Bài toán vận dụng cao Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG Có lời giải file

PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 1:

(SGD VĨNH PHÚC)Gọi S  t  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng

y

1

 x  1 x  2

2

, y  0 , x  0 , x  t (t  0) . Tìm lim S  t  .
t 

1
A.  ln 2  .
2

1
B. ln 2  .
2

C.

1
 ln 2 .
2

1
D. ln 2  .
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1:
*Tìm a, b, c sao cho

1

 x  1 x  2

2



a
bx  c

x  1 ( x  2)2

 1  a  x  2    bx  c  x  1  1  ax2  4ax  4a  bx2  bx  cx  c
2

a  b  0
a  1


 1   a  b  x   4a  b  c  x  4a  c  4a  b  c  0  b  1 .

 4a  c  1
c  3


2

*Vì trên  0;t  , y 

1

 x  1 x  2 

2

 0 nên ta có:

t 
t 

1
1
x3 
Diện tích hình phẳng: S  t    
d
x




2

0  x  1  x  22 dx


0   x  1 x  2  


t
 1
1
1 
1 
 x 1
 



dx   ln

 x  1  x  2   x  2 2 
 x2 x20
0

t

 ln

t 1
1
1


 ln 2  .
t2 t2
2

1
 t 1 
 t 1 
 1  lim ln 
 0 và lim
*Vì lim 
0


t  t  2
t 
t  t  2


t2

1
1
1
 t 1

 ln 2    ln 2  .
Nên lim S  t   lim  ln
t 
t 
2

2
 t2 t2

Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay.

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


t 

1
Diện tích hình phẳng: S  t    
 dx
2


0   x  1 x  2  

Cho t  100 ta bấm máy 

100


0



1


 dx  0,193
  x  1 x  2 2 



Dùng máy tính kiểm tra 4 kết quả ta đƣợc đáp án B.


Câu 2:



1
sin x
(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho các tích phân I  
dx và J  
dx
1  tan x
cosx  sin x
0
0
 
với    0;  , khẳng định sai là
 4


cos x
dx .
cosx  sin x
0

A. I  

B. I  J  ln sin   cos .

C. I  ln 1  tan  .

D. I  J   .
Hướng dẫn giải

Chọn C
Ta có

1
1
cos 


nên A đúng.
1  tan  1  sin  cos   sin 
cos 


d  cos x  sin x 
cos x  sin x
I J 
dx 
 ln cos x  sin x
cos x  sin x
cos x  sin x

0
0



0

 ln cos   sin  B đúng



I  J   dx  x 0   D đúng.
0

Câu 3:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số f  x  

x

  4t

3

 8t  dt . Gọi m, M lần lƣợt là

1

giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f  x  trên đoạn  0;6 . Tính M  m .
A. 18

B. 12

C. 16

D. 9

Hướng dẫn giải

f  x 

x

  4t
1

3

 8t  dt   t 4  4t 2 

x
1

 x 2  4 x  3 , với x  0 .

f   x   2 x  4; f   x   0  x  2  1;6 .

f  0   3; f  2   1; f  6   15 . Suy ra M  15, m  1 . Suy ra M  m  16 .

Đáp án: C.
Câu 4:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Giả sử

 x 1  x 

các số nguyên dƣơng. Tính 2a  b bằng:
A. 2017 .
B. 2018 .

2017

1  x 
dx 

a

a

C. 2019 .

1  x 

b

b

 C với a, b là

D. 2020 .

Hướng dẫn giải
Ta có:

 x 1  x 

2017

dx    x  1  11  x 

2017



dx   1  x 

2017

 1  x 

2018



1  x 
dx  

2018

2018

1  x 


2019

2019

C

Vậy a  2019, b  2018  2a  b  2020 .
Chọn D.
Câu 5:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  

1
và
e 3
x

1
F  0    ln 4 . Tập nghiệm S của phƣơng trình 3F  x   ln  x3  3  2 là:
3
A. S  2 .
B. S  2; 2 .
C. S  1; 2 .
D. S  2;1 .
Hướng dẫn giải

Ta có: F  x   

dx
1 
ex 
1
x

1


 dx  x  ln  e  3  C .
x
x

e 3 3  e 3
3









1
1
Do F  0    ln 4 nên C  0 . Vậy F  x   x  ln  e x  3 .
3

3
Do đó: 3F  x   ln  e x  3  2  x  2
Chọn A.
Câu 6:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho f ( x), g ( x) là các hàm số liên tục trên đoạn  2; 6  và
3

thỏa mãn


2

6

A.  [3g ( x)  f ( x)]dx  8

C.

6

6

3

3

f ( x)dx  3;  f ( x)dx  7;  g ( x)dx  5 . Hãy tìm mệnh đề KHÔNG đúng.
3

B.  [3 f ( x)  4]dx  5

3

2

ln e6

ln e6

 [2f ( x) 1]dx  16
2

D.

