Phuong trinh duong thang trong khong gian

n
r
x
y
Mo
x
y
Mo
u
r

Cã bao nhiªu ® êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm Mo
vµ cã ph ¬ng víi ph ¬ng mé
Trong mÆt ph¼
t vÐct¬ n
ng
vu«ng gãc 0 íc.cho tr
−
≠
r uur
Cã bao nhiªu ® êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm Mo
vµ cã ph ¬ng víi ph ¬ng mét vÐct¬ u 0 s ícong o .s ng cho tr
−
≠
r uur
Cã duy nhÊt 1 ®t

Trong kh«ng gian
Trong kh«ng gian
kÕt qu¶ ®ã cßn ®óng kh«ng?
kÕt qu¶ ®ã cßn ®óng kh«ng?
M
P )
n
r
M
u
r
a
b
Tån t¹i v« sè Tån t¹i duy nhÊt


Tiết 44
Tiết 44


: Ph ơng trình đ ờng thẳng
: Ph ơng trình đ ờng thẳng
O
x
y
z
d
1
u

r
2
u
r
3
u
r
1/ Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
a) Véctơ chỉ ph ơng của đ ờng thẳng
là véctơ chỉ ph ơng (VTCP) của đt d
u 0
nằm trên đ ờng song song(hoặc trùng)với đt d
u
u







r
r r
r
Vậy véc tơ chỉ ph ơng
của đ ờng thẳng là véctơ
nh thế nào?


Tiết 44

Tiết 44


: Ph ơng trình đ ờng thẳng
: Ph ơng trình đ ờng thẳng
1/ Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
a) Véctơ chỉ ph ơng của đ ờng thẳng
là véctơ chỉ ph ơng (VTCP) của đt d
u 0
nằm trên đ ờng song song(hoặc trùng)với đt d
u
u







r
r r
r
N.Xét:
- Đ ờng thẳng có vô số VTCP. Các VTCP
cùng ph ơng nhau.
- Đ ờng thẳng đ ợc xác định duy nhất nếu
biết 1 điểm thuộc nó và 1 VTCP
O
x
y

z
d
1
u
r
2
u
r
3
u
r
Một đ ờng thẳng có bao nhiêu
VTCP ?


Tiết 44
Tiết 44


: Ph ơng trình đ ờng thẳng
: Ph ơng trình đ ờng thẳng
1/ Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
a) Véctơ chỉ ph ơng của đ ờng thẳng
là véctơ chỉ ph ơng (VTCP) của đt d
u 0
nằm trên đ ờng song song(hoặc trùng)với đt d
u
u

r
r r
r
*N.Xét:
- Đ ờng thẳng có vô số VTCP. Các VTCP
cùng ph ơng nhau.
- Đ ờng thẳng đ ợc xác định duy nhất nếu
biết 1 điểm thuộc nó và 1 VTCP
VTCP của đ. thẳng trong không
gian có t ơng tự VTCP của đ ờng
thẳng trong mp không?
Dự đoán
PTTS
của đt trong
không gian
0
0 0 0
0
Ta đã biết: ủa đt
đi qua M (
Trong mặt phẳng

; )
à
ó VTCP ;

( )
PTTS c
x y
l
c
x x at
y
u a
t
b
y b



=

= +


= +


r
0 0 0
0
0
0
0
ủa đt

đi qua M ( ; ; )
à:
ó V
Trong không gian
+ct
TCP ( ;

