Đại số 10 phương trình và hệ phương trình

ĐẠI SỐ
10
PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH

GV: PHAN NHẬT NAM


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I. lý thuyết:
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
 x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.
 Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
 Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức

1
thì cần điều kiện P(x)  0.
P( x )
P ( x ) thì cần điều kiện P(x)  0.

+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số
y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1 và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.
 (1)  (2) khi và chỉ khi S1 = S2.

{(1) , (2) là hai phương trình tương đương nhau}

 (1)  (2) khi và chỉ khi S1  S2.

{ (2) là phương trình hệ quả của (1)}

3. Phép biến đổi tương đương
 Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được
một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
 Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả.
Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
II. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình 1  x  x  1  x 2  2 x  3  0
Giải:
1  x  0
x  1

 x 1
Điều Kiện: 
x 1  0
x  1

Thay x = 1 vào phương trình ta thu được “ 1  1  1  1  12  2.1  3  0 ” là mệnh đề đúng .
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

2

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 2: Chứng tỏ hai phương trình sau tương đương nhau:
x2  2
2 x 1 
 0 (1)
x 1

và x  4  22  7 x (2)
Giải:

Giải phương trình 1:
Điều kiện: x  1
2

 x  0 (loai )
2 x 1  x2  2
(1) 
 0  x2  2 x  0  
x 1
 x  2 (loai )
Do đó tập nghiệm của (1) là S1  
Giải phương trình 2:
x  4  0
x  4
x  4
(2)  

 2

 không tồn tại x  R
2
 x  2  x  3
( x  4)  22  7 x
x  x  6  0

Do đó tập nghiệm của (2) là S2  
Từ đó ta có: S1  S2   nên (1) và (2) là hai phương trình tương đương nhau (đpcm)

III. Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a) 3 x 

5
5
 12 
x4
x4

b) 5 x 

1
1
 15 
x 3
x 3

1

1
2
2
 9
 15 
d) 3 x 
x 1
x 1
x 5
x 5
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

c) x 2 
Bài 2.

a) 1  1  x  x  2

b)

x 1  2  x

x 1  x 1

d)

x 1  1 x

c)
e)
Bài 3.

a)
c)
Bài 4.

x



3

f) x 2  1  x  x  2  3 *

x 1
x 1
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

x  3( x 2  3x  2)  0
x

1

b)

x  1( x 2  x  2)  0
x2  4

x 3

 x 1

x 1
x 1
x 2
x 2
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:



 x 2

d)



a) x  2  x  1

b) x  1  x  2

c) 2 x  1  x  2

d) x  2  2 x  1

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

3

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 5.

a)
c)
Bài 6.
Bài 7.

Bài 8.

Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
x
x 1
x
2 x




x

b)

x 1
x

x 2
x 1
x 1

d)

2 x

x 2

1  x2  1  x

b.

 x2  2 x  3  x 



x 2
x 1
1 x
x 2

x  x  x 1

Tìm tập nghiệm của phương trình:
Giải các phương trình:
a.



1
0
x

Tìm m để hai phương trình sau tương đương nhau
x  1  3x  7

Bài 9.

,
(m  1) x 2  (m  3) x  2m  2  0
Sử dụng phép biến đổi hệ quả để giải phương trình sau:
7
7
 x 2  x
2
x
x

a.

x2 

b.

8 x  1  3x  5  7 x  4  2 x  2

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. Lý thuyết:
ax + b = 0

(1)

Hệ số

Kết luận
(1) có nghiệm duy nhất x  

a0
b0

(1) vô nghiệm

b=0

(1) nghiệm đúng với mọi x

b
a

a=0

Chú ý: Khi a  0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) (m2  2)x  2m  x  3

b) m( x  m)  x  m  2

b) m( x  m  3)  m( x  2)  6

d) m2 ( x  1)  m  x(3m  2)

e) (m2  m) x  2 x  m2  1

f) (m  1)2 x  (2m  5) x  2  m

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

4

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c:

a)

xa
xb
b 
 a (a, b  0)
a
b

c)

x  ab x  bc x  b2


 3b (a, b, c  1)
a 1

c 1
b 1

d)

x bc x ca x ab


 3 (a, b, c  0)
a
b
c

b) (ab  2) x  a  2b  (b  2a)x

Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:

i) Có nghiệm duy nhất

iii) Nghiệm đúng với mọi x  R.

