Hàm số Logarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (181 KB, 9 trang )
Hàm số Logarit
Bài 1: Chứng minh rằng
x
e
>
x
+
1
với
0
≠
x
Giải
Xét hàm số
( )
xf
=
x
e
-
1
-
x
liên tục và khả vi với mọi
0
≠
x
( )
xf
,
=
x
e
-
1
,
( )
00
=
f
nếu
0>x
thì
( )
01
,
>−=
x
exf
⇔
( )
xf
đồng biến
⇔
( )
xf
>
( )
0f
⇔
x
e
- 1 -
x
> 0
⇔
x
e
>
x
+
1
(1)
Nếu
0<x
thì
( )
01
,
<−=
x
exf
⇔
( )
xf
nghịch biến
⇔
( )
xf
>
( )
0f
⇔
x
e
-1-
x
> 0
⇔
x
e
>
x
+
1
(2)
Từ (1),(2)
⇒
x
e
>
x
+
1
với
0
≠
x
đpcm.
Bài 2 : ( ĐH Kiến Trúc Hà Nội )
Chứng minh rằng bất đẳng
2
1
2
x
xe
x
++>
đúng với mọi
0>x
Giải
Yêu cầu bài toán
⇔
x
ex
x
−++
1
2
2
< 0
0
>∀
x
Xét
( )
x
ex
x
xf −++= 1
2
2
.Ta có
( )
xf
,
=
x
ex
−+
1
,
( )
01
,,
<−=
x
exf
0
>∀
x
Do đó
( )
xf
,
nghịch biến trong
( )
+∞∈∀
;0x
⇔
( )
xf
,
<
( )
0
,
f
=0 với
( )
+∞∈∀
;0x
⇒
( )
xf
nghịch biến trong
( )
+∞∈∀
;0x
⇔
( )
xf
<
( )
00
=
f
0
>∀
x
⇔
x
ex
x
−++
1
2
2
<0 hay
2
1
2
x
xe
x
++>
với
0
>∀
x
đpcm.
Bài 3: Chứng minh rằng
6
3
x
x
−
<
xx <sin
với
0>x
Giải
Ta hướng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức
⇔
chứng minh
<
−>
xx
x
xx
sin
6
sin
3
với
0
>
x
Ta chứng minh
xx
<
sin
với
0
>
x
Xét
( )
xf
=
xsin
-
x
,
( )
00
=
f
⇒
( )
xf
,
=
1cos
−
x
<0
⇔
( )
xf
nghịch biến
⇔
( )
xf
<
( )
0f
với
0
>
x
⇔
xsin
-
x
<o
⇔
xx
<
sin
(1)
Ta chứng minh
6
3
x
x
−
<
xsin
Xét
( )
6
sin
3
x
xxxf
+−=
⇒
( )
xf
,
=
2
1cos
2
x
x
+−
=
( )
xg
⇒
( )
0sin
,
>+−=
xxxg
với mọi
x
>0
⇔
( )
xg
đồng biến
⇔
( )
xg
>
( )
0g
=0
với
0
>
x
hay
( )
xf
,
>0 với
0
>
x
⇔
( )
xf
đồng biến
⇔
( )
xf
>
( )
0f
=0 với
0
>
x
⇔
0
6
sin
3
>+−
x
xx
⇔
6
3
x
x
−
<
xsin
với
0>x
(2)
Từ (1),(2)
⇒
6
3
x
x
−
<
xx <sin
với
0>x
đpcm.
Bài 4: Chứng minh rằng
xx tansin
22
+
≥
1
2
+
x
với
2
0
π
<<
x
Giải
áp dụng bất đẳng thức côsi:
xx tansin
22
+
≥
xx tansin
2.2.2
=
1
2
tansin
2
tansin
22.2
+
++
=
xxxx
⇔
xx tansin
22
+
≥
1
2
tansin
2
+
+
xx
Yêu cầu bài toán
⇔
Việc chứng minh
1
1
2
tansin
22
+
+
+
≥
x
xx
⇔
11
2
tansin
+≥+
+
x
xx
⇔
xxx 2tansin ≥+
với
2
0
π
<<
x
xét hàm số
( )
xf
=
xxx 2tansin
−+
với
2
0
π
<<
x
,
( )
00
=
f
⇒
( )
xf
,
=
2
cos
1
cos2
cos
1
cos
2
2
2
−+>−+
x
x
x
x
icos
≥
2.
cos
1
.cos.2
2
2
−
x
x
0
=
(vì
xx
2
coscos >
với
2
0
π
<<
x
)
⇔
( )
0
,
≥
xf
⇔
( )
xf
đồng biến
⇔
( )
xf
( )
0f
>
với
2
0
π
<<
x
⇔
( )
xf
=
02tansin
>−+
xxx
⇔
xxx 2tansin ≥+
hay
xx tansin
22
+
≥
1
2
+
x
với
2
0
π
<<
x
đpcm.