 [4 f ( x)  2 g ( x)]dx  16
3

Hướng dẫn giải

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


3


2

6

6

3

2

f ( x)dx   f ( x)dx   f( x)dx  10
6

6

6

3

3

3

Ta có:  [3g ( x)  f ( x)]dx  3 g ( x)dx   f ( x)dx  15  7  8 nên A đúng
3

3

3

2

2

2

 [3 f ( x)  4]dx  3 f( x)dx  4 dx  9  4  5 nên B đúng
ln e6

6

6

6

2

2

2

2

 [2f ( x) 1]dx   [2f ( x) 1]dx  2 f( x)dx 1 dx  20  4  16 nên C

ln e6


3

6

6

6

3

3

3

đúng

[4f ( x)  2 g ( x)]dx   [4f ( x)  2 g ( x)]dx  4  f( x)dx  2  g ( x)dx  28  10  18

Nên D sai
Chọn đáp án D
Câu 7:

(NGUYỄN
KHUYẾN
TPHCM)
Giả
2x
3
2
3
2
2x
 e (2 x  5x  2 x  4)dx  (ax  bx  cx  d )e  C . Khi đó a  b  c  d bằng
A. -2

B. 3

C. 2

sử

D. 5

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta

 (ax

có
3

e

2x

(2 x3  5 x 2  2 x  4)dx  (ax3  bx 2  cx  d )e2 x  C

nên

 bx 2  cx  d )e 2 x  C  '  (3ax 2  2bx  c)e 2 x  2e 2 x (ax 3  bx 2  cx  d )
  2ax3  (3a  2b) x 2  (2b  2c) x  c  2d  e 2 x
 (2 x3  5 x 2  2 x  4)e2 x

 2a  2

a  1
3a  2b  5
b  1



Do đó 
. Vậy a  b  c  d  3 .
 2b  2c  2
c  2
c  2d  4
d  3
5

Câu 8:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho

biết

 f ( x)dx  15

.

Tính

giá

1

2

P   [f (5  3x)  7]dx
0

A. P  15

B. P  37

C. P  27
Hướng dẫn giải

D. P  19

trị

của


t  5  3x  dx  

Để

tỉnh

ta

P

dt

3

x 0t 5
x  2  t  1

đặt

nên

5
5
5

dt
1
1
P   [f (t )  7]( )   [f (t )  7]dt    f (t ) dt  7  dt 
3
3 1
3  1
5
1

1

1
1
 .15  .7.(6)  19
3
3

chọn đáp án D
Câu 9:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số

f  x   a sin 2 x  b cos 2 x

thỏa mãn

 
f '    2 và  adx  3 . Tính tổng a  b bằng:
2
a
b

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 8.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
f '  x   2a cos 2 x  2b sin 2 x
 
f '    2  2a  2  a  1
2

b

b

a

1

 adx   dx  3  b 1  3  b  4
Vậy a  b  1  4  5.
ln 2

Câu 10: (TRẦN HƢNG ĐẠO – NB) Biết rằng:



  x  2e
0

1 
1 a
5
 dx  ln 2  b ln 2  c ln . Trong đó
1 
2
3

x

a, b, c là những số nguyên. Khi đó S  a  b  c bằng:

A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .

D. 5 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

1 

0  x  2ex  1  dx  0 xdx 

ln 2

ln 2

ln 2

Tính

 xdx 

0
ln 2

Tính

 2e
0

x
2

1
x

2 ln 2

1

0



ln 2

 2e
0

1
dx .
1

x

2

ln 2
2

dx

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


dt
. Đổi cận : x  ln 2  t  5, x  0  t  3 .
t 1
ln 2
5
5
5
1
dt
5
 1 1
d
x


0 2ex  1 3 t t 1 3  t 1  t dt   ln t 1  ln t  3  ln 4  ln 5  ln 2  ln 3  ln 2  ln 3 .

Đặt t  2e x  1  dt  2e x dx  dx 

ln 2



  x  2e
0

1 
1 2
5
 dx  ln 2  ln 2  ln  a  2, b  1, c  1
1 
2
3

x

Vậy a  b  c  4 .
Câu 11: (LẠNG GIANG SỐ 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  của hàm số

1 2
 x  4 x  3 và hai tiếp tuyến của  C  xuất phát từ M  3; 2  là
2
8
5
13
11
A. .
B. .
C. .
D. .
3
3
3

3
y

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có y 

1
 2x  4  x  2 .
2

Gọi  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm. Khi đó, y0 

1 2
 x0  4 x0  3 và y  x0   x0  2 .
2

Phƣơng trình của tiếp tuyến của  C  tại điểm có tọa độ  x0 ; y0  là

y   x0  2  x  x0  

1 2
 x0  4 x0  3
2

Vì tiếp tuyến đi qua điểm M  3; 2  nên

2   x0  2  3  x0  

 x0  1  y   x  1

1 2
x0  4 x0  3  

2
 x0  5  y  3x  11

Diện tích hình phẳng cần tìm

S



3

1

1 2

 2  x  4 x  3    x  1 dx 



5

3

8
1 2

 2  x  4 x  3   3x  11  dx  3


4

Câu 12: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân

x

 1  cos 2 x dx  a  b ln 2 , với

a , b là các số thực .

