SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong việc dạy học toán ta ln coi mục đích chủ yếu là hình thành và phát
triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào
thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải
từng dạng toán là hết sức cần thiết. Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ
thông, đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên
nghiệp những năm gần đây bao giờ cũng có một câu hình tọa độ trong khơng
gian, hoặc có những câu hình khơng gian mà khi dùng phương pháp tọa độ để
giải thì bài tốn trở nên đơn giản. Vì vậy khi dạy chương phương pháp tọa độ
trong khơng gian, bản thân tôi luôn trăn trở làm thế nào để khi học chương này
học sinh khơng thấy khó, mà phải tự tin làm bài.Với suy nghĩ như vậy khi dạy
phần bài tập phương trình đường thẳng trong khơng gian tôi đã chuẩn bị một
chuyên đề xem như một đề tài cải tiến phương pháp dạy học để dạy cho các em:
“ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn viết phương trình
đường thẳng trong khơng gian “. Và trong năm học 2014 - 2015 Bộ giáo dục
lại gộp hai kỳ thi lại một nên việc rèn luyện và tổng hợp cho học sinh kỹ năng
giải các dạng tốn là rất cần thiết vì vậy tơi mạnh dạn đưa ra các bài toán này
nhằm giúp học sinh giải quyết các bài toán tốt hơn.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
- Trong đề tài cho phép tôi viết tắt: vtcp ( véc tơ chỉ phương ); vtpt (véc tơ pháp
tuyến).
- Trước hết, yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về đường thẳng,
phương trình của đường thẳng. Muốn viết phương trình đường thẳng cần biết
một điểm mà nó đi qua và 1 véc tơ chỉ phương.
Viết phương trình của đường thẳng
→

Bước 1: Tìm 1 vtcp u (a; b; c) của đường thẳng.
Bước 2: Tìm điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng.
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng:

 x = x0 + at

Phương trình tham số :  y = y 0 + bt (t ∈ R)
 x = z + ct
0

Phương trình chính tắc:

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

(abc ≠ 0)

Chú ý
1)Nếu đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ≠ 0) và ( P ′) : A′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0

( A′2 + B′2 + C ′2 ≠ 0) . Khi đó:
1


→ →


- Đường thẳng ( d) có 1 vtcp u = n1 , n2  (Trong đó n1 ; n2 lần lượt là vtpt của



→

→

→

(P) và (P’) )
- Muốn tìm một điểm thuộc (d) thì ta cho x = x 0, giải hệ phương trình tìm y, z.
(Thường cho x một giá trị nguyên và tìm y, z nguyên).
uuu
r
2) Đường thẳng (d) qua 2 điểm A, B thì (d) có 1 vtcp là AB .
3) Đường thẳng (d) vng góc với mp(P) thì (d) có 1 vtcp là 1 vtpt của (P).
4) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (∆) thì (d) và (∆) có vtcp cùng
phương.
5) Hai đường thẳng vng góc thì hai vtcp của chúng vng góc với nhau.
II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Đứng trước những bài tốn hình học tọa độ không gian học sinh thường lúng
túng không xác định được đường lối, phương pháp giải. Các em cho rằng nhiều
dạng tốn như thế thì làm sao nhớ hết các dạng và cách giải các dạng đó, nếu bài
tốn khơng thuộc dạng đã gặp thì khơng giải được. Một số học sinh có thói quen
khơng tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã kêu khó và khơng làm nữa. Số tiết bài tập
dành cho loại bài tập này ít, trong sách giáo khoa dạng bài tập này không có
nhiều, một số tài liệu cũng có nhưng khơng có tính chất hệ thống . Tuy nhiên nó
có thể có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi tỉnh. Với thực
trạng đó để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải các bài tập nói
chung và các bài tốn viết phương trình đường thẳng trong khơng gian nói riêng
giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải, khai thác tính chất
đặc trưng hình học của bài tốn để tìm các cách giải nhằm phát huy được tính tự

giác, tích cực của học sinh. Trong khn khổ đề tài này tơi chỉ nêu được một số
bài tốn, một số cách giải và một số bài tập.
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có một véc
tơ chỉ phương.
→

Cách giải : Biết A(x1; y1;z1) là điểm cho trước, vtcp u (a; b; c) của đường thẳng
hoặc là cho trực tiếp, hoặc là cho gián tiếp.
→

- Nếu cho trực tiếp vtcp u (a; b; c) của đường thẳng thì ta viết được
 x = x0 + at

Phương trình tham số :  y = y 0 + bt
 x = z + ct
0


Phương trình chính tắc:

(t ∈ R)

x − x0 y − y0 z − z0
(abc ≠ 0)
=
=
a
b
c

→

- Nếu cho gián tiếp véc tơ chỉ phương của đường thẳng thì ta tìm vtcp u (a; b; c)
của đường thẳng dựa vào các giả thiết của bài toán.
2


Ví dụ1:
Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình chính tắc đường thẳng
(d) đi qua điểm M(-2;1;0) và vng góc với mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 1= 0 .
Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là n(1;2;−2) . Do đó đường thẳng (d)
đi qua điểm M(-2;1;0) và nhận n(1;2;−2) làm 1 vtcp có phương trình chính tắc
x + 2 y −1 z
=
+
1
2
−2
Ví dụ2 : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho B( 1;2;1) và C( 1;1;3).Viết
phương trình tham số của đường thẳng BC.
Hướng dẫn giải: Đường thẳng BC đi qua B(1;2;1) và nhận BC = (0;−1;2) làm 1

là :

x = 1

vtcp. Vây BC có phương trình tham số là :  y = 2 − t
 z = 1 + 2t


Ví dụ3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d 1) là giao
tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y - z +2 = 0 và (P’): 2x – y +5z - 1 = 0.Viết
phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm M(1;2;-2) và song song
với đường thẳng (d1).
Hướng dẫn giải:
→ →
→ → 
u
=
n
,
n
=
(
4
;
−
7
;
−
3
)
Cách 1: Véc tơ chỉ phương của (d) là
(Trong
đó
lần
1
2
n



1 ;n2
→

lượt là vtpt của (P) và (P’)). Đường thẳng (d) đi qua M(1;2;-2) nhận
→

u = (4 − 7 − 3) làm 1 vtcp có phương trình là:

x −1 y − 2 z + 2
=
=
.
4
−7
−3

Cách 2 : Gọi A(1;-4;-1), B(5;-11;-4) là hai điểm thuộc đường thẳng (d 1).Ta có
AB = (4;−7;−3) là 1 vtcp của (d). Khi đó (d) có phương trình:

x −1 y − 2 z + 2
=
=
.
4
−7
−3

Lưu ý: Có nhiều cách để chọn hai điểm thuộc (d 1), thơng thường chọn một giá
trị x ngun để tìm y ngun và z ngun, mục đích để việc tính tốn dễ dàng

hơn. Tuy nhiên trong nhiều bài tốn tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc đường
thẳng (d1) gặp khó khăn dẫn đến mất thời gian, dễ dẫn đến sai lầm. Nên học sinh
phải biết lựa chọn cách giải nào cho phù hợp.
Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và (P) : 2x – 2y +
z – 1= 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vng
góc với (P).