; )
PTTS c
x y
x x at
y y bt
z
z
l
c u a
z
b c



=
= +



= +

=

r


Tiết 44
Tiết 44


: Ph ơng trình đ ờng thẳng
: Ph ơng trình đ ờng thẳng
1/ Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
a) Véctơ chỉ ph ơng của đ ờng thẳng
là véctơ chỉ ph ơng (VTCP) của đt d
u 0
nằm trên đ ờng song song(hoặc trùng)với đt d
u
u







r
r r
r
*N.Xét:
- Đ ờng thẳng có vô số VTCP. Các VTCP

cùng ph ơng nhau.
- Đ ờng thẳng đ ợc xác định duy nhất nếu
biết 1 điểm thuộc nó và 1 VTCP
0
0 0 0 0
0
0
)
đi qua M ( ; ; )
à
ó VTCP ( ; ; )
+ct
ủa đt

b
x x at
x y
PTT
z
l y y bt
c u
S
b
z
c
a c
z
= +

= +


=



=

r
Cách tìm


Tiết 44
Tiết 44


: Ph ơng trình đ ờng thẳng
: Ph ơng trình đ ờng thẳng
1/ Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
a) Véctơ chỉ ph ơng của đ ờng thẳng
là véctơ chỉ ph ơng (VTCP) của đt d
u 0
nằm trên đ ờng song song(hoặc trùng)với đt d
u
u

r
r r
r
*N.Xét:
- Đ ờng thẳng có vô số VTCP. Các VTCP
cùng ph ơng nhau.
- Đ ờng thẳng đ ợc xác định duy nhất nếu
biết 1 điểm thuộc nó và 1 VTCP
0
0 0 0 0
0
0
)
đi qua M ( ; ; )
à
ó VTCP ( ; ; )
+ct
ủa đt

b
x x at
x y
PTT
z
l y y bt

c u
S
b
z
c
a c
z
= +




= +


=



=

r
Vậy để viết đ ợc ph ơng trình
tham của đ ờng thẳng số ta cần
biết yếu tố nào?


0 0 0
0
0

0
0
®i qua M ( ; ; )
Õt ®t
cã VTCP u( ;
1
; )
PTT
)
S
x x
x
at
y y bt
z
y z
Bi
a c
z ct
b
= +


=




+


+
⇒

=


r
0
0
0
0 0 0 0
PTTS
®i qua M ( ; ; )

cã VTCP u( ;
2)
; )
x x at
y y bt
z z ct
x y z
a b c
= +


∆ = +


= +




⇒ ∆



r
Chó ý
0 0 0
M(x× vËy: M d ; ; )aV t y bt z ct+ +⇔ +∈
Víi mçi t R (x;y;z) lµ to¹ ®é mét ®iÓm
thuéc ® êng th¼
3)
ng.
∈ ⇔


Tiết 44
Tiết 44


: Ph ơng trình đ ờng thẳng
: Ph ơng trình đ ờng thẳng
1/ Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
a) Véctơ chỉ ph ơng của đ ờng thẳng
x= 1- 2t
: đ ờng thẳng d có ptts: y= 2 + t
3
1 Cho
z t

VD




=

Lời giải:
Ph ơng án trả lời đúng là:
a) điểm nào sau đây thuộc đt
. M(1;2; -3) .M( -2;1-3) . M(1;2; 0) .M( -2;A B C D 1;0)
A
B
C D
0 0 0 0
x= 1- 2t
đi qua M ( ; ; )
b) PTST của : à : y= 2 + t
ó VTCP u( ; ; )
3
x y z
l
C a b c
z t

=

r


Tiết 44
Tiết 44


: Ph ơng trình đ ờng thẳng
: Ph ơng trình đ ờng thẳng
b) đt d có một VTCP là:
. u=(1;2; -3) .u=( -2;1-3) . u=(1;2; 0) .u=( -2;1;0A D )B C
r r r r
1/ Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
a) Véctơ chỉ ph ơng của đ ờng thẳng
x= 1- 2t
: đ ờng thẳng d có ptts: y= 2 + t
3
1 Cho
z t
VD




=

Lời giải:

Ph ơng án trả lời đúng là:
A
B
C D
0 0 0 0
x= 1- 2t
đi qua M ( ; ; )
b) PTST của : à : y= 2 + t
ó VTCP u( ; ; )
3
x y z
l
C a b c
z t







