ĐỀ CƯƠNG ôn TUYỂN SINH 10

ĐỀ CƯƠNG ÔN TUYỂN SINH 10
CÂU 1 :CĂN THỨC BẬC HAI
Bài 1
a) Rút gọn biểu thức A = ( 20 − 45 + 3 5). 5
5

b).Rút gọn biểu thức : C =

(

)

20 − 3 + 45

c) Tính B = ( 3 − 1) 2 − 3
Bài 2: Giải phương trình : x ( x − 9) = 10
Bài 3: Thu gọn biểu thức sau:
A = 12 − 6 3 + 21 − 12 3
Bài 4: Chứng minh:
2

2


5 
3
5  2 + 3 + 3 − 5 −
+
2
−
3

+
3
+
5
−
÷

÷ = 10

2÷
2÷

 

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = -+
;
b) B = - ;
c) C = với x > 2
Bài 6:
Rút gọn biểu thức A = ( 10 − 2) 3 + 5
HƯỚNG DẪN :
A = ( 10 − 2) 3 + 5 = ( 5 − 1) 6 + 2 5 =
( 5 − 1) ( 5 + 1) 2 = ( 5 − 1)( 5 + 1) = 4
Bài 7:
Rút gọn biểu thức : A = (4 + 15)( 10 − 6). 4 − 15
Bài 8 :Tính giá trị của biểu thức: A = -

2 + ( 2 − 1) 2

BÀI 9
Giải các phương trình sau:
a / 9 x2 = 2 x + 1
b / x 2 + 6 x + 9 = 3x − 1
c / 1 − 4 x + 4x2 = 5
d / 4 x + 20 − 3 5 + x +

4
9 x + 45 = 6
3

e / x2 − 9 − 3 x − 3 = 0
BÀI 10 Cho biểu thức : P = (
a/ Rút gọn P
b/ Tính giá trị của x để P = -1

4 x
8x
x −1
2
+
):(
−
)
2+ x 4− x x−2 x
x


x+2
x 4

x :

Bi 11: Cho biu thc: P =
x +1
1 x
a) Rỳt gn biu thc P.
1
b) Tỡm x P <
2
c) Tỡm giỏ tr nh nht ca P.
BI 12
a2 + a
2a + a

+ 1 (a > 0)
Cho biu thc : P =
a a +1
a
a/ Rỳt gn P
b/ Tỡm giỏ tr nh nht ca P

x

x + 1

Bi 13:

x
2 x x 1
2

+
:

Cho biểu thức P =

x
3+ x 9 x x 3 x
a)Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
4
b) Tìm giá trị x để P =
3
Bi 14: Cho biu thc P =

1
1

1 Vi x 0, x 1 .
x 1
x +1

a) Rỳt gn P
b) Tỡm tt c cỏc s nguyờn x P l mt s nguyờn.
Bi 15: Cho biu thc : P = - + . (Vi b 0, b 4)
a. Rỳt gn biu thc P.
b. Tỡm b P = .
1 x 2
1
+
Bi 16: Cho biểu thức A =
ữ.

x 2
x
x +2
a) Tìm điều kiện xác định và rỳt gọn A.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để A >

1
2

c) Tìm tất cả các giá trị của x để B =

7
A đạt giá trị nguyên.
3



Bi 17: Rỳt gn biu thc: A = 1



(

1
ữ x+ x
x +1

)

( x 0)

Bi 18
x +4
. Tớnh giỏ tr ca A khi x = 36
x +2

x
4 x + 16
+
2) Rỳt gn biu thc B =
(vi x 0; x 16 )
ữ:
x 4ữ
x +4
x +2
1) Cho biu thc A =


3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1)
là số nguyên
CÂU 2 :HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ :
BÀI 1 : Xác định hàm số y = ax + b , biết đồ thị hàm số này song song với đường thẳng y = -2x và đi qua điểm
A( 1 ;2 ). Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
BÀI 2
Cho hàm số : y = mx – m + 2, có đồ thị là đường thẳng (dm).
1. Khi m = 1, vẽ đường thẳng (d1)
2. Tìm tọa độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) luôn đi qua với mọi giá trị của m.
BÀI 3 Cho hai hàm số y = 2x2 có đồ thị (P) và y = x + 3 có đồ thị (d).
a) Vẽ các đồ thị (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị (P) và (d) có hoành độ âm. Viết phương trình của đường thẳng (∆) đi

qua A và có hệ số góc bằng - 1.
c) Đường thẳng (∆) cắt trục tung tại C, cắt trục hoành tại D. Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại B. Tính tỉ số
diện tích của hai tam giác ABC và tam giác ABD
1
x2
BÀI 4 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = −
và đường thẳng (D): y = x − 1 trên cùng một hệ trục toạ độ.
2
2
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.
HƯỚNG DẪN:
b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là
2
−x
1
⇔ x = 1 hay x = −2
= x − 1 ⇔ x2 + x − 2 = 0
2
2
1

