Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
MỤC LỤC
MỤC LỤC...........................................................................................................................................................1
CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG..................................................................................................................................1
Dạng 1. Biểu diễn đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy..................................................................4
Dạng 2. Xác định điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳng......................................6
Dạng 3. Xác định phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.......................................7
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng...............................................................................................13
Dạng 5: Tìm điều kiện để hai đường thẳng và cắt nhau, song song, trùng nhau................................20
Dạng 6: Xác định tọa độ giao điểm của 2 đưởng thẳng........................................................................23
Dạng 7: Tìm điều kiện để để d và d’ cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ nguyên........................................25
Dạng 8: Tìm điều kiện để hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tai các góc phần tư thứ I, thứ II, thứ III,
thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy.........................................................................................................27
Dạng 9: Tìm điều kiện m để 3 điểm thẳng hàng...................................................................................30
Dạng 10: Tìm điều kiện của m để đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân..............31
Dạng 11: Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi tham số m..................35
Dạng 12: Bài toán tính khoảng cách từ điểm ) đến đường thẳng........................................................38
Dạng 13: Bài toán tính diện tích và chu vi tam giác...............................................................................42
C. Bài tập.................................................................................................................................................48
CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG
A.Lý thuyết cơ bản.
I. Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất:
1
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức
trong đó
là
các số cho trước và
b. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất:
Hàm số bậc nhất
xác định với mọi giá trị
và có tính
chất sau:
Hàm số
đồng biến trên
khi
Hàm số
nghịch biến trên R khi
.
c. Hệ số góc của đường thẳng
Đường thẳng
có hệ số góc là a.
Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có tích hệ số góc bằng
Đường thẳng
tạo với tia
Phương trình đường thẳng đi qua
một góc
thì
và có hệ số góc
cho trước là:
II. Phương trình đường thẳng
a. Định lí 1 :
Trong mặt phăngt tọa độ
tập hợp các điểm
là đường thẳng đi qua 2 điểm
2
thỏa mãn phương trình
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Nhận xét 1: Trường hợp
Chủ đề: Đường Thẳng
thì
Nhận xét 2:
)
)
b. Định lí 2 :
Phương trình đường thẳng tổng quát :
+ Khi
+ Khi
3
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
+ Khi
B.Một số dạng toán về đến đường thẳng
Dạng 1. Biểu diễn đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
1. Đồ thị hàm số
Dạng đồ thị: Là đường thẳng đi qua gốc toạ độ.
Cách vẽ:
Bước 1: Xác định giao điểm với trục tung
Bước 2: Biểu diễn điểm
trên mặt phẳng toạ độ
Bước 3: Vẽ đường thẳng
( đồ thị hàm số
)
Bài 1: Biểu diễn đường thẳng
lên mặt phẳng tọa độ.
Giải
Cho
ta có
4
là đường thẳng
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
thuộc đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số là đường thẳng
Bài 2: Biểu diễn đường thẳng
lên mặt phẳng tọa độ.
Giải
Cho
ta có
thuộc đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số là đường thẳng
2. Đồ thị hàm số
Dạng đồ thị: Là đường thẳng cắt hai trục toạ độ.
Cách vẽ:
Bước 1: Xác định giao điểm với trục tung
Bước 2: Xác định giáo điểm với trục hoành
Bước 3: Vẽ điểm
là đường thẳng
lên mặt phẳng tọa độ
.
Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số:
5
. Đường thẳng đi qua 2 điểm
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
Giải
Cho
Đồ thị hàm số
là đường
thẳng đi qua 2 điểm
Dạng 2. Xác định điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳng.
1. Phương pháp.
- Thay hoành độ (hoặc tung độ) của điểm đó vào hàm số.
- Nếu giá trị của hàm số bằng tung độ (hoặc hoành độ) thì điểm đó thuộc đồ thị
hàm số.
- Nếu giá trị của hàm số không bằng tung độ (hoặc hoành độ) thì điểm đó không
thuộc đồ thị hàm số.
2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Cho đường thẳng
a) Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số? Vì sao?
b) Tìm điểm
bất kỳ thuộc đồ thị hàm số trên?
Giải
6
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
a. Xét điểm
Thay điểm tọa độ điểm A vào đường thẳng
Điểm
không thuộc đường thẳng
ta có:
.
Xét điểm
Thay điểm tọa độ điểm
Điểm
vào đường thẳng
thuộc đường thẳng
ta có:
.
Xét điểm
Thay điểm tọa độ điểm
Điểm
vào đường thẳng
không thuộc đường thẳng
b. Cho
ta có:
.
Ta có
là điểm thuộc đường thẳng
.
Dạng 3. Xác định phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.
Loại 1: Xác định phương trình đường thẳng khi biết đường thẳng đi qua một
điểm cho trước.
7
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
1. Phương pháp.
Thay toạ độ điểm thuộc đồ thị hàm số ta tính các hệ số.
Lưu ý:
Điểm nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0.
Điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0.
