KINH TẾ LƯỢNG phát hiện và khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi

Mục Lục
I.
1.
2.
3.
4.
5.
II.
1.

Lý Thuyết
Bản chất hiện tượng phương sai sai số thay đổi
Nguyên nhân
Hậu quả
Phương pháp phát hiện phương sai sai số thay đổi
Cách khắc phục
Thực Hành
Bài toán


I. Lý Thuyết
1. Bản chất hiện tượng
- Khi nghiên cứu mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển, chúng ta đưa ra giả thuyết rằng: phương sai của
mỗi một ngẫu nhiên Ui trong điều kiện đã cho của biến độc lập Xi là không đổi, nghĩa là:
Var(Ui/Xi) = E =
Ngược lại với trường hợp trên là: phương sai có điều kiện Yi thay đổi khi Xi thay đổi, nghĩa là:
Var
2.
-

Nguyên nhân

Do tích lũy kinh nghiệm mà sai số theo thời gian ngày càng giảm
Do bản chất của hiện tượng kinh tế
Công cụ về thu thập xử lý số liệu cải thiện dẫn đến sai số đo lường và tính toán giảm
Trong mẫu có các outlier (giá trị rất nhỏ hoặc rất lớn so với các giá trị quan sát khác)
Mô hình hồi quy không đúng (dạng hàm sai, thiếu biến quan trọng…)
- Hiện tượng phương sai thay đổi thường gặp khi thu tập số liệu chéo (theo không gian). Vd: khảo
sát doanh thu của các cửa hàng khác nhau ở các địa phương khác nhau trong cùng lĩnh vực kinh
doanh. Do quy mô, tên tuổi thương hiệu khác nhau dẫn đến biến động về doanh thu của mỗi cửa
hàng sẽ khác nhau.

3. Hậu quả
- Ước lượng OLS vẫn tuyến tính, không chệch. Tuy nhiên, chúng sẽ không còn có phương sai nhỏ
nhất nữa, nghĩa là chúng khong còn hiệu quả nữa. Ước lượng phương sai củ ước lượng OLS nhìn
chung sẽ bị chệch
các khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết thông thường dựa trên phân phối T và F sẽ không còn đáng
tin cậy nữa. Do vậy, nếu chúng ta áp dụng các kĩ thuật kiểm định giả thuyết thông thường sẽ cho ra
kết quả sai.
Ví dụ: thống kê T được xác định bởi công thức
T=
Do sử dụng ước lượng SE() là SE() nên không đảm bảo T tuân theo quy luật phân phối t-student kết
quả kiểm định không còn tin cậy
- Kết quả dự báo không còn hiệu quả nữa khi sử dụng các ước luowjg OLS có phương sai k phải nhỏ
nhất
4. Phương pháp phát hiện phương sai sai số thay đổi
a. Dựa vào bản chất vấn đề nghiên cứu
VD: nghiên cứu quan hệ giữa doanh thu và chi phí quảng cáo, phương sai phần dư của doanh thu
có xu hướng tăng theo chi phí quảng cáo. Do đó, đối với các mẫu điều tra tương tự, người ta có
khuynh hướng giả định của phương sai nhiễu thay đổi
b. Xem xét đồ thị của phần dư

c. Kiểm định Park
-

Park cho rằng là một hàm số nào đó của biến giải thích X
= + ln| |+
Trong đó vi là phần sai số ngẫu nhiên.
Vì chưa biết, Park đề nghị sử dụng ln thay cho và chạy mô hình hồi qui sau
ln= + ln| |+ (*)
được thu thập từ mô hình hồi qui gốc

-

Các bước của kiểm định Park:
• Chạy hàm hồi qui gốc = + +
• Từ hàm hồi qui, tính , phần dư và ln
• Chạy hàm hồi qui (*), sử dụng biến giải thích của hàm hồi qui ban đầu. Nếu có
nhiều biến giải thích, chạy hồi qui cho từng biến giải thích đó. Hay, chạy hồi qui mô hình với
•

biến giải thích là
Kiểm định giả thuyết H0: β2 = 0,tức, không có phương sai của sai số thay đổi. Nếu giả thuyết H 0

•

bị bác bỏ, mô hình gốc có phương sai của sai số thay đổi.
Nếu giả thuyết H0 được chấp nhận, trong mô hình (*) có thể được xem là giá trị chung của
phương sai của sai số không đổi, σ2.

d. Kiểm định Glejser

- Tương tự như kiểm định Park: Sau khi thu thập được phần dư từ mô hình hồi qui gốc, Glejser đề
-

-

nghị chạy hồi qui | ei | theo biến X nào mà có quan hệ chặt chẽ với
Glejser đề xuất một số dạng hàm hồi qui sau:
|| = + +
|| = + +
|| = + +
|| = + +
|| = +
|| = +
Nếu giả thuyết : = 0 bị bác bỏ thì có thể có hiện tượng phương sai sai số thay đổi.
Kiểm định Glejser có một số vấn đề như kiểm định Park như sai số vi trong các mô hình hồi qui có
giá trị kỳ vọng khác không, nó có tương quan chuỗi.
• 4 mô hình đầu cho kết quả tốt khi sử dụng OLS
• 2 mô hình sau (phi tuyến tính tham số) không sử dụng OLS được


