SKKN tìm tọa độ của điểm, viết phương trình đường thẳng trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (643.56 KB, 21 trang )
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng
khi tìm tọa độ của điểm hoặc viết phương trình đường thẳng trong không gian thỏa
mãn tính chất nào đó; việc vận dụng các quan hệ vuông góc, song song của các em
vào các bài toán còn nhiều hạn chế. Hơn nữa, kể từ khi học sinh học sách giáo khoa
theo chương trình phân ban mới thì phương trình tổng quát của đường thẳng trong
không gian không được sử dụng nữa nên các bài toán dạng:
" Tìm tọa độ của điểm, viết phương trình đường thẳng trong không gian" chủ yếu
sử dụng phương trình tham số của đường thẳng.
Với suy nghĩ trên tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình vể việc
sử dụng phương trình tham số của đường thẳng vào giải các bài toán: " Tìm tọa độ
của điểm, viết phương trình đường thẳng trong không gian" nhằm trao đổi với
các thầy giáo, cô giáo; đồng thời giúp các em học sinh 12 ôn tập tốt hơn, nâng cao
chất lượng học tập.
Trong phần phương pháp tọa độ trong không gian khi phải “Tìm tọa độ một
điểm, Viết phương trình một đường thẳng trong không gian ” ngoài việc sử dụng
các kiến thức ở sách giáo khoa ta nên chú ý đến tính chất của quan hệ vuông góc,
quan hệ song song và tính đối xứng của hai điểm, của điểm và đường thẳng, của
đường thẳng và mặt phẳng rồi kết hợp với tọa độ của điểm theo phương trình
tham số của đường thẳng vào bài toán. Khi đó bài toán hình học sẽ đơn giản và
được “đại số hóa” nên học sinh tiếp cận nhanh hơn và cách giải bài toán gọn gàng
hơn.
Buôn Ma Thuột – Tháng 10 Năm 2010
Người viết
Trần Đình Khiết
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
Bài toán 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; -1; -5) trên
mp(P): 2x + y -2z - 3 = 0.
● Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông
góc với mp(P) khi đó hình chiếu H là giao điểm của d và mp(P)
●Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương
M
x 6 2t
trình: y 1 t
z 5 2t
d
H
Gọi H = d (P). Ta có H d H(6 + 2t; -1 +t; -5-2t)
P
Vì H (P) 2(6+2t) + (-1+t) - 2(-5-2t) - 3 = 0 t = -2
Vậy H(2; -3; -1)
Bài toán 2: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
x 6 4t
y 1 2t (t R)
z 5 3t
trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
● Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M d, tìm hình chiếu của M trên (P), khi
đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song song với
d.
M
●Hướng dẫn giải:
d
Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u = (4; -2; 3)
mp(P) có VTPT n = (2; 1; -2)
u . n = 0 và M (P) nên: d // (P)
H
(P)
Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1) (Bài toán 1)
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có phương
x 2 4t
trình : y 3 2t
z 1 3t
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 2
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài toán 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
x 6 5t
y 1 2t
z 5 5t
(t R)
trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
● Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M d,
tìm hình chiếu H của M trên (P), khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là
đường thẳng qua H và có VTCP AH .
●Hướng dẫn giải:
M
Gọi A là giao điểm của d và (P).
d
Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)
Vì A (P) 2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0
t=1
H
A
(P)
Do đó A(1; 1; 0)
Ta lại có: M(6; -1; -5) d
Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1). ( Bài toán 1)
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP AH = (1; -4; -1)
nên có phương trình :
x 2t
y 3 4t (t R)
z 1 t
Bài toán 4: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M(-1; -2; 4) trên đường thẳng d:
x 2 3t
y 2 2t
z 1 t
● Nhận xét:
Bài toán này ta lấy H d, khi đó H là hình chiếu của M trên
r
uuuur
r
đường thẳng d khi và chỉ khi u . MH = 0 ( u là VTCP của d)
d
● Hướng dẫn giải:
M
r
Đường thẳng d có VTCP u = (3; -2; 1).
