SKKN day HS tinh nhanh PS

Phần I: mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:

Bộ giáo dục và đào tạo đà và đang thực hiện thay sách giáo khoa các lớp,
các cấp học. Chơng trình sách giáo khoa năm 2000 có thay đổi đáng kể về nội
dung lẫn hình thức. Cùng với sự thay đổi về nội dung, phơng pháp dạy học cũng đợc nghiên cứu đổi mới cho phù hợp với chơng trình năm 2000, đáp ứng đợc nhu
cầu ngầy càng cao trong xà hội.
Sự thay đổi về sách giáo khoa và phơng pháp dạy học nhằm nâng cao chất lợng dạy và học. Sau một năm học, kết quả hoạt động công tác dạy và học nói
chung đợc đo bằng chất lợng, kết quả häc tËp cđa häc sinh ë trêng tiĨu häc sau
mét năm hoạt động công tác tỉ lệ học sinh lên lớp, đậu tốt nghiệp đạt 89% đến
100% không phải là cái đích duy nhất mà nhà trờng hớng tới, vì cả nớc đang quyết
tâm phổ cập giáo dục tiểu học, tiến tới phổ cập trung học cơ sở. Vậy còn ít ra có
một mục đích khác không kém phần quan trọng mà các nhà trờng vơn tới. Thớc đo
đánh giá chất lợng, hiệu quả công tác trong một năm học là chất lợng học sinh
giỏi.
Một lý do ảnh hởng không nhỏ đến chất lợng học sinh giỏi đó là phần lớn
giáo viên truyền đạt (dạy) một cách sao chép toàn bộ những gì trong sách nâng
cao đà viết. Học sinh tiếp hu bài rập khuôn, máy móc. Hơn nữa bậc tiểu học có sự
khác biệt so với trung học cơ sở, phổ thông trung học. Học sinh phải thi hai môn:
Văn Tiếng việt và Toán, mà để đạt giải cả hai môn ít ra điểm phải đạt từ trung
bình trở lên. Qua các kỳ thi môn Văn điểm thờng cao do chÊm theo tõng ý, tõng
c©u, tõng tõ do đó dễ có điểm. Môn toán thì khác, nhiều em điểm thấp có cả điểm
kém. Vậy môn Văn điểm cao mà môn Toán điểm thấp dới trung bình thì cũng
chẳng đạt danh hiệu gì. Các trờng đạt giải học sinh giỏi nhiều hay ít phụ thuộc rất
nhiều vào môn toán. Cấu trúc của một đề thi học sinh giỏi môn Toán thờng có bài
tập tính nhanh. Đây là bài tập gỡ điểm nhng học sinh ít khi làm trọn vẹn. Các kiểu
bài tập tính nhanh yêu cầu sử dụng kiến thức cơ bản và sử dụng một cách hợp lý.

3

Nhng có lẽ toán tính nhanh về phân số là khó nhất vì mức khó không chỉ với số tự
nhiên, số thập phân lại còn phải phân tích và rút gọn phân số nữa. Qua các đề thi,
học sinh ít khi làm đợc. Vì vậy tôi xin đa ra một số sáng kiến về việc Rèn luyện
kỹ năng tính nhanh, tÝnh nhÈm vỊ ph©n sè cho häc sinh líp 5. Mong sao nếu
vào phòng thi gặp bài tính nhanh, tính nhẩm về phân số các em sẽ làm tốt.
II. Mục đích nghiên cứu:

Cùng với sự phát triển của xà hội, khi máy tính, máy vi tính đà trở thành đồ
dùng sinh hoạt bình thờng và dễ mua, tính toán nhanh thì tính nhẩm miệng không
còn là cần thiết nữa. Một bài tính nhanh với nhiều con số đủ bốn phÐp tÝnh nhng
häc sinh cã thĨ bÊm nhÇm sè, nhÇm dấu phẩy, nhầm phép tính và các phơng tiện
tính toán không phải mọi lúc, mọi nơi đều hỗ trợ cho ta trong công việc hằng
ngày. Hơn nữa trong tính nhanh rÌn cho häc sinh vËn dơng linh ho¹t, khÐo lÐo tính
chất của phép tính để tìm ra kết quả tính to¸n mét c¸ch nhanh nhÊt, tiÕt kiƯm søc
lùc nhÊt. VËy phơng pháp nghiên cứu của tôi chủ yếu nh sau:
- Tìm hiểu các dạng toán tính nhanh về phân số.
- Những quy tắc, công thức, tính chất áp dụng cho giải toán tính nhanh về
phân số.
- Phơng pháp giải các dạng toán, các giải khác (nếu có).
- Những sai lầm học sinh mắc phải.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập toán 5 để tìm hiểu nội dung các
bài tập, cách giải các bài tập tính nhanh.
- Tìm hiểu, thu thập đề thi học sinh giái líp 5 cã tÝnh nhanh vỊ ph©n sè ë
mét số tỉnh.
- Tìm hiểu một số sách nâng cao dùng ®Ĩ båi dìng häc sinh giái
líp 5.

