Chuyen de toan 6

Chuyên đề 1
So sánh hai luỹ thừa
A. Mục tiêu.
- Khi học kiến thức về luỹ thừa với số mũ tự nhiên từ một trong loại bài tập
mà các em thờng gặp là so sánh hai luỹ thừa.
- Giáo viên cần bổ sung cho học sinh về kiến thức so sánh hai luỹ thừa.
- Từ đó học sinh vận dụng linh hoạt vào giải bài tập.
B. Nội dung chuyền đạt.
I. Kiến thức cơ bản.
1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc
cùng số mũ.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹu thừa nào có số mũ lớn
hơn sẽ lớn hơn.
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ
lớn hơn.
2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính
chất đơn điệu của phép nhân.
(a<b thì a.c<b.c với c>0).
Ví dụ: So sánh 32
10
và 16
15
, số nào lớn hơn.
Hớng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách
đa 32
10
và 16
15
về luỹ thừa cùng cơ số 2.
32

10
= (2
5
)
10
= 2
50
16
15
= (2
4
)
15
= 2
60
Vì 2
50
< 2
60
suy ra 32
10
< 16
15
.
II. áp dụng làm bài tập.
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
a) 27
11
và 81
8

. b) 625
5
và 125
7
c) 5
36
và 11
24
d) 3
2n
và 2
3n
(n N
*
)
Hớng dẫn:
a) Đa về cùng cơ số 3.
b) Đa về cùng cơ số 5.
c) Đa về cùng số mũ 12.
d) Đa về cùng số mũ n
Bài 2: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
a) 5
23
và 6.5
22

b) 7.2
13
và 2
16

c) 21
15
và 27
5
.49
8
Hớng dẫn:
a) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 5
22
.
Nếu m>n thì a
m
>a
n
(a>1).
Nếu a>b thì a
n
>b
n
( n>0).
b) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 2
13
.
c) Đa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
Bài 3: So sánh các số sau, số nào lớn hơn.
a) 199
20
và 2003
15
.

b) 3
39
và 11
21
.
Hớng dẫn :
a) 199
20
< 200
20
= (2
3
.5
2
)
20
= 2
60
. 5
40
.
2003
15
> 2000
15
= (2.10
3
)
15
= (2

4
. 5
3
)
15
= 2
60
.5
45

b) 3
39
<3
40
= (3
2
)
20
= 9
20
<11
21
.
Bài4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
72
45
-72
44
và 72
44

-72
43
.
Hớng dẫn:
72
45
-72
44
=72
45
(72-1)=72
45
.71.
72
44
-72
44
=72
44
(72-1)=72
44
.71.
Bài5:Tìm x
N

biết:
a, 16
x
<128
4.

b, 5
x
.5
x+1
.5
x+2


100...0:2
18.

Hớng dẫn:
a, Đa 2vế về cùng cơ số 2.


luỹ thừa nhỏ hơn

số mũ nhỏ hơn.
Từ đó tìm x.
b, Đa 2vế về cùng cơ số 5

x.
Bài6:Cho S=1+2+2
2
+2
3
+.....+2
9
.

Hãy so sánh S với 5.2
8
.
Hớng dẫn: 2S=2+2
2
+2
3
+2
4
+....+2
10
.


2S-S=2
10
-1(2
10
=2
2
.2
8
=4.2
8
<5.2
8
).
Bài7: Gọi m là các số có 9chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.
Hãy so sánh m với 10.9
8

.
Hớng dẫn:Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm triệu.
Có 9 cách chọn chữ số hàng chục triệu....


m=9.9.9.9.9.9.9.9.9=9
9
.
Mà 9
9
= 9.9
8


< 10.9
8
.
Vậy: m < 10.9
8
.
Bài8: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng3 chữ số1,2,3với điều kiện mỗi chữ số
dùng 1 lần và chỉ1 lần.
Hớng dẫn:Viết tất cả đợc bao nhiêu: +Trờng hợp không có luỹ thừa.
+Có dùng luỹ thừa.
+Xét luỹ thừa có:1chữ số.
2chữ số.
Hãy so sánh các số đó.
Số lớn nhất là 3
21
.

