Phương trinh đường thẳng trong không gian T1

nhIÖT LIÖT Chµo mõng

c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o
cïng toµn thÓ c¸c em
häc sinh dù bµi häc h«m nay!


Ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng
Ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng
TiÕt 53
TRUNG T¢M GDTX TØNH B¾C GIANG
Gi¸o viªn: NguyÔn Phó HiÖp


Nhắc lại kiến thức đã học
Nhắc lại kiến thức đã học
:
:
đ ờng thẳng trong mặt phẳng
đ ờng thẳng trong mặt phẳng
( ; )u a b
r
()
M
0
(x
0
; y
0

)
n
(
A
;

B
)
Một đ ờng thẳng trong mặt phẳng xác định khi biết
một điểm thuộc đ ờng thẳng và một vtpt hoặc một
vtcp.
Hãy nhắc lại các dạng ph ơng trình đ ờng thẳng
trong mặt phẳng ?


1.PT tham sè
0
0
.
.
x t
y
x
tby
a= +


= +

2. PT chÝnh t¾c

0 0
x x
a b
y y− −
=
3. PT tæng qu¸t
Ax + By + C = 0
Ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng trong mÆt
Ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng trong mÆt
ph¼ng
ph¼ng
a
2
+ b
2
≠ 0
t lµ tham sè

(a ≠ 0; b ≠ 0)
(A
2
+ B
2
≠ 0)
Víi C = - (Ax
0
+ By
0
)

(d)
Nhận xét: Đ ờng thẳng d hoàn toàn
xác định nếu biết hai mặt phẳng
phân biệt đi qua nó
Trong không
gian một đ ờng
thẳng d hoàn
toàn đ ợc xác
định khi nào ?
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
P
O
z
y
x
O
z
y
x
Q


Bài toán
Tìm điều kiện để điểm M(x; y; z)
thuộc đường thẳng (d) xác đònh
bởi hai mặt phẳng cắt nhau :
(P): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(Q):A’x + B’y+ C’z + D’= 0 (2)

Ph ¬ng tr×nh cđa ® êng th¼ng
Ph ¬ng tr×nh cđa ® êng th¼ng
P
Q
(d)
M(x;y;z)
•
Ax + By + Cz + D = 0 (1)
A’x+B’y+C’z+D’ = 0 (2)


Ax + By + Cz + D = 0 (1)
Ax+By+Cz+D = 0 (2)
P
Q
(d)
M(x;y;z)
M thuộc đ ờng thẳng (d) khi toạ
độ của M thoả mãn ph ơng trình
hai mặt phẳng (P) và (Q), tức là
thoả mãn hpt:
Ax + By + Cz + D = 0
Ax + By+ Cz+ D= 0
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Trong không gian một đ ờng thẳng là giao
tuyến của hai mặt phẳng phân biệt


HƯ ph ¬ng tr×nh

gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng
với
2 2 2
2 2 2
0
' ' ' 0
: : ' : ' : '
A B C
A B C
A B C A B C

+ + ≠

+ + ≠


≠


Ax + By + Cz + D = 0
A’x + B’y+ C’z + D’= 0
Ph ¬ng tr×nh cđa ® êng th¼ng
Ph ¬ng tr×nh cđa ® êng th¼ng
1. Ph ¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa ® êng th¼ng


Chú ý: Để lập ph ơng trình tổng quát của một đ ờng
thẳng ta xác định ph ơng trình tổng quát của hai mặt
phẳng phân biệt cùng chứa đ ờng thẳng đó
Ph ơng trình của đ ờng thẳng

Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Để lập ph ơng trình tổng quát
Để lập ph ơng trình tổng quát
của một đ ờng thẳng ta làm
của một đ ờng thẳng ta làm
nh thế nào ?
nh thế nào ?
1. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng thẳng

Ax + By + Cz + D = 0 (1)
Ax+By+Cz+D = 0 (2)
P
Q
(d)


VÝ dơ 1: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm
A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) và C(0; 0; 1).
1
C
B
A
1
1
O
x
y
z
Ph ¬ng tr×nh cđa ® êng th¼ng
Ph ¬ng tr×nh cđa ® êng th¼ng

