Chương III. §2. Phương trình đường tròn

ĐỊNH NGHĨA ÑÖÔØNG TROØN?

M

I

I cố định
MI không đổi


Để kiểm tra một điểm nào đó thuộc đường tròn hay không
cần phải làm gì?

Tính khoảng cách từ điểm đó đến tâm đường tròn.
Nếu khoảng cách bằng bán kính thì điểm đó thuộc đường tròn.


Cho đường tròn (C) có tâm I(2;3), bán kính bằng 5.
Điểm nào sau đây thuộc (C) ?
A(-4;5),

D(-1;-1),

B(-2;0),

E(3;2)

w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
` a
IA = p 40 > R [ A 2
6C

y
A

I

3

B

IB = 5 = R [ B 2 C

E

O
D

` a

5

2

x

` a

ID = 5 = R [ D 2 C

w
w
w
w
w
` a
IE = p 2 < R [ E 26 C


Điều kiện cần và đủ để điểm M(x ; y) thuộc

y
M (x;y)

đường tròn (C) tâm I(2;3) bán kính R=5 ?

` a

M 2 C ^ IM = R = 5
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
b
c2
`
a
2
^ IM = s x @2 + y @3

^ IM

2

`

5

I

a2 b

c2

= x @2 + y @3

3
2
O

x


§6. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Với
tâmtròn
I(a;b)
1. đường
Phươngtròn
trình(C)
đường
tâm ,vàbán
bánkính

kính R,
chođiểm
trước:M(x;y) thuộc đường tròn (C) khi nào ?
y
- Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b)
, bán kính R, điểm M(x;y)
I

2 2
M(x;y) thuộc (C) IM=R IM =R

M(x;y)

2
2 2
 (x-a) +(y-b) =R

2
2 2
*Phương trình (x-a) +(y-b) =R (1)
được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R

R

O

x


Theo phương trình:

2
2
2
(x-a) + (y-b) =R
thì để viết phương trình đường tròn ta phải biết các yếu tố nào?

Ta cần biết toạ độ tâm I (a; b) và bán kính R của đường tròn đó


CÁC VÍ DỤ:
VD1:
a)Viết phương trình đường tròn tâm I(2,3) bán kính R=5.
GIẢI
2
2
a) Phương trình đường tròn có tâm I(2;3) bán kính R=5 là: (x-2) + (y-3) = 25


b)Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3;4).Viết phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính

GIẢI

Đường tròn nhận AB làm đường kính vậy tâm đường tròn là trung điểm I
của AB
và bán kính đường tròn là

Đường tròn (C) nhận AB làm đường kính.
Vậy tâm của đường tròn nằm ở đâu, bán
kính được xác định như thế nào ?

AB
R=
2
A

I

B


X
^
xfffffffffffffffffffffff
+ x B 3ffffffffffffffff
@3
^
A
^
^
^
=
=0
\ xI =

b

c

2
2

[ I 0;0
^
yfffffffffffffffffffffffff
+ y B @4
+
4
^
fffffffffffffffffffffff
A
^
^
=
=0
^
Z yI =
2
2
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
`
a2 `
a2
q
AB = x B @x A + y B @y A
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
`
a
`
a
2
2
q
= @3 @3 + @4 @4 =
2

A

10 [

2

Vậy phương trình đường tròn là: x + y = 25

Hãy nhận xét toạ độ tâm I ở trên?

I

B

AB
fffffffffff
R=
=5
2


LƯU Ý

Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ

y

O(0;0), bán kính R là:
R

O

2
2
x + y = R2

x


VD2:

2
2
1.Biết đường tròn có phương trình (x-7) +(y+3) =4.
Hãy chọn trong các khẳng định sau khẳng định đúng
về tâm và bán kính của đường tròn đó :
a. Toạ độ tâm (-7;3) và bán kính bằng 4.
b. Toạ độ tâm (7;-3) và bán kính bằng 4.
C
c. Toạ
độ tâm (7;-3) và bán kính bằng 2

d. Toạ độ tâm (-7;3) và bán kính bằng 2


VD2:
2. Hãy nối mỗi dòng ở cột 1 đến một dòng ở cột 2 để được

một khẳng định đúng
Cột 2

Cột 1

Phương trình của đường tròn
a

1

2
2
(x-2) +(y+6) =1

bán kính
b

2
2
2 (x-1) + y = 25
2
2
3 (x+1) + y = 36
2
2
x
+(y+3)
=6
4

Tâm (0;-3)

Tâm (-1;0)
bán kính R=6

c

Tâm (2;-6)
bán kính R=1

d

Tâm (1;0)
bán kính R=5

R= 6


2) NHẬN XÉT:
Cho đường tròn ( C ) có phương trình
2
2
2
(x-a) + (y-b) =R

(1)

Phương trình đường tròn có dạng như phương trình (1) , phương trình
đường tròn còn có dạng nào khác nữa không?


