Đề tài Hàm số bậc nhất Đường Thẳng

Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

MỤC LỤC
MỤC LỤC...........................................................................................................................................................1
CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG..................................................................................................................................1
Dạng 1. Biểu diễn đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy..................................................................4
Dạng 2. Xác định điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳng......................................6
Dạng 3. Xác định phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.......................................7
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng...............................................................................................13
Dạng 5: Tìm điều kiện để hai đường thẳng và cắt nhau, song song, trùng nhau................................20
Dạng 6: Xác định tọa độ giao điểm của 2 đưởng thẳng........................................................................23
Dạng 7: Tìm điều kiện để để d và d’ cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ nguyên........................................25
Dạng 8: Tìm điều kiện để hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tai các góc phần tư thứ I, thứ II, thứ III,
thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy.........................................................................................................27
Dạng 9: Tìm điều kiện m để 3 điểm thẳng hàng...................................................................................30
Dạng 10: Tìm điều kiện của m để đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân..............31
Dạng 11: Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi tham số m..................35
Dạng 12: Bài toán tính khoảng cách từ điểm ) đến đường thẳng........................................................38
Dạng 13: Bài toán tính diện tích và chu vi tam giác...............................................................................42
C. Bài tập.................................................................................................................................................48

CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG
A.Lý thuyết cơ bản.
I. Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất:

1

Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức

trong đó

là

các số cho trước và
b. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất:
Hàm số bậc nhất

xác định với mọi giá trị

và có tính

chất sau:
Hàm số

đồng biến trên

khi

Hàm số

nghịch biến trên R khi

.

c. Hệ số góc của đường thẳng
Đường thẳng

có hệ số góc là a.

Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có tích hệ số góc bằng
Đường thẳng

tạo với tia

Phương trình đường thẳng đi qua

một góc

thì

và có hệ số góc

cho trước là:

II. Phương trình đường thẳng
a. Định lí 1 :
Trong mặt phăngt tọa độ

tập hợp các điểm

là đường thẳng đi qua 2 điểm

2

thỏa mãn phương trình


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Nhận xét 1: Trường hợp

Chủ đề: Đường Thẳng

thì

Nhận xét 2:

)

)

b. Định lí 2 :
Phương trình đường thẳng tổng quát :
+ Khi

+ Khi

3


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

+ Khi

B.Một số dạng toán về đến đường thẳng
Dạng 1. Biểu diễn đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
1. Đồ thị hàm số
Dạng đồ thị: Là đường thẳng đi qua gốc toạ độ.
Cách vẽ:
Bước 1: Xác định giao điểm với trục tung
Bước 2: Biểu diễn điểm

trên mặt phẳng toạ độ

Bước 3: Vẽ đường thẳng

( đồ thị hàm số

)

Bài 1: Biểu diễn đường thẳng
lên mặt phẳng tọa độ.
Giải
Cho

ta có

4

là đường thẳng

Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

thuộc đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số là đường thẳng
Bài 2: Biểu diễn đường thẳng
lên mặt phẳng tọa độ.
Giải
Cho

ta có

thuộc đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số là đường thẳng
2. Đồ thị hàm số
Dạng đồ thị: Là đường thẳng cắt hai trục toạ độ.
Cách vẽ:
Bước 1: Xác định giao điểm với trục tung
Bước 2: Xác định giáo điểm với trục hoành
Bước 3: Vẽ điểm
là đường thẳng

lên mặt phẳng tọa độ
.

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số:

5

. Đường thẳng đi qua 2 điểm


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

Giải
Cho

Đồ thị hàm số

là đường

thẳng đi qua 2 điểm

Dạng 2. Xác định điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳng.
1. Phương pháp.
- Thay hoành độ (hoặc tung độ) của điểm đó vào hàm số.
- Nếu giá trị của hàm số bằng tung độ (hoặc hoành độ) thì điểm đó thuộc đồ thị
hàm số.
- Nếu giá trị của hàm số không bằng tung độ (hoặc hoành độ) thì điểm đó không
thuộc đồ thị hàm số.
2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Cho đường thẳng
a) Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số? Vì sao?

b) Tìm điểm

bất kỳ thuộc đồ thị hàm số trên?
Giải

6


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

a. Xét điểm
Thay điểm tọa độ điểm A vào đường thẳng

Điểm

không thuộc đường thẳng

ta có:

.

Xét điểm
Thay điểm tọa độ điểm

Điểm

vào đường thẳng

thuộc đường thẳng

ta có:

.

Xét điểm
Thay điểm tọa độ điểm

Điểm

vào đường thẳng

không thuộc đường thẳng

b. Cho

ta có:

.
Ta có

là điểm thuộc đường thẳng

.
Dạng 3. Xác định phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.
Loại 1: Xác định phương trình đường thẳng khi biết đường thẳng đi qua một
điểm cho trước.