0

Tính 16a  8b
A. 4.

B. 5.

C. 2.
Hướng dẫn giải

Chọn A

D. 3.


u  x
du  dx



Đặt 
. Ta có

dx
1
d
v

v

tan
x

1  cos 2 x

2






1
1 
 1
 1 1  1
1
1
I  x tan x 4   4 tan xdx   ln cos x 4   ln

  ln 2  a  , b  
2
2 0
8 2
8 2
8
4
2 8 4
0
0
Do đó, 16a  8b  4 .
1

Câu 13: (LẠNG GIANG SỐ 1) Giả sử

f  x  dx  3 và


0

bằng
A. 12.

5



f  z  dz  9 . Tổng

0

B. 5.

3


1

C. 6.

5

f  t  dt   f  t dt
3

D. 3.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1

Ta có


0

1

5

f  x  dx  3   f  t  dt  3 ;



0

5

5

f  z  dz  9   f  t  dt  9

0

0

1

3

5

3

5

0

1

3

1

3

9   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt  3   f  t  dt   f  t  dt
0

3

5

1

3

  f  t  dt   f  t  dt  6.
ln 2



Câu 14: (LẠNG GIANG SỐ 1) Tích phân

0

A. 1.

e2 x1  1
a

dx  e  . Tính tích a.b .
x
e
b

B. 2.

C. 6.

D. 12.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
ln 2


0

e2 x 1  1
dx 
ex

 e x 1

ln 2
0

 e x

ln 2


0

ln 2
0

e x 1dx 

ln 2


0

e x dx 

ln 2



e x 1d  x  1 

ln 2

0

 e d x 
x

0

1
1 
  2e  e     1  e   a  1, b  2  ab  2 .
2
2 

3

Câu 15: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Biết





sin x
1  x 6  x3

dx 

3
a



3 2
 c  d 3 với a, b, c, d
b

3

l các số nguyên. Tính a  b  c  d .

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


A. a  b  c  d  28 .

B. a  b  c  d  16 . C. a  b  c  d  14 .

D. a  b  c  d  22 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

I





3

3





sin x
1 x  x
6

3

dx 





3





1  x 6  x3 sin x
1 x  x
6

6



 
3

dx 



3



1  x 6  x3 sin xdx .

3




 x   3  t  3
Đặt t   x  dt  dx . Đổi cận 
.
x    t   

3
3


I





3





1  t 6  t 3 sin  t  dt    


3



Suy ra 2 I 

3

  2 x



3

sin x  dx  I 



3

1  t 6  t 3 sin tdt   


3

3

 x



3







3

3

3

3

(+)

 sin x

3x 2

(–)

 cos x

6x

(+)

 sin x

6

(–)

 cos x

0



1  x 6  x3 sin xdx

sin xdx .

3

x





 sin x


3 2
 2  6 3

27
3
3
Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  6 . Vậy a  b  c  d  28 .
I    x3 sin x  3x 2 cos x  6 x sin x  6sin x  3 

3





Câu 16: (NGÔ GIA TỰ - VP) Có bao nhiêu giá trị của a trong đoạn  ; 2  thỏa mãn
4

a
sin x
2
0 1  3cos x dx  3 .

A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Đặt t  1  3cos x  t 2  1  3cos x  2tdt  3sin xdx.
Đổi cận: + Với x  0  t  2

D. 3 .


+ Với x  a  t  1  3 cos a  A.
a

Khi đó


0

a


2

2

2

sin x
2
2
2
2
dx   dt  t   2  A    A  1  1  3cos a  1  cos a  0
3
3 A 3
3
1  3cos x
A

 k  k 

 . Do

Bình luận: Khi cho a 

1
3 k  0

  
a   ; 2     k  2    k   
.
4 2
4
2 k  1
4



2

  thì tích phân không xác định vì mẫu thức không xác

định (trong căn bị âm). Vậy đáp án phải l B, nghĩa l chỉ chấp nhận a 


2

.

Câu 17: (NGÔ GIA TỰ - VP) Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đƣờng: y  2x , y   x  3
v y 1 l :
1 1
1
47
1
 .
1.
3.
A. S 
B. S 
C. S 
.
D. S 
ln 2 2
ln 2
50
ln 2

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Xét phƣơng trình ho nh độ giao điểm của các đƣờng. Ta có:
 2x   x  3  x  1
 2x  1  x  0
 x  3  1  x  2
1

2

 2x
   x2

1 1
Diện tích cần tìm là: S    2  1 dx     x  3  1 dx  
 x 
 2x  

 ln 2
0  2
 1 ln 2 2
0
1
1

2

x

a

2
Câu 18: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Có bao nhiêu số a   0; 20  sao cho  sin 5 x sin 2 xdx  .
7
0
A. 20 .