ii) Vô nghiệm

a) (m  2) x  n  1

b) (m2  2m  3) x  m  1

c) (mx  2)( x  1)  (mx  m2 )x

d) (m2  m) x  2 x  m2  1

Giải các phương trình sau:

Bài 4.

a) 1 

c)

2
10
50


x  2 x  3 (2  x )( x  3)

x 1 x 1 2x 1


x  2 x  2 x 1

b)

2x 1 x 1

3x  2 x  2

x 2  3x  5

d)

2 x 2  5 x  2 2 x 2  x  15

e)
x 1
x 3

f)

x2  4

x 3
2

( x  1)



 1

4x  2
(2 x  1)2

Giải và biện luận các phương trình sau:
mx  m  1
mx  m  2
3
3
a)
b)

x2
xm

Bài 5.

d)

x m x 3

x 1 x  2

e)

c)

(m  1) x  m  2
m
x 3

f)

x  m x 1

2
x 1 x  m
x
xm



Giải và biện luận các phương trình sau:
a) mx  1  5
b) mx  x  1  x  2

c) mx  2 x  1  x

d) 3x  m  2 x  2m

f) x  m  x  1

x
x 1

Bài 6.

Bài 7.
Bài 8.

Bài 9.

e) x  m  x  m  2

Tím tất cả các gia trị nguyên của m để phương trình (m  1)( x  1)  x  m có nghiệm nguyên
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :
x  1 (2m  3) x  m  (1  m) x  3  0
Tìm m để phương trình

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

2mx  3 x  m


x
x
5

có nghiệm duy nhất
www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tìm a, b để các phuong trình sau đúng với x  R
a. a 4  ( x  1)a 2  x  b  0
b. (2a  1) x  3a  2  3x  b
Bài 11.
Tìm m để phương trình (2m  1) x  3m  2  3x  m có nghiệm thuộc khoảng (0, 3)

Bài 10.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Lý thuyết:
1. Cách giải
ax2 + bx + c = 0

(a  0)

  b2  4ac

Chú ý:

(1)

Kết luận

>0

(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 

=0

(1) có nghiệm kép x  

<0

(1) vô nghiệm

b  
2a

b
2a

c
.
a
c
– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x =  .
a
b
– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b  .
2

– Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =

2. Định lí Vi–et
Hai số x1, x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 khi và chỉ khi chúng thoả mãn
các hệ thức S  x1  x2  

b
c
và P  x1 x2  .
a
a

II. Các Dạng toán:
Dạng 1: Giải và biện luận phương trình ax 2  bx  c  0
Để giải và biện luận phương trình ax 2  bx  c  0 ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a:
– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx  c  0 .
– Nếu a  0 thì mới xét các trường hợp của  như trên.
Dạng 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax 2  bx  c  0 (a  0) (1)
 (1) có hai nghiệm trái dấu  P < 0

 (1) có hai nghiệm cùng dấu    0
P  0
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

6

www.toanhocdanang.com

PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH

  0

 (1) có hai nghiệm dương   P  0
S  0
  0

 (1) có hai nghiệm âm   P  0
S  0

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì  > 0.
Dạng 3: Ứng dụng định lí Vi–et:
1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số
b
c
Ta sử dụng công thức S  x1  x2   ; P  x1 x2  để biểu diễn các biểu thức đối xứng của
a
a
các nghiệm x1, x2 theo S và P.
Ví dụ:

x12  x22  ( x1  x2 )2  2 x1x2  S 2  2P

x13  x23  ( x1  x2 )3  3x1x2 ( x1  x2 )  S 3  3PS
2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số
Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:
b
c
S  x1  x2   ;

P  x1 x2  (S, P có chứa tham số m).
a
a
Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2.
3. Lập phương trình bậc hai
Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:
x 2  Sx  P  0 ,
III. Bài tập áp dụng:

trong đó S = u + v, P = uv.

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau:

a. x 2  5x  3m  1  0

b. 2 x 2  12 x  15m  0

c. x 2  2(m  1) x  m2  0

d. (m  1) x 2  2(m  1) x  m  2  0

e. (m  1) x 2  (2  m) x  1  0

f. mx 2  2(m  3) x  m  1  0

Bài 2. Giải biện luận phương trình:

a. mx3  (4m  1) x 2  (m  5) x  6m  6  0
mx 2  2(m  1) x  8m  5  x  1
b.