7

Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

1. Phương pháp.
Thay toạ độ điểm thuộc đồ thị hàm số ta tính các hệ số.
Lưu ý:
Điểm nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0.
Điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0.
2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Cho đường thẳng có dạng
Tìm a để đường thẳng đi qua điểm
Giải
Để đồ thị hàm số

Vậy khi

đi qua điểm

thì đồ thị hàm số

đi qua điểm

.

Bài 2:
a) Tìm hệ số

của hàm số

biết rằng khi

8

thì


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
b) Xác định hệ số

Chủ đề: Đường Thẳng

biết đồ thị hàm số

đi qua điểm
Giải

a) Khi

thì

Vậy khi

ta có:

thì

b) Vì đồ thị hàm số

Vậy khi

thì

.

đi qua điểm

thì đồ thị hàm số

Bài 3: Xác định đường thẳng

nên ta có:

đi qua điểm
, biết:

9

.


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

a) Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là

và đi qua điểm

.
b) Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là

và đi qua điểm

Giải
a) Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là
vào đường thẳng ta có:

. Thay

(1)

Mặt khác đường thẳng đi qua

nên thay

trình đường thẳng ta có:

và

vào phương

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

Vậy phương trình đường thẳng là:

.

b) Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là
vào đường thẳng ta có:

(3)

Mặt khác đường thẳng đi qua
trình đường thẳng ta có:

. Thay

nên thay
(4)

10

và

vào phương


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình sau:

Vậy phương trình đường thẳng là:

.

Loại 2: Xác định m để đường thẳng song song, vuông góc với một đường
thẳng cho trước.
1. Phương pháp.
- Hai đường thẳng song song với nhau khi

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi
2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Cho đường thẳng
a) Tìm m để đường thẳng

song song với đường thẳng

b) Tìm m để đường thẳng

vuông góc với đường thẳng
Giải

a) Để đồ thị hàm số

song song với đường thẳng

khi:

11


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

Vậy với m=1 thì đường thẳng

song song với đường thẳng

.
b) Để đồ thị hàm số

Vậy với

vuông góc với đường thẳng

thì đường thẳng

vuông góc với đường

thẳng
Bài 2: Xác định đường thẳng
đường thẳng

, biết đường thẳng đó song song với

và đi qua

.
Giải

Đồ thị hàm số song song với đường thẳng
=>

, ta có hàm số dạng :

Đồ thị hàm số đi qua

Vậy hàm số cần tìm là :

nên thay

.

12

và

vào hàm số ta có:


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ

a) Với giá trị nào của

và

thì

b) Xác định phương trình của

, cho đường thẳng

song song với trục

biết

đi qua

có phương trình:

?
và có hệ số góc bằng

Giải
a) Trục

có phương trình là

. Vậy

song song với trục

khi và chỉ khi

b) Phương trình đường thẳng d có hệ số góc băng
có dạng
Mà

.

đi qua

Vậy phương trình đường thẳng

là:

.

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng
Loại 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
trong đó
1. Tổng quát: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

13

và


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
và

Chủ đề: Đường Thẳng

trong đó

.

Phương pháp :

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng

cần lập đi qua

Bước 2 :Do

thay

vào y = ax + b ta có

Do

thay

vào y = ax + b ta có

và

có dạng

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Bước 3 : Giải hệ phương trình này tìm được
thẳng

và suy ra phương trình đường

cần lập.

Bước 4: Kết luận.

2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

và

Giải
Gọi phương trình đường thẳng

Do

cần lập đi qua

thay

14

và

có dạng


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Do

Chủ đề: Đường Thẳng

thay

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy phương trình đường thẳng

cần lập là

.

Khai thác 1:
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

và

Giải
Ta có:
* Trường hợp 1:

Vậy phương trình đường thẳng
* Trường hợp 2:
Đương thẳng AB cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy tại 2 điểm phân biệt.
Phương trình đường thẳng AB có dạng
Đường thẳng AB đi qua
Do

và

nên ta có:

thay

15

Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Do

Chủ đề: Đường Thẳng

thay

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy phương trình đường thẳng

cần lập là

.
Khai thác 2:
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Giải
Ta có:
* Trường hợp 1:

Vậy phương trình đường thẳng
* Trường hợp 2:
Đương thẳng AB cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy tại 2 điểm phân biệt.
Phương trình đường thẳng AB có dạng

16

và

Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Đường thẳng AB đi qua
Do

thay

Do

thay

Chủ đề: Đường Thẳng

và

nên ta có:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy phương trình đường thẳng

cần lập là:

.
Khai thác 3:
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm
Giải

* Trường hợp 1: Xét

Phương trình đi qua

điểm

là:

* Trường hợp 2: Xét

17

.


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Phương trình đi qua

điểm

Chủ đề: Đường Thẳng

là:

* Trường hợp 3: Xét

Khi đó đương thẳng AB cắt 2 trục Ox, Oy tại 2 điểm phân biệt. Nên có dạng

Vì đường thẳng AB đi qua 2 điểm

nên ta có hệ phương trình

sau:

Vậy phương trình AB có dạng:

.

Loại 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua
1. Phương pháp:
Bước 1: Phương trình đường thẳng có hệ số góc k có dạng

Bước 2: Đường thẳng này đi qua

Bước 3: Phương trình đường thẳng cần tìm là

18

và có hệ số góc là .


