Chương II. §2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Chµo mõng c¸c thÇy, c« gi¸o
vÒ dù giê líp 11 C2

Th¸ng 10/
2017


KIỂM TRA BÀI CŨ

Câu hỏi:
Câu 1: Hoán vị là gì? Số các hoán vị của một tập hợp có
n phần tử bằng bao nhiêu?
Giải bài toán sau:Từ tập hợp A= { 1, 2, 3, 4 } có thể lập
được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác
nhau?
Câu 2: Trong mặt phẳng cho tập hợp gồm 3 điểm {A, B,
C }. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ- không có điểm đầu
và điểm cuối thuộc tập hợp điểm đã cho?


Câu 1:Từ tập hợp A= { 1, 2, 3, 4 } có thể lập được 4!=24
số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau.

Câu 2: Trong mặt phẳng cho tập hợp gồm 3 điểm {A, B,
C }. Các vectơ khác vectơ- không, có
uuur điểm
uuur uuđầu
ur uuurvàuuuđiểm
r uuur
cuối thuộc tập hợp điểm đã cho là: AB ; BA ; AC ; CA ; BC ; CB .

2. Chỉnh hợp
*) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử và số
nguyên k với 1≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp
xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập
k của n phần tử của A ( gọi tắt là một chỉnh hợp chập k
của A )
Ví dụ 1: Cho tập hợp A= {a, b, c}. Hãy viết tất cả các
chỉnh hợp chập 2 của A?
Trả lời: Các chỉnh hợp chập 2 của A là (a, b), (b, a), (a, c),
(c, a), (b, c), (c, b). Có 6 chỉnh hợp tất cả.


Hai
chỉnh
khác
nào?
*) Nhận
xét:
Haihợp
chỉnh
hợpnhau
kháckhi
nhau
khi và chỉ khi:
+ Hoặc có ít nhất một phần tử của chỉnh hợp này
mà không là phần tử của chỉnh hợp kia
+ Hoặc các phần tử của hai chỉnh hợp giống nhau
nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.

b) Số các chỉnh hợp
Ví dụ mở đầu:
Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua
bằng đá luân lưu 11m. Huấn luyện viên của mỗi đội cần
trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ
trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11m. Hãy tính
xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập
danh sách 5 cầu thủ? Giải:
Huấn luyện viên của mỗi đội có thể chọn một trong 11
cầu thủ để đá quả đầu tiên.Tiếp theo có 10 cách chọn
cầu thủ đá quả thứ hai,….. rồi có 7 cách chọn cầu thủ
đá quả thứ năm. Vậy theo quy tắc nhân huấn luyện viên
mỗi đội có 11.10.9.8.7= 55 440 cách chọn


b) Số các chỉnh hợp
*) Bài toán tổng quát: Cho một tập hợp có n phần tử và
số nguyên k với 1≤ k ≤ n. Hỏi có tất cả bao nhiêu chỉnh
hợp chập k của tập hợp đó?
Giải
Việc lập một chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử
được coi như một công việc gồm k công đoạn.
Công đoạn 1 là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất:
có n cách thực hiện. Công đoạn 2 là chọn phần tử xếp
vào vị trí thứ hai: có n – 1 cách,… Công đoạn k là chọn
phần tử xếp vào vị trí thứ k: có n – k +1 cách thực hiện
Do đó theo quy tắc nhân có n(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1)
cách lập ra một chỉnh hợp chập k của một tập hợp gồm
n phần tử.

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử
k
A
được kí hiệu là n
Định lí 2: Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n
phần tử (1≤ k ≤ n) là:Ank = n (n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) (1)
n
A
*) Nhận xét: Từ định nghĩa ta có n = Pn = n !
c) Chú ý:
n!
k
• Với 0(2)
(n − k )!
•Ta quy ước 0! = 1; A n0 = 1 thì (2) đúng cho cả k = 0 và k = n.
Vậy (2) đúng với mọi số nguyên k thoả mãn 0 ≤ k ≤ n


HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Từ tập hợp A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập
được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một
khác nhau?


HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG (NHÓM)
Nhóm 1, 3
Từ tập A= {0,1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập được bao nhiêu

số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?
Nhóm 2, 4
Từ tập A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết
cho 5?
N1,3 N2, 4


Củng cố

Tập hợp có n phần tử

Sắp xếp n phần tử này
theo một thứ tự

Lấy k phần tử từ n phần tử
(1≤ k ≤ n) rồi sắp xếp chúng
theo một thứ tự.

Hoán
vị

Số các hoán vị:
Pn = n ! = n ( n − 1) ( n − 2 ) .....1

Chỉnh hợp
chập k của n

k=n

Số các hỉnh hợp chập k của n
Ank = n (n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) ( 1 ≤ k ≤ n )
n!
=
(0 ≤ k ≤ n)
(n − k )!


BÀI TẬP VỀ NHÀ
Làm BT 6, 7b, 8b SGK tr 62



TRẢ LỜI
Câu 1
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1). Khi sắp xếp n phần
tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần
tử của tập A ( gọi tắt là một hoán vị của A )
+ Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:

Pn = n ! = n ( n − 1) ( n − 2 ) ......1
Giải:
Từ tập hợp A= { 1, 2, 3, 4} có thể lập được 4! = 24 số tự
nhiên có bốn chữ số khác nhau.


Nhóm 1, 3
Từ tập A= { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 } có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?
Giải Gọi số cần lập là abcde

Từ gt: a ≠ 0 nên a có 6 cách chọn
4
Có A6 = 360 cách chọn cho các vị trí còn lại
Vậy có 6.360= 2160 số thoả mãn yêu cầu bài toán.

N1,3 N2, 4


Nhóm 2, 4
Từ tập A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết
cho 5?
Giải Gọi số cần lập là abcde
Từ gt: e = 5nên e có 1 cách chọn
4
A
Có 6 = 360 cách chọn cho các vị trí còn lại
Vậy có 360 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
N1,3 N2, 4


Bài tập 3: Từ tập A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập
được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi
một khác nhau và 2 chữ số 1, 2 luôn đứng kề
nhau?


Bài tập 3
Từ tập A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và 2 chữ số 1,

2 luôn đứng kề nhau?
Giải Gọi số cần lập là abcde
Coi cặp (1, 2) là một chữ số X thì có 4 cách xếp cho X
Trong nội bộ X có 2! cách sắp xếp
có A53 = 60 cách chọn cho các vị trí còn lại
Vậy có 4.2!.60= 480 số thoả mãn yêu cầu bài toán


Bài tập 4
Một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam.
Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn 4 học
sinh làm tổ trưởng của 4 tổ sao cho trong 4 học sinh
được chọn có cả nam và nữ?


Bài tập 4
Một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam.
Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn 4 học
sinh làm tổ trưởng của 4 tổ sao cho trong 4 học sinh
được chọn có cả nam và nữ?
4
Giải: Chọn 4 tổ trưởng từ 35 học sinh: có A35 cách
4
Chọn 4 học sinh nữ làm tổ trưởng: có A20 cách
4
Chọn 4 học sinh nam làm tổ trưởng: có A15 cách
Vậy số cách chọn 4 học sinh làm tổ trưởng có cả
nam và nữ là: A354 − ( A204 + A154 ) = 1107600 cách

Bài tập 1: Từ tập hợp A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập được
bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau?
Giải
Mỗi số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau là một
chỉnh hợp chập 3 của 6
Vậy lập được A = 120 số thoả mãn yêu cầu bài toán
3
6