B. 19 .

C. 9 .

D. 10 .

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


Hướng dẫn giải
Chọn D
a

a

a

2
2
2
Ta có  sin x sin 2 xdx  2 sin x cos xdx  2 sin 6 xd  sin x   sin 7 x 0a  sin 7 a  .

7
7
7
0
0
0
5

Do

0

6

sin 7 a  1  sin a  1  a 

đó



1
 k 2  20    k  10 và k 
2
2
n 1

Câu 19: (THTT – 477) Giá trị của lim

n 

A. 1.

1

 1 e

x


2

 k 2 .

a   0; 20 

Vì

nên có 10 giá trị của k

dx bằng

n

B. 1.

C. e.

D. 0.

Hướng dẫn giải

Chọn D.
n 1

Ta có: I 

1

 1 e

x

dx

n

Đặt t  1  e x  dt  e x dx . Đổi cận: Khi x  n  t  1  en ; x  n  1  t  1  en1
1 en1



Khi đó: I 

1 en

1
dt 
t  t  1

1 en1



1 en

1 en1
1  en
 1 1

d
t

ln
t

1

ln
t

1

ln




1 en
1  e n 1
 t 1 t 

n

Mà

1  en
1  e n 1

1
  1 1
1
e
  n
 khi n   , Do đó, lim I  1  ln  0
n 
e
e
1

e
 
e

6

Câu 20: (THTT – 477) Nếu  sin n x cos xdx 
0

A. 3.

1

thì n bằng
64

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận: khi x  0  t  0; x 
1
2

1

t n 1 2
1 1

. 
Khi đó: I   t dt 
n 1 0 n 1  2 
0

1
Suy ra  
2

n 1


6

t 

1
.
64

n





n 1
có nghiệm duy nhất n  3 (tính đơn điệu).
64

n 1

1
2

nên


Câu 21: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d ,  a, b, c  , a  0  có đồ thị

 C  . Biết rằng đồ thị  C  tiếp xúc với đƣờng thẳng
đồ thị hàm số y  f   x  cho bởi hình vẽ dƣới đây:

y  4 tại điểm có ho nh độ âm và

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  và trục hoành.
A. S  9 .

B. S 

27
.
4

C.

21
.
4

D.

5
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Từ đồ thị suy ra f   x   3 x  3 .
2

f  x    f   x  dx    3x2  3 dx  x3  3x  C .

 C  tiếp xúc với đƣờng thẳng
f   x0   0  3x02  3  0  x0  1.

y  4 tại điểm có ho nh độ x0 âm nên

Do

Suy ra f  1  4  C  2   C  : y  x  3 x  2
3

 x  2
.
x 1

Xét phƣơng trình x  3 x  2  0  
3

 x
1

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

3

2

 3x  2  dx 

27
.
4

Câu 22: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho y  f  x  là hàm số chẵn, có đạo h m trên đoạn 6;6. Biết rằng
2



f  x  dx  8 và

1

A. I  11.

3



f  2 x  dx  3 . Tính I 

6

 f  x  dx

1

1

B. I  5.

C. I  2.

D. I  14.

Hướng dẫn giải

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


Chọn D.
a

Vì f  x  là hàm số chẵn nên



a

3


1

2

2

1

1

f  x  dx  0   f  x  dx   f  x  dx  8

3

f  2 x  dx   f  2 x  dx  3
1

3

Xét tích phân K   f  2 x  dx  3
1

Đặt u  2 x  du  2dx  dx 

du
2

Đổi cận: x  1  u  2; x  3  u  6 .
6

K

6

6

1
1
f  u  du   f  x  dx  3   f  x  dx  6

22
22
2
6

6

2

6

1

1

1

2

Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8  6  14.
Câu 23: (SỞ GD HÀ NỘI) Biết rằng
A. T  6.

1

 3e

13 x

0

dx 

a 2 b
e  e  c  a, b, c 
5
3

B. T  9.

C. T  10.

 . Tính T  a 

b c
 .
2 3

D. T  5.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đặt t  1  3x  t 2  1  3x  2tdt  3dx
Đổi cận: + x  0  t  1
+ x 1 t  2
1

  3e
0

13 x

2



2

 

dx 2 tet dt 2 tet   et dt  2 tet  et
1

2

1

1

2

2

1

1

  2 2e  e  e  e  2e .
2

2

2

a  10

 T  10 nên câu C đúng.
b  c  0
Câu 24: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Gọi D là diện tích
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  : y  f  x  , trục ho nh, hai đƣờng thẳng x  a ,
x  b (nhƣ hình vẽ dƣới đây).