4

- Tìm hiểu thực trạng dạy tính nhanh về phân số trong trờng tiểu học, những
vất vả của giáo viên và khó khăn của học sinh.
IV. Phạm vi nghiên cứu:

Do tÝnh bøc xóc cđa chÊt lỵng häc sinh giái ë các trờng tiểu học. Kế hoạch
nhiệm vụ của các trờng đề ra so với kết quả đạt đợc thờng không đợc nh ý muốn.
Tôi nghiên cứu toán tính nhanh về phân số ở trờng tôi công tác: Trờng Tiểu học
Quang Hiến - Lang Chánh Thanh Hoá.
V. Phơng pháp nghiên cứu:

1. Nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu tài liệu môn toán viết về phân số, hiểu đợc dạy toán, nắm đợc
cơ sở khoa học của việc dạy toán tính nhanh phân số.
2. Tổng kết kinh nghiệm:
Qua tài liệu môn toán tìm hiểu chia ra các dạng về tính nhanh phân số mỗi
bài trong sách giáo khoa có cách giải riêng, từ đó tổng hợp các cách giải từ tài
liệu, qua bạn bè đồng nghiệp, từ kinh nghiệm của bản thân giúp cho giáo viên và
học sinh lờng trớc đợc các dạng ®Ị cã thĨ ra.
3. Thùc nghiƯm:
- D¹y thùc nghiƯm.
- Thèng kê kết quả và đối chứng chất lợng kiểm tra.

5


Phần II: Nội dung
Chơng I: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn
I. Cơ sở lý luận:

Giải toán là mức độ cao nhất của t duy, đòi hỏi mỗi học sinh phải biết huy
động gần nh hết mọi vốn kiến thức vào hoạt động giải toán.
Tính nhanh là tính toán đòi hỏi con ngời phải vận dụng toàn bộ những hiểu
biết về số học, huy động sức nhớ của bộ nÃo tìm ra kết quả nhanh, đúng. Vậy khả
năng tính nhanh là khả năng lựa chọ và thực hiện c¸ch tÝnh tèi u trong nhiỊu c¸ch
tÝnh cã thĨ cã của một phép tính, do đó trong óc mỗi ngời phải thực hiện những
phép biến đổi khác nhau để đa phép tính hoặc dÃy tính về một dạng, tránh đợc c¸c
tÝnh to¸n cång kỊnh b»ng bót, cã thĨ thùc hiƯn dƠ dµng trong suy nghÜ.
Häc sinh thËt thµ tin ngêi nên dễ bị đề thi đa vào tròng. Các em hiểu nhng
dễ quên hoặc nhận xét, đánh giá một cách thụ động hoặc chỉ một khía cạnh nào
đó. Dù đà đợc học nhng các em không nhớ ra là: tính bằng cách hợp lý, tính
bằng cách thích hợp, tính nhẩm có nghĩa là: tính nhanh. Mặt khác, các em dễ
hoa mắt, rối trí với các phép tính về dÃy số các phân số dài dằng dặc mà không
nhớ ra dạng toán này đà đợc học.
II. Cơ sở thực tiễn:

Trong sách giáo khoa, sách bài tập toán của học sinh lớp 5 trình bày bốn
dạng toán tính nhanh cơ bản là cơ sở tiền đề cho dạy và viết các dạng còn lại trong
toán nâng cao. Các đề thi học sinh giỏi lớp 5, đề bài nhìn chung giống sách giáo
khoa tài liệu nâng cao hoặc biến đổi đi. Do đó, chơng trình nâng cao đợc coi là
cẩm nang để giáo viên dạy bồi dỡng sử dụng. Nhng nếu quá trú trọng nâng cao đôi
khi bài tập trong sách giáo khoa học sinh lại không làm đợc. Đi học bồi dỡng nhng
chẳng tiến bộ hơn ở trong lớp học. Tôi xin trình bày bốn dạng tính nhanh cơ bản
trong sách giáo khoa, sách bài tập toán 5.

6


3 4 5

1
+ +
+
16 5 16 15

- Céng ph©n sè có mẫu số khác nhau
6 14 5 23
ì
ì ì
5 32 6 28

- Tìm tích các phân số

- Toán có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia trên một pân số
4,8 × 0,5 +16 × 0,25 + 20 : 10
4200 × 0,02

- Một phân số nhân một tổng các phân số, một phân số nhân một hiệu các
phân số

7 5 2
ì
9 3 3

hoặc

1 2 3
+ ì
5 5 4

Qua giờ thăm lớp kết hợp phỏng vấn một số ban bè đồng nghiệp, tôi nhận
thấy rằng thực tế trong quá trình giảng dạy ính nhanh về phân số, giáo viên còn
bộc lộ một số nhợc điểm nh:
1. Cha khắc sâu kiến thức cơ bản áp dụng cho tính nhanh, khi dạy giáo viên
còn phụ thuộc vào sách nâng cao nhiều, cha biến tri hức của sách thành của riêng
mình. Học sinh tiếp thu bài một cấch quá máy móc.
2. Một số giáo viên khi giảng thì đầy đủ, nhng khi giải toán bỏ một số bớc
mà cho là không cần thiết nên kết quả đúng vẫn không đợc tính điểm.
3. Lo chất lợng, thành tích của nhà trờng, một số giáo viên dạy nâng cao
đột ngột gây khó khăn cho sù thu hót cđa häc sinh.
VÝ dơ: Cïng ch÷a mét đề thi học sinh giỏi, hai giáo viên dạy qua bài tập
cũng khác nhau.
Bài tập1: Tính nhanh:

1 1 1
1
1
+ +
+
+
2 6 12 20 30

Bài tập 2: Tính bằng cách hợp lý:
1
1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+
+
1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 ì 6 6 ì 7 7 ì 8

Bài tập 3: Tính bằng cách thích hợp:
Một giáo viên khác d¹y nh sau:

7

1 1 1
1
1
+ +
+
++
2 6 12 20
90


Bài tập: Tính nhanh:

1 1 1
1
1
+ +
+

++
2 6 12 20
90

Giáo viên dạy trẻ nhỏ chơng trình qua bài tập thì học sinh dễ tiếp thu bài từ
đó nắm đợc bản chất của dạng toán. ngợc lại với một bài tập duy nhất nếu các em
hiểu cha nhiều, sau đó yêu cầu làm bài tập 2 chắc gì học sinh đà làm tốt. Tuy
nhiên kết quả chất lợng phụ thuộc phần nhiều vào học sinh đó là đặc điểm tâm
sinh lý, sự tự tin và nhất là không đợc vội vàng hấp tấp vội vàng khi làm bài. Hơn
nữa sự quan tâm của gia đình cũng ảnh hởng nhiều đến chất lợng, cha mẹ quan
tâm, sẵn sàng đến nhà thầy cô giáo yêu cầu giảng bài, giải đápthắc mắc cho cả cha
con từ đó phụ huynh tìm hiểu cách dạy của thầy cô và đọc sách để dạy con thì gia
đình nào quan tâm đến con cái thì kết quả học tập vẫn cao hơn.
Chơng II: Một số biện pháp góp phần nâng cao chất l ợng dạy
và học

Để học sinh giỏi lớp 5 thực hành tính nhanh các bài toán về phân số ngoài
việc phải khắc phục những nhợc điểm trên, toán tính nhanh về phân số có thể chia
ra các dạng nhỏ. Qua nghiên cứu tài liệu trên tôi xin trình bày 5 dạng sau:
Dạng I: Tính tổng các phân số có tử số bằng nhau:
Học sinh phải nhận xét đợc:
+ Phân tích mẫu số thành tích hai số tự nhiên.
+ Quy luật giữa các mẫu số.
Dạng I : Mét thõa sè cđa mÉu sè nµy lµm thõa sè của mẫu số liền sau nó.
(Sau khi đà phân tích mẫu số thành tích của hai số tự nhiên).
A. Về phơng diện lý thuyết:

- Phân tích mẫu số thành tích của hai số tự nhiên theo thứ tự
tăng dần.
- Tử sè b»ng hiƯu cđa hai sè tù nhiªn cđa mÉu số đó (hoặc khi phân tích

phân số thành hiệu hai ph©n sè).

8


- Các mẫu số có quy luật chung.
B. Về phơng diện thực hành:

- Phân tích mẫu số thành tích của hai số tự nhiên theo thứ tự
tăng dần.
- Viết mỗi phân số dới dạng hiệu hai phân số.
Ví dụ 1: TÝnh nhanh biÓu thøc sau:

1 1 1
1
1
1
+ +
+
+
+
2 6 12 20 30 42

* Nhận xét:
+ Các tử số đều bằng 1.
+ Phân tích mẫu số thành tích của hai số tự nhiên theo thứ tự
tăng dần.
1 1 1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
+ +
+
+
+
=
+
+
+
+
+
2 6 12 20 30 42 1 × 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 × 7

+ Quy luËt: Thõa sè thø hai cña mÉu sè nµy lµ thõa sè thø nhÊt cđa mÉu sè
liỊn sau đó theo thứ tự tăng dần.
Giải:
1
1
1 1
=
=
20 4 × 5 4 5
1
1

1 1
=
= −
30 5 × 6 5 6

1
1
1 1
=
=
12 3 ì 4 3 4

Nên:

1
1
1 1
=
=
2 1× 2 1 2
1
1
1 1
=
= −
6 2 ×3 2 3

Ta thÊy:

1

1
1 1
=
= −
42 6 × 7 6 7

1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ +
+
+
+
=
+
+
+
+
+
2 6 12 20 30 42 1 × 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 × 7

1 1 1
1

1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + +
+
+
= − + − + − + − + − + −
2 6 12 20 30 42 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
1 1 6
= − =
1 7 7

Sau khi häc sinh biÕt nhËn xÐt, hiểu và nắm đợc cách giải, giáo viên biến
đổi đề ®Ĩ rÌn lun sù quan s¸t, ãc suy nghÜ ph¸t huy trí thông minh của học sinh.
1. Biện pháp 1: Biến đổi một chút so với bài học đà học.