=

r


TiÕt 44
TiÕt 44

: Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
: Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
1/ Ph ¬ng tr×nh tham sè cña ® êng th¼ng
a) VÐct¬ chØ ph ¬ng cña ® êng th¼ng
: Õt ptts cña ® êng th¼ng biÕt:
a) ®i qua M(1; -3; 2) vµ cã VTCP lµ u (1; 4; 2)
)®i qua 2 ®iÓm A(1; 3;0) vµ B(-2; 5;3)
2VD V i
b
∆
= −
r
0
0
0
:)
x x at
ADCT y y
z
a bt
z ct
= +


= +


= +

1

Ta cã PTTS lµ: 3 4
2 2
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

Lêi gi¶i:
0 0 0 0
x= 1- 2t
®i qua M ( ; ; )
b) PTST cña : µ : y= 2 + t
ã VTCP u( ; ; )
3
x y z
l
C a b c
z t


 
 




=−

r


Tiết 44
Tiết 44


: Ph ơng trình đ ờng thẳng
: Ph ơng trình đ ờng thẳng
1/ Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
a) Véctơ chỉ ph ơng của đ ờng thẳng
: ết ptts của đ ờng thẳng biết:
a) đi qua M(1; -3; 2) và có VTCP là u (1; 4; 2)
)đi qua 2 điểm A(1; 3;0) và B(-2; 5;3)
2VD V i
b

=
r
0 0 0 0
x= 1- 2t
đi qua M ( ; ; )
b) PTST của : à : y= 2 + t
ó VTCP u( ; ; )
3
x y z
l

C a b c
z t







=

r
Lời giải:
O
x
y
z

A
B
1 3
Vậy PTTS là: 3 2
3
x t
y t
z t
=


= +

=

( )
Ta có: AB 3;2;3=
uuur


0
0
0
H·y khö t tõ ® êng th¼ng
Bµi
( ®k: 0; 0; 0
to¸n
)
:
:
x x at
y y b
t
t
z z ct
rong a b c
= +
≠ ≠


∆ = +



= +
≠

0
0
0
ã: pt
x x at
Tac y y bt
z z ct
− =


⇔ − =


− =

0
0
0
x x
t
a
y y
t
b
z z

t
c
−

=


−

⇔ =


−

=


0 0 0
(*)
x x y y z z
a b c
− − −
⇔ = =
(*) íi
® îc gäi l pt chÝnh t¾
( 0
µ cña ® êng
;
th¼ng
; 0)

c
0av b cPt ≠ ≠ ≠


TiÕt 44
TiÕt 44


: Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
: Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
1/ Ph ¬ng tr×nh tham sè cña ® êng th¼ng
0 0 0
2 2 2
¹ng (*)
íi ( )
:
0;
x x y y z z
D
a b c
v a b c
− − −
= =
+ + ≠
2/ Ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®. th¼ng
Quy. íc:
MÉu b»ng kh«ng th× tö b»ng kh«ng.
VD: a=0 th× x = xo
NhËn xÐt:
- BiÕt 1 ®iÓm, 1 VTCP viÕt ® îc PTCT

( viÕt theo(*) )
- Tõ PTCT ta t×m ® îc 1 ®iÓm , 1 VTCP
§Ó viÕt ® îc pt chÝnh t¾c
cÇn biÕt g×?


TiÕt 44
TiÕt 44


: Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
: Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
1/ Ph ¬ng tr×nh tham sè cña ® êng th¼ng
0 0 0
2 2 2
¹ng: (*)
íi ( 0;)
x x y y z z
D
a b c
v a b c
− − −
= =
+ + ≠
2/ Ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®. th¼ng
.
: PTCT cña ® êng th¼ng
®i qua M(-2; 1; 2),cã VTCP u(3;1; 2) µ
x-2 y+1 z+2 x-3 y-1 z+2
3 1 -2 -2 1 2

x+3 y+1 z-2 x+2 y-1 z-2
-2
1
1 2 3 1 -
.
.
2
.
A
VD
B
C D
l−
= = = =
= = = =
r
Lêi gi¶i:
Ph ¬ng ¸n tr¶ lêi ®óng lµ:
A
B
C D