Giả sử S D là diện tích hình phẳng D . Chọn công thức đúng trong các phƣơng án A, B,
C, D cho dƣới đây?
0

b

a

0

0

b

a

0

A. S D   f  x  dx   f  x  dx .

0

b

a

0

B. S D    f  x  dx   f  x  dx .

C. S D   f  x  dx   f  x  dx .

0

b

a

0

D. S D    f  x  dx   f  x  dx .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
+ Nhìn đồ thị ta thấy:


Đồ thị (C) cắt trục hoành tại O  0;0 



Trên đoạn  a; 0  , đồ thị (C) ở dƣới trục hoành nên f  x    f  x 



Trên đoạn  0;b  , đồ thị  C  ở trên trục hoành nên f  x   f  x 
b

0

b

0

b

a

a

0

a

0

+ Do đó: S D   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
5

Câu 25: (CHUYÊN HÙNG VƢƠNG – GL) Biết I  
1

các số nguyên. Tính S  a  b.
A. S  9.
B. S  11.

2 x  2 1
dx  4  a ln 2  b ln 5 , với a , b là
x

C. S  5.

D. S  3.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
5

Ta có: I  
1

2
5

2 x  2 1
2 x  2 1
2 x  2 1
dx  
dx  
dx
x
x
x
1
2

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


2


1

5
2 5  2x
5 2x  3
22  x 1
2  x  2 1
dx  
dx  
dx  
dx

1
2
x
x
x
x
2

2 5
5
2
5
3

    x  dx    2   dx   5ln x  x    2 x  3ln x 
1
2
1
2
x
x



a  8
 a  b  11.
 8ln 2  3ln 5  4  
b  3
4

Câu 26: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Biết I   x ln  2 x  1 dx 
0

a
ln 3  c, trong đó a, b, c là các số
b

b
nguyên dƣơng v
là phân số tối giản. Tính S  a  b  c.
c
A. S  60.
B. S  70.
C. S  72.

D. S  68.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
4

Ta có I   x ln  2 x  1 dx
0

2

du 
dx



u  ln  2 x  1 
2x 1
Đặt 

2

dv  xdx
v  x


2
4
x 2 ln  2 x  1
x2
I   x ln  2 x  1 dx 

dx
2
2
x

1
0
0
0
4

4

4

x 1

 x2 1

1
1
63
 8ln 9     
dx

16ln
3


  x  ln 2 x  1   ln 3  3
2 4 4  2 x  1 
8
 4 4
0 4
0
a  63
a
63

 ln 3  c  ln 3  3  b  4  S  70 .
b
4
c  3


4

Câu 27: (PHAN ĐÌNH PHÙNG – HN) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đƣờng y  x 2  1 và

y  k ,0  k  1. Tìm k để diện tích của hình phẳng  H  gấp hai lần diện tích hình phẳng
đƣợc kẻ sọc trong hình vẽ bên.
A. k  3 4.
B. k  3 2  1.

1
C. k  .
2
D. k  3 4  1.
Hướng dẫn giải


Chọn D.
Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  1  x 2 , y  k , x  0 bằng diện tích hình phẳng giới
hạn bởi : y  1  x2 , y  x2 1, y  k , x  0.

1 k

 1  x
0

2

 k dx 

1 k

1

  k  1  x dx    k  x
2

1 k

2

 1dx  1  k  1  k 

1

1
1  k  1  k
3

1
1
1
1
  1  k   1  k  1  k  1  k  1  k  1  k  1  k  1  k  1  k  1  k  
3
3
3
3



2
4
1  k  1  k  
3
3



1 k



3

 2  k  3 4  1.

Câu 28: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị y  f ( x) cắt trục Ox tại ba
điểm có ho nh độ a  b  c nhƣ hình vẽ. Mệnh đề n o dƣới đây l đúng?
A. f (c)  f (a)  f (b).
B. f (c)  f (b)  f (a).
C. f (a)  f (b)  f (c).
D. f (b)  f (a)  f (c).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đồ thị của hàm số y  f ( x) liên tục trên các
đoạn  a; b  và b; c  , lại có f ( x) là một
nguyên hàm của f ( x) .

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề

10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


 y  f ( x )
y  0

Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng: 
là:
x  a
 x  b
b

S1  
a

b

f ( x)dx    f ( x)dx   f  x  a  f  a   f b  .
b

a

Vì S1  0  f  a   f  b  1
 y  f ( x )
y  0

Tƣơng tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng: 
là:
x


b

 x  c
c

c

b

b

S2   f ( x)dx   f ( x)dx  f  x  b  f  c   f  b  .
c

S2  0  f  c   f  b   2  .

Mặt

khác,

dựa

vào

hình

vẽ

ta

có:

S1  S 2  f  a   f  b   f  c   f  b   f  a   f  c   3  .

Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A.
(có thể so sánh f  a  với f  b  dựa vào dấu của f ( x) trên đoạn  a; b  và so sánh f  b 
với f  c  dựa vào dấu của f ( x) trên đoạn b; c  ).
Câu 29: Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 3 quay xung quanh cạnh AC của nó. Tính
thể tích V của khối tròn xoay đƣợc tạo thành.
A.V

B.V

2 .