Bài9: So sánh a) 31
31
và 17
39
. b)
21
2
1
và
35
5
1

Hớng dẫn: a) 31
31
<32
31
=2
155
; 17
39
>16
39
= 2
156
.
b) So sánh 2
21
với 5
35

Chuyên đề 2:
Chữ số tận cùng của một tích,một luỹ thừa.
I.Đặt vấn đề.
- Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một
hay nhiều chữ số tận cùng của nó.Chẳng hạn, khi so số muốn biết có trúng những
giải cuối hay không ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng.Trong toán học,khi xét một
số có chia hết cho 2;4;8 hoặc chia hết cho 5;25;125 hay không ta chỉ cần xét 1,2,3
chữ số tận cùng của số đó.
- Trang bị cho học sinh những kiến thức tìm chữ số tận cùng của một tích, một
luỹ thừa.
- Học sinh nắm vững kiến thức này để áp dụng giải bài tập có liên quan.
II. Nội dung cần truyền đạt.
I.Kiến thức cơ bản.
1.Tìm chữ số tận cùng của tích.
- Tích các số lẻ là một số lẻ.
Đặc biệt tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số
tận cùng là 5.
- Tích của một số chẵn với bất kì một số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.
Đặc biệt, tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng
có chữ số tận cùng là 0.
2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa:chú ý đến những số đặc biệt.
a,Tìm một chữ số tận cùng.
-Các số có tận cùng là 0;1;5;6 nâng lên luỹ thừa nào(khác0) cũng tận cung bằng
.0 ; 1 ; 5 ; 6.
- Các số có tận cùng bằng 2 ; 4 ; 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì đợc có số tận cùng
bằng 6.
- Các số có tận cùng bằng 3 ; 7; 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì đợc số có tận cùng bằng
1.
b. Tìm hai chữ số tận cùng .
- Các số có tận cùng là 01 ; 25 ; 76 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0 ) cũng tận cùng

bằng 01 ; 25 ; 76 .
c. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên.
- Các số có tận cùng 001 ; 376 ; 625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận
cùng bằng 001 ; 376 ; 625.
- Số có chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận cùng
bằng 0625.
3. Một số chính phơng thì không có tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 ; 8.
II. áp dụng làm bài tập .
Bài1 : Chứng tỏ rằng các tổng sau chia hết cho 10.
a) 17
5
+ 24
4
- 13
21
.
b) 51
n
+ 47
102
.
Hớng dẫn: Chứng tỏ chữ số tận cùng của tổng bằng 0.
Bài2 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n :
a) 7
4n
- 1 chia hết cho 5.
b) 3
4n+1
+ 2 chia hết cho 5.

c) 2
4n+1
+ 3 chia hết cho 5.
d) 2
4n+2
+ 1 chia hết cho 5.
e) 9
2n+1
+ 1 chia hết cho 10.
Hớng dẫn : Chứng tỏ tổng a) , b) , c), d) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
Chứng tỏ tổng e) có chữ số tận cùng là 0.
Baì4: Tìm chữ số tận cùng của các sô sau:
7 5
6 7
a) 234
5
b) 579
6
Hớng dẫn: 7
5
6
là một số lẻ đều có dạng 2n + 1 (n