= =
+

=

+ =

= =

=


=


+ = + + = + + =




= +

=




x+1 3 4
: Từ ph ơng trình:
-2 5 2
ó một h/s biến đổi nh sau:
1 3
5( 1) 2( 3)

x+1 3 4
2 5
-2 5 2 3 4 2( 3) 5( 4)
5 2
5 5 2 6 5 2 1 0 5 2 0 1 0
2 6 5 20 2 5 14 0
2 ( )VD
y z
C
x y
x y
y z
y z y z
x y x y x y z
y z y z


+ + =

(*.1)
(*)
0 2 5 14 0 (*.2)x y z
ãy cho biết q á trình biến đổi có sai không?Em h u
Hệ (*) đ ợc gọi là ph ơng trình tổng quát của đ ờng
thẳng
( )


Tiết 44
Tiết 44

: Ph ơng trình đ ờng thẳng
: Ph ơng trình đ ờng thẳng
1/ Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
Ax + By +Cz + D = 0 (1)
Dạng
A'x + B'y +C 'z + D'= 0 (2)



2/ Ph ơng trình chính tắc của đ. thẳng
3/ Ph ơng trình tổng quát của đ. thẳng
2 2 2 2 2 2
Trong đó: A 0;A' ' ' 0
và A : B : C A': B' :

C'
B C B C+ + + +

(

P
u
r
d
(Q
M(x;y;z)
Câu hỏi: Cho biết PTTQ
của đt. Hãy tìm 1 điểm, 1

VTCP của đt đó?
* Cách tìm điểm thuộc đt
Chọn x = xo ; thay vào pt tìm y, z t
ơng ứng (hoặc chọn y, z)
*Cách tìm VTCP của đ ờng thẳng
,
p q
n n

=

uur uur
Nhân tích có h ớng hai VTPT của
hai mp thành phần
N.xét: đt d thuộc cả 2 mp (1) và (2)


Tiết 44
Tiết 44


: Ph ơng trình đ ờng thẳng
: Ph ơng trình đ ờng thẳng
1/ Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
Ax + By +Cz + D = 0 (1)
Dạng
A'x + B'y +C 'z + D'= 0 (2)

2/ Ph ơng trình chính tắc của đ. thẳng
3/ Ph ơng trình tổng quát của đ. thẳng
2 2 2 2 2 2
Trong đó: A 0;A' ' ' 0
và A : B : C A': B' :

C'
B C B C+ + + +

* Cách tìm điểm thuộc đt
Chọn x = xo ; thay vào pt tìm y, z t
ơng ứng (hoặc chọn y, z)
*Cách tìm VTCP của đ ờng thẳng
Nhân tích có h ớng hai VTPT của
hai mp thành phần
N.xét: đt d thuộc cả 2 mp (1) và (2)
PTCT PTTS
PTTQ
Nh vậy: có 3 dạng ph
ơng trình đ ờng thẳng


TiÕt 44
TiÕt 44


: Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
: Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
1/ Ph ¬ng tr×nh tham sè cña ® êng th¼ng
2/ Ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®. th¼ng

3/ Ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®. th¼ng
•
C¸ch chuyÓn tõ pt chÝnh t¾c > PTTQ
4/ ChuyÓn ®æi c¸c d¹ng ph ¬ng tr×nh.
“Ng¾t” ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c thµnh hÖ
+ −

=

− −

−
= =

− −

=


+ = − − + − =
 
 
− = − − + =
⇔
⇔
 
⇔
VÝ dô:
1 3
x+1 3 4

2 5
-2 5 2 3 4
5 2
5( 1) 2( 3) 5 2 1 0
2( 3) 5( 4) 2 5 14 0
x y
y z
y z
x y x y
y z y z


Tiết 44
Tiết 44


: Ph ơng trình đ ờng thẳng
: Ph ơng trình đ ờng thẳng
1/ Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng
2/ Ph ơng trình chính tắc của đ. thẳng
3/ Ph ơng trình tổng quát của đ. thẳng