H
Gọi H d suy ra: H(-2+3t; 2-2t; 1+t) nên:
uuuur
MH =(-1+3t; 4-2t; -3+t)
r uuuur
H là hình chiếu của M trên d u . MH = 0
3(-1+3t) - 2(4-2t) + (-3+t) = 0 t = 1
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 3
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy H(1; 0; 2)
* Cách khác: - Tính độ dài đoạn MH.
- Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MH theo t, từ đó suy ra tọa độ điểm H.
NHẬN XÉT: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy: Với các bài toán dạng này, ta
chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó dựa vào quan hệ vuông góc giữa
điểm với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng để tìm hình chiếu vuông góc
của điểm đó trên đường thẳng hay mặt phẳng. Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm
hình chiếu) hoặc viết phương trình hình chiếu của đường thẳng dựa vào hình
chiếu vừa tìm được và vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
x 1 y 2 z 3
2
3
1
trên các mặt phẳng tọa độ.
x t
Bài 2: Cho đường thẳng d : y 8 4t và mặt phẳng (P): x + y + z - 7 = 0. Viết
z 3 2t
phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).
Bài 3: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên
mặt phẳng ( ) : 2x - y + 2z + 11 = 0.
Bài 4: Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( ) có phương trình lần lượt là:
d:
x 2 y 1 z 1
; ( ): 2x + y + z- 8= 0. Viết phương trình hình chiếu vuông
2
3
5
góc của d trên ( )
Bài 5: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(1; -1; 3) trên
x2
đường thẳng d : y 3 t
z 2t
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 4
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
B. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỐI XỨNG
Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua mp(P):
2x + y - 2z - 3 = 0.
● Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông
góc với mp(P), lấy M ' d (M ' M) , khi đó M ' đối xứng với M qua (P) khi và chỉ
khi d(M;(P))=d(M ';(P))
● Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương
x 6 2t
trình: y 1 t
z 5 2t
M
d
Gọi M '(6+2t; -1+t; -5-2t) d và M ' M t 0
M ' đối xứng với M qua (P) d(M;(P))=d(M ';(P))
18
3
(P)
9t 18
M'
3
t = - 4 t = 0 (loại)
Vậy M '(-2; -5; 3)
CHÚ Ý: Có thể giải theo phương pháp sau:
Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc ( P).
Tìm giao điểm H giữa d và ( P).
Dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ điểm M’.
Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:
x 6 4t
y 1 2t
z 5 3t
qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
● Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M d, tìm M ' đối xứng với điểm M qua
(P), khi đó đường thẳng d ' qua M ' và song song với d.
M
d
● Hướng dẫn giải:
Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u = (4; -2; 3)
mp(P) có VTPT n = (2; 1; -2)
(P)
u . n = 0 và M (P) nên: d //(P)
d'
M'
Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M '(-2; -5; 3) .( Bài toán5)
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 5
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 2 4t
'
'
Đường thẳng d qua M và song song với d nên có phương trình: y 5 2t
z 3 3t
Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:
x 6 5t
y 1 2t
z 5 5t
qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
●Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M d,
tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), khi đó đường thẳng d ' qua M ' và có VTCP
AM ' .
● Hướng dẫn giải:
Gọi A là giao điểm của d và (P).
M
Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)
d
A (P) 2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0
A
t=1
Do đó A(1; 1; 0)
(P)
Ta lại có: M(6; -1; -5) d
Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P)
d'
M'
suy ra: M '(-2;-5;3) ( Bài toán5)
Đường thẳng d ' qua M ', có VTCP AM ' = (-3; -6; 3) = 3(-1; -2; 1) nên có phương
x 2 t
trình: y 5 2t (t R)
z 3t
Bài toán 8: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d
x 1 2t
có phương trình : y 1 t
z 2t
●Nhận xét:
Bài toán này ta lấy H d, H là hình chiếu của A lên đường
r
uuur
thẳng d khi và chỉ khi u . AH = 0 ( u là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA/
từ đó suy ra tọa độ của A/
●Hướng dẫn giải:
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 6
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------d
r
Đường thẳng d có VTCP u = (2; -1; 2).