Bài 3. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại:
3
a. x 2  mx  m  1  0; x  
b. 2 x 2  3m2 x  m  0; x  1
2

c. (m  1) x 2  2(m  1) x  m  2  0; x  2

d. x 2  2(m  1) x  m2  3m  0; x  0

Xác định m để phương trình:
i) có hai nghiệm trái dấu
ii) có hai nghiệm âm phân biệt

Bài 4.

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

7

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
iii) có hai nghiệm dương phân biệt
a) x 2  5x  3m  1  0

b) 2 x 2  12 x  15m  0

c) x 2  2(m  1) x  m2  0

d) (m  1) x 2  2(m  1) x  m  2  0

e) (m  1) x 2  (2  m) x  1  0

f) mx 2  2(m  3) x  m  1  0

g) x 2  4 x  m  1  0

h) (m  1)x 2  2(m  4)x  m  1  0

Bài 5.

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:

A = x12  x22 ;

B = x13  x23 ;

C = x14  x24 ;

D = x1  x2 ;

E = (2 x1  x2 )(2 x2  x1 )

a) x 2  x  5  0

b) 2 x 2  3x  7  0

c) 3x2  10 x  3  0

d) x 2  2 x  15  0

e) 2 x 2  5x  2  0

f)

3x 2  5x  2  0

Bài 6. (Trích TSĐH Khối A - 2003) Tìm m để đồ thị (C) của hàm số y 

mx 2  x  m
cắt trục hoành tại
x 1

hai điểm có hoành độ dương.
Bài 7. (Trích TSĐH Khối A - 2003) Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị (C) và d tương ứng của

x2  2x  4
và d: y  mx  2  2m .
x2
Bài 8. (Trích TSĐH Khối B - 2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

hàm số sau (C): y 

x 2  mx  2  2 x  1
Bài 9. (Trích TSĐH Khối D - 2006) Gọi d là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để
đường thẳng d cắt đồ thị (C): y  x3  3x  2 tại ba điểm phân biệt.
Bài 10. (Trích TSĐH Khối D - 2009) Tìm m để đường thẳng d : y  2 x  m cắt đồ thị (C) của hàm số
x2  x  m

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.
x
Bài 11. (Trích TSĐH Khối A - 2010) Tìm m để phương trình : x3  2 x 2  (1  m) x  m  0 có ba nghiệm
y

x1 , x2 , x3 sao cho x12  x22  x32  4
Bài 12. (Trích TSĐH Khối A - 2011) Tìm m để phương trình:

x1 , x2 sao cho f  

x 1
 x  m có hai nghiệm phân biệt
2x 1

1
1
đạt giá trị lớn nhất.

2
(2 x1  1) (2 x2  1) 2

Bài 13. Cho phương trình: (m  1) x 2  2(m  1) x  m  2  0 (*). Xác định m để:

a) (*) có hai nghiệm phân biệt.
b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.
c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

8

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 14. Cho phương trình: x 2  2(2m  1) x  3  4m  0 (*).

a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2.
b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
c) Tính theo m, biểu thức A = x13  x23 .
d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.
e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x12 , x22 .
HD: a) m 

d) m 

1 2 7
6

2
2

b) x1  x2  x1x2  1

c) A = (2  4m)(16m2  4m  5)

e) x 2  2(8m2  8m  1) x  (3  4m)2  0

Cho phương trình: x 2  2(m  1) x  m2  3m  0 (*).
a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại.

Bài 15.

b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x2 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m.
c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả: x12  x22  8 .
HD: a) m = 3; m = 4 b) ( x1  x2 )2  2( x1  x2 )  4 x1x2  8  0

c) m = –1; m = 2.

Bài 16. Cho phương trình: x 2  (m2  3m) x  m3  0 .

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia.
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại.
HD: a) m = 0; m = 1 b) x2  1; x2  5 2  7; x2  5 2  7 .
Bài 17. (nâng cao) Cho phương trình: 2 x 2  2 x sin   2 x  cos2  ( là tham số).

a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi .

b) Tìm  để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN.