9


Sau khi học sinh nắm đợc ví dụ 1, tôi ra hai bài tập để học sinh nhận ra bài
đà học.
Bài tập 1: Tính băng cách hợp lý:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ × + × + × + × + ×
2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7

a.

1×

b.

1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 ì 7

Giáo viên: Sau khi đọc đề bài (nếu em hiểu bài) nhận ra đây là ví dụ1 các
em đà học.
2. Biện pháp 2: Phát huy trí thông minh cđa häc sinh qua hƯ thèng bµi tËp
nhÈm.
Bµi tËp 2: Tính bằng cách hợp lý:
a.

1+

1 1 1
1
1
1
+ +
+
+

+
2 6 12 20 30 42

b.

2+

1 1 1
1
+ +
+
2 6 12 20

Giáo viên cho học sinh tự nhẩm kết quả, hoặc lên bảng lµm bµi. Häc sinh
tiÕp thu bµi tèt sÏ nhÈm ra kết quả:
1 13
=
7
7

a.

2

b.

2 +1

1 14
=

5 5

3. Biện pháp 3: Nâng cao dần bằng các bài toán khó hơn để rèn kỷ năng
phân tích tổng hợp, giải toán cho học sinh:
VÝ dô 2: TÝnh nhanh:
A=

1 1 1
1
1
+ +
+
++
2 6 12 20
90

(Đề thi học sinh giỏi lớp 5 tỉnh Thanh Hoá năm học 1998 1999)

10


Để làm đợc bài này học sinh phải biết các ph©n sè cha cã trong biĨu thøc,
mn vËy häc sinh phải nhận xét, tìm đợc quy luật của mẫu số từ ví dụ 1.
Vậy mẫu số các phân số là tÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp theo thø tự tăng
dần.
Biểu thức A viết đầy đủ là:
A=

1
1

1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
1 ì 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 × 7 7 × 8 8 × 9 9 ì 10

Giải:
A=

1 1 1
1
1
+ +
+
++
2 6 12 20
90

Ta thÊy:

1
1
1 1
=
= −
2 1× 2 1 2
1
1
1 1
=
= −
6 2 ×3 2 3
1
1
1 1
=
= −
12 3 × 4 3 4

T¬ng tù:
VËy:

1
1
1 1
=
= −
90 9 ×10 9 10

1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
+ + +
++
= − + − + − + +− + −
2 6 12 20
90 1 2 2 3 3 4 4
9 9 10
1

1

= 1 10

=

9
10

Đối với bài tập này phải phân tích tìm quy luật của mẫu số từ đó tìm đợc
các phân số cha có trong biểu thức, có nh vậy mới tính đợc kết quả bài toán.
4. Biện pháp 4: Cho học sinh thực hành nhẩm kết quả hoặc ra đề dựa vào
các ví dụ, bài tập đà học.
Ví dơ: TÝnh nhanh c¸c biĨu thøc sau:
B=

1
1

1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
20 30 42 56 72 90 110 132

C=

1
1
1
1
1
+
+
++
+
1× 2 2 × 3 3 × 4
98 × 99 99 × 100

11

5. Biện pháp 5: Ra đề có dạng nh bài học nhng thêm cả các biến số. Đây là
dạng đề dễ bị lừa và thụ động hoặc là học sinh nhận xét đề sai do không đọc kỹ đề
bài đẫn ®Õn lµm bµi sai.
VÝ dơ 3: tÝnh tỉng sau b»ng các hợp lý:

2 2 2
2
+ +
+
3 5 35 63

(Đề thi học sinh giỏi lớp 5 tỉnh Thanh Hoá năm học 2001 – 2002)
NÕu ph©n tÝch mÉu sè nh vÝ dơ và bài tập trên thì:
Và sẽ không phân tích đợc tất cả các phân số thành hiệu của hai phân số do
đó bài này phải giải nh sau:
Giải:
Ta có:

2
2
1 1
=
= −
35 5 × 7 5 7
2
2
1 1
=

= −
63 7 × 9 7 9

Nªn:

2 2 2
2 2 2 1 1 1 1
+ +
+
= + + − + −
3 5 35 63 3 5 5 7 7 9

=

2 3 1 5 3 52
+ − = + =
3 5 9 9 5 45

NÕu theo quy luật mẫu số thì phân số
thể phân tích phân số

2
3

2
không thuộc quy luật do đó không
5

thành hiệu của hai phân số.

Vậy giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh hiểu. Trong một bài toán nếu có
các phân số không cùng quy luật thì ta chỉ phân tích ở các phân số có cùng quy
luật còn các phân số đó để nguyên rồi tính kết quả.
Dạng II: Tính tổng các phân số có các cặp mẫu số bằng nhau:
A. Về phơng diện lý thuyết:

- Tổng các phân số không thay đổi khi ta thay đổi vị trí các phân số.
- Khi ta nhân (hay chia) các tử số và mẫu số với cùng một số thì ta đợc
phân số mới bằng phân số đà cho.

