DAP AN DE THI HSG MON TOAN 8 HUYEN TINH GIA NAM 20082009

Phòng gd - đt
Huyện tĩnh gia

P N đề thi hC SINH GII CP HUYN
năm học 2008 - 2009
Môn : Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút

Cõu I (2,5 im):
1. Tỡm iu kin xỏc nh ca x phõn thc:
iu kin: 8x + 12x + 6x + 1 0
(2x + 1)(4x2 + 4x + 1) 0

(2x + 1)2 0

2x + 1 0
3



2x
xỏc nh
8 x + 12 x 2 + 6 x + 1
3

Gii:

2

x

1
2

1
1
2x
4x3
8x 7
+
+
+
+
2. Rỳt gn biu thc:
x y x + y x 2 + y 2 x 4 + y 4 x8 + y8

2x
2x
4x3
8x 7
+
+
+
= 2
x y 2 x2 + y 2 x 4 + y 4 x8 + y8
4x 3
4x 3
8x 7
+
+
= 4 4

x y
x 4 + y 4 x8 + y8
8x 7
8x 7
+
= 8 8
x y
x8 + y8
16 x 15
= 16
x y 16

Cõu II (2.5 im):
1- Cho phng trỡnh : x3 (m2 m + 7)x 3(m2 m - 2) = 0
a. Tỡm giỏ tr ca m mt trong cỏc nghim ca phng trỡnh bng 1
b. Gii phng trỡnh ng vi cỏc giỏ tr m va tỡm c
2- T mt phn tng bao quanh trng, mt lp hc sinh dựng mt si dõy di 40m
cng ba phớa thnh mt vn trng hỡnh ch nht. Em hóy giỳp cỏc bn cng dõy
cú din tớch vn cõy ln nht?
Gii:
3
2
1. Phng trỡnh: x (m m + 7)x 3(m2 m - 2) = 0 (1)
a. Phng trỡnh (1) cú nghim x = 1
1 m2 + m 7 3m2 + 3m + 6 = 0
-4m2 + 4m = 0
-4m(m - 1) = 0
m = 0

m = 1
Vy vi m = 0 hoc m = 1 thỡ phng trỡnh nhn x = 1 l nghim ca phng trỡnh
1


b. Với m = 0
(1)  x3 – 7x + 6 = 0
 (x - 1).(x - 2).(x + 3) = 0
x − 1 = 0
x = 1
x − 2 = 0 ⇔ x = 2


 x + 3 = 0
 x = −3

A

bờ tường

B

a
D

C
b

Với m = 1
(1)  x3 – 7x + 6 = 0 (Giống trường hợp trên)

2. Gọi a (m) là chiều rộng
b (m) là chiều dài
( 0 < a ≤ b < 40 )
Theo bài ra ta có: 2a + b = 40 => b = 40 – 2a
Diện tích vườn trồng cây:
SABCD = a.b = a.(40 – 2a) = 2(20 – a2) = 200 – 2(a2 – 20a + 100)
SABCD = 200 – 2(a - 10)2 ≤ 200
Do đó: Max S = 200 dấu “=” xảy ra khi a = 10
Câu III (5, 0 điểm):
1. Chứng minh rằng: 10n – 9n – 1 chia hết cho 27 (n ∈ N)
Chứng minh:
ABCD

  .....99 - 9n = 9( 11
 .....
 1− n )
Ta có: 10n – 9n – 1 = (10n - 1) – 9n = 999
n
n

Ta có: Tổng của n số 1 bằng n
 ....11 : 3 dư m
• Gọi số 11
n
• n:3 dư m

 .....
 1 − n ) chia hết cho 3 =>9( 11
 .....
 1 − n ) chia hết cho 27 do đó:

Nên (11
n
n

10n – 9n – 1 chia hết cho 27 (đfcm)
2. Cho hình vuông ABCD và một tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc 4 cạnh hình vuông.
1
4

a. Chứng minh rằng: S ABCD ≤ AC ( MN + NP + PQ + QM )
b. Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất
Giải:
a. Ta có:
2
2
a>0; b>0 thì: a + b ≥

a+b
2

(1)

Thật vậy: Bình phương hai vế BĐT (1)
a 2 + b 2 + 2ab
a +b ≥
2
2
⇔ ( a − b) ≥ 0
2

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Áp dụng định lý Pitago và BĐT (1) ta có:
2


MB + NB

2
2
MN = MB + NB ≥
2

NC + PC

2
2
 NP = NC + PC ≥
2
+
dấu “=” xay ra khi và chỉ khi
 PQ = PD 2 + QP 2 ≥ PD + QP

2

QM = AQ 2 + AM 2 ≥ AQ + AM

2
MN + NP + PQ + QM ≥

MN + NP + PQ + QM ≥

MB + MA + NB + NC + PC + PD + AQ + QD
2
AB + BC + CD + AD

AC
( MN + NP + PQ + QM ) ≥
4

2
AB. AC
2

=

4 AB

(2)

2

AC
( MN + NP + PQ + QM )
≤
4

A

B

M

2

Mặt khác: AC2 = AB2 + BC2 = 2AB2 => AC = AB. 2
Thay vào BĐT (2) ta được:
AB. AB. 2

MB = NB
 NC = PC


 PD = QP
 AQ = AM

Q

N

D

C

P

AC
( MN + NP + PQ + QM )
4
AC

≤
( MN + NP + PQ + QM )
4

AB 2 ≤
S ABCD

b. Theo câu a
MN, NP, PQ, QM nhỏ nhất  MB = NB = NC = PC = PD = QD = QA = AM =

AB
2

Do đó: Chu vi MNPQ nhỏ nhất  M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, AD.
(Lời giải mang tính chất tham khảo)

3