3


2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm B(1;3;4) và đường thẳng
 x = 1 + 2t

(d 1 ) :  y = −3t . Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của
 z = 2 + 3t


đường thẳng (d) đi qua điểm B và song song với đường thẳng (d1).
3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(3; 5; 7), B(1;2;3) và
C(-1;1;2). Viết phương trình tham số của đường thẳng :
a, Đi qua hai điểm A và B.
b, Đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam
giác ABC.
Bài tốn 2: Viết phương trình đường góc chung (d) của hai đường thẳng
chéo nhau (d1) và (d2).
Cách giải :
Cách 1: Viết phương trình (d1 ) , (d 2 ) dưới dạng tham số, suy ra toạ độ

M ∈ (d1 ) theo tham số t, toạ độ của N ∈ (d 2 ) theo tham số t'.

MN ..u1 = 0

Giải hệ 

MN ..u2 = 0

 

tìm được t, t' ( u1;u2 lần lượt là vtcp của (d1 ) và (d 2 ) ), suy ra

toạ độ điểm M, N. Từ đó viết được phương trình MN và cũng chính là phương
trình của (d).
Cách 2: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp




u1 và đi qua A; Đường thẳng (d 2 ) có 1

vtcp u2 và đi qua B. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1 ) và (d); Gọi (Q) là mặt phẳng
chứa (d 2 ) và (d), suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Từ đó suy ra được
phương trình của đường thẳng (d).
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) :
 x = −1 + 2t
x y −1 z + 2

=
=
và (d 2 ) :  y = 1 + t . Viết phương trình chính tắc đường vng
2

−1
1
z = 3


góc chung (d) của (d1 ) và (d 2 ) .
Hướng dẫn giải:
→

Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp u1 (2;−1;1) ; đường thẳng (d 2 ) có 1 vtcp
→

u 2 (2;1;0) .

Gọi

M (2t1 ;1 − t1 ;−2 + t1 ) ∈ (d1 ); N (−1 + 2t ;1 + t ;3) ∈ (d 2 ) .

Suy

ra

MN ..u1 = 0

3t − 6t1 + 3 = 0
⇔
⇔ t = t1 = 1 . Khi đó
MN ..u2 = 0
5t − 3t1 − 2 = 0

MN (2t − 1 − 2t1 ; t + t1 ;5 − t1 ) .Ta có 

4


M(2;0;-1); MN (−1;2;4) . Do đó phương trình chính tắc đường vng góc chung
(d) là phương trình của đường thẳng MN :

x − 2 y z +1
= =
−1
2
4

→

Cách 2: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp u1 (2;−1;1) và đi qua A(0;1;-2); Đường


thẳng (d 2 ) có 1 vtcp u 2 (2;1;0) và đi qua B(-1;1;3); gọi u = u1 , u2  = (−1;2;4) .


→

→

→

→

Đường vng góc chung (d) của (d1 ) và (d 2 ) là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) và (Q) trong đó: (P) là mặt phẳng chứa (d1 ) và (d) nên (P) đi qua A nhận
→
1 → → 
n1 = u , u1  = (2;3;−1) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x+3(y-1)-(z+2) = 0 hay
3


2x+3y-z-5=0. (Q) là mặt phẳng chứa (d 2 ) và (d) nên (Q) đi qua B nhận
→
 → →
n2 = u 2 , u  = (4;−8;5) làm 1 vtpt có phương trình là: 4x - 8y + 5z – 3 = 0.Vậy tập



2x + 3y - z - 5 = 0 .
(I)
4 x − 8 y + 5 z − 3 = 0

hợp những điểm nằm trên (d) có tọa độ thỏa mãn hệ: 

x = 2 − t
x − 2 y z +1

= =
Đặt y = 2t thì hệ (I) trở thành  y = 2t
hay
.
−1
2

4
 z = −1 + 4t


Vậy đường thẳng (d) có phương trình chính tắc là:

x − 2 y z +1
= =
−1
2
4

Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;1;4); B(3;3;1);
C(1;5;5); D(1;1;1).Hãy viết phương trình tham số đường vng góc chung của
hai đường thẳng AC và BD.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần
 x = −1 + 3t


x −2 y −3 z +4
=
=
lượt có phương trình là (d1) :
; (d2):  y = 4 − 2t .
2
3
−5


z = 4 − t
Viết phương trình chính tắc đường vng góc chung của chúng.
3.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d 1):
x−2 y+2
z
=
=
và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x –2y +z = 0;
1
5
−2

x – 3z + 5 = 0. Viết phương trình tham số đường vng góc chung của chúng.
Bài tốn 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M vng góc với hai
đường thẳng (d1) và (d2).
Cách giải :
5


→

→

Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp u1 , đường thẳng (d2 ) có 1 vtcp u 2 . Chọn
→ → 
u = k u1 ,u 2  (k ≠ 0) làm 1 vtcp của (d). Suy ra phương trình của (d).



→

Cách 2: Đường thẳng (d) là giao tuyến cưa hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó
(P) là mặt phẳng đi qua M và vng góc với (d1 ) ; (Q) là mặt phẳng đi qua M và
vng góc với (d 2 )
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;1) và hai đường
thẳng (d1):

x − 2 y −1 z +1
x − 3 y −1 z
=
=
=
= . Viết phương trình chính tắc
; (d2):
3
2
1
1
−1
1

đường thẳng (d) đi qua M, vng góc với hai đường thẳng (d1) và (d2).
Hướng dẫn giải:
→

→

Đường thẳng (d1 )có 1 vtcp u1 (3;2;1) , (d2 ) có 1 vtcp u 2 (1;−1;1) .