.

C.V

7
.
4

Hướng dẫn giải
Đáp án A

SABC

3

AB

BC

2 . Chọn hệ trục vuông góc Oxy

CA

sao choO 0;0 , A 1;0 , B 0;

3

với O

Phƣơng trình đƣờng thẳng AB là y

l

trung điểm AC .

3 x

1 , thể tích khối

tròn xoay khi quay ABO quanh trục AC (trùng Ox ) tính bởi

D.V

7
.

8


1

V

3 x

. Vậy thể tích cần tìm V

1 dx

2V

2 .

0

2

2x 1.cos x
dx
1 2x

Câu 30: Trong các số dƣới đây, số nào ghi giá trị của
2

A.

1
.
2

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
2

2

2x 1 cos x
dx
1 2x

Ta có:

2

2x cos x
2x .2

1

0

dx
0

2x cos x
2x .2

1

dx 1

2

Đặt x
2

0

t ta có x
2

2x cos x
x

1

0 thì t

2 .2

dx
0

0, x

2 t cos
1

2

t
t

.2

2

thì t
2

d

t
0

2

và dx

cos t

t

1

2 .2

dt

2

dt
0

cos x
1

2x .2

dx

Thay vào (1) có
2

2x 1 cos x
dx
1 2x

2

0

2x cos x
2x .2

1

2

dx
0

cos x
1

2x .2

dx

2

2

2x cos x

1
1

0

2

Vậy

x

2 .2

2

dx

2x 1 cosx
dx
1 2x

0

cos x
dx
2

sin x
2

2

0

1
2

1
2

2

Câu 31: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3
3

thỏa:   f  x   3g  x   dx  10 .
1

A. 8.

B. 9.

3

 2 f  x   g  x  dx  6 . Tính
1

C. 6.

3

  f  x   g  x  dx .
1

D. 7.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


3

3

3

  f  x   3g  x  dx  10   f  x  dx  3 g  x  dx  10 .

 Ta có

1

1

1

3

3

3

1

1

1

 Tƣơng tự   2 f  x   g  x   dx  6  2 f  x  dx   g  x  dx  6 .
3
3
u  3v  10
u  4

 Xét hệ phƣơng trình 
, trong đó u   f  x  dx , v   g  x  dx .
2u  v  6
v  2
1
1

3

3

3

1

1

1

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  4  2  6 .

 Khi đó

Câu 32: (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Thể tích V của khối tròn xoay đƣợc sinh ra khi quay hình
phẳng giới hạn bởi đƣờng tròn (C) : x2  ( y  3)2  1 xung quanh trục ho nh l
B. V  6 3 .

A. V  6 .

C. V  3 2 .

D. V  6 2 .

Hướng dẫn giải
ChọnD.

x2  ( y  3)2  1  y  3  1  x2 .




V     3  1  x2
1 
1

 
2

 3  1  x2



2


2
 dx  12  1  x dx .
1
1



 x  1  t  2
Đặt x  sin t  dx  cos t.dt . Với 
.
 x  11  t   

2


 V  12

2







1  sin 2 t .cos tdt  12

2

 cos



2

2

tdt  6 2 .

2

Câu 33: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho  E  có phƣơng trình

x2
2



y2
2

 1,  a, b  0  v đƣờng tròn  C  : x 2  y 2  7. Để diện tích elip  E  gấp 7 lần

a

b
diện tích hình tròn  C  khi đó
A. ab  7 .

B. ab  7 7 .

C. ab  7 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.

x2
a

2



y2
b

2

 1,  a, b  0   y 

b 2 2
a x .
a

b a2  x 2 dx

b
Diện tích  E  là S E  4 
 4  a2  x 2 dx
a
a0
0
a

a

  
Đặt x  a sin t , t    ;   dx  a cos tdt .
 2 2

D. ab  49 .


Đổi cận: x  0  t  0; x  a  t 
a


2

a

b
S E  4  a2 .cos2 tdt  2ab  1+cos2t  dt   ab
a0
0
Mà ta có S C   π.R 2  7π.

Theo giả thiết ta có S E  7.SC    ab  49  ab  49.
1

Câu 34: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Giả sử tích phân

 x.ln  2 x  1
0

b
tối giản. Lúc đó
c
A. b  c  6057.
B. b  c  6059.

2017

b
dx  a  ln 3 . Với phân
c

số

C. b  c  6058.

D. b  c  6056.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
1

Ta có I   x.ln  2 x  1
0

1

2017

dx  2017  x.ln  2 x  1 dx .
0

2

du 
dx
u  ln  2 x  1 
2x 1

Đặt 
2
dv  xdx
v  x  1

2 8
1

1
  x2 1  2 
 x2 1 
Do đó  x.ln  2 x  1 dx   ln  2 x  1          
 dx

 2 8  0 0   2 8  2x 1 
0
1

1

 x2  x 
3
3
 ln 3  
  ln 3
8
 4 0 8
1

 I   x.ln  2 x  1

2017

0

3
 6051
dx  2017  ln 3  
ln 3.
8
8


Khi đó b  c  6059.