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

9

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Lý thuyết:

1. Định nghĩa và tính chất phương trình chứa trị tuyệt đối
A
khi A  0
 A 
 A  0, A

A
khi
A0

2

 A.B  A . B
 A  A2
 A  B  A  B  A.B  0
 A  B  A  B  A.B  0
 A  B  A  B  A.B  0
 A  B  A  B  A.B  0
Cách giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
 f ( x)  0
C2  g( x )  0
C1  

f ( x )  g( x )
   f ( x )  g( x )
 Dạng 1: f ( x )  g( x )   

  f ( x )  0
  f ( x )   g( x )
  f ( x )  g( x )
C1

2

2

 Dạng 2: f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x )

C

2
 f ( x )  g( x )

 f ( x )   g( x )

 Dạng 3: a f ( x )  b g( x )  h( x )
Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.
2. Phương trình chứa căn
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.
2

Dạng 1: f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x )
 g( x )  0
 f ( x )  g( x )

f ( x )  g( x )  
 f ( x )  0 (hay g( x )  0)
t  f ( x ), t  0
Dạng 3: af ( x )  b f ( x )  c  0   2
 at  bt  c  0

Dạng 2:

Dạng 4:

f ( x )  g( x )  h( x )

 Đặt u  f ( x ), v  g( x ) với u, v  0.
 Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.
Dạng 5:

f ( x )  g( x ) 

f ( x ).g( x )  h( x )

Đặt t  f ( x )  g( x ), t  0 .
3. phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a  0)
t  x 2 , t  0
a. Cách giải: ax 4  bx 2  c  0 (1)   2
at  bt  c  0 (2)
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

10

www.toanhocdanang.com

PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
b. Số nghiệm của phương trình trùng phương
Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.
(2) vô nghiệm
 (1) vơ nghiệm
 (2) có nghiệm kép âm

(2) có 2 nghiệm âm
(2) có nghiệm kép bằng 0
 (1) có 1 nghiệm  
(2) có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm
(2) có nghiệm kép dương
 (1) có 2 nghiệm  
(2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm
 (1) có 3 nghiệm  (2) có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại dương
 (1) có 4 nghiệm  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
c. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn
 Dạng 1: ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  K , với a  b  c  d
– Đặt t  ( x  a)( x  b)  ( x  c)( x  d )  t  ab  cd
– PT trở thành: t 2  (cd  ab)t  K  0
 Dạng 2: ( x  a)4  ( x  b)4  K
ab
ab
ba
, xbt
 xat
2
2

2

ab
– PT trở thành: 2t 4  12 2t 2  2 4  K  0  với  


2 

– Đặt t  x 

 Dạng 3:

ax 4  bx3  cx 2  bx  a  0 (a  0)

(phương trình đối xứng)

– Vì x = 0 khơng là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 , ta được:

1  
1
PT  a  x 2    b  x    c  0
(2)
x
x2  

– Đặt t  x 

1
x


1
 hoặc t  x   với t  2 .
x


– PT (2) trở thành: at 2  bt  c  2a  0

( t  2) .

II. Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) 2 x  1  x  3
d)

x2  6x  9  2x  1

g) x  1  x  2 x  3  2 x  4

b) 4 x  7  2 x  5

c) x 2  3 x  2  0

e) x 2  4 x  5  4 x  17

f) 4 x  17  x 2  4 x  5

h) x  1  x  2  x  3  14 i) x  1  2  x  2 x

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) mx  1  5

b) mx  x  1  x  2

c) mx  2 x  1  x

d) 3x  m  2 x  2m

e) x  m  x  m  2

f) x  m  x  1

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

11

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) 4 x  7  4 x  7

b) 2 x  3  3  2 x

d) x 2  2 x  3  x 2  2 x  3

c) x  1  2 x  1  3x

e) 2 x  5  2 x 2  7 x  5  0 f) x  3  7  x  10

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a) x 2  2 x  x  1  1  0

b) x 2  2 x  5 x  1  7  0

c) x 2  2 x  5 x  1  5  0

d) x 2  4 x  3 x  2  0

e) 4 x 2  4 x  2 x  1  1  0

f) x 2  6 x  x  3  10  0

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a)

2x  3  x  3

b)

5x  10  8  x

c) x  2 x  5  4

d)

x 2  x  12  8  x

e)

x2  2x  4  2  x

f) 3 x 2  9 x  1  x  2

g)