Chọn u = u1 , u 2  = (3;−2;−5) làm 1 vtcp của (d). Đường thẳng (d) đi qua M có
→

→

→



phương trình là:



x − 2 y +1 z −1
=
=
3
−2
−5

Giáo viên: Yêu cầu học sinh về tự làm các cách cịn lại.
Bài tập: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số
đường thẳng đi qua điểm N(3;2;4) vng góc với hai đường thẳng có phương
trình lần lượt là

x −1 y +1 z − 2
x+4 y+2 z−4
=
=
=

=
và
.
3
2
−1
2
−3
1

Bài tốn 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vng góc với
đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).
Cách giải :

Cách 1: Tìm véc tơ chỉ phương u của (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d) và
(d2) qua t (đường thẳng (d2) viết về dạng tham số), giải phương trình MN .u = 0
tìm được t. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và có vtcp MN .
Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vng góc với đường thẳng
(d1). Tìm giao điểm N của (P) với (d 2), chọn véc tơ k MN (k ≠ 0) là 1vtcp của
(d). Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng (d).
Cách 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vng góc với đường thẳng
(d1). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và chứa đường thẳng (d 2). Đường
thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường
thẳng (d) và (d') lần lượt có phương trình (d):

x−2 y+2 z −3
=
=
; (d'):

2
−1
1

x −1 y −1 z +1
=
=
. Viết phương trình chính tắc đường thẳng (∆) đi qua điểm A
−1
2
1

vng góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d').
6


Hướng dẫn giải :
→

Cách 1: Đường thẳng (d) có 1 vtcp u1 (2;−1;1) ; gọi (α ) là mặt phẳng qua A và
→

vng góc với (d) thì (α ) nhận u1 (2;−1;1) làm 1 vtpt có phương trình là:
2x – y + z – 3 = 0. Gọi B là giao điểm của (d') và (α ) tọa độ điểm B là nghiệm
x = 2
2 x − y + z − 3 = 0


của hệ:  x − 1 y − 1 z + 1 ⇔  y = −1 Đường thẳng (∆) đi qua điểm A nhận
 − 1 = 2 = 1

 z = −2

AB(1;−3;−5) làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là:

x −1 y − 2 z − 3
=
=
1
−3
−5

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách cịn lại.
Bài tập:
1.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1) và hai đường thẳng
(d1):

x −1 y + 2 z
=
= ; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y – z + 2 = 0;
3
1
1

x + 1 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A vng góc
với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;1) và hai đường thẳng
x = 3 + t
x − 2 y −1 z +1

=

=
(d1):
; (d2):  y = 1 − t . Viết phương trình chính tắc đường thẳng
3
2
1
z = t


đi qua M, vng góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2).
Bài tốn 5: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vng góc và cắt
đường thẳng (d1).
Cách giải :

Cách 1 : Tìm véc tơ chỉ phương u của (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d)
và (d1) qua t.(đường thẳng (d1) viết về dạng tham số). Giải MN .u = 0 tìm được t,
viết phương trình (d) qua M và có 1 vtcp MN .
Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vng góc với (d 1).Tìm
giao điểm N của (P) với (d1) chọn k MN (k ≠ 0) là 1 vtcp của (d) . Từ đó suy ra
phương trình của đường thẳng (d).
Cách 3 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó
(P) qua M và vng góc với đường thẳng (d1); (Q) qua M và chứa (d1).
Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4;-2;4) và đường
 x = −3 + 2t

thẳng (d):  y = 1 − t
. Viết phương trình chính tắc đường thẳng (∆) đi qua A,
 z = −1 + 4t


vng góc và cắt đường thẳng (d).
Hướng dẫn giải:
7


Cách1: Gọi M (−3 + 2t;1 − t ;−1 + 4t ) ∈ (d ) là giao điểm của (d) và (∆) thì
AM = (1 + 2t ;3 − t ;−5 + 4t ) ; đường thẳng (d) có 1 vtcp u = (2;−1;4) .Vì (∆) vng góc
(d) nên AM .u = 0 ⇔ 21t = 21 ⇔ t = 1 . Với t = 1 thì AM = (3;2;−1) do đó (∆) đi qua A
nhận AM = (3;2;−1) làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là:

x+4 y+2 z−4
=
=
3
2
−1

Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) thì (P) đi qua A nhận
u = (2;−1;4) là 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x - y + 4z -10 = 0.
Gọi M là giao điểm của (d) và (P), tìm được tọa độ của M(-1;0;3); (∆) đi qua 2
điểm A, M.Vậy phương trình (∆):

x+4 y+2 z−4
=
=
3
2
−1

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách cịn lại.

Bài tập:
1, Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng (d)
có phương trình:

x −1 y +1 z
=
=
. Viết phương trình chính tắc đường thẳng (∆)
2
1
−1

đi qua điểm M cắt và vng góc với đường thẳng (d).
2, Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;0) và đường thẳng (d)
là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x + y +z + 2 = 0; x – y + 2z + 1 = 0. Viết
phương trình tham số đường thẳng đi qua điểm M cắt và vng góc với đường
thẳng (d).
Bài tốn 6: Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua M cắt hai đường
thẳng (d1) và (d2).
Cách giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d1); (Q) là mặt phẳng đi qua
M và chứa (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và đường
x −1 y z − 3
= =
; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z - 1 = 0;
2
1
−1

thẳng (d1)

y + 2z - 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M cắt
cả hai đường thẳng (d1) và (d2).
Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và
(Q), trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d 1), (Q) là mặt phẳng đi qua M
và chứa (d2). Đường thẳng (d1) đi qua N(1;0;3) và có 1 vtcp u = (2;1;−1) . Ta chọn

[

]

n = u ; MN = (3;−4;2) là 1 vtpt của (P). Suy ra (P) có phương trình là :

3x - 4y + 2z - 9 = 0. Tương tự ta tìm được phương trình (Q) là : x + y + z - 1 = 0.
3 x − 4 y + 2 z − 9 = 0
(I)
x + y + z − 1 = 0

Tập hợp những điểm nằm trên (d) có tọa độ thỏa mãn hệ: 