⇔

Ta có:
(x-a)

^

x

^

x

2

x

2

2

+y

+ (y-b)

- 2ax + a

2

Đặt a

2

+y
+b

2

2

2

2

2

=R

2

2
2
2
+ y - 2by + b = R

- 2ax - 2by + a

–R

2

2

+b

2

2
-R =0
c

= c. Khi đó ta có phương trình

- 2ax - 2by + c = 0

Đây là dạng khác của phương trình đường tròn (C) ở trên

Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính

R

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
2
q
2
= a + b @c


?

Ngược lại cho phương trình:

2
2
x + y -2ax -2by + c = 0

(2)

Khi đó phương trình ( 2) có chắc chắn là phương trình của

một đường tròn nào đó không ?


2
2
x + y -2ax -2by + c =0

Xét PT:

?

(2)

2
2 2
2
2
2
(2) ⇔ x - 2ax + a - a + y - 2by + b – b + c = 0
⇔

(x - a)

2

+

(y - b)

2

2 2
= a +b -c

2
2
2
2
⇔ (x- a) + (y- b) = a + b - c

VT ≥ 0

2
2
2
VP > 0 ⇒(2) là phương trình đường tròn vì khi đó đặt a + b – c = R ta có phương
trình dạng:

2
2
VP= a + b – c < 0

VP = 0
⇒ Tồn tại một điểm M(a ; b)

VP > 0 ⇒(2) là phương trình

⇒2 (2) Vô nghĩa
2
2
mãn
đường
(x- a) + (y- b) = R là phương trình thỏa
đường
tròn tâm I(a; b) bán kính
R tròn


Kết luận:
1) Đường tròn tâm I (a; b) bán kính R có phương trình:
2
2

2
(x-a) + (y-b) =R
2
2
2
2
2
hoặc: x + y -2ax -2by + c =0 với c = a + b – R

2
2
2
2
2) Phương trình: x + y -2ax -2by + c =0 với điều kiện a + b – c > 0 là phương
trình đường tròn có:
+ Tâm I(a; b)
+ Bán kính

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
R = q a 2 + b 2 @c

2
2
2. Phương trình: x + y -2ax -2by + c = 0
2
2
với điều kiện a + b – c > 0
là phương trình đường tròn có:
+ Tâm I(a; b)
+ Bán kính

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
R = q a 2 + b 2 @c

2
2
Hãy nhận xét về hệ số của x và y trong phương trình (2) ở trên ?

2
2
Hệ số của x và y bằng nhau

-

Xác định a, b: lấy hệ số của x chia cho -2 được a, hệ số của y chia cho -2 được b

-

2
2
Kiểm tra điều kiện: Tính a + b – c

2
2
Nếu a + b – c > 0 thì (2) là PT đường tròn có tâm I(a; b) , bán kính

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w

R = q a 2 + b 2 @c

Nếu

thì PT đã cho không là PT đường tròn

2

a + b @c ≤ 0
2


Ví dụ
Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình
đường tròn xác định tâm và bán kính của đường tròn đó:

2
2
Nhóm 1: a) 2x +y -8x +2y -1 = 0

2
2
Nhóm 2: b) x + y + 2x -4y -4 =0
2
2
Nhóm 3: c) x + y -2x -6y +20 = 0
2
2
Nhóm 4: d) 2x +2y + 6x + 2y - 10 = 0

Nhóm 1:
2 2
2
2
a) 2x +y -8x +2y -1 = 0 không phải là PT đường tròn vì hệ số của x và y
không bằng nhau

Nhóm 2:

2
2
b) x + y + 2x -4y -4 =0 là PT đường tròn có tâm I(-1; 2) bán kính là R=3


nhóm 3
2
2
c) x + y -2x -6y +20 = 0
2
2
2
Không phải là PT đường tròn vì với a= 1, b=3, c=20 thì a + b – c =1 + 3 -20 =
-10<0
NHÓM 4:

2
2
d) 2x +2y + 6x + 2y - 10 = 0
2

2
⇔ x + y +3x +y -5 = 0 là PT đường tròn có tâm và bán kính là:
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
f
g
3ffff 1ffff
15
ffffff
s
I @ ;@ ; R =

2

2

2

2) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Cho điểm Mo(xo;yo) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a;b).

Mo

* I

Gọi

là tiếp tuyến với (C) tại M o

Ta có Mo thuộc

và vectơ

IMo=(xo-a;yo-b) là vectơ pháp tuyến của

Do đó

có phương trình

(xo-a)(x-xo) + (yo-b)(y-yo) = 0

2
2
2
Phương trình (3) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x-a) + (y-b) = R tại điểm Mo nằm trên
đường tròn

(3)


Ví dụ:
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;1) thuộc đường tròn (C) : (x -2)
=5

Giải

(C) Có tâm I(2;3) , vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại

M(1;1) là

(1-2)(x-1) +(1-3)(y-1) = 0

⇔- x - 2y +3 = 0

2

+(y-3)

2