A
Gọi H d suy ra: H(1+2t ; -1-t ; 2t)
H
uuur
A '
nên: AH =(2t ; 1-t ; 2t-5)
r
uuur
H là hình chiếu của A trên d u . AH = 0
2(2t) - (1- t) + 2(2t + 5) = 0 t = -1
suy ra: H(-1;0;-2)
x A/ 3
Ta có H là trung điểm của AA nên: y A/ 2
z / 1
A
/
Vậy: A/ (-3 ; 2 ; 1).
NHẬN XÉT: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy: Với các bài toán dạng này, ta lấy
điểm cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó tìm điểm đối
xứng của điểm đó qua đường thẳng hay mặt phẳng. Từ đó kết luận (nếu bài toán
tìm điểm đối xứng) hoặc viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm
đối xứng vừa tìm được và vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, giữa 2
đường thẳng.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
x 2t
Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng : y 1 2t
zt
a/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng .
b/ Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A qua đường thẳng .
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và 2 đường
thẳng: d1:
x2 y 2 z 3
;
2
1
1
d2 :
x 1 y 1 z 1
1
2
1
a/ Tìm tọa độ A/ đối xứng với A qua đường thẳng d1.
b/Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng d1
và cắt đường thẳng d2. (Đề thi ĐH khối D năm 2006)
Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng ( ) : x + 3y - z - 27 = 0. Tìm tọa
độ điểm M/ đối xứng với M qua mặt phẳng ( ).
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 7
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d
'
đối xứng với đường thẳng d:
x 1 t
y 4 5t qua mặt phẳng ( ) : x + y + z - 1 = 0.
z 2 2t
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng :
x 1 t,
và d2: y 3 2t ,
z 4 3t ,
x 2 6t
d1: y 2 5t
z 1 4t
a/ Tìm tọa độ giao điểm của d1 và d2.
b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d1 qua d2.
C. CÁC BÀI TOÁN VỀ CẮT NHAU, VUÔNG GÓC, SONG SONG:
x 1 t
Bài toán 9: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d: y 2 2t ;
z 3 2t
mp(P): 2x + z - 5 = 0
a/ Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P).
b/ Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc
với d.
● Nhận xét: Bài toán này ta tìm tọa độ của A, khi đó đường thẳng d ' qua A và
r
r r
r
r
có véctơ chỉ phương v u, n ; trong đó u là VTCP của d, n là VTPT của mp(P).
d
●Hướng dẫn giải:
a/ A = d (P). Ta có A d A(1 + t; 2 + 2t; 3 + 2t)
d'
Vì A (P) 2(1 + t) + (3 + 2t) - 5 = 0 t = 0
Vậy: A(1; 2; 3)
A
(P)
r
r
b/ d có VTCP u = (1; 2; 1); mp(P) có VTPT n = (2; 0; 1)
r
r r
'
'
'
Đường thẳng d (P) và d d nên d có véctơ chỉ phương v u, n = (2; 1; -4).
x 1 2t
r
Đường thẳng d qua A có VTCP v nên có phương trình : y 2 t
'
z 3 4t
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 8
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài toán 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :
x 1 y 3 z 3
1
2
1
và mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z + 9 = 0
a/ Tìm tọa độ điểm I d sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2.
b/ Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P).Viết
phương trình đường thẳng
nằm trong mp(P),biết
đi qua A và vuông góc với d.
(Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2005)
● Nhận xét: Câu a ta lấy I d và sử dụng công thức khoảng cách, câu b cùng
cách làm của bài toán 9.
●Hướng dẫn giải:
x 1 t
a/ Đường thẳng d có phương trình tham số: y 3 2t
z 3t
I1
I d suy ra: I(1-t; -3 + 2t; 3+t)
d
Khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2 nên:
2(1 t ) (3 2t ) 2(3 t ) 9
3
2
2 2t 6
A
(P)
t4
t 2
I2
Vậy có 2 điểm I1 (-3; 5; 7), I2 (3; -7; 1)
b/ Vì A d suy ra: A(1-t; -3 + 2t; 3+t).