3x 2  9 x  1  x  2

h)

x 2  3 x  10  x  2

i) ( x  3) x 2  4  x 2  9

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) x 2  6 x  9  4 x 2  6 x  6

b)

c) ( x  4)( x  1)  3 x 2  5x  2  6

d) ( x  5)(2  x )  3 x 2  3x

e) x 2  x 2  11  31

f) x 2  2 x  8  4 (4  x )( x  2)  0

( x  3)(8  x )  26   x 2  11x

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a)

x 1  x 1  1

b)

3x  7  x  1  2

c)

x2  9  x2  7  2

d)

3x 2  5x  8  3x 2  5x  1  1

e) 3 1  x  3 1  x  2

f)

x 2  x  5  x 2  8x  4  5

g)

3

5 x  7  3 5 x  13  1

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

h)

12

3

9  x 1  3 7  x 1  4

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 4. Giải các phương trình sau:

a)

x  3  6  x  3  ( x  3)(6  x ) b)

2 x  3  x  1  3 x  2 (2 x  3)( x  1)  16

c)

x  1  3  x  ( x  1)(3  x )  1

7  x  2  x  (7  x )(2  x )  3

e)

x  1  4  x  ( x  1)(4  x )  5 f)

g) 1 

2
x  x2  x  1  x
3

d)

h)

3x  2  x  1  4 x  9  2 3 x 2  5 x  2

x  9  x   x2  9x  9

Bài 5. Giải các phương trình sau:

a)

2 x  4  2 2 x  5  2 x  4  6 2 x  5  14

b)

x  5  4 x 1  x  2  2 x 1  1

c)

2x  2 2x 1  2 2x  3  4 2x 1  3 2 x  8  6 2 x 1  4

Bài 6. Giải các phương trình sau:

a) x 4  3x 2  4  0

b) x 4  5x 2  4  0

c) x 4  5x 2  6  0

d) 3x 4  5x 2  2  0

e) x 4  x 2  30  0

f) x 4  7x 2  8  0

Bài 7. Tìm m để phương trình:

i) Vô nghiệm

ii) Có 1 nghiệm

iv) Có 3 nghiệm

v) Có 4 nghiệm

a) x 4  (1  2m) x 2  m2  1  0

iii) Có 2 nghiệm

b) x 4  (3m  4)x 2  m2  0

c) x 4  8mx 2  16m  0

Bài 8. Giải các phương trình sau:

a) ( x  1)( x  3)( x  5)( x  7)  297

b) ( x  2)( x  3)( x  1)( x  6)  36

c) x 4  ( x  1)4  97

d) ( x  4)4  ( x  6)4  2

e) ( x  3)4  ( x  5)4  16

f) 6 x 4  35x3  62 x 2  35x  6  0

g) x 4  x3  4 x 2  x  1  0
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

13

www.toanhocdanang.com

PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 9.

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc 2

1.

5 x 2  10 x  1  7  x 2  2 x

3.

x  2 x 1  x  2 x 1 

5.

( x  5)(2  x)  3 x 2  3x

7.

5 x

5
2 x

 2x 

x3
2

4.

1
4
2x

3  x  x  1  4  x 2  4x  3  2

9.

x
x 1
2
3
x 1
x

2.

4

x  x2 1  x  x2 1  2

6.

x  4  x 2  2  3x 4  x 2

8.

1

2
x  x2  x  1 x
3

x  7  9  x   x 2  2 x  63

10.

Bài 10. Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

x2
 x2 x 2
1 x

a. (D - 2006) 2 x  1  x 2  3x  1  0

b. (D - 2013)

c. (B – 2012) x  1 

d. (D - 2011) 1  x  1  x 

x2  4x  1  3 x

f. (A. 2009) 2 3 3x  2  3 6  5 x  8  0

e. (B - 2011) 3 2  x  6 2  x  4 4  x 2  10  3x
Bài 11. Giải các phương trình sau bằng phép nhân liên hợp:

a. (B - 2010)

3x  1  6  x  3x 2  14 x  8  0

b. (Tích B - 2013) 3x 2  x  3  3x  1  5 x  4

x2  2x  8
  x  1
c. (TNTHPTQG - 2015) 2
x  2x  3



x2 2



3
2
d. (Trích A - 2014) x  8 x  1  2 10  x

e. (Tích B - 2014) 2 x 2  x  3  2  x

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
I. Lý thuyết:
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