Cách chuyển từ pt chính tắc > PTTQ
4/ Chuyển đổi các dạng ph ơng trình.
Ngắt ph ơng trình chính tắc thành hệ

Cách chuyển từ PTTQ > pt chính tắc
C1: - tìm điểm, tìm VTCP
- Viết pt bằng công thức
C2: - Đặt x=t

- từ pt biểu diễn y,z theo t ( nếu có)


TiÕt 44
TiÕt 44


: Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
: Ph ¬ng tr×nh ® êng th¼ng
1/ Ph ¬ng tr×nh tham sè cña ® êng th¼ng
2/ Ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®. th¼ng
3/ Ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®. th¼ng
4/ ChuyÓn ®æi c¸c d¹ng ph ¬ng tr×nh.
5/ VÝ dô.


x- y + -3=0
: ® êng th¼ng d cã pt:
2 5 0
)T×m VTCP cña ® êng th¼ng
b) T×m mét ®iÓm thuéc d vµ viÕt PTTS cña d
z
Cho
x y z
VD
a


+ + + =


( )
( )
1 2
1 1 1 1 1 1
u , ; ; 2; 1; 3
1 1 1 2 2 1
Ëy d cã VTCP lµ: u 2; 1; 3
n n
V
 
− −
 
= = = −
 ÷
 
 
= −
r uur uur
r
1
2
: ) ã VTPT cña mp x- y + -3=0 lµ: n =(1 ;-1; 1)
VTPT cña mp
L
2x y 5=0 lµ: n =(2 ;1;
êi gi¶
1)
i a Ta c z
z+ − +
uur

uur


x- y + -3=0
: ® êng th¼ng d cã pt:
2 5 0
)T×m VTCP cña ® êng th¼ng
b) T×m mét ®iÓm thuéc d vµ viÕt PTTS cña d
z
Cho
x y z
VD
a


+ + + =

Lêi gi¶i :
0
-y + z =3 4
) än x=0; thay vµo pt ta ® îc
5 1
Ëy ®iÓm M (0; 4; 1) éc ® êng th¼ng
y
b Ch
y z z
V thu
= −
 
⇔

 
+ = − = −
 
− −
0
*) ã ® êng th¼ng cã VTCP lµ u=(-2;1;3) (theo c©u a)
mµ d ®i qua ®iÓm M (0; 4; 1)
x= 2t
Ëy PTTS cña d lµ: y= 4 + t
z= 1 3
Tac
V
t
− −
−


−


− +

r


Tiết 44
Tiết 44


: Ph ơng trình đ ờng thẳng

: Ph ơng trình đ ờng thẳng
2 2 2 2 2 2
Ax +By +Cz +D =0
ạng:
A'x +B'y +C 'z +D'= 0
( A 0;A' ' ' 0
và A : B : C A': B' : C')
- Cách tìm điểm, tìm VTCP

khi có pt
D
B C B C




+ + + +

0 0 0
2 2 2
ạng:
ới 0
( ớc: mẫu bằng 0 thì tử bằng 0 )
ách viết pt
- Cách tìm điểm, tìm VTCP khi có pt
x x y y z z
D
a b c
v a b c
quy

C

= =
+ +

0
2 2 2
0
0
ạng: ( 0)
ách viết pt
- Cách tìm điểm, tìm VTCP khi có pt
x x at
D y y bt a b c
z z ct
C
= +


= + + +


= +


2/ Ph ơng trình tham số
3/ Ph ơng trình chính tắc
4/ Ph ơng trình tổng quát
5/ Chuyển đổi các dạng pt

Cách chuyển từ pt chính tắc > PTTQ

Cách chuyển từ PTTQ > pt chính tắc
6/Một số chú ý
-Một đ ờng thẳng có nhiều kết quả ph ơng trình
-
Viết pttq có thể bằng cách xác định giao 2 mp
-Tìm đ ợc 1 điểm thuộc đt , 1 VTCP > Ph ơng
trình
1/ Vectơ chỉ ph ơng
u 0

nằm trên đ ờng // hoặc d







r r