Do vậy, kiểm định Glejser được dùng để chẩn đoán đối với những mẫu lớn.
e. Kiểm định White
Kiểm định white do eview thực hiện dựa trên hồi quy bình phương phần dư (kí hiệu là RESID) theo
bậc nhất và bậc hai của biến độc lập.Kiểm định white là mô hình tổng quát về sự thuần nhất của
phương sai.
Ta xét mô hình hồi quy sau:
= + + +

(1.1)

Có hai trường hợp :
Kiểm định không có tích chéo giữa các biến độc lập
Kiểm định có tích chéo giữa các biến độc lập
−

Kiểm định không có tích chéo:

Ta xét mô hình hồi quy sau:
= + + +
Các bước thực hiện:
 Bước 1 :
Ước lượng (1.1) bằng OLS ,từ đó thu được các phần dư tương ứng .
 Bước 2 :
Ước lượng mô hình sau :
=
(1.2)
Ta thu được R ² là hệ số xác định bội.
 Bước 3 :
 Kiểm định giả thuyết
H0:
Hay: H0 : Phương sai sai số đồng đều
H1: Tồn tại ít nhất # 0.
H1 : Phương sai sai số thay đổi
 Tiêu chuẩn kiểm định : χ² =χ(k-1)
 Bước 4:
Tra bảng phân phối Chi-bình phương , mức ý nghĩa α và bậc tự do là k (k là số tham số trong mô
hình hình hồi quy phụ).
Fps = ( R ²/(1- R ²))/ ((n-k)/(k-1)) so sánh với F α (k-1,n-k)
χ²ps = nR ²
so sánh với χ² α (k-1)

Nếu χ²ps > χ² α (k-1) thì bác bỏ H0
Nếu χ²ps < χ² α (k-1) thì chấp nhận H0
− Kiểm định có tích chéo:
Xét MHHQ 3 biến:
= + ++
Bước 1: ƯL mô hình (1),từ đó thu được các phần dư .
Bước 2: ƯL MHHQ phụ dạng:
=
Ta thu được R ² là hệ số xác định bội.
Bước 3:
Kiểm định giả thuyết :


H0:
H1: Tồn tại ít nhất # 0
Tương đương :

H0 : phương sai có sai số không đổi
H1 : phương sai có sai số thay đổi
Tiêu chuẩn kiểm định :
χ² =χ(df)
Tính toán trị thống kê n,
Trong đó : n là cỡ mẫu
R là hệ số xác định của mô hình hồi quy phụ ở bước 2.
Bước 4:
Tra bảng phân phối Chi-bình phương , mức ý nghĩa α và bậc tự do là k (k là số tham số trong mô
hình hình hồi quy phụ). Giả sử tra được
 Nếu χ²ps > χ² α (k-1) thì bác bỏ H0
 Nếu χ²ps < χ² α (k-1) thì chấp nhận H0
Tương đương với Ho:R 2 =0 nên còn được KĐ theo thống kê F.

f. Phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát
- Phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số
- Phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát
5. Cách khắc phục
- Ước lượng bình phương bé nhất có trọng số (trường hợp đã biết σ2).
- Có mô hình hồi qui mẫu 2 biến:

giả sử rằng phương sai sai số σ2 đã biết; nghĩa là phương sai sai số của mỗi quan sát đã biết, chia hai vế
của mô hình cho đã biết hay


a. Trường hợp đã biết
- Khi đó

Trong thực tế, chia mỗi quan sát Yi và Xi cho đã biết và chạy hồi qui OLS cho dữ liệu đã được
chuyển đổi này.
Ước lượng OLS của và được tính theo cách này được gọi là ước lượng bình phương bé nhất có
trọng số (WLS); mỗi quan sát Y và X được chia cho trọng số (độ lệch chuẩn) của riêng nó, .
b. Trường hợp chưa biết
TH1: Phương sai sai số tỷ lệ với biến giải thích.
Sau khi ước lượng hồi qui OLS thông thường, chúng ta vẽ đồ thị phần dư từ ước lượng này theo
biến giải thích X và quan sát hình ảnh của nó. Nếu hình ảnh của phần dư tương tự như hình sau:

Như vậy, phương sai sai số có quan hệ tuyến tính với biến giải thích
Var( ) = E() =
Chúng ta chia hai vế của mô hình cho căn bậc hai của , với

Khi đó:
Một điều quan trọng mà chúng ta cần lưu ý là để ước lượng mô hình trên, chúng ta phải sử dụng
mô hình hồi qui qua gốc