Bài 5: (ĐH Dược )
Với
2
0
π
<≤
x
, chứng minh rằng
1
2
3
tansin.2
222
+
>+
x
xx
Giải
Xét hàm số
( )
2
3
tan
2
1
sin
x
xxxf
−+=
với
2
π
<≤
xo
Ta có
( )
i
x
xx
x
xxf
cos
22
,
2
3
cos.2
1
2
cos
2
cos
2
3
cos.2
1
cos
≥−++=−+=
0
2
3
.
cos
1
2
cos
2
cos
.3
3
2
=−
x
xx
⇒
( )
0
,
≥
xf
∈∀
2
;0
π
x
⇔
( )
xf
đồng biến trong
khoảng
2
;0
π
⇔
( )
xf
≥
( )
0f
⇔
0
2
3
tan
2
1
sin
≥−+
x
xx
∈∀
2
;0
π
x
⇔
2
.3
tan
2
1
sin
x
xx
≥+
∈∀
2
;0
π
x
. Đẳng thức xảy ra
⇔
0
=
x
Mà
2
3
tan
2
1
sin
tansin2tansin.2
2.22.222.222
x
xx
xxxx
≥=≥+
+
⇒
2
3
1
tansin2
222
x
xx
+
≥+
∈∀
2
;0
π
x
Đẳng thức chỉ xảy ra
⇔
{
0
tansin.2
=
=
x
xx
⇔
0
=
x
.Do đó
1
2
3
tansin.2
222
+
>+
x
xx
với
∈∀
2
;0
π
x
đpcm.
Bài 6 Cho
4
3
0
≤<
α
, Chứng minh rằng
3
1
.2
2
>+
α
α
Giải
Xét hàm số
( )
2
1
2
x
xxf
+=
trên
4
3
;0
,
18
59
4
3
=
f
Ta có
( )
( )
3
3
3
,
122
2
x
x
x
xf
−
=−=
<0 với
∀
∈
4
3
;0x
⇒
( )
xf
giảm trên
4
3
;0
⇔
( )
≥
4
3
fxf
,
∈∀
4
3
;0x
⇔
( )
≥
4
3
ff
α
,
∈∀
4
3
;0
α
⇔
3
18
591
2
2
>≥+
α
α
Hay
3
1
.2
2
>+
α
α
∈∀
4
3
;0
α
đpcm.
Bài 7: Chứng minh rằng với
10
3
+<<<
aba
thì
( )
( ) ( )
[ ]
( )
ba
baa
b
ba
baa
++
+++
<<
+
+
3
3
3
3
3
1.2
.211
.2
.2.
.
Giải
Xét hàm số
( )
( )
bx
bxx
xf
+
+
=
3
3
.2
.2
với
10
+<<<
axa
Ta có
( )
33
bbf
=
và
( )
( )
( )
0
.2
.2
2
3
2
3
,
≥
+
−
=
bx
bx
xf
⇒
( )
xf
đồng biến
⇔
( )
( )
( )
1
3
+<<
afbfaf
với
10
+<<<
axa
⇔
( )
( ) ( )
[ ]
( )
ba
baa
b
ba
baa
++
+++
<<
+
+
3
3
3
3
3
1.2
.211
.2
.2.
.
đpcm.
Bài 8: ( Đề thi thử ĐH Quảng Xương I)
Cho
2
0
π
<<<
ba
Chứng minh rằng
bbaa sin.sin.
−
>
( )
ab coscos.2
−
Giải
Yêu cầu bài toán
⇔
aaa cos2sin.
+
>
bbb cos.2sin.
+
Xét hàm số
( )
xf
=
xxx cos.2sin.
+
với 0<
2
π
<
x
( )
xxxxxf sin.2cos.sin
,
−+=
,
( )
00
,
=
f
( )
xxxxxxxxf sin.cos.2sin.coscos
,,
−=−−+=
(vì
2
0
π
<<
x
thì
0sin
>
x
) nên
( )
0
,,
<
xf
do đó
( )
0
,
<
xf
khi 0<
2
π
<
x
⇒
( )
xf
là hàm số giảm trên khoảng
2
;0
π
⇒
( ) ( )
bfaf
>
với 0
2
π
<<<
ba
⇔
aaa cos2sin.
+
>
bbb cos.2sin.
+
hay
bbaa sin.sin.
−
>
( )
ab coscos.2
−
đpcm.