1. Ph ¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa ® êng th¼ng
a) Mặt phẳng (ABC) cắt ba trục tọa
độ tại ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0)
vµ C(0; 0; 1) có pt đoạn chắn là :
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết pttq của đường thẳng (AB)
Giải :
1
1 1 1
x y z
+ + =
⇔ x + y + z – 1 = 0
b, AB = (ABC) ∩ (Oxy)
Mặt phẳng (0xy) có pt là : z = 0
Vậy pt tổng quát của (AB) là:
1 0
0
x y z
z
+ + − =


=

MỈt ph¼ng (ABC)cã ph ¬ng tr×nh:
x + y + z - 1 = 0


2. Ph ¬ng tr×nh tham sè cđa ® êng th¼ng
a. Vectơ chỉ phương

gọi là vectơ chỉ phương của
đường thẳng (d), nếu đường
thẳng chứa nó song song hay
trùng với (d).
Nh¾c l¹i kh¸i niƯm
vÐc t¬ chØ ph ¬ng
cđa mét ® êng th¼ng
trong mỈt ph¼ng

Ph ¬ng tr×nh cđa ® êng th¼ng
Ph ¬ng tr×nh cđa ® êng th¼ng
2 2 2
0, au(a;b; ) 0 c b c≠ + + ≠
r
r
VÐc t¬
(d)
u
r


2. Phửụng trỡnh tham soỏ
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Bài toán
Cho đ ờng thẳng (d) đi qua M
0
(x
0
; y

0
; z
0
) và
có véctơ chỉ ph ơng
2 2 2
, u(a c ; a 0b; ) b c+ +
r
Tìm điều kiện để điểm M(x; y; z) thuộc đ
ờng thẳng (d)?
u
r
M
0
(d)
M


u
r
M
0
(d)
M
2. Phửụng trỡnh tham soỏ
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Giải
Điểm M(x; y; z) thuộc đ ờng thẳng
(d) khi và chỉ khi:

M
u(a;b;c)
r
0 0 0 0
( ; ; )M M x x y y z z=
uuuuuur
véc tơ
và véc tơ
cùng ph ơng,
0
M M tu=
uuuuuur r
tức là có số t sao cho
0 0
0 0
0 0
x x at x x at
y y bt y y bt
z z ct z z ct
= = +


= = +


= = +

2. Phửụng trỡnh tham soỏ
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
0
0
0
.
.
.
x t
y t
x
y
z
b
tcz
a= +


= +


= +

(vụựi a
2
+ b
2
+ c
2

0)
Điểm M(x; y; z) thuộc đ ờng thẳng (d) khi và
chỉ khi:
2 2 2
, u(a c ; a 0b; ) b c+ +
r
b.Giả sử đ ờng thẳng (d) đi qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và
có véctơ chỉ ph ơng
(1)
Hệ pt (1) với a
2
+ b
2
+ c
2
0 gọi là ph ơng trình
tham số của đ ờng thẳng, t là tham số


x= 2- t
y= 3t ( t là tham số)
z= -1+5t

VD1:Lập ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
(d) đi qua điểm M(2; 0; -1) và có véc tơ chỉ ph
ơng u(-1; 3; 5)
2. Phửụng trỡnh tham soỏ
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Giải
Đ ờng thẳng (d) đi qua điểm M(2; 0: -1) và có véc tơ
chỉ ph ơng u(-1; 3; 5) có ph ơng trình tham số:



0
0
0
.
.
.
x x a t
y y b t
z z c t
= +


= +


= +

3. Phửụng trỡnh chớnh taộc
( )
0 0 0
a b
x y zx y z
c

= = 2
Quy ửụực : Trong hệ thức (2) nếu mẫu số bằng 0
thì tử số cũng bằng 0
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Giả sử đ ờng thẳng d có ph ơng trình tham số
Nếu a, b, c khác 0, khử t ở ph ơng trình tham số ta đ ợc
Ph ơng trình (2) gọi là ph ơng trình chính tắc của đ ờng
thẳng



0 0 0
x y
a b
x y z
c
z
= =
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
0
0

0
.
.
.
x x a t
y y b t
z z c t
= +


= +


= +


Nếu biết ph ơng trình tham số
hoặc ph ơng trình chính tắc của đ
ờng thẳng d thì ta có thể xác định
đ ợc những yếu tố nào ?