Ta có A (P) 2(1-t) + (-3 + 2t) - 2(3 + t) + 9 = 0
t=1
Do đó A(0; -1; 4)
r
r
Đường thẳng d có VTCP u = (-1; 2; 1), mp(P) có VTPT n =(2; 1; -2)
r
r r
v
u
Đường thẳng (P) và d nên có véctơ chỉ phương
, n =(-5; 0; -5)
xt
Phương trình của đường thẳng : y 1
z 4 t
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 9
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng qua I(-1; -2; 4) vuông góc và
x 2 3t
cắt đường thẳng d: y 2 2t (t R)
z 1 t
r uuur
●Nhận xét: Bài toán này ta lấy H d, khi đó H khi và chỉ khi u . IH = 0
uuur
r
( u là VTCP của d); đường thẳng qua I và có VTCP IH
d
● Hướng dẫn giải:
I
r
Đường thẳng d có VTCP u = (3; -2; 1).
H
Gọi H d suy ra: H(-2 + 3t; 2 - 2t; 1 + t) nên:
uuur
IH =(-1 + 3t; 4 - 2t; -3 + t)
r uuur
H u . IH = 0 3(-1 + 3t) - 2(4 - 2t) + (-3 + t) = 0
t=1
suy ra H(1; 0; 2)
uuur
Đường thẳng qua I và có VTCP IH =(2; 2; -2) nên có phương trình :
x 1 t
y 2 t
z 4t
Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1; -3) cắt đường
x 3t
thẳng d1: y 1 2t (t R) và vuông góc với đường thẳng d2:
z 4t
x 1 4t
y 3 t (t R)
z 5 t
r uuur
● Nhận xét: Bài toán này ta lấy H d1, khi đó H khi và chỉ khi u . AH = 0
uuur
r
( u là VTCP của d2); đường thẳng qua I và có VTCP AH
● Hướng dẫn giải:
r
Đường thẳng d2 có VTCP u = (4; 1; 1).
d1
Gọi H d1 suy ra: H(3+t; -1-2t; 4+t) nên:
uuur
AH =(1+t; -2-2t; 7+t)
r uuur
H u . AH = 0
H
d2
A
4(1+t) + (-2-2t) + (7+t) = 0
t = -3
suy ra H(0; 5; 1)
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 10
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Đường thẳng
uuur
qua A và có VTCP AH =(2; -4; -4) = 2(1; -2; -2) nên có
x 2t
phương trình : y 1 2t (t R)
z 3 2t
Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng cắt 2 đường thẳng d1:
xt
y 2 3t ; d2:
z 1 t
x 1 2t /
x 1 y z 4
/
y 1 3t và song song với đường thẳng d:
3
2
1
z 4t/
● Nhận xét: Bài toán này ta lấy A d1, B d2 khi đó A, B khi và chỉ khi hai
r uuur
r
r
vectơ u , AB cùng phương ( u là VTCP của d), đường thẳng qua A và có VTCP u
●Hướng dẫn giải:
r
Đường thẳng d có VTCP u = (3; 2; 1).
d
d2
Gọi A d1 suy ra: A(t; -2-3t; 1+t)
d1
/
/
B
/
B d2 suy ra: B(1+2t ; -1+3t ; 4-t )
uuur
nên: AB = (2t/ - t + 1; 3t/ + 3t + 1; -t/ - t + 3)
uuur
r
A, B u và AB cùng phương
A
2t / t 1 3t / 3t 1 t / t 3
3
2
1
5t / 2t 8
/
t t 1
t 1
/
t 2
suy ra A(-1;1;0) .
x 1 3t
r
Đường thẳng qua A và có VTCP u = (3;2;1) nên có phương trình : y 1 2t
zt
Bài toán 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d 1:
x y 1 z 2
2
1
1
x 1 2t
và d2: y 1 t
z3
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0
và cắt 2 đường thẳng d1 , d2
(Đề thi ĐH khối A năm 2007)
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 11
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
●Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, ngoài cách giải của đáp án, tương tự bài
toán 13, ta có thể giải nhanh hơn bằng cách lấy A d1, B d2 khi đó A, B d khi và chỉ
r
r
r uuur
khi u , AB cùng phương ( u là VTCP của d); đường thẳng d qua A và có VTCP u
● Hướng dẫn giải:
r
Đường thẳng d (P) nên d có VTCP u = (7; 1; -4).