Bài 9: Chứng minh rằng
0000
10tan.6tan.39tan.5tan.4
<
Giải
Xét hàm số
( )
x
x
xf
tan
=
với
4
0
π
<<
x
Ta có
( )
0
2cos.2
2sin.2
22
,
>
−
=
xx
xx
xf
( vì ta đã có
ααα
tansin
<<
nếu
2
0
π
α
<<
)
⇒
hàm số
( )
xf
là đồng biến trên
2
0
π
<<
x
với 5<6 thì
( )
5f
<
( )
6f
⇔
<
180
6
180
5
ππ
ff
, tức là
180
6
180
6
tan
180
5
180
5
tan
π
π
π
π
<
⇔
00
6tan.55tan.6
<
( 2)
chứng minh tương tự ta cũng có
00
10tan.99tan.10
<
(3)
Nhân từng vế (2) và (3) ta suy ra
0000
10tan.6tan.39tan.5tan.4
<
đpcm.
Bài 10: Cho
≥≥
yx
z>0 chứng minh
y
xz
x
zy
z
yx ...
222
++
222
zyx
++≥
Giải
Bất đẳng thức
⇔
≥
++
zyx
zxyzyx
..
...
323223
222
zyx
++
⇔
( )
222
323223
...
zyxxz
y
zxyzyx
++≥
++
⇔
++≥++
1..
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
y
z
y
x
y
z
y
x
y
x
y
z
y
z
y
x
đặt u=
y
x
, v =
y
z
ta có u
1
≥
0
>≥
v
nên bất đẳng thức có dạng
( )
1..
223223
++≥++ vuvuvuvu
⇔
( )
( )
01..1
22323
≥++−+−
vvvuvuvu
(2)
Nếu v=1 thì (2) có dạng
01.2
2
≥+−
uu
tức là (2) đúng
Nếu
10
<<
v
xét hàm số
( ) ( )
( )
22323
1..1 vvvuvuvuuf
++−+−=
với
1
≥
v
Ta có
( ) ( )
( )
232,
1..21.3 vvvuvuuf
+−+−=
( ) ( )
0.21.6
3,,
>+−=
vvuuf
(do
10 << v
và
1
≥
u
)
⇒
( )
uf
,
là hàm số đồng biến khi
1
≥
u
nên mọi
1
≥
u
ta có
( )
uf
,
≥
( )
1
'
f
mà
( )
1
'
f
=
)3)(1(3.4
23
−+−=+−
vvvvv
>0 nên
( )
uf
,
≥ 0 ⇔ f (u) là hàm số đồng biến khi u
≥ 1 Tức là ∀ ≥ 1 ta có f(u) ≥ f(1) = v
2
- 2v + 1 = (v- 1)
2
> 0
Vậy u
3
(1 - v) + u
2
v
2
- u
2
v
3
- uv (1 + v
2
) + v
2
≥ 0 ∀ ≥ 1 > v > 0
Hay
y
xz
x
zy
z
yx ...
222
++
222
zyx
++≥
với
0
>≥≥
zyx
đpcm.
Bài 11: Chứng minh
( )
xx
x
x
<+<−
1ln
2
2
với mọi
0>x
Giải
Ta chứng minh
( )
x
x
x
+<−
1ln
2
2
0
>∀
x
Xét
( )
xf
=
( )
0,
2
1ln
2
>+−+
x
x
xx
,
( )
xf
,
=
0,0
1
1
1
1
2
>>
+
=+−
+
x
x
x
x
x
Suy ra
( )
xf
đồng biến với mọi
0
>
x
⇔
( )
0
2
1ln
2
>+−+
x
xx
,
0>x
⇔
( )
x
x
x
+<−
1ln
2
2
với mọi
0>x
(1)
Ta chứng minh
( )
0,1ln
><+
xxx
Đặt g
( ) ( )
,1ln xxx
+−=
với
0
>
x
,
( )
og
=
0
⇒
( )
0
11
1
1
,
>
+
=
+
−=
x
x
x
xg
, khi
0>x
⇔
( )
0
>
xg
,
0
>∀
x
⇔
( )
,01ln
>+−
xx
khi
0>x
⇔
( )
xx
<+
1ln
, với
0
>
x
(2)
Từ (1),(2)
⇒
( )
x
x
x
+<−
1ln
2
2
<
x
,với mọi
0>x
đpcm.