12


B. Về phơng diện thực hành:

1. áp dụng tính chất giao hoán và tính kết hợp để:
- Các phân số có mẫu số bằng nhau, ta ghép các phân số ®Ĩ khi céng tư sè
víi nhau kÕt qu¶ tư sè là số tròn trục, tròn trăm
- Nếu có các cặp phân số bằng nhau ta ghép các phân số bằng nhau thành
cặp rồi tính tổng trớc.
2. Sau đó thực hiện các phép tính còn lại:
1. Biện pháp 1: Rèn kỹ năng sử dụng tính chất giao hoán kết hợp.
Ví dụ 1: Tính bằng cách hợp lý:
1
2
3
4
5
6
7

8
9
+
+
+
+
+
+
+
+
47 47 47 47 47 47 47 47 47

Giải:
áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp ta có:
1
2
3
4
5
6
7
8
9 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
+
+
+
+
+
+
+

+
=
47 47 47 47 47 47 47 47 47
47

=

10 + 10 + 10 + 10 + 5 45
=
47
47

Sau khi häc sinh học, hiểu ví dụ 1 giáo viên ra bài tập để cũng cố kỹ năng
thực hành:
Bài tập: Tính nhanh các giá trị biểu thức:
3

6

7

2

16

19

A= 5 + 11 + 13 + 5 + 11 + 13
B=

28
47
53
72
+
+
+
521 521 521 521

2. BiÖn pháp 2: Sử dụng khái niệm phân số bằng nhau và các tính chất giao
hoán kết hợp:
75 18 19 1 3 13
+
+
+ +
+
100 21 32 4 21 32

VÝ dô 2: TÝnh nhanh tæng sau:

NhËn xÐt:

13


- Giáo viên: Tìm các phân số có mẫu số bằng nhau.
- Học sinh:
18
21

- Giáo viên : Phân số
1
4

1
4

và

3
19
; 32
21

và

13
32

có gì đặc biệt, tìm phân số bằng nhauvới phân số

mà mẫu số chỉ có thể là một trong các mẫu số còn lại( quy đồng mẫu số).
- Học sinh:

1
4

là phân số tối giản

- Giáo viên: vậy phân số

1
4

1
4

=

25
8
=
100 32

đà có phân số bằng nhau, bằng với một trong

các mẫu số của các phân số bài đà cho, áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp để
làm bài.
Giải:
Ta có:

1
4

=

25
100

áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp ta có:

75 18 19 1 3 13 75
25 18 3 13 19
+
+
+ +
+
=
+
+
+
+
+
100 21 32 4 21 32 100 100 21 21 32 32
 75


25   18
 

3   13
 

19 

=  100 + 100  +  21 + 21  +  32 + 32 
+ Hc cã thĨ thay:

1
8
=

4 32

vào rồi tính hoặc thay:

3. Biện pháp 3: Tính tổng các phân số có hỗn số:
Ví dụ 3: Tính nhanh c¸c tỉng sau:
4

2
6
3 3 1 1
+5 +2 + + +
5
9
4 5 3 4

* Nhận xét:
- Giáo viên: Bài toán trên có gì đặc biệt?
- Học sinh: Phân số có phần nguyên.

14

75
3
=
100 4



rồi tính.

- Giáo viên: Trong một phân số, em hiểu mẫu số là gì?
- Học sinh: Mẫu số là số chia.
- Giáo viên: Đúng, phép chia có thể viết dới dạng phân số nên cũng chia cho
một số chia ta có thể cộng phần nguyên với nhau, tử số cộng với nhau.

Giải:
Ta có:
Nên:

5

6
2
=5
9
3
4

2
6
3 3 1 1
2
2
3 3 1 1
+5 +2 + + + =4 +5 +2 + + +
5
9
4 5 3 4

5
3
4 5 3 4
 2


3  2
 

1  3
 

1

= 4 5 + 5  + 5 3 + 3  +  2 4 + 4 


= 5+6+3
= 14
4. BiƯn ph¸p 4: Sư dơng c¸c tÝnh chÊt mét số nhân một tổng, chia một tổng
cho một số, áp dụng tính chất các phân số bằng nhau nh:
a x b +a x c = a x (b + c)
a x b – a x c = a x (b – c)
(a + b) : c = a : c + b : c
VÝ dơ: TÝnh nhanh:

7 9 7
× −
6 5 6

Giải:
7 9 7 7 9 7
ì = ì − ×1
6 5 6 6 5 6
7 9
 7 4 28 14
= ×  − 1 = × =
=
6 5
 6 5 30 15

VÝ dơ : TÝnh nhanh kÕt qu¶:

4 9 4 3
× + ×
5 7 5 14

15


(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá năm học 2000 – 2001)
Gi¶i:
4 9 4 3
4  9 3  4 21 84 6
× + ×
= × +  = ×
=
=
5 7 5 14 5  7 14  5 14 70 3

Bài tập: Tính nhanh các tổng sau:
55 37 8 18
+
+
+
100 55 20 55
6
3 2
1 2 1
7 +4 + +2 + +
8
9 8
2 3 2

Nhìn chung dạng bài này học sinh hiểu nhanh, đợc ôn và sử dụng thành
thạo các tính chất giao hoán, kết hợp với phép cộng. Hơn nữa học sinh đợc ôn lại
về khái niệm phân số bằng nhau, phân số tối giản.
Dạng III: Tính chất của các phân số:
A. Về phơng diện lý thuyết:

- Một số có thể phân tích thành tích của hai phân số.
- Một phân số có thể phân tích thành tích của hai phân số.
- Khi ta nhân (hoặc chia) ở tư sè vµ mÉu sè víi cïng mét sè tù nhiên (khác
0) thì đợc phân số mới bằng phân số đà cho.
B. Về phơng diện thực hành:

- Phân tích ở tử số và mẫu số thành tích của các số sao cho c¸c thõa sè
chung gièng nhau.
- ¸p dơng tÝnh chất giao hoán đa các thừa số chung ở tử số và mẫu số về
một phía.

- Chia cả tử số và mẫu số cho các thừa số chung đó( rút gọn
phân số).
Ví dụ 1: Tính nhanh:

3 12 4 19
ì
ì ì
4 9 3 24

Gi¶i:

16


áp dụng tính chất giao hoán và kết hhợp của phÐp nh©n ta cã:
3 12 4 19  12 19 
1 1
× × ×
= ×
 =1× =
4 9 3 24  9 24 
2 2

NÕu häc sinh cha hiĨu th× giải thích nh sau:
3 12 4 19 3 ì 12 × 4 × 19  3 × 4 × 19  12 1
× × ×
=
=
=
×

4 9 3 24 4 × 19 × 3 × 24  4 × 19 × 3 24 2

Giáo viên nói rõ: Chia cả tử vµ mÉu cho (3 x 4 x 19)
Bµi tËp:

TÝnh b»ng cách hợp lý:
6 14 5 23
ì
ì ì
5 23 6 28
328 468 435 164
ì
ì
ì
435 432 984 468

Dạng bài tập này không khó nhng kỹ năng tính nhẩm về số thập phân, phân
tích một số thành tích hai phân số thành thạo. Do đó học sinh phẩi thuộc và rèn
kỹ năng tính nhẩm về số tự nhiên và số thập phân.
Dạng IV: Các số có tử số, mẫu số đợc viết lặp lại theo thứ tự:
A. Về phơng diện lý thuyết:

Phân tích một số thành tích của hai chữ số đặc biệt
1. Các chữ số trong một số bằng nhau:
aa

=

a x 11

Ví dô:22 = 2 x 11

bbb

=

b x 111

VÝ dô:444 = 4 x 111

c x 11111

VÝ dô:99999 = 9 x 11111

ccccc =

2. Các chữ số trong một số (các chữ số khác nhau) đợc lặp lại theo thứ
tự nhất định:
abab = ab
abcabc

abab = ab

x 101

= abc x 1001
abcdabcdabcd

x 10101

abcabcabc = abc

= abcd x 100010001

17

x 1001001


B. Về phơng diện thực hành:

- Phân tích một số thành tích hai số đặc biệt (có chữ số 1 và 0 hoặc chữ số 1).
- Rút gọn các phân sè.
- Thùc hiƯn phÐp tÝnh.
VÝ dơ 1: TÝnh b»ng c¸ch hợp lý:

1313 165165 424242
ì
ì
2121 143143 151515

* Nhận xét:
- Giáo viên: Nhận xét các tử số và mẫu số của các phân số trên.
- Học sinh: Các tử số và mẫu số của môic phân số đợc lặp lại.
- Giáo viên: Dựa vào phân tích các số đặc biệt ở trên, phân tích các tử số,
mẫu số thành tích của hai sè.
- Häc sinh: 1313 = 13 x 101

2121 = 21 x 101

165 165 = 165 x 1001

143 143 = 143 x 1001

42 42 42 = 42 x 10101

15 15 15 = 15 x 10101

- Giáo viên: Cho học sinh nhận xét, nói rõ tầm quan trọng khi
phân tích số.
Giải:
1313 165165 424242 13 ×101 165 ×1001 42 ×10101
×
×
=
×
×
2121 143143 151515 12 ×101 143 ×1001 15 ×10101
13 165 42  13 42  165 286
=
×
×
= ×
=
×
21 143 15  21 15  143 143

Khi giải khó ở phân tích 165 = 11 x 15. Tuy nhiên có thể phân tích
15 = 3 x 5; 165 = 33 x 5 cũng đợc hoặc nhân tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn.
Dạng V: Có các phép tính cộng trừ nhân chia trên một phân số:

Cùng với dạng I, dạng V là dạng toán khó đòi hỏi sự nhận xét nhanh, phân
số tích số, áp dụng các quy tắc tích chất của số tự nhiên, số thập phân, tính
nhẩm, tÝnh tỉng, hiƯu cđa d·y sè, tÝnh chÊt mét sè nhân với một tổng (hoặc một
hiệu). Do tính chất phức tạp của tử số và mẫu số nên ở dạng toán này học sinh phải
lu ý và nhớ đợc các kiến thức cơ bản sau:
- Hiểu khái niệm dÃy số, biÕn tÝnh.