Vậy toạ độ giao điểm cảu (P) và (D) là  1; − ÷, ( −2; −2 ) .
2

BÀI 5 : Cho hàm số bậc nhất y = ax + 3 có đồ thị là đường thẳng (d)
a) Xác định hệ số a , biết đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3x .Vẽ (d) với hệ số a vừa tìm được.
b) Đường thẳng (d’) có dạng y = x + 1 cắt đường thẳng (d) ở câu a) tại điêm M .Xác định tọa độ điểm M.
BÀI 6: Tìm hàm số y = ax + b, biết đồ thị của nó đi qua hai điểm A(2; 5) và B(-2; -3)
BÀI 7
Biết rằng parabol y = ax2.đi qua A(2;2)

1) Tìm hệ số a.Vẽ parabol với hệ số a vừa tìm được.
2) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng
y = x + 4 với parabol. Tìm tọa độ của các điểm M và N.
BÀI 8
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) : y= x2
a) Vẽ đồ thi (P)
b) Chứng tỏ đường thẳng (d) : y= 2x +3 cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B .Viết phương trình đường trung
trực (d,) của đoạn thằng AB.
BÀI 9
a ) Xác định tham số m để hàm số y= (m2 -4)x -5 nghịch biến
b) Xác định tham số m để hàm số y= (m2 -1)x +2 đồng biến với mọi x>0.
HƯỚNG DẪN:
BÀI 10: Cho hàm số: y = -3x2 có đồ thị (P) .Trong các điểm sau điểm nào thuộc (P)?
A(1;3) ; B(1;2) ; C(-1; -3) ; D(-2;-12)
CÂU 3 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
C. Các công thức thường dùng
s
s
1. Gọi s là quãng đường đi được tương ứng với v là vận tốc và t là thời gian, ta có s = v.t ; v = ; t = .
t
v
2. Vận tốc chuyển động (v) của tàu, thuyền khi có sự tác động của dòng nước.
V xuôi dòng = V thực + V dòng nước ; V ngược dòng = V thực + V dòng nước


3. Gọi A là khối lượng công việc ứng với N là năng suất và T là thời gian, ta có A = N.T
4. Biểu diễn số :
ab = 10a + b ; abc = 100a + 10b + c (1 ≤ a ≤ 9;0 ≤ b, c ≤ 9; a, b, c ∈ N )
a.b
5. X bằng a% của b thì X =

100
6. Các công thức tính diện tích tam giác, hình vuông, hình chữ nhật và định lí Py-ta-go.
D. Các ví dụ minh họa.
* Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Ví dụ 1 : Tỉ số của hai số là 3 : 4. Nếu giảm số lớn đi 100 và tăng số nhỏ thêm 200 thì tỉ số mới là 5 : 3. Tìm
hai số đó.
Ví dụ 2 : Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng
thêm 100 m2. Nếu giảm chiều dài và chiếu rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68 m2. Tính diện tích của thửa ruộng đó.
4
Ví dụ 3 : Hai kho chứa 450 tấn hàng. Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thì số hàng kho II bằng
số
5
hàng kho I. Tính số hàng trong mỗi kho.
Vậy trong kho I có 300 tấn hàng, kho II có 150 tấn hàng.
Ví dụ 4 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 10 và nếu viết số đó theo thứ
tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị.
2
Ví dụ 5 : Một số tự nhiên có hai chữ số. Tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là . Nếu viết
3
thêm chữ số 1 xen vào giữa thì được số mới lớn hơn số đã cho là 370 đơn vị. Tìm số đã cho.
Ví dụ 6 : Hai công nhân cùng làm một công việc trong 8 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất là 5 giờ và người
thứ hai là 12 giờ thì chỉ hoàn thành 50% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong
bao lâu ?
Ví dụ 7 : Hai vòi nước chảy cùng vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi I
1
chảy trong 15 phút rồi khóa lại và mở vòi thứ II chảy trong 20 phút thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì
5
bao lâu đầy bể ?
Ví dụ 8 : Một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ca nô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì
thời gian rút ngắn được 2 giờ. Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng 3 giờ. Tính vận tốc và thời gian