Bài 12 Chứng minh rằng
x
x
xx
x
<
+
<−
1
2
2
với
0>x
Giải
Do
0
>
x
nên
x
x
xx
x
<
+
<−
1
2
2
⇔
1
1
1
2
1
<
+
<−
x
x
,
0
>∀
x
Hướng dẫn học sinh đưa về chứng minh
⇔
<
+
−>
+
1
1
1
2
1
1
1
x
x
x
Ta chứng minh
1
1
1
<
+
x
0
>∀
x
Vì
0>x
nên
11
>+
x
⇒
11
>+
x
⇒
1
1
1
<
+
x
(1)
Ta chứng minh
1
1
2
1
+
<−
x
x
0
>∀
x
Đặt
( )
1
2
1
1
−+
+
=
x
x
xg
0>x
,
( )
00
=
g
( )
( )
0
1
1
1
2
1
3
,
>
+
−=
x
xg
, với
0
>
x
⇒
hàm số đồng biến với
0
>
x
⇔
( ) ( )
00
=>
gxg
với
0
>∀
x
⇒
01
2
1
1
>−+
+
x
x
0
>∀
x
⇔
1
1
2
1
+
<−
x
x
0
>∀
x
Vậy
1
1
1
2
1
<
+
<−
x
x
⇔
x
x
xx
x
<
+
<−
1
2
2
,
0
>∀
x
đpcm.
Bài 13: Chứng minh rằng :
( )
2
2
2
4
1sin
π
−+≤
−
−
xx
với
2
0
π
<<
x
Giải
Yêu cầu bài toán
⇔
( )
2
2
2
4
1sin
π
−≤−
−
−
xx
Xét hàm số
( )
xf
=
( )
2
2
sin
−
−
−
xx
với
2
0
π
<<
x
.
Ta có
( )
xf
,
=-2
( )
0.2cos.sin
3
3
>+
−
−
xxx
với
2
0
π
<<
x
⇔
( )
xxx cos.sin.2.2
3
3
−
−
>
⇔
x
x
x
33
sin
cos1
>
do các vế đều dương
⇒
3
cos
sin
x
x
x
<
⇔
0
cos
sin
3
>−
x
x
x
⇔
( )
0cos.sin
3
1
>−
−
xxx
đặt
( )
xg
=
( )
xxx
−
−
3
1
cos.sin
,
⇒
( ) ( ) ( )
1sin.cos
3
1
cos
2
3
4
3
2
,
−+=
−
xxxxg
,
( )
00
,
=
g
⇒
( ) ( )
xxxg
2
3
2
,,
sin.cos
9
4
−
=
với
2
0
π
<<
x
⇒
( ) ( )
0
,,,,
gxg
>
= 0 với
2
0
π
<<
x
⇒
( )
xg
,
đồng biến
2
;0
π
⇒
( )
xg
,
>
( )
0
,
g
⇒
( )
xg
đồng biến
2
;0
π
.
⇒
( )
xg
>
( )
0g
⇒
( )
xf
đồng biến
2
;0
π
⇒
( )
xf
2
2
4
1
2
1
2
π
ππ
−=
−=
≤
−
f
với
∈∀
2
;0
π
x
Do đó
( )
2
2
sin
−
−
−
xx
2
4
1
π
−≤
Hay
( )
2
2
2
4
1sin
π
−+≤
−
−
xx
∈∀
2
;0
π
x
đpcm.
Bài 14: Cho a,b,c>0 và
1
222
=++
cba
chứng minh rằng
2
3.3
222222
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
(1)
Giải
Từ giả thiết
⇒
222
1 acb
−=+
,
222
1 bac
−=+
và
222
1 cba
−=+
thay vào (1) ta có
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
2
222222222
111111 cc
c
bb
b
aa
a
c
c
b
b
a
a
ba
c
ac
b
cb
a
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
+
+
+
+
+
≥
2
3.3
( do a, b ,c đều dương )
Xét hàm số
( ) ( )
xxxxxf
+−=−=
3
1
,
( )
1;0
∈
x
( )
1.3
2,
+−=
xxf
⇒
( )
xf
,
>0
∈∀
3
1
;0x
và
( )
xf
,
<0
∈∀
1;
3
1
x
⇒
0<
( )
xf
≤
3.3
2
3
1
=
f
⇒
( )
2
3.31
≥
xf
Do đó 0<
( )
33
2
1
2
≤−
aa
⇒
( )
2
33
1
1
2
≥
−
aa
⇒
( )
2
2
2
.
2
33
1
a
aa
a
≥
−
Tương tự
( )
2
2
2
.
2
3.3
1
b
bb
b
≥
−
( )
2
2
2
.
2
33
1
c
cc
c
≥
−
Do đó
2
33
222222
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
đpcm.
Bài 15: Cho
mn
yyyyxxxe
≤≤≤≤<≤≤≤≤
...........
32121
và
∑∑
==
≥
m
i
y
n
i
i
i
yx
11
chứng minh
∏∏
==
>
m
y
i
n
i
i
yx
11