8


 x = 7 + 6t

Đặt y = t thì hệ (I) trở thành  y = t
Vậy đường thẳng (d) có phương trình
 z = −6 − 7t


chính tắc là:

x−7 y z+6
= =
6
1
−7

Chú ý : Ta có thể lấy hai điểm bất kỳ thỏa mãn hệ (I) và (d) chính là đường
thẳng đi qua hai điểm đó. Hoặc lấy một điểm bất kỳ thỏa mãn hệ (I) và 1 vtcp
của (d) là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3;-2;5) và hai đường thẳng
 x = −3 + 3t
 x = 3 + 2t


(d1); (d2) lần lượt có phương trình: (d1)  y = 1 + 4t ; (d2)  y = 1 − t .
 z = 2 + 2t
 z = 2 − 3t



Viết phương trình tham số đường thẳng (∆) đi qua A, cắt cả hai đường thẳng (d 1)
và (d2).
 x − 2 + 2t

2..Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1):  y = −5t và
z = 2 + t


(d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng : x + y + 2z = 0; x – y +z + 1 = 0. Viết
phương trình đường thẳng đi qua M(1;1;1;) đồng thời cắt cả (d1) và (d2).
Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M song song với mặt
phẳng (P) và cắt đường thẳng (d').
Cách giải :
Cách 1 : Viết phương trình đường thẳng (d') dưới dạng tham số , suy ra toạ độ
giao điểm I của (d) và (d') được biểu thị theo tham số t. Giải phương trình
IM .n P = 0 ( do (d) // mp(P) ) tìm được t. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng
MI chính là phương trình đường thẳng (d) cần tìm.
Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa (d'); Viết phương
trình mặt phẳng (R) qua M và song song với (P). Từ đó đường thẳng (d) là giao
tuyến của (Q) và (R) .
Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 1), mặt phẳng
(P): x - 2y + 3z -1 = 0.Và đường thẳng (d') là giao tuyến của hai mặt phẳng
(α ) : 4 x + y − z − 6 = 0; ( β ) : x + y − 3 = 0 . Viết phương trình tham số đường
thẳng (d) đi qua M, cắt đường thẳng (d'), đồng thời song song với mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải:

9


→

Cách 1: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là n = (1;−2;3) . Đường thẳng (d') là giao tuyến
của hai mặt phẳng (α ) : 4 x + y − z − 6 = 0; ( β ) : x + y − 3 = 0 nên tập hợp những
4 x + y − z − 6 = 0
(I) .
x + y − 3 = 0

điểm nằm trên (d') có tọa độ là nghiệm của hệ 
x = t

Đặt x = t thì hệ (I) trở thành  y = 3 − t
 z = −3 + 3t


x = t

Vậy đường thẳng (d') có phương trình tham số là:  y = 3 − t
 z = −3 + 3t


gọi N(t;3-t;-3+3t) là giao điểm của (d) và (d') ⇒ MN = (t − 1;1 − t ;3t − 4) ,
→

vì (d) // (P) nên MN . n = 0 ⇒ t =

5
. Đường thẳng (d) đi qua M nhận
4

x = 1 + t

4 MN = (1;−1;−1) làm 1 vtcp có phương trình tham số là:  y = 2 − t
z = 1 − t


Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách cịn lại.
Bài tập: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(4;2;-3), đường thẳng

(d):

x−2 y z+2
= =
và mặt phẳng (P): 2x + y - z +1 = 0. Viết phương trình
1
3
2

đường thẳng đi qua M, song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng (d).
Bài tốn 8: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, nằm trên mặt
phẳng (P) và vng góc với đường thẳng (d').
Cách giải :
→
→
Cách 1 : Tìm vtcp u của đường thẳng (d'), vtpt n của mặt phẳng (P). Vì
→
(d ) ⊥ (d ′)
→ → 

nên (d) có 1 vtcp v = u , n  . Từ đó suy ra (d) là đường thẳng qua M và


(d ) ⊂ ( p )
→

có 1 véc tơ chỉ phương v .
Cách 2 :Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và vng góc với đường thẳng
(d'). Từ đó suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (∆) :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và mặt phẳng (P): 2x + z -5 = 0 .Gọi A là giao điểm của (∆)
1
2
2

và (P). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A nằm trên
(P), và (d) vng góc với đường thẳng (∆) .
Hướng dẫn giải: Vì A ∈ (∆) ⇒ A(1 + t ;2 + 2t ;3 + 2t ) .Lại có A ∈ (P) nên

10


→
2(1+t)+3+2t-5=0, suy ra t = 0 vậy A(1;2;3). Đường thẳng (∆) có 1 vtcp u (1;2;2) ;

(d ) ⊥ (∆)



(P) có 1 vtpt n (2;0;1) ; Vì 
nên (d) có 1 vtcp v = u , n  = (2;3;−4) . Vậy (d)


(d ) ⊂ ( p )
→

→

→ →

→

là đường thẳng qua A và có 1 vtcp v = (2;3;−4) nên phương trình chính tắc của
đường thẳng (d) là :

x −1 y − 2 z − 3
=
=
2
3
−4

Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y + z -1 = 0
và đường thẳng (d'):

x −1 y z + 2
= =
.Viết phương trình đường thẳng (d) nằm
2
1
−3

trên (P) đi qua giao điểm M của (P) và (d'), vng góc với (d').
2.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x +5y + z + 17 = 0
và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x - y + 4z - 27 = 0 ;
6x +3y - z + 7 = 0. Xác định giao điểm M của (P) và (d), viết phương trình

đường thẳng (d) đi qua M vng góc với (d) và nằm trong (P).
Bài tốn 9: Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua M nằm trong mặt
phẳng (P) vng góc với đường thẳng (d) biết khoảng cách từ M đến (∆) bằng
k (k > 0 ).
→
→
Cách giải : Đường thẳng (d) có 1 vtcp u ; (P) có 1 vtpt n . Vì (∆) nằm trên (P),


vng góc với (d) nên (∆) có vtcp u1 = u , n  . Gọi N(a;b;c) là hình chiếu vng


→

→ →

MN ⊥ ∆

góc của M trên (∆) khi đó từ hệ MN = k tìm được điểm N. Viêt phương trình
 N ∈ (P )


đường thẳng (∆) .
Ví dụ :Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z + 2= 0
x − 3 y + 2 z +1
=
=
.Gọi M là giao điểm của (d) và (P), viết
2
1