x 2t /
Đường thẳng d1 có phương trình tham số: y 1 t /
z 2 t /
Gọi A d1 suy ra: A(2t/ ; 1- t/ ; -2+ t/ )
d
B d2 suy ra: B(-1+ 2t ; 1+ t ; 3)
A
uuur
nên: AB = (2t - 2t/ - 1; t + t/ ; 5 - t/ )
r uuur
A, B u , AB cùng phương
d1
d2
B
2t 2t / 1 t t / 5 t /
7
1
4
4t 3t / 5
/
5t 9t 1
t 2
/
t 1
(P)
suy ra A(2; 0; -1).
x 2 7t
r
Đường thẳng d qua A và có VTCP u = (7; 1; -4) nên có phương trình : y t
z 1 4t
Bài toán 15: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng
x 5 3t
chéo nhau d: y 2 t (t R) và d/ :
zt
x 2 t /
/
/
y 7 3t (t R)
z 4 t/
● Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy A d1, B d2; AB là đường vuông góc
r uuur
u. AB 0
chung của d và d/ khi và chỉ khi r uuur
; đường vuông góc chung qua A và có
v. AB 0
uuur
VTCP AB
A
d
●Hướng dẫn giải:
r
Đường thẳng d có VTCP u = (3; 1; 1).
d'
B
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 12
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
r
v
Đường thẳng d có VTCP = (1; 3; -1).
/
Gọi A d suy ra: A(5+3t; 2+t; t)
B d/ suy ra: B(-2+t/ ; -7+3t/ ; 4-t/ )
uuur /
nên: AB =(t - 3t - 7; 3t/ - t - 9; -t/ - t + 4)
r uuur
u. AB 0
AB là đường vuông góc chung của d và d/ r uuur
v. AB 0
3(t / 3t 7) (3t / t 9) (t / t 4) 0
/
/
/
(t 3t 7) 3(3t t 9) (t t 4) 0
5t / 11t 26
/
11t 5t 38
t 1
/
t 3
uuur
suy ra: A(2; 1; -1); AB =(-1; 1; 2)
uuur
Đường vuông góc chung qua A và có VTCP AB =(-1; 1; 2) nên có phương
x 2t
trình : y 1 t (t R)
z 1 2t
NHẬN XÉT: Từ các bài toán nêu ra ta thấy các bài toán dạng này có độ
khó hơn. Tuy nhiên phương pháp chung để giải là: Chọn điểm hoặc các điểm (có
chứa tham số) trên đường thẳng hoặc các đường thẳng bị cắt (cho trước), sau đó
dựa vào các yếu tố song song, vuông góc để tìm tham số. Từ đó viết phương trình
đường thẳng theo yêu cầu bài toán.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 và cắt cả
hai đường thẳng d2 và d3, biết phương trình d1, d2 và d3 là:
x 1
d1 y 2 4t
z 1 t
;
x 1 y 2 z 2
d2:
1
4
3
;
x 4 5t '
d3: y 7 9t '
z t'
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường
x 3 2t
thẳng d: y 1 t , Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với
z 1 4t
đường thẳng d.
(Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004)
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 13
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 8t
3 x y 1 z 1
Bài 3: Cho hai đường thẳng: d 1: y 5 2t và d2:
. Viết
7
2
3
z 8t
phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Bài 4: Cho hai đường thẳng: d:
x 1 t
d : y 2 t
z 3t
x y 1 z 6
và
1
2
3
'
a.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d'.
b. Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d '.
