giao an DS 10

chơng IV: bất đẳng thức và bất phơng trình
Đ1. bất đẳng thức (2 tiết)
1. Mục tiêu. Sau bài này
Về kiến thức: Học sinh hiểu khái niệm bất đẳng thức và nắm đợc các tính chất của bất đẳng thức.
Hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số (AMGM: Arithmetic means
Geometric means). Biết đợc một số bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối thông dụng.
Về kỹ năng: Vận dụng đợc tính chất của bất đẳng thức hoặc dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng
minh đợc một số bất đẳng thức đơn giản. Biết vận dụng bất đẳng thức AM GM vào việc chứng minh
bất đẳng thức hoặc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức đơn giản. Chứng minh đợc một số bất đẳng
thức đơn giản có chứa giá trị tuyệt đối.
2. chuẩn bị của giáo viên và học sinh.
Giáo viên: Chuẩn bị các ví dụ về bất đẳng thức mà học sinh đã học ở THCS giúp học sinh dễ nắm các
kiến thức trọng tâm.
Học sinh: Ôn tập lại các kiến thức về bất đẳng thức đã đợc học ở THCS.
3. dự kiến phơng pháp dạy học.
Sử dụng phơng pháp vấn đáp gợi mở có phối hợp với phân bậc hoạt động theo các nội dung ghi
bảng.
4. tiến trình bài học.
Tiết PPCT: 32 - Ngày 14/01/2008
Hoạt động 1
a) Hớng đích.
H1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng
a) 3,25 < 4; b)
1
5 4
4
>
; c)
2 3
H2: Chọn dấu thích hợp (=, <, >) điền vào ô vuông để đợc mệnh đề đúng.
a)

2 2 3
; b)
4 2
3 3
; c)
( )
2
3 2 2 1 2+ +
; d)
2
a 1 0+
với số a đã cho.
B) Bài mới.
Hoạt động 2
I- ôn tập bất đẳng thức.
1. Khái niệm bất đẳng thức.
Các mệnh đề dạng a<b hoặc a>b đ ợc gọi là bất đẳng thức.
Ví dụ 1. Khẳng định nào sau đây đúng với mọi giá trị của x?
a) 2x > 5x; b) 4x > x; c) x3< x + 1; d)
2 2
3x 7x> ; (Đáp số: c)
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tơng đơng.
Nếu mệnh đề a<b

c<d đúng thì ta nói bất đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng
thức a<b và viết: a<b

c<d.
Ví dụ 2. Ta có a < b và b<c a<c.
Với c tùy ý, ta có a<b a+c < b+c.

Nếu bất đẳng thức a<b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngợc lại thì ta nói hai bất đẳng thức t-
ơng đơng với nhau và viết a< b

c<d.
Ví dụ 3. Chứng minh a<b ab < 0.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
H1: Chứng minh a < b ab<0?
Gợi ý trả lời H1:
H2: Chứng minh a b < 0 a<b?
Cộng b vào 2 vế của bất đẳng thức a<b ta đợc bất
đẳng thức hệ quả ab<0.
Gợi ý trả lời H2:
Cộng b vào 2 vế của bất đẳng thức ab<0 ta đợc bất
đẳng thức hệ quả a<b.
Vậy ta có a<b ab<0.
3. Tính chất của bất đẳng thức.
Để chứng minh bất đẳng thức chúng ta có thể vận dụng các tính chất sau:
a) a<b a+c < b+c
b) Với c>0 ta có: a<b ac<bc
c) Với c<0 ta có: a<b ac>bc
d)
a b
a c b d
c d
<

+ < +

<

e) Với a>0, c>0 ta có:
a b
ac bd
c d
<

<

<

f) Với n nguyên dơng, ta có:
2n 1 2n 1 2n 2n
a b a b ; 0 a b a b
+ +
< < < < <
g) Với a>0 ta có:
3 3
a b a b; a b a b< < < <
Ví dụ 4. Trong các số sau số nào nhỏ nhất (với x>3)
3 3 3 x
A ; B 1; C 1; D
x x x 3
= = + = =
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
H1: Phơng pháp xác định số nhỏ nhất?
H2: So sánh A và D?
H3: So sánh B và C?
H4: So sánh A và C?
Gợi ý trả lời H1:
So sánh theo từng cặp.