2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Cho đường thẳng có dạng
Tìm a để đường thẳng đi qua điểm
Giải
Để đồ thị hàm số
Vậy khi
đi qua điểm
thì đồ thị hàm số
đi qua điểm
.
Bài 2:
a) Tìm hệ số
của hàm số
biết rằng khi
8
thì
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
b) Xác định hệ số
Chủ đề: Đường Thẳng
biết đồ thị hàm số
đi qua điểm
Giải
a) Khi
thì
Vậy khi
ta có:
thì
b) Vì đồ thị hàm số
Vậy khi
thì
.
đi qua điểm
thì đồ thị hàm số
Bài 3: Xác định đường thẳng
nên ta có:
đi qua điểm
, biết:
9
.
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
a) Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là
và đi qua điểm
.
b) Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là
và đi qua điểm
Giải
a) Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là
vào đường thẳng ta có:
. Thay
(1)
Mặt khác đường thẳng đi qua
nên thay
trình đường thẳng ta có:
và
vào phương
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:
Vậy phương trình đường thẳng là:
.
b) Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là
vào đường thẳng ta có:
(3)
Mặt khác đường thẳng đi qua
trình đường thẳng ta có:
. Thay
nên thay
(4)
10
và
vào phương
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình sau:
Vậy phương trình đường thẳng là:
.
Loại 2: Xác định m để đường thẳng song song, vuông góc với một đường
thẳng cho trước.
1. Phương pháp.
- Hai đường thẳng song song với nhau khi
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi
2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Cho đường thẳng
a) Tìm m để đường thẳng
song song với đường thẳng
b) Tìm m để đường thẳng
vuông góc với đường thẳng
Giải
a) Để đồ thị hàm số
song song với đường thẳng
khi:
11
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
Vậy với m=1 thì đường thẳng
song song với đường thẳng
.
b) Để đồ thị hàm số
Vậy với
vuông góc với đường thẳng
thì đường thẳng
vuông góc với đường
thẳng
Bài 2: Xác định đường thẳng
đường thẳng
, biết đường thẳng đó song song với
và đi qua
.
Giải
Đồ thị hàm số song song với đường thẳng
=>
, ta có hàm số dạng :
Đồ thị hàm số đi qua
Vậy hàm số cần tìm là :
nên thay
.
12
và
vào hàm số ta có:
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
a) Với giá trị nào của
và
thì
b) Xác định phương trình của
, cho đường thẳng
song song với trục
biết
đi qua
có phương trình:
?
và có hệ số góc bằng
Giải
a) Trục
có phương trình là
. Vậy
song song với trục
khi và chỉ khi
b) Phương trình đường thẳng d có hệ số góc băng
có dạng
Mà
.
đi qua
Vậy phương trình đường thẳng
là:
.
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng
Loại 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
trong đó
1. Tổng quát: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
13
và
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
và
Chủ đề: Đường Thẳng
trong đó
.
Phương pháp :
Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng
cần lập đi qua
Bước 2 :Do
thay
vào y = ax + b ta có
Do
thay
vào y = ax + b ta có
và
có dạng
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Bước 3 : Giải hệ phương trình này tìm được
thẳng
và suy ra phương trình đường
cần lập.
Bước 4: Kết luận.
2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
Giải
Gọi phương trình đường thẳng
Do
cần lập đi qua
thay
14
và
có dạng
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Do
Chủ đề: Đường Thẳng
thay
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy phương trình đường thẳng
cần lập là
.
Khai thác 1:
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
Giải
Ta có:
* Trường hợp 1:
Vậy phương trình đường thẳng
* Trường hợp 2:
Đương thẳng AB cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy tại 2 điểm phân biệt.
Phương trình đường thẳng AB có dạng
Đường thẳng AB đi qua
Do
và
nên ta có:
thay
15
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Do
Chủ đề: Đường Thẳng
thay
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy phương trình đường thẳng
cần lập là
.
Khai thác 2:
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Giải
Ta có:
* Trường hợp 1:
Vậy phương trình đường thẳng
* Trường hợp 2:
Đương thẳng AB cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy tại 2 điểm phân biệt.
Phương trình đường thẳng AB có dạng
16
và
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Đường thẳng AB đi qua
Do
thay
Do
thay
Chủ đề: Đường Thẳng
và
nên ta có:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy phương trình đường thẳng
cần lập là:
.
Khai thác 3:
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm
Giải
* Trường hợp 1: Xét
Phương trình đi qua
điểm
là:
* Trường hợp 2: Xét
17
.
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Phương trình đi qua
điểm
Chủ đề: Đường Thẳng
là:
* Trường hợp 3: Xét
Khi đó đương thẳng AB cắt 2 trục Ox, Oy tại 2 điểm phân biệt. Nên có dạng
Vì đường thẳng AB đi qua 2 điểm
nên ta có hệ phương trình
sau:
Vậy phương trình AB có dạng:
.
Loại 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua
1. Phương pháp:
Bước 1: Phương trình đường thẳng có hệ số góc k có dạng
Bước 2: Đường thẳng này đi qua
Bước 3: Phương trình đường thẳng cần tìm là
18
và có hệ số góc là .