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tọa độ
xt
(Oxz) và cắt 2 đường thẳng d : y 4 t ;
z 3t
x 1 2t /
d/ : y 3 t /
z 4 5t /
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :
x2 y2
z
và mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường
1
1
1
thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng
(Đề thi ĐH khối D năm 2009)
D. CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Bài toán 16: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho
x 5 3t
điểm M(1; 3; -2) và đường thẳng d: y 2 t
z 2 t
Tìm tọa độ điểm H d sao cho đoạn
thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
● Nhận xét: Bài toán này ta lấy H d, khi đó độ dài MH nhỏ nhất khi và chỉ
r
uuuur
r
khi MH d u . MH = 0 ( u là VTCP của d)
● Hướng dẫn giải:
r
Đường thẳng d có VTCP u = (3; 1; -1).
Gọi H d suy ra: H(5 + 3t; 2+ t; -2 - t) nên:
d
M
uuuur
MH =(4 + 3t; -1 + t; - t)
H
MH nhỏ nhất MH d
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 14
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r uuuur
u . MH = 0
3(4+3t) + (-1 + t) - (- t) = 0 t = - 1
Vậy H(2; 1; -1)
*CÁCH KHÁC: - Tính độ dài đoạn MH.
- Tìm giá trị nhỏ nhất của MH theo t.
Bài toán 17: Trong không gian Oxyz cho M (1; 2; 3), và N ( 4; 4; 5). Tìm điểm
I mp(Oxy) sao cho IM + IN nhỏ nhất.
●Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt
phẳng. Nếu M, N nằm về hai phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặt
phẳng, nếu M, N nằm về một phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của M 'N và mặt
phẳng trong đó M ' là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đó.
● Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0. Trước hết ta xét xem M và N có ở một
trong hai phía với mp (Oxy) hay không? Dể thấy z M . zN = 3 . 5 = 15>0 M, N ở về
một phía với mp (Oxy).
x 1
Đường thẳng d qua M và vuông góc mp(Oxy) có pt: y 2
z 3 t
Gọi H là giao điểm của d với mp(Oxy).
M
Ta có H d H (1; 2; 3 + t)
d
Vì H (Oxy) 3 + t = 0 t = -3
H( 1; 2; 0)
N
H
I
Ox y
Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy).
uuuuur
H là trung điểm của MM' nên M' (1; 2; -3) và M ' N = (3; 2; 8)
M'
Ta có IM + IN = IM' + IN M'N Min ( IM + IN) = M'N I là giao điểm của
M'N và mp(Oxy)
x 1 3t ,
uuuuu
r
M'N qua M ' có VTCP M ' N = (3; 2; 8) nên có phương trình: y 2 2t ,
z 3 8t ,
Điểm I ( 1 + 3t', 2 + 2t', -3 + 8t') d vì I (Oxy) -3 + 8t' = 0 t' =
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
3
8
Trang 15
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17 11
Vậy I ; ;0
8 4
Bài toán 18: Trong k/gian Oxyz cho: M (3; 1; 1), N ( 4; 3; 4) và đường thẳng d
x 7t
có phương trình: y 3 2t . Tìm điểm I d sao cho: IM + IN nhỏ nhất.
z 9t
●Nhận xét: Ta có MN d nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d (P)
trong đó (P) là mặt phẳng qua MN và vuông góc với d
●Hướng dẫn giải:
r
uuuur
Ta có: MN = (1; 2; 3), d có VTCP u = ( 1; -2; 1),
uuuur r
vì MN . u =0 MN d
Mặt phẳng( P) qua MN và vuông góc với d có phương trình là: x - 2y +z - 2 = 0
Gọi H = d (P), H d H(7 + t; 3 - 2t; 9 + t)
d
Vì H (P) nên: (7 + t) - 2(3 - 2t) +(9 + t) - 2 = 0
I
4
17 17 23
t = H ; ;
3
3 3 3
M
H
Với I d, ta có: IM + IN HM + HN
(P)
N
IM + IN nhỏ nhất IM + IN = HM + HN I H
17 17 23
Vậy: I ; ;
3 3 3
Bài toán 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(-3; 0; 1),
B(1; -1; 3) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0. Trong các đường thẳng qua A và
song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó là nhỏ nhất.
(Đề thi ĐH khối B năm 2009)
● Nhận xét: Ta gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và
song song với (P), khoảng cách từ B đến đường thẳng d là nhỏ nhất khi và chỉ khi d
đi qua H (H là hình chiếu của B trên (Q)).