dự định của ca nô.
* Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Ví dụ 1 : Quãng đường AB dài 120 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B, ô tô thứ nhất chạy
nhanh hơn ô tô thứ hai là 10 km/h nên đến B trước ô tô thứ hai 24 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Ví dụ 2 : Một người đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km, sau đó 1 giờ người thứ hai đi từ tỉnh B đến
tỉnh A, hai người gặp nhau tại địa điểm C cách B 36 km. Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc
gặp nhau, biết vận tố người thứ hai nhanh hơn vận tốc người thứ nhất là 4 km/h.
Ví dụ 3 : Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngược dòng trở lại 20km hết tổng cộng 5 giờ. Biết vận tốc của dòng
chảy là 2km/h. Tính vận tốc của ca nô lúc dòng nước yên lặng.
Ví dụ 4 : Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13cm và tổng hai cạnh góc vuông
bằng 17cm.
Ví dụ 5 : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. người ta làm một lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất
vườn ) rộng 2m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m 2 . Tính kích thước ( các cạnh ) của khu vườn đó.
Ví dụ 6 : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 220m. nếu giảm chiều dài 20%, tăng chiều rộng lên 30% thì
diện tích của khu vườn tăng lên 112 m 2 . Tính chiều dài và chiều rộng cùa khu vườn đó.
Ví dụ 7 : Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công. Hãy tính số công nhân của
đội, biết rằng nếu đội tăng lên 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.
Ví dụ 8 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 2 giờ 6 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì
vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 4 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mõi vòi chảy bao lâu đầy bể ?
Ví dụ 9 : Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 19 và tổng các bình phương của chúng bằng 185.


Giải
Gọi số thứ nhất là x (0 < x < 19). Ta có số thứ hai là 19 – x
Vì tổng các bình phương của chúng bằng 185 nên ta có phương trình :
x 2 + 19 − x 2 = 185 ⇔ x 2 − 19 x + 88 = 0
Giải phương trình ta được : x1 = 11 (nhận), x 2 = 8 (nhận)
Vậy hai số phải tìm là 11 và 8.
E. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Cho một số gồm hai chữ số. Nếu đổi chổ hai chữ số của nó ta được số mới hơn số cũ là 45. Tổng của hai số

đã cho và một số mới tạo thành là 77. Tìm số đã cho.
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng là 100 và số lớn hơn số bé là 20.
Bài 3: Một ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 42 km mất 5 giờ. Một lần khác, ca nô xuôi dòng 9 km và ngược
dòng 7 km thì mất 40 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. Biết vận tốc riêng của ca nô; vận tốc
của dòng nước không đổi.
Bài 4: Một ô tô đi từ Hà Nội và dự định đến Huế lúc 20 giờ 30 phút. Nếu xe đi với vận tốc 45 km/h thì sẽ đến Huế
chậm hơn so với dự định là 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 60 km/h thì sẽ đến Huế sớm hơn 2 giờ so với dự định.
Tính độ dài quãng đường từ Hà Nội đến Huế và thời gian xe xuất phát từ Hà Nội.
Bài 5: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi
làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm
xong công việc đó ?
Bài 6: Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 12; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 40.
Tìm số đã cho.
Bài 7: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B dài 240 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh
hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến địa điểm B trước ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 8: Hai người đi xe đạp cùng xuất phát một lúc đi từ A đến B dài 30 km, vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h
nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi người.
Bài 9: Một đội xe phải chở 168 tấn thóc. Nếu tăng thêm 6 xe và chở thêm 12 tấn thóc thì mỗi xe chở nhẹ hơn lúc
đầu là 1 tấn. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe ?
Bài 10: Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy
tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy
ghế, mỗi dãy có bao nhiêu ghế ?
vàophòng
điều kiện
: chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 165 người. Do đó người ta phải kê thêm 3 dãy
Bài 11Dựa
: Một
họp sau
có 120
⇔ a.c

- dãy
Phương
trình một
có hai
nghiệm
dấu
< 0lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế ? Biết rằng phòng họp
ghế và mỗi
phải thêm
người
ngồi.trái
Hỏi
phòng
họp
∆ ≥ 0
không quá 25 dãy ghế.