N
*
)
5
6
7
là một số chẵn có dạng 2n ( n

N
*
)
Bài5 : Tìm hai chữ số tận cùng của .
99
a) 51
51
b) 99
99
c) 6
666
d) 14
101
. 16
101
Hớng dẫn : đa về dạng (a
n
)
m
, trong đó a
n
có hai chữ số tận cùng là 01 hoặc 76 .
Bài 6: Tích của các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa
số ?
* Hớng dẫn : Dùng P
2
để loại trừ.
- Nếu tích là 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ số
tận cùng là 5 do đó tích phải có tận cùng là 5 , trái đề bài ,vậy thừa số của tích nhỏ

hơn 5.
- Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì hoặc tích có tận cùng bằng 5 hoặc tận cùng
bằng 9 , trái đề bài.
- Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng là 3 hoặc 5 hoặc 9 trái đề
bài.
Vậy tích đó chỉ có 3 thừa số ví dụ: (...9 ). ( ...1 ). (...3 ) = 7.
Bài 7: Tích A = 2.2
2
. 2
3
. ... . 2
10
x 5
2
. 5
4
. 5
6
. ... .5
14
tận cùng là bao nhiêu chữ số
0.
Hớng dẫn: Tích của 1 thừa số 2 và 1 thừa số 5 có tận cùng là 1 chữ số 0.
Bài 8: Cho S = 1 + 3
1
+3
2
+ 3
3
+...+ 3

30
.
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phơng.
Hớng dẫn: 2S = 3S - S =3
31
-1 =3
28
. 3
3
-1.
= ( 3
4
)
7
. 27 -1 = ...1. 27 -1 = ...6.


2S = ...6

S = ...3.
Số chính phơng không có tận cùng là 3

đpcm.
Bài 9: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 10 000, có bao nhiêu chữ số tận cùng bằng 1
mà viết đợc dới dạng 8
m
+5
n
(m,n

N
*
)?
Hớng dẫn: 5
n
có tận là 5 với n

N
*
.


8
m
có tận cùng là 6

m = 4k (k

N
*
).
Vì 8
5
> 10 000

m = 4.


các số phải đếm có dạng 8
4

+ 5
n
với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có 5 số.

Bài10: Có số tự nhiên n nào thoả mãn:
n
2
= 20072007... 2007không?
Hớng dẫn: n
2
= 20072007... 2006.
n
2
là số chính phơng có tận cùng là 6

2.


n
2


4. Mà 20072007... 2006 không chia hết cho 4 ( vì 06 không
chia hết cho 4).
Vậy không có số tự nhiên nào
Bài 11: Tìm 4 chữ số tận cùng của số:
A = 5
1994
.
Hớngdẫn: 5

4
= 0625 tận cùng là 0625
5
5
= 3125 tận cùng là 3125
5
6
tận cùng là 5625
5
7
tận cùng là 8125
5
8
tận cùng là 0625
5
9
tận cùng là 3125
5
10
tận cùng là 5625
5
11
tận cùng là 8125
5
12
tận cùng là 0625
................................................
Chu kì của hiện tợng lặp lại là 4
Suy ra 5
4m

tận cùng là 0625

5
4m+2
tận cùnglà 5625
Mà 1994 có dạng 4m+2

5
1994
tận cùng là 5625
Bài 12: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n
5
là nh nhau.
Hớng dẫn: Cách 1: Xét chữ số tận cùng của n

chữ số tận cùng tơng ứng của
n
5
.
Cách2: Đa về chứng minh ( n
5
- n )

10
Biến đổi n
5
- n = n.(n-1).(n +1).(n
2+1
).

Bài tập giải tơng tự các bài tập trên:
Bài 13:Tìm chữ số cuối cùng của số:
9
a) A = 9
9
4
b) B = 2
3

Bài14: Tìm hai chữ tận cùng của số :
a) M = 2
999
b) N = 3
999
Bài 15: Cho số tự nhiên n .Chứng minh rằng :
a) Nếu n tận cùng bằng chữ số chẵn thì n và 6n có chữ số tận cùng nh
nhau
b) Nếu n tận cùng bằng chữ số lẻ khác 5 thì n
4
tận cùng bằng 1. Nếu n
tận cùng bằng chữ số chẵn khác 0 thì n
4
tận cùng bằng 6.