−1
phương trình đường thẳng (∆) nằm trên (P), vng góc với (d) đồng thời thỏa

và đường thẳng (d ) :

mãn khoảng cách từ M tới (∆) bằng 42 .
x = 1
x − 3 y + 2 z +1
=
=


1
− 1 ⇔  y = −3
Hướng dẫn giải :Tọa độ M là nghiệm của hệ:  2
x + y + z + 2 = 0
z = 0

→

→

vậy M(1;-3;0). Đường thẳng (d) có 1 vtcp u (2;1;−1) ; (P) có 1 vtpt n (1;1;1) . Vì
→
→ → 
(∆) nằm trên (P), vng góc với (d) nên (∆) có 1 vtcp u1 =  u , n  = ( 2;−3;1) . Gọi



11

N(a;b;c) là hình chiếu vng góc của M trên (∆) khi đó MN = (a − 1; b + 3; c) ,
( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + z 2 = 42

mặt khác MN ⊥ (∆) và MN = 42 nên x + y + z + 2 = 0
2 x − 3 y + z − 11 = 0


Giải hệ tìm được 2 điểm N . Với N(5;-2;-5) ta có (∆) :
Với N(-3;-4;5) ta có (∆) :

x+3 y +4 z −5
=
=
2
−3
1

x−5 y +2 z +5
=
=
2
−3
1

Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +y -z+1= 0
x − 2 y −1 z −1
=
=

. Gọi M là giao điểm của (d) và (P), viết
1
−1
−3
phương trình tham số đường thẳng (∆) nằm trên (P), vng góc với (d) và cách

và đường thẳng (d ) :

M một khoảng bằng 3 2 .
Bài tốn 10: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P) và
cắt 2 đường thẳng (d1) và (d2).
Cách giải :Tìm giao điểm A của đường thẳng (d1) và (P); Tìm giao điểm B của
đường thẳng (d2) và (P). Phương trình của đường thẳng (d) chính là phương
trình của đường thẳng AB.
Ví dụ : Trong khơng gian Oxyz, cho (P): x - 2y + z - 2 = 0 và hai đường thẳng
 x = 1 + 2t
x +1 3 − y z + 2

( d1 ) :
=
=
; ( d 2 ) :  y = 2 + t .Viết phương trình tham số của đường
1
−1
2
z = 1 + t

thẳng (∆) nằm trong (P) cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2).

Hướng dẫn giải:

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d 1) và (d2) với (P) thì: Tọa độ điểm A là
 x = 10
x +1 3 − y z + 2
=
=


−1
2 ⇔  y = 14 vậy A(10;14;20); tọa độ điểm B là
nghiệm của hệ:  1
x - 2y + z - 2 = 0
 z = 20

 x = 1 + 2t
x = 9
y = 2 + t


⇔  y = 6 vậy B(9;6;5). Đường thẳng (∆) đi qua B
nghiệm của hệ: 
z = 1 + t
z = 5

x - 2y + z - 2 = 0
x = 9 + t

nhận BA(1;8;15) làm 1 vtcp có phương trình là :  y = 6 + 8t
 z = 5 + 15t


Bài tập:

12


1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x-3y+11z -26 = 0
và hai đường thẳng: (d1 ) :

x
y − 3 z +1
x−4 y z −3
=
=
; (d 2 ) :
= =
. Viết phương
−1
2
3
1
1
2

trình đường thẳng (∆) nằm trên (P) đồng thời cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2).
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x+3y -13z+39= 0
x = 2
x −1 y − 5 z −1

=
=

; (d 2 ) :  y = −3 + t . Viết phương trình
và hai đường thẳng: (d1 ) :
1
2
−1
 z = 5 + 2t

đường thẳng (∆) nằm trên (P) đồng thời cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2).

Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vng góc
của (d') trên mặt phẳng (P).
Cách giải :
Cách 1 : Chọn hai điểm A, B là hai điểm phân biệt thuộc (d') . Tìm toạ độ hình
chiếu H, K lần lượt của A, B trên mặt phẳng (P). Từ đó suy ra phương trình
đường thẳng HK chính là phương trình của (d) .
Cách 2 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó
(Q) là mặt phẳng chứa (d') và vng góc với (P).
*Đặc biệt: + Nếu (d') cắt (P): Tìm giao điểm A của (d') và (P). Lấy B ∈(d') tìm
hình chiếu vng góc B’ của B trên (P).Suy ra đường thẳng AB’ chính là (d).
+ Nếu (d') // (P) : Lấy B ∈(d') tìm hình chiếu vng góc B’ của B trên (P).
Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua B’ và song song với (d').
 x = 4t

Ví dụ : Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d):  y = 4 + 3t và mặt phẳng
 z = −1 − 2t


(P): x - y + 3z + 8 = 0. Viết phương trình chính tắc hình chiếu vng góc (d') của
(d) lên mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải :

→

Cách 1: Đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;4;-1) và có 1 vtcp u (4;3;−2) . Mặt
→

phẳng (P) có 1 vtpt là n (1;−1;3) . Hình chiếu vng góc của (d) lên mặt phẳng
(P) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó (Q) là mặt phẳng chứa


(d) và vng góc với (P). (Q) đi qua A nhận n1 = u , n  = 7(1;−2;−1) làm 1 vtpt có


→

→ →

phương trình: x - 2y - z + 7 = 0.Vậy tập hợp những điểm nằm trên (d') có tọa độ
x - y + 3z + 8 = 0 .
thỏa mãn hệ: 
(I) Đặt z = t thì hệ (I) trở thành
x − 2 y − z + 7 = 0

 x = − 9 − 7t

 y = −1 − 4t
z = t


13

hay

x + 9 y +1 z
x + 9 y +1 z
=
=
=
=
.Vậy (d') có phương trình là:
7
4
−1
7
4
−1

Giáo viên:u cầu học sinh về tự làm các cách cịn lại.
Bài tập:
1. Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0 và đường thẳng
x = 3