●Hướng dẫn giải:
Gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và song song với (P).
Ta có phương trình (Q): x - 2y + 2z + 1 = 0.
Gọi I, H là hình chiếu của B trên d, (Q).
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 16
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ta có d(B;d) = BI BH
nên d(B;d) nhỏ nhất khi d đi qua H.
Đường thẳng d ' qua B và vuông góc (Q)
B
x 1 t
có phương trình: y 1 2t
z 3 2t
'
d'
H
A
'
H = d (Q), H d nên H(1+ t; -1 - 2t; 3 + 2t).
I
(Q)
d
Vì H (Q) nên: (1+ t) -2(-1 - 2t) + 2(3 + 2t) + 1 = 0
t=
10
1 11 7
H ; ;
9
9 9 9
(P)
x 3 26t
uuur
26 11 2
Đường thẳng d qua A có VTCP AH ( ; ; ) có phương trình: y 11t
9 9 9
z 1 2t
Bài toán 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(1;4;2),
x 1 t
B(-1;2;4) và đường thẳng d có phương trình: y 2 t
z 2t
uuur
uuur
a/ Tìm tọa độ điểm M d sao cho MA MB nhỏ nhất.
b/ Tìm tọa độ điểm I d sao cho diện tích AIB nhỏ nhất.
c/ Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
uuur
uuur
uuur
uuur
● Nhận xét: Ta lấy M d; câu a, ta tìm MA + MB MA MB suy ra M
- Câu b, c ta tìm diện tích AIB, khoảng cách rồi vận dụng bài toán tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất, từ đó suy ra kết quả.
●Hướng dẫn giải:
uuur
uuur
a/ M d M ( 1-t; -2+t; 2t) MA =(t; 6-t; 2-2t), MB =(-2+ t; 4 -t; 4 -2t).
uuur
uuur
Do đó: MA + MB = (-2 + 2t; 10 - 2t; 6 - 4t)
uuur uuur
MA MB = (2 2t )2 (10 2t )2 (6 4t )2 = 24(t 2)2 44 2 11
uuur
uuur
Suy ra: Min MA MB = 2 11 t-2 = 0 t = 2. Vậy: M(-1; 0; 4)
CÁCH KHÁC:
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 17
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------uuur uuur
Gọi H là trung điểm đoạn AB, ta có: MA MB = 2MH.
uuur
uuur
Suy ra Min MA MB khi MH nhỏ nhất, điều này xảy ra khi MH vuông
uuuur r
góc với d hay MH .a 0 , từ đó suy ra tọa độ điểm M.
uur
uuur
b/ I d I(1-t; -2+t; 2t) ta có: AI = (- t; - 6 + t; - 2 + 2t) và AB = ( -2; -2; 2)
uur uuur
AI , AB = ( 6t - 16; -2t + 4; 4t - 12)
Diện tích
1
2
AMB:
uur uuur
SAIB = 1 AI , AB
1
2
=
2
(6t 16)2 (2t 4)2 (4t 12)2
=
56t 2 304t 416 = 14t 2 76t 104 ( t R)
Xét hàm f (t) = 56t 2 - 304t + 416 f / (t) = 112t - 304;
f / (t) = 0 t =
BBT:
304 19
=
112 7
-
t
+
19/ 7
f ' ( t )
0
-
+
+
+
f( t )
f (19/ 7)
19
Từ đó suy ra: SAIB đạt GTNN khi t = .