Câu 35: (NGÔ QUYỀN – HP) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng
1
2my  x2 , mx  y 2 ,  m  0  . Tìm giá trị của m để S  3 .
2
3
1
A. m  .
B. m  2.
C. m  3.
D. m  .
2
2
Hướng dẫn giải

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


Chọn A.
Ta có 2my  x 2  y 

và mx 

1 2
x  0 (do m  0 ).
2m

 y  2mx  0
1 2
.

y  y 2  2mx  
2
y


2
mx

0


Xét phƣơng trình ho nh độ giao điểm của 2my  x2 và mx 

1 2
y ta có
2

x  0
1 2
.
x  2mx  x 2  2m 2mx  x 4  8m3 x  0  
2m
 x  2m
2m

Khi đó S 


0

1 2
x  2mx dx 
2m

1 x 3 2 2m

. 
x x
2m 3
3
Để S  3 

2m

0

2m

 1

  2m x
0

2


 2mx  dx


4m 2

.

3

4m 2
9
3
 3  m2   m  (do m  0 ).
3
4
2

Câu 36: (CHUYÊN KHTN L4) Gọi  H  là phần giao của
1
hình trụ có bán kính a , hai trục hình
4
trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính
thể tích của  H  .

hai khối

A. V H 

2a 3
.

3

C. V H  

B. V H 

a3
.
2

3a 3
.

4

D. V H  

 a3
4

.

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A.
Ta gọi trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ. Khi đó phần giao  H  là một vật thể có đáy l một
phần tƣ hình tròn tâm O bán kính a , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một
2
2
hình vuông có diện tích S  x   a  x

Thể tích khối  H  là

a

a

0

0

2
2
 S  x  dx    a  x dx 

2a 3
.
3


2

Câu 37: (CHUYÊN KHTN L4) Với các số nguyên a, b thỏa mãn

3

  2 x  1 ln xdx  a  2  ln b .
1

Tính tổng P  a  b .
A. P  27 .

B. P  28 .

C. P  60 .

D. P  61 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

u  ln x
Đặt 
ta có

dv   2 x  1 dx
2

1

du  dx
x

v  x 2  x

2

2
2
2
  2 x  1 ln xdx   x  x  ln x 1    x  x  .
1

1

1
dx
x

 x2

3
3

 6 ln 2    x  1 dx  6 ln 2    x  12  6 ln 2   4    4   ln 64
2
2

 2

1
2

P  a  b  4  64  60 .
Câu 38: (CHUYÊN VINH – L2)Trong Công viên Toán học có những
mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh đƣợc
trồng một lo i hoa v nó đƣợc tạo thành bởi một trong
những đƣờng cong đẹp trong toán học. Ở đó có một
mảnh đất mang tên Bernoulli, nó đƣợc tạo thành từ
đƣờng Lemmiscate có phƣơng trình trong hệ tọa độ Oxy

y

là 16 y 2  x 2  25  x 2  nhƣ hình vẽ bên.

Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy
tƣơng ứng với chiều dài 1 mét.
125 2
125
250
125
m 
m2 
m2 
A. S 
B. S 
C. S 
D. S 



 m2 
6
4
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn D.

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55

x

Vì tính đối xứng trụ nên diện tích của mảnh đất tƣơng ứng với 4 lần diện tích của
mảnh đất thuộc góc phần tƣ thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy .

1
Từ giả thuyết bài toán, ta có y   x 5  x 2 .
4
Góc phần tƣ thứ nhất y 

1
x 25  x 2 ; x   0;5
4

5

Nên S( I ) 

1
125
125 3
x 25  x 2 dx 
S 
(m )

40
12
3

Câu 39: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi V là thể tích khối tròn y
xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đƣờng y  x , y  0 và x  4 quanh trục Ox . Đƣờng

M

thẳng x  a  0  a  4  cắt đồ thị hàm y  x tại M

a
(hình vẽ bên). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo O
K
thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox . Biết rằng V  2V1 . Khi đó
5
A. a  2 .
B. a  2 2 .
C. a  .
D. a  3 .
2

H
4

x

Hướng dẫn giải
Chọn D.
4

Ta có

x  0  x  0 . Khi đó V    xdx  8



Ta có M a; a

0



Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy:
 Hình nón  N1  có đỉnh là O , chiều cao h1  OK  a , bán kính đáy R  MK  a ;
 Hình nón

 N2 

thứ 2 có đỉnh là H , chiều cao h2  HK  4  a , bán kính đáy

R  MK  a
1
1
4
Khi đó V1   R 2 h 1   R 2 h 2   a
3
3
3
4
Theo đề bài V  2V1  8  2.  a  a  3 .
3
Câu 40: (CHUYÊN VINH – L2)Gọi  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:

y  x2  4x  4 , trục tung và trục ho nh. Xác định k để đƣờng thẳng  d  đi qua điểm
A  0; 4  có hệ số góc k chia  H  thành hai phần có diện tích bằng nhau.