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua
và có hệ số góc là
Giải
Phương trình đường thẳng có hệ số góc
có dạng
Đường thẳng này đi qua
Phương trình đường thẳng cần tìm là:
.
Khai thác 1: Cũng bài toán ở ví dụ 1 cho điểm
ta có bài toán sau:
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua
(với m tùy ý) và có hệ số
góc là
.
Giải
Phương trình đường thẳng có hệ số góc
có dạng
Đường thẳng này đi qua
Phương trình đường thẳng cần tìm là:
.
Khai thác 2: Cũng bài toán ở ví dụ 1 cho điểm
ta có bài toán sau:
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua
(với m tùy ý) và có hệ số
góc là
.
19
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Chủ đề: Đường Thẳng
Giải
Phương trình đường thẳng có hệ số góc
có dạng
Đường thẳng này đi qua
Phương trình đường thẳng cần tìm là:
.
Khai thác 3: Cũng bài toán ở ví dụ 1 cho hệ số góc
với ta có bài toán
sau:
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua
là
(với m tùy ý) và có hệ số góc
.
Giải
Phương trình đường thẳng có hệ số góc
có dạng
Đường thẳng này đi qua
Phương trình đường thẳng cần tìm là:
.
Dạng 5: Tìm điều kiện để hai đường thẳng
nhau.
1. Phương pháp.
Để
và
cắt nhau thì
.
20
và
cắt nhau, song song, trùng
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Để
và
trùng nhau thì
Để
và
song song với nhau thì
Để
và
Chủ đề: Đường Thẳng
.
vuông góc với nhau thì
2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song
với nhau trong số các đường thẳng sau:
Giải
Đựa vào điều kiện để hai đường thẳng song song và cắt nhau ta tìm được các cặp
đường thẳng song song và cắt nhau sau:
Ba cặp đường thẳng cắt nhau là: a) và b); b) và c); a) và c).
Các cặp đường thẳng song song là: a) và e); b) và d); c) và g).
Khai thác:
Bài 2: Cho hàm số bậc nhất
trị của
. Tìm giá
để đồ thị của hai hàm số đã cho là:
a) Hai đường thẳng song song với nhau;
b) Hai đường thẳng cắt nhau.
c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau.
d) Hai đường thẳng trùng nhau.
Giải
a) Để
song song với nhau thì
Hiển nhiên hệ số
là
. Ta có
21
.
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Vậy để
song song với nhau thì
b) Để
cắt nhau thì
.
.
Ta có
Để
Chủ đề: Đường Thẳng
.
cắt nhau thì
c) Để
vuông góc với nhau thì
Ta có
Mà
Do đó không có giá trị nào của m để
d) Để
vuông góc với nhau.
trùng nhau thì
Dễ thấy hệ số
là
Nên với mọi giá trị của m thì
cũng không thể trùng nhau.
Bài 3: Cho hai đường thẳng
Tìm điều kiện của
và
.
để đồ thị của hai hàm số là:
a) Hai đường thẳng cắt nhau;
b) Hai đường thẳng song song với nhau;
c) Hai đường thằng trùng nhau.
Giải
a) Để
cắt nhau thì
Vậy đường thẳng
cắt nhau khi
hay
22
,
túy ý.
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
b) Để
song song với nhau thì
Vậy đường thẳng
song song với nhau khi
hay khi
c) Để
Chủ đề: Đường Thẳng
.
trùng nhau thì
Vậy đường thẳng
thẳng trùng nhau khi
khi
hay
.
Dạng 6: Xác định tọa độ giao điểm của 2 đưởng thẳng.
1. Phương pháp.
Muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
và
ta giải hệ phương trình
sau:
.
Khi đó
chính là tọa độ giao điểm của
2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Cho hai đường thẳng
Tìm giao điểm
.
của
Giải
Để tìm giao điểm của
ta đi giải hệ phương trình sau:
23
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Vậy
Chủ đề: Đường Thẳng
cắt nhau tai điểm M có tọa độ là
.
Khai thác 1: Chứng minh 3 dường thẳng đồng quy
Bài 2: Cho hai đường thẳng
và
. Chứng minh rằng
đồng quy.
Giải
Từ ví dụ 1 ta có
giao nhau tai điểm M có tọa độ là
Để chứng minh
Thay
đồng quy ta chỉ cần chứng minh
vào
ta được:
(thỏa mãn)
Do đó
24
.
.
Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Vậy
Chủ đề: Đường Thẳng
đồng quy tại
Khai thác 2:
Bài 3: Cho đường thẳng d và d’ có phương trình như sau:
. Xác định tọa độ giao điểm
.
Giải
Ta có hệ phương trình sau:
Vậy
giao nhau tại
.
Khai thác 3: Thêm điều kiện để d và d’ cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ nguyên
ta được dạng toán mới như sau:
Dạng 7: Tìm điều kiện để để d và d’ cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ nguyên.
1. Phương pháp.
25