14

8  x2
4

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
a x  b1y  c1
(a12  b12  0, a22  b22  0)
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn  1
a
x

b
y

c
 2
2
2
Giải và biện luận:
a b
c b
a c
Dx  1 1 ,
Dy  1 1 .
Tính các định thức: D  1 1 ,
a2 b2
c2 b2
a2 c2

Xét D

Kết quả

Dy 
D
Hệ có nghiệm duy nhất  x  x ; y 


D
D 

D0
Dx  0 hoặc Dy  0

Hệ vô nghiệm

D=0
Dx = Dy = 0

Hệ có vô số nghiệm

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế,
phương pháp cộng đại số.
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay
hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại
số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
5 x  4 y  3

2 x  y  11
a) 
b) 
7 x  9 y  8
5 x  4 y  8
 2  1 x  y  2  1
d) 
2 x   2  1 y  2 2

3
2
 4 x  3 y  16
e) 
 5 x  3 y  11
2
5

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
1 8
 x  y  18
a) 
b)
5
4
   51
 x y
2 x  6  3 y  1  5
d) 
5 x  6  4 y  1  1

 10
1
 x  1  y  2  1

 25  3  2
 x  1 y  2

2 x  y  x  y  9
e) 
3 x  y  2 x  y  17

3x  y  1
c) 
6 x  2 y  5
 3 x  y  1
f) 
5x  2 y  3

 27
32
 2 x  y  x  3y  7
c) 
 45  48  1
 2 x  y x  3y
4 x  y  3 x  y  8
f) 
3 x  y  5 x  y  6

Bài 3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

15

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
mx  (m  1)y  m  1
a) 
2 x  my  2



mx  (m  2)y  5
b) 
(
m

2)
x  (m  1)y  2


(m  1) x  2 y  3m  1
c) 
 (m  2) x  y  1  m

 (m  4) x  (m  2)y  4
d) 
(2m  1) x  (m  4) y  m

(m  1) x  2 y  m  1
 mx  2 y  m  1
e) 
f) 
2
2
m x  y  m  2m
2 x  my  2m  5


Bài 4. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận. ii) Tìm m  Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
(m  1) x  2 y  m  1
a) 
m 2 x  y  m 2  2m



mx  y  1
b) 
x

4(
m
 1)y  4m


mx  y  3  3
c) 
 x  my  2m  1  0

Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.
 mx  2 y  m  1
a) 
2 x  my  2m  5

6mx  (2  m)y  3
b) 
 (m  1) x  my  2

Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ax  y  b
 y  ax  b
a) 
b) 
3x  2 y  5
2 x  3 y  4
(a  b) x  (a  b)y  a
d) 
(2a  b) x  (2a  b)y  b

2
2

e) ax  by  a  b
bx  ay  2ab

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:

3 x  y  z  1

a) 2 x  y  2z  5
b)
 x  2 y  3z  0

 x  3y  2 z  8

2 x  y  z  6
3 x  y  z  6

mx  (m  1)y  m  1
c) 
2 x  my  2


ax  y  a  b
c) 
 x  2y  a
 ax  by  a 2  b
f) 
2
 bx  b y  4b

 x  3y  2z  7

c) 2 x  4 y  3z  8
3x  y  z  5

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

16

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. lý thuyết:
1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
 Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
 Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
 Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Hệ đối xứng loại 1
 f ( x, y)  0
Hệ có dạng: (I) 
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
 g( x, y)  0
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
 Đặt S = x + y, P = xy.
 Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
 Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
 Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X 2  SX  P  0 .
3. Hệ đối xứng loại 2
 f ( x, y)  0
(1)
Hệ có dạng: (I) 
f
(
y

,
x
)

0
(2)

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
 f ( x, y)  f ( y, x )  0 (3)
 Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I)  
(1)
 f ( x, y)  0
x  y
 Biến đổi (3) về phương trình tích: (3)  ( x  y).g( x, y)  0  
.
 g( x, y)  0
 f ( x, y)  0
 x  y
 Như vậy, (I)   
.
  f ( x , y )  0
  g( x , y )  0
 Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
4. Hệ đẳng cấp bậc hai
a x 2  b xy  c y 2  d
1
1 .
Hệ có dạng:
(I)  1 2 1
2

a2 x  b2 xy  c2 y  d2
 Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
 Khi x  0, đặt y  kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình
bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).
Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ.

Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0  y0 .
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1.

Giải các hệ phương trình sau:
2
 2
a)  x  4 y  8
 x  2y  4

 2
b)  x  xy  24
2 x  3 y  1

2
 2
3 x  4 y  1  0
d)  x  3 xy  y  2 x  3y  6  0 e) 
 xy  3( x  y )  9
2 x  y  3

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

17

2

c) ( x  y )  49
3 x  4 y  84

2 x  3 y  2
f) 
 xy  x  y  6  0

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2 x  3 y  5
h)  2 2
3 x  y  2 y  4

2

g)  y  x  4 x
2 x  y  5  0

Bài 2.

Bài 3.

Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
x  y  m
x  y  6

a)  2
b)  2
2
2
x  y  2x  2
x  y  m
Giải các hệ phương trình sau:
 x  xy  y  11
a)  2
2
 x  y  xy  2( x  y )  31

 x y 13
  
d)  y x 6
 x  y  6

2 x  y  5
i)  2
2
 x  xy  y  7
3 x  2 y  1
c)  2
2
x  y  m
 xy  x  y  5
c)  2
2
x  y  x  y  8

x  y  4
b)  2
2
 x  xy  y  13
3 3
3
 3
e)  x  x y  y  17
 x  y  xy  5

 x 4  x 2 y 2  y 4  481
f)  2
2
 x  xy  y  37

Bài 4.

Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
 x  y  xy  m
x  y  m 1
( x  1)( y  1)  m  5
a)  2
b)  2
c) 
2
2
2
 xy( x  y)  4m
 x  y  3  2m
 x y  xy  2m  m  3

Bài 5.

Giải các hệ phương trình sau:
 x 2  3 x  2 y
a)  2
 y  3y  2 x

 x 2  2 y 2  2 x  y
b)  2
2
 y  2 x  2 y  x

 x 3  2 x  y
c)  3
 y  2 y  x


y
x  3y  4


x
d) 
x
 y  3x  4
y




y2  2
3y 

x2
e) 
2
3 x  x  2

y2


 2
1
2 x  y  y
f) 
2 y 2  x  1

x

Bài 6.

Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
 x 2  3 x  my
 x (3  4 y 2 )  m(3  4m 2 )
 xy  x 2  m( y  1)
a)  2
b) 
c)


2
2
2
 y  3y  mx
 y(3  4 x )  m(3  4m )
 xy  y  m( x  1)

Bài 7.

Giải các hệ phương trình sau:
 x 2  3 xy  y 2  1
a)  2
2
3 x  xy  3y  13

2 x 2  4 xy  y 2  1
b)  2
2
3 x  2 xy  2 y  7

3 x 2  5 xy  4 y 2  38
d)  2
2
5 x  9 xy  3y  15
Bài 8.

 x 2  2 xy  3y 2  9
e)  2
2
 x  4 xy  5y  5

Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
 x 2  mxy  y 2  m
 xy  y 2  12
a)  2
b)
 2
2
 x  (m  1) xy  my  m
 x  xy  m  26

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

 y 2  3 xy  4
c)  2
2
 x  4 xy  y  1

18

3 x 2  8 xy  4 y 2  0
f)  2
2
5 x  7 xy  6 y  0

 x 2  4 xy  y 2  m
c)  2
 y  3 xy  4
www.toanhocdanang.com

PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Bài 1.

Giải và biện luận các phương trình sau:
b) (a  b)2 x  2a2  2a(a  b)  (a2  b2 ) x

a) m2 x  4m  3  x  m2

d) a(ax  b)  4ax  b2  5

c) a2 x  2ab  b2 x  a2  b2
Bài 2.

Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)

c)

Bài 3.

Bài 4.

2x  m x  m 1

1
x 1
x

2mx  1
x 1

 2 x 1 

b)

m 1

d) x  1  2 x  3  m

x 1

Giải và biện luận các phương trình sau:
a) 2 x 2  12 x  15m  0

b) x 2  2(m  1) x  m2  0

b) x 2  mx  m  1  0

d) x 2  2(m  2) x  m(m  3)  0

Tìm m để phương trình có một nghiệm x0. Tính nghiệm còn lại:
a) x 2  mx  m  1  0; x0  

Bài 5.

m2 x
 m x  2m  1
x 1

3
2

b) 2 x 2  3m2 x  m  0; x0  1 .