(d):  y = t
.
 z = −5 + t


Viết phương trình tham số hình chiếu vng góc của (d) lên mặt phẳng (P).
2. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x - y + z + 10 = 0, đường thẳng
(d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - y + z + 1 = 0 và x + 2y - z -3 = 0 . Viết

phương trình tham số hình chiếu vng góc của (d) lên mặt phẳng (P).
Bài tốn 12: Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với (d') qua (P).
Cách giải :
+ Nếu (d') và (P) cắt nhau: Tìm giao điểm A của (d') và (P), lấy điểm B trên
(d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì đường thẳng AB’ chính là (d).
+ Nếu (d') // (P): Lấy điểm B trên (d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì (d) là
đường thẳng đi qua B’ và song song với (d’)
Chú ý: Có thể lấy 2 điểm A, B bất kỳ phân biệt trên (d') tìm A’, B’ lần lượt đối
xứng với A, B qua (P) thì đường thẳng A’B’ chính là (d).
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d1 ) :

x − 2 y + 3 z −1
=
=
và
−1
1
1

(P): x + 3y - z + 2 = 0.Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với
đường thẳng (d1) qua mp (P).
Hướng dẫn giải: Gọi A là giao điểm của (d1) và (P) tìm được A(-4 ;3;7) lấy
x − 2 y + 3 z −1
=
=
là đường thẳng qua B và vng góc
1
3
−1
28 − 15 5

; ) ; B’ là điểm đối
với (P), gọi H là giao điểm của (d2) và (P) suy ra H ( ;
11 11 11
34 3 − 1
xứng của B qua (P) thì H là trung điểm của BB’ ⇒ B ′( ; ; ) . Đường thẳng
11 11 11
x+4 y −3 z −7
=
=
(d) chính là đường thẳng AB’ có phương trình là:
39
− 15 − 39

B(2;-3;1) ∈(d1), Gọi (d 2 ) :

Bài tập: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z - 17 = 0. Viết
phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (d1) qua mặt
phẳng (P) biết:
x−2
=
2
x−2
=
b, Đường thẳng (d1 ) :
1

a, Đường thẳng (d1 ) :

y−3
=

−3
y −3
=
−2

z −5
5
z −5
−3

14


Bài tốn 13: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu song song của
(d1) lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu (d 2). (hai đường thẳng (d1) và (d2)
phân biệt và khơng song song).
Cách giải : Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d 1) và song
song (hoặc chứa) (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
(d 1 ) :

x y −1 z
x −1 y z − 2
=
= ; (d 2 ) :
= =
. Viết phương trình chính tắc của hình
1
2
1

2
2
1

chiếu song song của (d1) lên mặt phẳng (P) : x - 2y -2z - 1 = 0 theo phương
chiếu (d2).
→

Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d1) có 1 vtcp u = (1;2;1) và đi qua điểm


M(0;1;0), đường thẳng (d2) có 1 vtcp v = (2;2;1) suy ra n =  u , v  = (0;1;−2) . Gọi


→

→

→ →

(Q) là mặt phẳng chứa (d1) và song song (d2) thì (Q) đi qua điểm M và nhận véc
→

tơ n làm 1 vtpt. Do đó (Q) có phương trình là : y - 2z - 1 = 0. Đường thẳng (d)
là giao tuyến của (P) và (Q) nên giải tìm được (d) có phương trình chính tắc là:
x − 3 y −1 z
=
=
6
2

1

Bài tập:
1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
(d 1 ) :

x −1
y
z +1
x y+7 z+5
=
=
=
; (d 2 ) : =
. Viết phương trình tham số của hình
2
−3
1
1
2
3

chiếu song song của (d1) lên mặt phẳng (P): 3x + y -2z - 4 = 0 theo phương
chiếu (d2).
x = t

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) :  y = −11 + 2t
 z = 16 − t

; (d 2 ) :

x−5 y −2 z −6
=
=
. Viết phương trình tham số của hình chiếu song song
2
1
3

của (d1) lên mặt phẳng (P): 3x - 2y -2z - 1 = 0 theo phương chiếu (d2).
Bài tốn 14: Viết phương trình đường thẳng (d) song song (d') hoặc vng
góc với mặt phẳng (P) đồng thời cắt hai đường thẳng (d1) và (d2).
Cách giải :
−− →

Cách 1: Gọi A,B lần lượt là giao điểm của (d) với (d1) và (d2) suy ra AB , mặt
→
→
phẳng (P) có 1 vtpt n (hoặc (d') có 1 vtcp n ), do (d ) ⊥ ( P) (hoặc (d)//(d') ) nên
−− →

→

→

−− →
AB và n cùng phương hay AB = k n (k ≠ 0) giải tìm được tọa độ A (hoặc B).

→

Khi đó đường thẳng (d ) đi qua A có 1 vtcp n .
15


Cách 2; - Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d 1)và song song
với đường thẳng (d').
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d 2) và song song với
đường thẳng (d').Từ đó suy ra phương trình (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2)
có phương trình lần lượt là

x y −1 z −1 x y z
=
=
; = = . Viết phương trình tham
1
−2
1
1 2 2

số đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P): 3x - y + z -1 = 0 đồng thời cắt
hai đường thẳng (d1) và (d2).
Hướng dẫn giải :Gọi A(t ;1 − 2t;1 + t ); B (t1 ;2t1 ;2t1 ) lần lượt là giao điểm của (d) với
→

−− →

(d1) và (d2) suy ra AB = (t1 − t ;2t1 + 2t − 1;2t1 − t − 1) , (P) có 1 vtpt n (3;−1;1) . Do
→

−→
(d ) ⊥ ( P) nên −AB
và n cùng phương hay

t1 − t 2t1 + 2t − 1 2t1 − t − 1
=
=
giải tìm
3
−1
1

7

 x = 13 + 3t

14
7
7 14 14

được t1 =
khi đó B( ; ; ) . Vậy (d )có phương trình là  y = − t
13
13 13 13
13

14

 z = 13 + t


Bài tập:
1.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình tham số đường thẳng
x
3
x −1 y + 2 z − 2
x+4 y+7
(d1 ) :
=
=
; (d 2 ) :
=
=
1
4
3
5
9

(d) song song với đường thẳng (∆) : =

y −1 z − 5
=
và cắt hai đường thẳng
−1
1
z
1

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2) có

x = t
 x = 1 − 2t


phương trình lần lượt là (d1 ) :  y = −4 + t ; (d 2 ) :  y = −3 + t . Viết phương trình
z = 3 − t
 z = 4 − 5t



chính tắc của đường thẳng vng góc với mặt phẳng Oxz và cắt hai đường thẳng
(d1) và (d2).
Bài tốn 15: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A song song với mặt
phẳng (α ) (hoặc nằm trên (α ) ; hoặc vng góc với (∆) ) sao cho khoảng
cách từ B đến đường thẳng (d) nhỏ nhất.
Cách giải :
Cách 1:Viết phương trình của (P) đi qua A và song song (α ) .Gọi K là hình
chiếu vng góc của B trên (P), Gọi H là hình chiếu vng góc của B trên (d).
B
Ta có BK ⊥ KH nên BH ≥ BK khoảng cách BH nhỏ nhất
bằng BK khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K.
P

K

A H

(d)
16

→

→

[

Cách 2: - Tìm 1 vtpt n của (P), tính n1 = n., AB
→

[ ]

]

- Tìm 1 vtcp của (d): u = n, n1 , đường thẳng (d) đi qua
→

A có 1 vtcp u .