A. k  4 .

B. k  8 .

C. k  6 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.

D. k  2 .


Phƣơng trình ho nh độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x2  4 x  4 và trục hoành là:

x2  4 x  4  0  x  2 .
Diện tích hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số: y  x2  4 x  4 , trục tung và trục
2

 x3

8
hoành là: S   x  4 x  4 dx    x  4 x  4  dx    2 x 2  4 x   .
3
0 3
0
0
2

2

2

2

Phƣơng trình đƣờng thẳng  d  đi qua điểm A  0;4 

y

có hệ số góc k có dạng: y  kx  4 .

4

 4 
Gọi B l giao điểm của  d  và trục ho nh. Khi đó B  ;0  .
 k 

Đƣờng thẳng  d  chia  H  thành hai phần có diện tích
bằng nhau khi B  OI và SOAB 

1
4
S .
2
3

x

O B1 I
d

4

0
2

k  2

k


 k  6 .
1
1

4
4
k


6

S
OA.OB  .4. 
OAB 

2
2
k 3


Câu 41: (CHUYÊN
6 2
3


1

TUYÊN

QUANG

–L1)

Tính

tích

phân

4 x 4  x 2  3
2
dx 
a 3  b  c  4 . Với a , b , c l các số nguyên. Khi đó
4
x 1
8





biểu thức a  b2  c4 có giá trị bằng
A. 20 .
B. 241 .

C. 196 .

D. 48 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
6 2
2

Ta có


1

4 x  x  3
dx 
x4  1
4

Tính I  4

6 2
2



2

dx  4 x 1

6 2
2

6 2
2


1


x 1 
 4  4
 dx  4
x 1 

2

6 2
2



dx 

1

6 2
2


1

x2  1
dx  I  J .
x4  1

 2 6  2 2  4 .

1

Tính J 

6 2
2


1

x 1
dx 
x4  1
2

6 2

2


1

1
x 2 dx 
1
x2  2
x
1

6 2
2


1

1
x2
dx.
2
1

x  2
x

1

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề

10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55


x  1  t  0
1
1 

Đặt t  x   dt  1  2  dx . Khi 
.
6 2
x
 x 
t  2
x 

2
2

Khi

J

đó


0

dt

t2 

 

.

2

Đặt

2

t  2 tan u  dt  2 1  tan 2 u  du .

Khi

t  0  u  0


.
t

2

u


4

4

Suy ra J  
0

6 2
2

Vậy


1



2 1  tan 2 u 



24
2 4
2
du

du

u 
.

2
2 0
2 0

8
2 1  tan u 

a  b  16
4 x 4  x 2  3
2
.
dx 
16 3  16    4  
4
x 1
8
c  1





Vậy a  b2  c4  241 .
Câu 42: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu  S1  ,  S 2  có cùng bán kính R thỏa mãn

tính chất: tâm của  S1  thuộc  S 2  và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của
hai khối cầu tạo bởi (S1 ) và ( S2 ) .
A. V   R3 .

B. V 

 R3
2

C. V 

.

5 R3
.
12

Hướng dẫn giải

D. V 

2 R 3
.
5

y

(C ) : x 2  y 2  R 2

Chọn C
Gắn hệ trục Oxy như hình vẽ
Khối cầu S  O, R  chứa một đường tròn lớn

O

R
2

R

là

 C  : x2  y 2  R2
Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là
R

V  2 
R
2



R

 2
x3 
5 R3
.
R  x dx  2  R x   
3 R
12

2

2



2

Câu 43: `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số y  x4  3x2  m có đồ thị  Cm  với m là tham

số thực. Giả sử  Cm  cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :

x


y

 Cm 

S3
O

S1

x

S2

Gọi S1 , S2 và S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để
S1  S2  S3 .
5
2

5
4

A. m   .

5
2

B. m   .

C. m  .

5
4

D. m  .

Hướng dẫn giải
Chọn D
Giả sử x  b là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x 4  3x 2  m  0 . Khi đó ta
có
b 4  3b 2  m  0 (1)

Nếu xảy ra S1  S2  S3 thì
b

x
0

4



 3x 2  m dx  0 

b5
b4
 b3  mb  0   b 2  m  0 (2)  do b  0 
5
5

Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta được

4 4
5
b  2b2  0  b2  (do b  0) .
5
2
5
4

Thay trở ngược vào (1) ta được m  .

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (đề 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên đề
10-11-12, đề thi thử 2018, sách word) -L/H tư vấn: 016338.222.55