Trong các phương trình sau, tìm m để:
i) PT có hai nghiệm trái dấu
ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt
iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt
iv) PT có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả: x13  x23  0 ; x12  x22  3
a) x 2  2(m  2) x  m(m  3)  0

Bài 6.

b) x 2  2(m  1) x  m2  0

c) x 2  2(m  1) x  m2  2  0

d) (m  2)x 2  2(m  1)x  m  2  0

e) (m  1)x 2  2(m  4)x  m  1  0

f) x 2  4 x  m  1  0

Trong các phương trình sau, hãy:

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

19

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
i) Giải và biện luận phương trình.
ii) Khi phương trình có hai nghiệm x1, x2 , tìm hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m.

Bài 7.

a) x 2  (m  1) x  m  0

b) x 2  2(m  2) x  m(m  3)  0

c) (m  2)x 2  2(m  1)x  m  2  0

d) x 2  2(m  1) x  m2  2  0

Giải các phương trình sau:
a) x 2  x 2  6  12

b) x 2  x 2  11  31

c) 16 x  17  8 x  23

d)

x 2  2 x  8  3( x  4)

f)

51  2 x  x 2  1  x

h)

x  3  1  3x  1

3x 2  9 x  1  x  2  0

e)

g) ( x  3) x 2  4  x 2  9
Bài 8.

Giải các phương trình sau:
a)

4  3 10  3x  x  2

b)

x  5  x  3  2x  4

c)

3x  4  2 x  1  x  3

d)

x 2  3x  3  x 2  3x  6  3

e)

x  2  2 x  3  3x  5

f)

3x  3  5  x  2 x  4

h)

x 1 1 

x  2 x 1  x  2 x 1  2

b)

x  2 x 1  x  2 x 1 

x  x2  1  x  x2  1  2

d) x 2  x  x 2  x  13  7

g) 2 x  2  2 x  1  x  1  4
Bài 9.

x x8

Giải các phương trình sau:
a)

c)

4

e) x 2  2 x 2  3x  1  3x  4

f) 2 x 2  3 2 x 2  x  1  9  x

g) x 2  x 2  2 x  4  2 x  2

h) 2 x 2  5 x 2  3 x  5  23  6 x

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

20

x 3
2

www.toanhocdanang.com


PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 10. Trong các hệ phương trình sau:

i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.
mx  2 y  m  1
a) 

2 x  my  2a  1

mx  y  3m
b) 
 x  my  2m  1

 x  2y  4  m
c) 
2 x  y  3m  3

2 x  y  5
d) 
2 y  x  10m  5

Bài 11. Giải các hệ phương trình sau:

 x  xy  y  1
a)  2
2
 x y  y x  6

 x 2  y 2  5
b)  4
2 2
4
 x  x y  y  13

 x 2 y  y 2 x  30
c)  3 3
 x  y  35

 x 3  y3  1
d)  5 5
2
2
 x  y  x  y

 x 2  y 2  xy  7
e)  4
4
2 2
 x  y  x y  21

 x  y  xy  11
f)  2
2
 x  y  3( x  y )  28

Bài 12. Giải các hệ phương trình sau:


1
( x  y )(1  xy )  5

a) 
1
( x 2  y 2 )(1 
)  49
2


x y2

 y( x 2  1)  2 x ( y 2  1)


b)  2
1 
2
x

y
1


  24

2 2

x
y





1 1
x  y  x  y  4

c) 
1

1
 x 2  y2 

4

x 2 y2

 x
y
2


 2
2
3

d)  x  1 y  1
( x  y )(1  1 )  6

xy

2 x 2 y  y 2 x  2 y  x  6 xy

e) 
1 y x
 xy  xy  x  y  4



1

 xy  xy  4

f) 
( x  y )  1  1   5
xy 







Bài 13. Giải các hệ phương trình sau:

 x 3  2 x  y
b)  3
 y  2 y  x

 x 2  3 x  2 y
a)  2
 y  3y  2 x


2 x  y 

e) 
2 y  x 


 2 1

2 x  y  y
d) 
2 y 2  1  x

x
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

21

3
x2
3
y2

 x 3  3 x  8y
c)  3
 y  3y  8 x


y2  2
3y 

x2
f) 
2
3 x  x  2

y2

www.toanhocdanang.com