Bài 12 : Một
ô tô đi từtrình
A đến
nhaucùng
120 km.
⇔ khi đic được 2 giờ vận tốc xe giảm 6 km/h trên quãng đường
- Phương
có B
haicách
nghiệm
dấu Sau
P = ban> đầu
0 của ô tô.

còn lại và đến B trễ 1 giờ so với thời gian đã định. Tínhvận
a

Bài 13 : Hai bến sông cách nhau 96 km, cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận
 trôi được 24 km. Tính vận tốc của ca nô, biết vận
tốc 2 km/h. Sau khi đến B, ca nô trở về A ngay và gặp bè khi đã
∆ ≥ 0
tốc của bè là không đổi.

c
 ta làm
Bài 14 : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người
⇔
P = > một
0 lối đi xung quanh đường ( thuộc đất
- Phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương2

vườn) rộng 2 m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m . Tính
kích
thước
(các cạnh) của khu vườn đó.
a

Bài 15 : Cho một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là4 ( đơn
− b vị độ dài) và bình phương độ dài đường chéo
> 0 rộng của hình chữ nhật.
gấp 5 lần tổng của chiều dài và chiều rộng. Hãy xác định chiềuSdài= và chiều
a



IV Hệ thức Vi – et và ứng dụng
∆ ≥ 0

c BẬC HAI

Dạng 4 : XÉT DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH
⇔
- Phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm
P = > 0
Phương pháp giải
a

−b

S = a < 0
- Phương trình có hai nghiệm trái dấu, mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn
ac < 0

hơn nghiệm dương ⇔ 
−b
S = a < 0


Ví dụ 1 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0
Ví dụ 2 : Biện luận dấu các nghiệm của phương trình x 2 − 2mx + m + 6 = 0
Dạng 5 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM.
Phương pháp giải
•
•

Xác định điều kiện dể phương trình có nghiệm : ∆ ≥ 0
S = x1 + x 2
Đặt 
sau đó biến đổi hợp lí biểu thức để đưa biểu thức về dạng
 P = x1 .x 2
tổng và tích các nghiệm, rồi dùng hệ thức Vi –ét.

Ví dụ : Cho phương trình x 2 + 3 x + 1 = 0 . Không giải phương trình, gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương
trình. Hãy tính giá trị biểu thức.
x12 + 5 x1 .x 2 + x 22
A=
.
4 x12 .x 2 + 4 x 22 .x1
Giải
• Xét ∆ = 9 − 4.1.1 = 5 > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
S = x1 + x 2 = 3
• Theo hệ thức Vi –ét ta có : 
 P = x1 .x 2 = 1
( x1 + x 2 ) 2 + 3 x1 .x 2
9 + 3.1
=
=1
• Xét A
4 x1 x 2 ( x1 + x 2 )
4.1.( −3)
C. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Cho phương trình : (m + 2) x 2 − 2mx − m + 3 = 0 .
a) Tìm m và các nghiệm còn lại biết phương trình có một nghiệm x = 2.
b) Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có tổng các nghịch đảo cùa hai nghiệm là một số nguyên.

Bài 2 : Cho phương trình : x 2 − mx + m 2 + 5 = 0 .
a) Giải phương trình với m =1 + 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài 3 : Cho phương trình bậc hai có ẩn số x là x 2 − x − m 2 + m = 0


a) Chng t phng trỡnh cú nghim x1 ; x 2 vi mi m. tớnh nghim kộp ( nu cú ) ca phng trỡnh v giỏ
tri tng ng .
b) t A = 2 x12 + x 22 5 x1 .x 2 . Tỡm giỏ tr nh nht ca A.
c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim sao cho nghim ny bng 2 ln nghim kia.
Bai 4 : Cho phng trỡnh : x 2 2(m 1) x + 4m 7 = 0
a) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du.
b) Gi x1 , x 2 l cỏc nghim ca phng trỡnh. Hóy xỏc nh giỏ tri ca m biu thc A = x12 + x 22 + 6 x1 .x 2
t giỏ tr nh nht.
Bai 5 : Cho phng trỡnh : x 2 4 x m 2 3m = 0 .
a) Chng t phng trỡnh luụn luụn cú mi nghim vi m.
b) Tỡm m phng trỡnh trờn cú hai nghim phõn bit thừa món 4( x1 + x 2 ) = x12 + x 22 . Hóy lp phng
y1
y
+ 2 = 3.
trỡnh bc hai cú hai nghim y1 ; y 2 thừa món iu kin y1 + y 2 = x1 + x 2 v
1 y 1 y1