18


- Nh©n (chia) nhÈm sè thËp ph©n víi sè tù nhiên.
Dạng V: Các phân số có ít phép tính không có số thập phân không
có dÃy số:
1. Về phơng diện lý thuyết:
- Một số tự nhiên có thể phân tích thành tổng của hai số.
- Chia cả tử số và mẫu số của phân số với cùng một số thì phân số không
thay đổi.
2. Về phơng diện thực hành:
- ở tử số (hoặc mẫu số) của tích hai số có một thừa số hơn thừa số ở tích
khác 1 đơn vị.
- Phân tích thừa số đó trên phân sè díi d¹ng:
a x (b + c) = a x b + a x c
a x (b – c) = a x b – a x c
- Thùc hiÖn phÐp tính, phân tích số để tử số và mẫu số có các số (thừa số)
giống nhau.
- Rút gọn phân số.
Chú ý: Nếu tử số và mẫu số đều có thừa số chung thì ta áp dụng tính chất a
xb + a x c = a x (b + c) råi thùc hiƯn phÐp tÝnh.
VÝ dơ 1: TÝnh nhanh:

1234 × 567
567 + 1234 ì 566

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá năm học 2001 2002)
* Nhận xét:
- ở tö sè cã tÝch: 1234 x 567 ë mÉu sè cã tÝch 1234 x 566.
- Thõa sè 1234 chung (b»ng nhau) mà 567 lớn hơn 566 một đơn vị, do đó
phảo phân tích 567 = 566 + 1.
- Vậy 1234 x 567 = 1234 x (566 + 1).
Giải:
1234 ì 567 − 667 1234 × ( 566 + 1) − 667
=
567 + 1234 × 566
1234 × 566 + 567
1234 × 566 + 1234 − 667 1234 × 566 + 567
=
=1
1234 × 566 + 567
1234 × 566 + 567

19


§Õn bíc sau nhiỊu häc sinh l¹i thùc hiƯn phÐp tính ở tử số và mẫu số mà
không biết và viết luôn kết quả bằng 1.
Do đó giáo viên nhấn mạnh: Tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1 dï tư sè
vµ mÉu sè cã nhiỊu sè, nhiỊu phÐp tÝnh.
1234 x 566 + 567 = 1234 x 566 + 567
Tử số

=

Mẫu số

Cùng với dạng I, dạng V là dạng toán khó thờng phải tính nhanh trên một
phân số phức tạp với các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phải sử dụng các kiến thức
nhân, chia nhẩm tích của các số đặc biệt đòi hỏi học sinh phải sử dụng quy tắc,
công thức, tính chất, phân tích số thành thạo, kỹ năng nhận xét nhanh, qua các
dạng bài đà học học sinh đợc thực hành làm bài tập sẽ làm bài tốt không thấy bối
rối khi lại gặp bài tính nhanh về phân số.
Chơng III: Dạy Thực Nghiệm
I. Mục đích yêu cầu:

Thông qua dạy thực nghiệm, tôi muốn làm rõ một số vấn đề sau:
- Giáo viên phải hiểu bản chất của dạng toán,gặp bất kỳ bài toán tính
nhanhvề phân số phẩi làm đợc ngay cũng nh ra đề theo từng dạng nhỏ.
- Biến tri thức của sách thành của riêng mình áp dụng dạy học cho học sinh
hiểu thực hiện thành thạo các bài tính nhanh về phân sè.
II. Néi dung thùc nghiƯm:

§éi tun häc sinh giái cđa trêng gåm 10 em chia lµm 2 líp.
+ Líp A: 5 em (lớp đối chứng) do một đồng chí giáo viên đà có kinh
nghiệm dạy bồi dỡng học sinh giỏi.
+ Lớp B: 5 em (lớp thực nghiệm) do tôi đảm nhiệm.
Học lực của các em chia đều vầ tơng đơng nhau. Với yêu cầu sau 5 buổi
học với nội dung tính nhanh về phân số. Sau đó nhà trờng ra đề kiểm tra kết quả.
Đề 1: Thời gian 20 phút.