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng (d) nằm trên (α ) thì khơng cần viết (P).
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z -1= 0
và hai điểm A(1;1;0); B(2;-1;1). Trong các đường thẳng đi qua A và song song
với (P), viết phương trình tham số đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B
đến (d) nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải : Đường thẳng (d) song song với (P) nên (d) thuộc (Q) đi qua A
và song song (P) có phương trình là: x – y + z = 0. Gọi K là hình chiếu vng
→

góc của B trên (Q), đường thẳng BK đi qua B nhận n (1;−1;1) là 1 vtpt của (Q)
x = 2 + t


làm 1 vtcp có phương trình:  y = −1 − t . Tọa độ K là nghiệm của hệ
z = 1 + t


x = 2 + t
x = 2 / 3
 y = −1 − t


⇔  y = 1 / 3 Gọi H là hình chiếu vng góc của B trên (d) ta có

z = 1 + t

−1
 x − y + z = 0
z =
3

BH ≥ BK dấu bằng xảy ra khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K.
−− →
1
Đường thẳng (d) đi qua A nhận AK = − (1;2;1) làm 1 vtcp có phương trình tham
3
x = 1 + t

số là:  y = 1 + 2t
z = t


Bài tập:
1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - 2z -3 = 0
và hai điểm A(1;-1;-1); B(2;1;0). Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi
qua A nằm trên (P), sao cho khoảng cách từ B đến (d) nhỏ nhất.
2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(7;-8;5) và B(1;2;-3).
x
2

Trong các đường thẳng (d) đi qua B và cắt đường thẳng (∆) : =

y −1 z
=
viết
1
3

phương trình đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ A đến (d) là nhỏ nhất.
Bài tốn 16: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vng góc với
đường thẳng (∆) ( hoặc song song với mặt phẳng (α ) hoặc nằm trên (α ) )
sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) lớn nhất.
17


Cách giải :
Cách 1: - Viết phương trình của mp(P) đi qua A và vng góc với ( ∆ ).
- Gọi K là hình chiếu vng góc của B trên (P), Gọi H là hình
(∆) B
chiếu vng góc của B trên (d).
- Ta thấy BH ≤ BA khoảng cách BH lớn nhất bằng AB khi
(d)

H trùng A hay đường thẳng (d) đi qua A và vng góc (ABK).
Cách 2: Đường thẳng (d) đi qua A vng góc với AB và ( ∆ ) P K
A H
Ví dụ:
x −1 y − 2 z
=
= và
2
1
1
hai điểm A(1;1;0); B(2;1;1). Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( ∆ ) đi qua
A vng góc với (d) sao cho khoảng cách từ B đến ( ∆ ) lớn nhất.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) :

Hướng dẫn giải : Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vng góc với (d) suy ra (P)
nhận 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x + y + z – 3 = 0. Gọi H là
hình chiếu của B trên (P), đường thẳng BH đi qua B vuông góc (P) có phương
 x = 2 + 2t

trình:  y = 1 + t H là giao điểm của BH và (P) nên tọa độ điểm H là nghiệm
z = 1 + t

 x = 2 + 2t
y = 1+ t
1 1

⇒ H (1; ; ) . Gọi K là hình chiếu của H trên ( ∆ ) suy ra
của hệ: 
2 2

z = 1 + t

2 x + y + z − 3 = 0

BK ⊥ (∆) , d ( B; ∆) = BK mà BK ≤ AB (không đổi) nên BK lớn nhất bằng AB
khi K trùng A. Do đó ( ∆ ) là đường thẳng đi qua A và vng góc với (ABH) nên
→

[

]

→

( ∆ ) có 1 vtcp u = AB, v = (−1;1;1) ; (trong đó v = 2 HA = (0;1;−1) ). Khi đó ( ∆ ) có
phương trình chính tắc là :

x −1 y −1 z
=
=
−1
1
1

Bài tập:
1,Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1) và B(2;0;1). Viết
x = t

phương trình đường thẳng (d) đi qua A vng góc với đường thẳng  y = 1 + t
 z = 1 + 2t



và cách điểm B một khoảng lớn nhất.
2, Trong không gian với hệ Oxyz, cho (d1):

x −1 y − 2 z
=
= và hai điểm
2
1
1

A(1; 1; 0); B(2; 1; 1). Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua A và
vng góc với (d1) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng (d) lớn
nhất.
18


Bài tốn 17: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) và
tạo với đường thẳng (∆) góc bé nhất, lớn nhất (đường thẳng (∆) khơng song
song hay nằm trên (P)).
Cách giải: Vẽ đường thẳng qua A song song với (∆) . Trên đường thẳng này lấy
điểm B khác A cố định. Hình chiếu vng góc của B trên (d) và (P) theo thứ tự
là H và K.Ta có: (d, ∆ ) = BAH; sin(d, ∆ ) =

BH BK
≥
AB AB

∆

Vậy (d, ∆ ) nhỏ nhất khi và chỉ khi H ≡ K ,
hay (d) chính là đường thẳng AK.
→
→ → 
→ → 
Ta thấy 1 vtcp của (d) là v =  n , u  ( trong đó u =  n ,u1  ;





→

→

P

B

d

K

A

H

→

n là vtpt của (P) và u1 là vtcp của (∆) ). Cịn đường thẳng (d) tạo với (∆) góc



lớn nhất bằng 900 và có 1 véc tơ chỉ phương là v =  n ,u1  .
→

→ →





Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y + z -1= 0;
y −1 z
= . Viết phương trình chính tắc
2
1
đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao cho góc giữa đường thẳng (d) và (∆)
x
1

điểm A(1;1;-1) và đường thẳng (∆) : =

là nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải: Gọi (d1) là đường thẳng qua A song song với (∆) ta có (d1):
x −1 y −1 z +1
=
=
, lấy điểm B(2;3;0) trên (d1). Gọi hình chiếu vng góc của B

1
2
1
trên (d) và (P) theo thứ tự là H và K thì góc giữa đường thẳng (d) và (∆) nhỏ

2 5 −4
) và
3 3 3

nhất khi H ≡ K , hay (d) chính là đường thẳng AK, giải tìm được K ( ; ;
phương trình (d) là:

x −1 y −1 z +1
=
=
.
1
−2
1

Bài tập:
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0,
y −1 z
= . Viết phương trình tham số
2
1
đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao cho góc giữa đường thẳng (d) và (∆)
x
3

điểm A(1;-2;-1) và đường thẳng (∆) : =

là nhỏ nhất.
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;1;2) và đường thẳng (∆) :
x −1 y − 2 z
=
= . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vng góc với (∆)
2
1
2
đồng thời (d) tạo với trục Oz một góc α sao cho
a, α = 45 0 ;
b, α nhỏ nhất.