Ta có : AB (-2; 1; 3)
A(1;0;2)
B(-1;1;5)
()
Đ ờng thẳng () đi qua A(1; 0; 2)
nhận AB (-2; 1; 3) làm véc tơ chỉ ph
ơng có ph ơng trình tham số:
x =1- 2t

y = t (t là tham số )
z = 2+3t
Giải
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
Ph ơng trình của đ ờng thẳng
VD 2: Viết ptts, ptct của đ ờng thẳng () qua hai
điểm A(1; 0; 2) và B(-1; 1; 5)



1 0 2
2 1 3
x y z− − −
= =
−
• A(1;0;2)
• B(-1;1;5)
(∆)
Cã thÓ lËp ® îc ph ¬ng
tr×nh t ng qu¸t cña (AB) ổ
kh«ng ?
§ êng th¼ng (∆) qua A(1; 0; 2) vµ
cã vtcp lµ AB = (-2; 1; 3)
Ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng
Ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng
cã ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c lµ:



(∆) cã ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c lµ

1 3
1 2
2
x y z −
= =
−
−
(∆) cã ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t
x + 2y- 1 = 0
-3y + z - 2 = 0
Ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng
Ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng
2
3
1
2
1
1
x y
y z
−

=



=
−
−




⇔
Suy ra



4. Chó ý: Khi b ≠ 0, ta cã
Ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng
Ph ¬ng tr×nh cña ® êng th¼ng
0 0 0
x y
a b
x y z
c
z− − −
= =
⇔
0 0
0 0
x
a b
b
y
y z
x y
y
c
z
− −


=



− −

=


⇔
0 0
0 0
0
0
bx ay b
cy
x
b
ay
y zz bc
+ =
+ =
− −


− −

Tõ ph ¬ng tr×nh chÝnh
t¾c cña ® êng th¼ng ta

suy ra ® îc mét ph ¬ng
tr×nh tæng qu¸t cña ®
êng th¼ng ®ã



Bài tập củng cố
Trong không gian cho hai mặt phẳng
(P): x + y - z - 2 = 0 và (Q): 2x - y + 5z - 4 = 0
a, CMR: (P) cắt (Q). Tìm pttq của đ ờng thẳng (d) là giao
tuyến của hai mặt phẳng đó?
H ớng dẫn:
b, Tìm một điểm M bất kì thuộc (d), một vtcp u của (d)?
Từ đó suy ra pt tham số, pt chính tắc của (d).
n
1
n
2
u
(d)
Q
P
(P) có vtpt n
1
= (1; 1; -1), (Q) có vtpt n
2
= (2; -1; 5)
a, Hai véc tơ pháp tuyến không cùng
ph ơng nên (P) cắt (Q), giao tuyến là đ
ờng thẳng (d) có pttq:

x + y - z - 2 = 0
2x - y + 5z - 4 = 0
b, Chọn M = (2; 0; 0) thuộc (d)
véc tơ chỉ ph ơng của (d) là :
1 2
,u n n

=

r ur uur
= (4; -7; -3)
Suy ra pt tham số, pt chính tắc của
đ ờng thẳng (d) đi qua M(2; 0; 0)
có vtcp
u
r
= (4; -7; -3)



Củng cố
Củng cố
BTVN: Làm các bài tập 1, 2, 3, 5, 7, 8 (SGK - 91, 92, 93)
Một đ ờng thẳng
Một đ ờng thẳng
trong không gian
trong không gian
xác định khi nào?
xác định khi nào?
Một đ ờng thẳng trong không gian xác

Một đ ờng thẳng trong không gian xác
định khi biết:
định khi biết:
+
+
Hai mặt phẳng phân biệt cùng đi
Hai mặt phẳng phân biệt cùng đi
qua đ ờng thẳng đó
qua đ ờng thẳng đó
, ta có ph ơng trình
, ta có ph ơng trình
tổng quát của đ ờng thẳng
tổng quát của đ ờng thẳng
+
+
Biết một điểm thuộc đ ờng thẳng và
Biết một điểm thuộc đ ờng thẳng và
một véc tơ chỉ
một véc tơ chỉ


ph ơng của đ ờng thẳng,
ph ơng của đ ờng thẳng,
ta có ph ơng trình tham số hoặc ph ơng
ta có ph ơng trình tham số hoặc ph ơng
trình chính tắc của đ ờng thẳng
trình chính tắc của đ ờng thẳng


Cảm ơn sự theo dõi của các thầy giáo, cô giáo

cùng toàn thể các em học sinh!
See you
again!