Gợi ý trả lời H2:
Vì x>3 nên A<1, D>1 A<D.
Gợi ý trả lời H3: C<B
Gợi ý trả lời H4: C<A.
Vậy
3
C 1
x
=
là số bé nhất trong các số đã cho.
Chú ý. Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b hoặc a b. Các mệnh đề dạng này cũng đợc gọi là các bất
đẳng thức. Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt còn các bất đẳng thức dạng a<b
hoặc a>b gọi là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất trên cũng đúng với các bất đẳng thức không ngặt.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
H1: Phơng pháp chứng minh?
H2: Thực hiện phép chứng minh?
Gợi ý trả lời H1:
Biến đổi về dạng
2 2
A B 0+
Gợi ý trả lời H2:
Ta có:
2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2

2 2 2
a 2ab b b 2bc c c 2ca a 0
a b b c c a 0
+ + + + +
+ +

Bất đẳng thức trên luôn đúng, vậy ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra a = b = c.
Ví dụ 6. Cho hàm số
f (x) (x 3)(5 x)= +
với
3 x 5
.
Xác định x sao cho f(x) đạt gí trị lớn nhất.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
H1: Khai triển f(x) thành đa thức?
H2: Biến đổi f(x) thành tổng (hiệu) các bình
phơng? Từ đó tìm GTNN của f(x)?
Gợi ý trả lời H1:
Ta có Ta có:
2
f (x) (x 3)(5 x) x 2x 15= + = + +
Gợi ý trả lời H2:
f(x)
( )
( )
2
2
x 2x 1 16 16 x 1 16= + + =
Đẳng thức xảy ra x 1 = 0 x = 1.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x = 1 và giá trị lớn
nhất đó bằng 16.
Hoạt động 3
H ớng dẫn học bài ở nhà:
Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức.
Em đã biết những cách chứng minh bất đẳng thức nào?
Bài tập về nhà: 1, 2, 3 SGK.
Tiết PPCT: 32 - Ngày 14/01/2008
A) Bài cũ.
H1: Phát biểu các tính chất của bất đẳng thức?
B) Bài mới.
Hoạt động 4
II bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AMGM, Bất
đẳng thức côsi)
1. Bất đẳng thức Côsi.
Định lí. Với mọi a, b 0 ta có
a b
ab
2
+

(1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Chứng minh:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
H1: (1) tơng đơng với bất đẳng thức nào?
H2: Vậy đẳng thức xảy ra khi nào?
Gợi ý trả lời H1: Ta có
( )
2
(1) a b 2 ab 0 a b 0 +

đúng a, b 0.
Gợi ý trả lời H2: Khi
a b a b= =
.
2. Các hệ quả.
Hệ quả 1. Tổng của một số dơng với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2:
1
a 2, a 0
a
+ >
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
H1: áp dụng bất đẳng thức AMGM ta có
điều gì?
H2: Đẳng thức xảy ra khi nào?
Gợi ý trả lời H1: Ta có
1 1
a 2 a. 2
a a
+ =
Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
a a 1
a
= =
(Vì a>0)
Hệ quả 2. Nếu x, y cùng dơng và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
H1: Theo bất đẳng thức Côsi thì xy?
H2: Đẳng thức xảy ra khi nào?
Gợi ý trả lời H1:

Ta có
x y S
xy
2 2
+
=
, do đó
( )
2
x y
xy
4
+

Gợi ý trả lời H2:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
ý nghĩa hình học:
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 3. Nếu x, y cùng dơng và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
ý nghĩa hình học:
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dơng. Chứng minh:
( )
1 1
a b 4
a b

+ +
ữ

.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
H1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi, chứng
minh bất đẳng thức?
H2: Khi nào đẳng thức xảy ra?
Gợi ý trả lời H1:
Vì a>0 và b>0 nên
1 1
0, 0
a b
> >
.
áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
a b 2 ab
1 1 2
a b
ab

+


+


Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều trên
ta có đpcm.
Gợi ý trả lời H2: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta
có:
a b

a b 2
1 1
1
(a b) 4 a b
2
a b
=

= =






+ + = = =

ữ




Hoạt động 5
III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
H1: Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối của
một số thực?
H2: Tính giá trị tuyệt đối của các số thực sau:
3,7; 0;
1

3

Gợi ý trả lời H1:
A
A
nếu A 0
-A nếu A<0


=


Gợi ý trả lời H2:
1 1
3,7 3,7; 0 0;
3 3
= = =
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất:
1)
x 0, x x, x x
, x
Ă
.
2) Với a>0 ta có: a)
x a a x a
b)
x a x a
hoặc
x a
.

3)
a b a b a b + +
Ví dụ 2. Cho x[2; 0]. Chứng minh rằng
x a 1+
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
H1: x[2; 0] x+1?
H2: Kết luận về
x 1+
?
Gợi ý trả lời H1:
[ ]
x 2;0 2 x 1 1 x 1 1 +
Gợi ý trả lời H2: Suy ra
x 1 1+
Hoạt động 6
H ớng dẫn học bài ở nhà: Bài tập về nhà: 4, 5, 6- SGK
Bất đẳng thức AMGM (Bất đẳng thức côsi)?
Các tính chất bất đẳng thức của giá trị tuyệt đối?