Bài tốn 18: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A nằm trên (P)
sao cho khoảng cách giữa đường thẳng (d) và đường thẳng (∆) lớn nhất
19


(đường thẳng (∆) không song song với (P), không nằm trên (P), không đi
qua điểm A).
Cách giải: Gọi (d’) là đường thẳng qua A và song song với (∆) và B là giao
→
điểm của (∆) với (P), n là 1 vtpt của (P) .Gọi H là hình chiếu
vng góc của B trên mặt phẳng (d’,d). Khoảng cách giữa
(d) và (∆) bằng BH. Gọi C là hình chiếu vng góc của B
trên (d’).Ta thấy BH ≤ BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi
H ≡ C. Khi đó đường thẳng (d) đi qua A và có 1 véc tơ

→


u
=
chỉ phương
 n , BC  .
→

P

∆
B

C
A

d’
H

d

→

u
=
Chú ý:Có thể chọn 1 vtcp của (d) là
 n , AK  , trong đó K là hình chiếu vng
góc của A trên (∆) .
→

Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y- z+2= 0,

điểm A(-1;1;-1) và đường thẳng (∆) :

x − 2 y +1 z −1
=
=
. Viết phương trình tham
1
−1
1

số đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao khoảng cách giữa đường thẳng (d)
và (∆) là lớn nhất.
Hướng dẫn giải: Gọi (d’) là đường thẳng qua A và song song với (∆) phương
trình (d’):

x +1 y −1 z +1
=
=
, tìm được B(-1;2;-2) là giao điểm của (∆) với (P),
1
−1
1

→

n (2;−1;−1) là 1 vtpt của (P). Gọi H là hình chiếu vng góc của B trên mặt

phẳng (d’,d), vì (∆) song song với mặt phẳng (d’,d) nên khoảng cách giữa (d) và
(∆) bằng BH. Gọi C là hình chiếu vng góc của B trên (d’) tìm được
C(

−5 5 −5
; ; ) .Ta thấy BH ≤ BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ C. Khi đó
3 3 3

→
2
→

đường thẳng (d) đi qua A và có 1 vtcp u =  n , BC  = − (1;0;2)
3


 x = −1 + t

có phương trình tham số là:  y = 1
.
 z = −1 + 2t


Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z -1= 0
x
1

và điểm A(1;1;-1) và đường thẳng (∆) : =

y −1 z
= . Viết phương trình chính tắc
2
1

đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao khoảng cách giữa đường thẳng (d) và
(∆) là lớn nhất.
IV. KIỂM NGHIỆM
Trước đây chưa sử dụng đề tài này qua quá trình kiểm tra các em tôi thấy các
em không biết nên làm thế nào, các bài kiểm tra có nhiều em còn bị điểm kém,
20


điểm khá giỏi ít. Để kiểm tra hiệu quả của đề tài này, sau khi các em được học
các dạng bài tốn trên. Tơi thấy các em đã tự tin và giải bài toán loại này một
cách thành thạo, các em đã u thích hơn phần hình học khơng gian đã định
hướng và giải quyết tốt hơn các bài tập. Ngồi ra một số em khá giỏi cịn tự tìm
tịi thêm một số cách khác, một số bài tổng quát. Tôi đã tiến hành kiểm tra
miệng, 15 phút , 1 tiết hoặc 2 tiết trên các lớp thực hiện đề tài này kết quả thu
được đáng khích lệ như sau:
Năm học 2013-2014
Lớp Sỹ số Điểm dưới 5
Điểm từ 5 đến dưới 8 Điểm 8 đến 10
Số lượng %
Số lượng %
Số lượng %
12B 45
4
8,9
25
55,5
16
35,6
12G 49

0
0
14
28,6
35
71,4
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Kết luận
Qua q trình thực hiện đề tài này tơi thu được một số bài học kinh nghiệm:
Luôn củng cố và khắc sâu các kiến thức có liên quan. Cần rèn luyện cho học
sinh sau khi đọc đề bài phải biết phân tích bài tốn để đưa về bài đơn giản hơn
và tìm ra các cách giải khác nhau, từ đó nhằm phát huy tư duy, sáng tạo và khái
quát hóa bài tốn. Động viên các em nỗ lực tìm tòi những lời giải hay, tranh luận
với bạn bè giúp nhau cùng tiến bộ. Rèn luyện cách trình bày bài giải một cách
chặt chẽ, logic và cẩn thận. Khơi dậy cho các em u thích mơn tốn và say mê
học tốn hơn.
Khi dạy học sinh giải các bài tốn hình học tọa độ không gian giáo viên cần
xây dựng một hệ thống bài tập từ dễ đến khó để nâng cao khả năng tư duy và kỹ
năng làm bài của học sinh. Trong phạm vi đề tài này tôi chỉ mới đưa ra một số
bài tốn, một số ví dụ và một số bài tập nên chưa thể đầy đủ, chưa bao quát hết.
Rất mong các bạn đồng nghiệp góp ý kiến để có một cách dạy và khai thác hết
các dạng bài tập này một cách tốt nhất và hiệu quả cao hơn.
2. Đề xuất:
Các sáng kiến kinh nghiệm của các thầy, cô giáo hàng năm lưu trữ ở thư
viện để giáo viên và học sinh cùng nghiên cứu và học tập.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thanh Hóa, ngày 04 tháng 6 năm
2015
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG của người khác.
ĐƠN VỊ
Người viết

21


Mai Thị Quỳnh Hoa
Nguyễn Tuấn Anh

22