7
Vậy: I ; ;
7 7 7
12 5 38
c/ Gọi đường thẳng d1 đi qua A và cắt d tại M ( 1- t; -2 + t; 2t)
Khi đó d B; d1
uuuur uuur
AM , AB
= uuuur =
AM
Xét hàm g(t) =
28t 2 152t 208
3t 2 10t 20
56t 2 304t 416
6t 2 20t 40
=
28t 2 152t 208
3t 2 10t 20
t 2
16(11t 2 8t 60)
/
2
g (t) =
; g (t) = 0 11t - 8t - 60 = 0 30
2
2
t
(3t 10t 20)
11
/
g (t )
Ta có xlim
BBT:
28
3
t
-
-2
+
f ' ( t )
0
+
30/11
-
0
12
+
28/3
f( t )
28/3
4/35
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 18
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x 1 t
Max d B; d1 = 2 3 Khi t = -2 Đường thẳng d1: y 4 4t
z 2 3t
x 1 15t
2 35
30
Min d B; d1 =
Khi t =
Đường thẳng d2: y 4 18t
35
11
z 2 19t
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
x 1 t
d1: y 4 4t
z 2 3t
x 1 15t
và d2: y 4 18t
z 2 19t
NHẬN XÉT: Đây là các bài toán khó, để giải nó cần phải vận dụng các
dạng toán. Tuy nhiên, ta thấy được phương pháp chung để giải là: Chọn điểm (có
chứa tham số) trên đường thẳng cho trước, sau đó dựa vào các yếu tố hình chiếu
vuông góc hoặc đưa về các hàm số sau đó tìm tham số. Từ đó tìm điểm hoặc viết
phương trình đường thẳng theo yêu cầu bài toán.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho A (1; 2; -1), B (7; -2; 3) và đường thẳng d có pt:
x 1 y 2 z 2
.
3
2
2
Tìm điểm I d sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Bài 2: Cho mp( ): 2x - y + z + 1 = 0 và hai điểm A( 3; 1; 0), B( -9; 4; 9 )
uur uur
a/ Tìm điểm I ( ) sao cho IA IB đạt GTNN
b/ Tìm điểm M ( ) sao cho: MA MB đạt GTLN
Bài 3: Cho: A (1; 1; 0) và B ( 3; -1; 4) và đ/t d:
x 1 y 1 z 2
. Tìm trên d
1
1
2
điểm I sao cho: IA + IB bé nhất.
Bài 4: Cho A (5; -1; 3), B (7; -1; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x - y +
z - 1 = 0. Tìm điểm I (P) sao cho IA + IB nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hai đường thẳng d1:
x 1 y 1 z 1
x 1 y 2 z
và điểm
; d2:
2
1
1
1
1
2
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 19
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A ( 1; 4; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt d 1 sao cho khoảng cách
giữa d và d2 lớn nhất.
E. PHẦN KẾT LUẬN
Từ các bài toán nêu trên và cách giải chúng, ta thấy nếu vận dụng tốt các
quan hệ vuông góc, song song , các tính chất đối xứng của điểm cùng với tọa độ
của điểm theo phương trình tham số của đường thẳng ta sẽ giải được nhiều dạng
toán, hơn nữa chúng ta đã đơn giản được bài toán, hạn chế việc " sợ " các bài
toán hình học không gian ở học sinh, tạo được sự hứng thú cho các em, góp phần
chung vào việc nâng cao chất lượng dạy và học và phát huy được tính tích cực của
học sinh, khơi gợi cho các em sự tìm tòi, sáng tạo trong quá trình giải một bài toán
Trên đây là những kinh nghiệm thực tiễn của bản thân qua nhiều năm giảng dạy
môn toán phần phương trình đường thẳng trong không gian, với đề tài này tôi hy
vọng sẽ giúp cho các em học sinh biết cách vận dụng các quan hệ vuông góc, song
song, các tính chất đối xứng vào giải toán và cải tiến phương pháp học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các thầy cô trong tổ toán đã đọc, góp ý và giúp đỡ
tôi hoàn thành đề tài này.
F. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.
2/ Hình học 12- Chuẩn. ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà Nội năm
2008)
3/ Hình học 12- Chuẩn- Sách giáo viên. ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất bản Giáo dục
- Hà Nội năm 2008)
4/ Hình học 12- Nâng cao ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà Nội năm
2008)
5/ Hình học 12- Nâng cao - Sách giáo viên ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất bản Giáo
dục - Hà Nội năm 2008)
6/ Các đề thi Tuyển sinh Đại học ( Từ năm 2002 – 2009)
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 20
CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ của điểm – Viết phương trình của đường thẳng trong
không gian
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011
Trang 21