20

1. Tính nhanh bằng cách hợp lý: (4,5đ)
1988 ì1996 + 1997 ×11 + 1985
1997 ×1996 − 1995 ×1996

2. TÝnh biĨu thức sau bằng cách hợp lý (nêu rõ cách tính) (3đ)
B=

5,4 : 0,4 ì 1420 + 4,5 ì 780 ì 3
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27

3. TÝnh nhÈm biÓu thức sau: (2,5đ)
C=

1 ì 3 ì 5 + 2 ì 6 × 10 + 4 × 12 × 20 + 7 × 21 × 35
1 × 5 × 7 + 2 × 10 × 14 + 4 × 20 × 28 + 7 ì 35 ì 49

Đề 2: Thời gian 20 phút
1. Tính bằng cách hợp lý: (2,5đ)
328 468 435 432 164
ì
ì
ì
ì
435 432 164 984 468

2. Tính nhanh: (4đ)

1919191919 88888
18 ì

+

2121212121 99999

3. Tính nhanh: (3,5đ) S =

1
1
1
1
1
+
+
++
+
72 90 100
9702 9900

III. KÕt qu¶ thùc nghiƯm:

1. Cïng với một đề kết quả nh sau:
Đề 1:
Lớp

Sĩ số

Thực nghiệm
Đối chứng

Giỏi

Khá

Trung bình

SL

%

SL

%

SL

%

5 em

2

40%

2

40%

1

20%

5 em

2

40%

1

20%

2

40%

Qua bảng trên cho ta thấy chất lợng lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối
chứng các em sử dụng linh hoạt kiến thức, tính chất áp dụng cho từng dạng đề khả
năng phân tích số tốt.
Lớp đối chứng khi làm bài còn bộc lộ nhợc ®iĨm tÝnh kh¸i qu¸t cha cao.
2. Cïng mét ®Ị kiĨm tra (đề 2) kết quả thu đợc nh sau:
Lớp

Sĩ số

Giỏi

21

Khá

Trung b×nh


SL

%

SL

%

SL

%

Thực nghiệm

5 em

3

60%

2

40%

0

0%

Đối chứng

5 em

1

20%

3

60%

1

20%

Học sinh lớp đối chứng không làm đợc bài tập 3 vì các em hiểu quy luật ở
mẫu số không rõ ràng hơn nữa các em không phân tích đợc 9900=x100.
3. Qua dạy thực nghiệm và kết quả kiểm tra tôi đợc bạn bè đồng nghiệp
đánh giá nh sau:
- Giáo viên nghiên cứu kỹ bài dạy, tìm hiểu bản chất các dạng toán cung
cấp kiến thức cơ bản, cách nhìn nhận về dạng bài tập tính nhanh phân số.
- Học sinh đợc khắc sâu thêm kiến thức cơ bản, áp dụng thành thạo trong
các bài thực hành, các dạng có thể ra, kỹ năng tính toán thành thạo.

Chơng IV: Kết luận - đề xuất ý kiến
Qua quá trình nghiên cứu, khảo sát thực nghiệm tôi thấy trong chơng trình
phân số nội dung bài tập phong phú kể cả sách giáo khoa và sách tham khảo. Để
đội tuyển học sinh giỏi làm tốt các bài toán tính nhanh về phân số, giáo viên phải

đầu t nghiên cứu về bài dạy, đọc tài liệu, hiểu bản chất từng dạng bài, vận dụng
linh hoạt các phơng pháp dạy học, học hỏi bạn bề đồng nghiệp. Ngoài việc giúp
học sinh giải đợc từng bài cụ thể có chất lợng cao (rõ ràng, ngắn gọn, đùng và
đủ) ta còn giúp các em biết mình đang làm dạng toán nào? vì sao làm nh vậy ? Có
nghĩa là gúp các em hệ thống và phân dạng bài tập, nêu đợc một số đặc trng cơ
bản của dạng bài tập và cách giải dạng bài tập đó. Từ đó học sinh sẽ tự ra đợc đề
bài theo các dạng bài đà học.

Để nâng cao chất lợng dạy và học, tôi xin đề xuất mét sè vÊn ®Ị sau:

22


1. Nhiều đề thi, chơng trình bồi dỡng qua sức do đó học sinh khó tìm ra
lời giải vậy giảm tải nội dung chơng trình phải gắn với phần nào nội dung đề thi.
2. Giáo viên dạy bồi dỡng cần lựa chọ tài liệu thích hợp không nên dùng
quá nhiều loại sách gây quá tải trong chơng trình bồi dỡng.
3. Nên đi phân môn cho giáo viên dạy nh trung học cơ sở để giáo viên
tiểu hốcc điều kiện đi sâu vào từng môn học. Nh vậy sẽ có phơng pháp dạy hay
hơn.
* Tóm lại: Nếu ngời giáo viên luôn chuyên tâm, trăn trở để nghiên cứu kỹ
bài dạy, tìm sách tham khảo, sử dụng tài liệu thích hợp và trú trọng rèn luyện kỹ
năng cho học sinh tự ra đề khi đà đợc học một dạng bài sẽ tạo ®iỊu kiƯn thn lỵi
cho häc sinh häc tËp, rÌn lun và kết quả học tập của các em sẽ làm thầy cô vui
lòng./.
Quang Hiến, ngày

tháng

Ngời viết

Võ Hà Thanh

23

năm 2008