Hệ quả 1.5.2. Giả sử
cho u
v và lim u(z )
là miền bị chặn và u, v
lim v(z )
z
0 . Khi đó
z
(dd cv )n
(dd cu )n .
( )
( )
n
Hệ quả 1.5.3. Giả sử
cho lim inf(u(z )
v(z ))
z
trên
PSH ( ) L ( ) sao
là miền bị chặn và u, v
0 . Giả sử (dd cu)n
PSH ( ) L ( ) sao
(dd cv)n trên
. Khi đó u
v
.
n
Hệ quả 1.5.4. Giả sử
cho lim inf(u(z )
0 và (dd cu)n
v(z ))
z
là miền bị chặn và u, v
PSH ( ) L ( ) sao
(dd cv)n . Khi đó u
v.
1.6. Các lớp năng lƣợng và các lớp năng lƣợng có trọng trong
n
Định nghĩa 1.6.1. Miền bị chặn
hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục
z
gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một
:
(
: (z )
, 0) sao cho với
c
n
c
0
.
Kí hiệu PSH ( ) là lớp các hàm điều hòa dưới âm trên
Dưới đây giả sử
n
.
. Ta có các định nghĩa sau
Định nghĩa 1.6.2.
0
( )
PSH ( ) L ( ) : lim
( )
PSH ( ) : { j }
(z )
z
0
( ),
j
(dd c )n
0,
, sup
j
(dd c j )n
.
.
18
Định nghĩa 1.6.3. Cho
u
( )
là hàm tăng.
:
PSH ( ) : u j
0
( ), u j
sup
u trong
) u j (dd cu j )n
(
j
:
Định lí 1.6.4. Cho
(0)
Borel B
( ) và đặt u j
j
j
(u j )(dd cu j )n
là hàm không giảm sao cho t
:
phức (dd cu )n hoàn toàn xác định và
:
Mệnh đề 1.6.6. Cho
Khi đó nếu tồn tại dãy (uk )
sup
k
thì hàm u
(u)(dd cu)n .
( ). Nói riêng, với u
( )
lim uk
k
( ) hội tụ tới u sao cho
thì
lim
đó
và
B
là một dãy giảm bất kì trong
Định lý 1.6.5. Cho
)
(u)(dd cu )n .
B
(u j )(dd cu j )n
(
max(u, j ). Khi đó với mỗi tập
(u j )(dd cu j )n
, ta có lim
Hơn nữa nếu (u j )j
sup j
là hàm tăng thỏa mãn
0 . Cố định u
và thoả mãn
. Khi
( ) tuỳ ý, toán tử Monge-Ampere
(u)
L1((dd cu)n ).
là hàm không giảm sao cho t
( ) sao cho
(uk )(dd cuk )n
và do đó u
,
( ).
.
19
Chƣơng 2
DƢỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI
2.1. Độ đo Monge - Ampère của dƣới thác triển cực đại
Trước khi xét dưới thác triển từ một miền siêu lồi đến
đến một k ết quả về
n
D
, chúng ta cần
dưới thác triển tới một tập siêu lồi lớn hơn
. Cho
là hai miền siêu lồi bị chặn (mở và liên thông ) và u
một hàm cho trước . Khi đó , u có một dưới thác triển
u
n
u
(D) là
( ) , nghĩa là
u trên D (xem [10]). Do đó , ta có thể đị nh nghĩ a dưới thác triển cực đại
của u bởi
uˆ
sup v
Từ [6] suy ra rằng uˆ
PSH ( ) : v
0, v |D
u
(2.1).
( ) . Đị nh lý dưới đây đưa ra một sự mô tả độ đo
Monge - Ampère của dưới thác triển cực đại . Trước tiên ta cần Bổ đề cơ
bản sau
Bổ đề 2.1.1.([4]) Giả sử
j
là một dãy độ đo dương xác định trên D với khối
0 tồn tại một số
lượng bị chặn đều và với m ỗi
E
f,g
D với cap(E )
ta có
j
(E )
0 sao cho với mọi
với mọi j . Nếu lim
j
và
PSH (D) thì
d
{f g }
Đị nh lý 2.1.2. Cho D
(dd cuˆ)n
j
. Với mọi u
D
d
lim inf
j
.
{f g }
(D), uˆ
(dd cuˆ)n
(dd cu)n và
( ), ta có
0.
{uˆ u }
Chứng minh. Phát biểu thứ nhất của định lý đã được chứng minh trong [7].
Lưu ý rằng hàm uˆ được xác đị nh bởi (2.1) là hàm đa điều hòa dưới nếu
u là một hàm liên tục trên D . Từ đó, dễ dàng chỉ ra trong trường hợp này ta có
20
(dd cuˆ)n
0.
{uˆ u }
Bây giờ, giả sử u
L (D) và lấy một dãy hàm liên tục u j trên D
giảm dần về u . Khi đó uˆj giảm đến uˆ và dãy {uˆj } bị chặn đều trên
uˆ
uˆj
vì
. Do đó, độ đo Monge - Ampère (dd cuˆj )n được làm trội đều
0 trên
bởi dung lượng Monge - Ampère.
Vì vậy, nếu đặt
đị nh rằng với mọi s
(dd cuˆ)n
(dd cuˆj )n thì có thể áp dụng Bổ đề 2.1.1 để khẳng
j
0 ta có
(dd cuˆj )n
lim inf
j
{uˆs u }
(dd cuˆj )n
lim inf
j
{uˆs u }
{uˆj u j }
(dd cuˆj )n
do lưu ý ở phần đầu chứng minh này
0,
0 . Để kết thúc chứng
{uˆj u j }
minh trong trường hợp này ta chỉ cần cho s
(D) ta xét u j
Nếu u
max{u, j } . Khi đó, với mỗi t
(dd cu j )n
max u / t, 1
1
khi j
0 cố đị nh ta có
max u / t, 1
1
(dd cu)n,
.
Chú ý rằng hàm 1
max u / t; 1
bởi 1. Hơn nữa, với bất kỳ j
1u
.
c
j
dd u j
Do đó với j
1
n
triệt tiêu trên u
t ta có u
t
c
dd u
tăng tới độ đo 1 u
t và bị chặn trên
u
j
và dãy độ đo
n
(xem [3]).
t ta nhận được
max u / t; 1
c
dd u j
n
1u
Từ đó suy ra với mỗi t cố định, dãy độ đo
c
j
dd u j
n
1u
c
n
dd u .