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng

2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua

và có hệ số góc là

Giải
Phương trình đường thẳng có hệ số góc

có dạng

Đường thẳng này đi qua
Phương trình đường thẳng cần tìm là:

.

Khai thác 1: Cũng bài toán ở ví dụ 1 cho điểm

ta có bài toán sau:

Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua

(với m tùy ý) và có hệ số

góc là

.
Giải

Phương trình đường thẳng có hệ số góc

có dạng

Đường thẳng này đi qua
Phương trình đường thẳng cần tìm là:

.

Khai thác 2: Cũng bài toán ở ví dụ 1 cho điểm

ta có bài toán sau:

Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua

(với m tùy ý) và có hệ số

góc là

.

19


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Chủ đề: Đường Thẳng
Giải

Phương trình đường thẳng có hệ số góc

có dạng

Đường thẳng này đi qua
Phương trình đường thẳng cần tìm là:

.

Khai thác 3: Cũng bài toán ở ví dụ 1 cho hệ số góc

với ta có bài toán

sau:
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua
là

(với m tùy ý) và có hệ số góc

.
Giải

Phương trình đường thẳng có hệ số góc

có dạng

Đường thẳng này đi qua
Phương trình đường thẳng cần tìm là:

.

Dạng 5: Tìm điều kiện để hai đường thẳng
nhau.
1. Phương pháp.
Để

và

cắt nhau thì

.

20

và

cắt nhau, song song, trùng


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Để

và

trùng nhau thì

Để

và

song song với nhau thì

Để

và

Chủ đề: Đường Thẳng

.

vuông góc với nhau thì

2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song
với nhau trong số các đường thẳng sau:

Giải
Đựa vào điều kiện để hai đường thẳng song song và cắt nhau ta tìm được các cặp
đường thẳng song song và cắt nhau sau:
Ba cặp đường thẳng cắt nhau là: a) và b); b) và c); a) và c).
Các cặp đường thẳng song song là: a) và e); b) và d); c) và g).
Khai thác:
Bài 2: Cho hàm số bậc nhất
trị của

. Tìm giá

để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau;
b) Hai đường thẳng cắt nhau.
c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau.
d) Hai đường thẳng trùng nhau.
Giải
a) Để

song song với nhau thì

Hiển nhiên hệ số

là

. Ta có

21

.


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
Vậy để

song song với nhau thì

b) Để

cắt nhau thì

.

.

Ta có
Để

Chủ đề: Đường Thẳng

.
cắt nhau thì

c) Để

vuông góc với nhau thì

Ta có

Mà
Do đó không có giá trị nào của m để
d) Để

vuông góc với nhau.

trùng nhau thì

Dễ thấy hệ số

là

Nên với mọi giá trị của m thì

cũng không thể trùng nhau.

Bài 3: Cho hai đường thẳng
Tìm điều kiện của

và

.

để đồ thị của hai hàm số là:

a) Hai đường thẳng cắt nhau;
b) Hai đường thẳng song song với nhau;
c) Hai đường thằng trùng nhau.
Giải
a) Để
cắt nhau thì
Vậy đường thẳng

cắt nhau khi

hay

22

,

túy ý.


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán
b) Để

song song với nhau thì

Vậy đường thẳng

song song với nhau khi

hay khi
c) Để

Chủ đề: Đường Thẳng

.
trùng nhau thì

Vậy đường thẳng

thẳng trùng nhau khi

khi

hay

.

Dạng 6: Xác định tọa độ giao điểm của 2 đưởng thẳng.
1. Phương pháp.
Muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

và

ta giải hệ phương trình

sau:
.
Khi đó

chính là tọa độ giao điểm của

2. Bài tập minh họa.
Bài 1: Cho hai đường thẳng

Tìm giao điểm

.

của
Giải

Để tìm giao điểm của

ta đi giải hệ phương trình sau:

23


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Vậy

Chủ đề: Đường Thẳng

cắt nhau tai điểm M có tọa độ là

.

Khai thác 1: Chứng minh 3 dường thẳng đồng quy

Bài 2: Cho hai đường thẳng

và

. Chứng minh rằng

đồng quy.

Giải

Từ ví dụ 1 ta có

giao nhau tai điểm M có tọa độ là

Để chứng minh

Thay

đồng quy ta chỉ cần chứng minh

vào

ta được:

(thỏa mãn)

Do đó

24

.

.


Đại số sơ cấp và thực hành giải toán

Vậy

Chủ đề: Đường Thẳng

đồng quy tại

Khai thác 2:
Bài 3: Cho đường thẳng d và d’ có phương trình như sau:
. Xác định tọa độ giao điểm
.
Giải
Ta có hệ phương trình sau:

Vậy

giao nhau tại

.

Khai thác 3: Thêm điều kiện để d và d’ cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ nguyên
ta được dạng toán mới như sau:
Dạng 7: Tìm điều kiện để để d và d’ cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ nguyên.
1. Phương pháp.

25