(

)

Bai 6 : Cho phng trỡnh : x 2 2mx + 2m 1 = 0 .
a) Chng t phng trỡnh cú mi nghim m.
b) Tỡm m sao cho 2( x12 + x 22 ) 5 x1 x 2 = 27 .

c) Tỡm m sao cho phng trỡnh cú nghim x1 , x 2 tha món x1 = 2x 2 .
Bai 7 : Tỡm m phng trỡnh x 2 + 2(m 1) x 2m + 5 = 0 cú hai nghim x1 , x 2 v x13 + x 23 = 0 .
Bai 8 : Cho phng trỡnh : 2 x 2 + (2m 1) x + m 1 = 0 .
a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.
b) Tỡm h thc liờn h gia tng v tớch cỏc nghim ca phng trỡnh khụng cha m.
1
2
2
c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1 , x 2 tha món x x1 + x 2 2 x1 .x 2 = .
4
V Phng trỡnh trung phng
CU 4: HèNH HC
Bài 1. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ), các đờng cao AD, BE , cắt nhau tại H. Gọi O là
tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE.
a)Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
b)Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
c)Chứng minh ED =

1
BC.
2

d)Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
e)Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bài 2 : Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua
điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và
D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
Bài 3 Cho đờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đờng
thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ

tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I
là giao điểm của OM và AB.
a)Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
b)Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đờng tròn .
c)Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
d)Chứng minh OAHB là hình thoi.
e)Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Bài 4 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn
( M khác A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM
cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt
Ax tại H, cắt AM tại K.
a)Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
b)Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
c)Chứng minh BAF là tam giác cân.
d)Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
e)Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc một đờng tròn.
Bài 5 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn sao
cho AM < MB. Gọi M là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM,
MA. Gọi P là chân đơng
vuông góc từ S đến AB.
a)Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn
b)Gọi S là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng tam giác PSM cân.
Bài 6 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một
phía của AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo
thứ tự là O, I, K.
Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm
của EA,
EB với các nửa đờng tròn (I), (K).

a)Chứng minh EC = MN.
b)Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các
nửa đờng tròn (I), (K).
c)Tính MN.


Bài 7 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có
đờng kính MC. đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD cắt đờng
tròn (O) tại S.
a)Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
b)Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
c)Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA,
EM, CD đồng quy.
d)Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
e)Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 8. Cho đờng tròn (O) đờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác
O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối
CD, Kẻ BI vuông góc với CD.
a)Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp .
b)Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi.
c)Chứng minh BI // AD.
d)Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
e)Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O).
Bài 9 Cho đờng tròn (O; R) và (O; R) có R > R tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và
BC là hai đờng kính đi qua điểm C của (O) và (O). DE là dây cung của (O) vuông
góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O) là F, BD cắt
(O) tại G. Chứng minh rằng:
a)Tứ giác MDGC nội tiếp .
b)Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đờng tròn
c)Tứ giác ADBE là hình thoi.

d)B, E, F thẳng hàng
e)DF, EG, AB đồng quy.
f)MF = 1/2 DE.
g)MF là tiếp tuyến của (O).
Bai10: Cho ng trũn (O), im A bờn ngoi ng trũn v cỏc tip tuyn AB, AC v cỏt tuyn ADE. Gi
H l trung im ca DE.
9


a.
Chứng minh A, B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b.
Chứng minh HA là tia phân giác BHˆ C
c.
Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh AB2 = AI.AH
d.
BH cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh AE // CK
Bài 11: Cho tam giác ABC có AB > AC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Gọi E là hình chiếu của B
trên AD, H là hình chiếu của A trên BC.
a.
Chứng minh tứ giác ABEH nội tiếp.
b.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác MEH cân.
Bài 12: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có AC vuông góc với BD tại H. Gọi M, N là chân đường
vuông góc hạ từ H xuống đường thẳng AB và BC; P và Q là giao điểm của MH và NH với các đường thẳng
CD và DA. Chứng minh :
a.
PQ // AC
b.
M, N, P, Q nằm trên cùng một đường tròn.

10