TH2: Phương sai sai số tỷ lệ với bình phương của biến giải thích.
Var( ) =E() =
Nếu hình ảnh của phần dư tương tự như hình bên dưới, phương sai sai số có quan hệ tuyến tính
với bình phương của
Chúng ta chia hai vế của mô hình cho với ≠0


Khi đó:

TH 3: Phương sai sai số tỷ lệ với bình phương của giá trị kỳ vọng của Y.
Var() = E() =
Chia hai vế của mô hình cho E() với
E()= =
Tiến hành theo 2 bước sau:
• B1. Ước lượng mô hình hồi qui:
=
bằng phương pháp OLS thông thường, từ đó ta thu được
Biến đổi mô hình gốc về dạng như sau:

•

B2. Ước lượng hồi qui trên dù

không chính xác là E, nhưng chúng là ước lượng vững,

nghĩa là khi cỡ mẫu tăng lên vô hạn thì chúng hội tụ về E. Do vậy, phép biến đổi trên có thể
dùng được khi cỡ mẫu tương đối lớn.

Khi đó
TH4: Định dạng lại mô hình.

Thay vì ước lượng mô hình hồi qui gốc, ta có thể ước lượng mô hình hồi qui:
ln =
Lưu ý:
Tình
trạng
phương
sai
sai
số không
đồng
bớt thì
nghiêm
trọngbiến
hơnnào
so với
mô hình
gốc bởi
• Khi nghiên cứu mô hình
có nhiều
biếnnhất
giảisẽthích
việc chọn
để biến
đổi cần
vì khiphải
được
logarit
các biến bị ‘nén lại’.
được
xemhóa,

xét độ
cẩnlớn
thận.
Một
thếbiến
của đổi
phép
biến không
đổi nàydùng
là hệđược
số sẽkhi
đocác
lường
hệ của
số co
• ưu
Phép
logarit
giá trị
cácgiãn
biếncủa
âm.Y theo X, nghĩa là, nó
2
• biết
Khi%
σithay
chưađổi
biết,
ướcđổi
lượng

cho
củanó
Y sẽ
khiđược
X thay
1%. từ một trong các cách biến đổi trên. Các kiểm
định t, F mà chúng ta sử dụng chỉ đáng tin cậy khi cỡ mẫu lớn, do đó chúng ta phải cẩn
thận khi giải thích các kết quả dựa trên các phép biến đổi khác nhau trong các mẫu nhỏ.


Thực hành

II.

Bài toán:
Cho bảng số liệu sau:
STT

Lương
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

20
30
28
24
32
36
32
34
24
22

28
30
14
15
13
30
20
24
30
15
16
17
32
26
24
16
14
17
22
30.6

Thu nhập khác Chi tiêu
16
24.4
10
31.2
2
29.2
0
23.6

18
36
10
31.4
16
32
24
36.8
28
32.8
20
29.8
8
20.2
4
26.8
2
15
3
12.5
3
13
7
20.8
1
17.7
5
15
6
32

1
17
3
16.4
2
17.5
6
18
2
20.6
6
30
4
18.6
3
12.6
0
15
1
20
2
17.7


31
34
5
20.5
32
13

5
15
33
15
10
20
34
15
4
15.5
35
14
2
13.5
36
15
7
15.7
37
16
10
19.5
38
17
5
21
39
18
9
23

40
19
8
22
41
22.5
12
20
42
25.5
14
19
43
24
13
15.5
44
11
2.5
12
45
6
5.5
13
46
6
3
10
47
9

4
10
48
10
5
14
49
11
5.5
16
50
12
4.5
12
51
4
2
7
52
7
3
10
53
9
4
13
54
10
1
10.6

55
12
2
10.6
56
14
8
12
57
16
7
17
58
17.7
6
20
59
18
5
25
60
19.5
4
20
61
30.3
10
30
62
20

6
25
63
23
6
16.8
64
13
14
25
65
10
0
10
66
8
5
13
67
10
0
8
68
10.5
1
11
69
11
2
9

70
13
3
12.5
Điều tra mức chi tiêu của 70 hộ gia đình trên địa bàn Hà Nội
Trong đó :
Y: mức chi tiêu của hộ gia đình (triệu đồng)


X2 : mức lương (triệu đồng)
X3 : các mục thu nhập khác (triệu đồng)
hãy phát hiện hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi và khắc phục hiện tượng này.
Với các số liệu đã cho ta ước lượng được mô hình
Y = 0.554592401219*X2 + 0.510788116344*X3+ 5.28678763776

1. Phát hiện hiện tượng bằng kiểm định white:
Ước lượng mô hình :
=
bằng eview ta thu được :



Vậy : = -23.31391 + 1.839031*+ 3.459170* – 0.002164* – 0.060888* – 0.104804*
Kiểm định giả thuyết :
H0: :
H1: Tồn tại ít nhất # 0
Nhìn vào mô hình ta có:
n*R^2 có xác suất p-value=0.0010<α=0.05
nên bác cỏ H0 chấp nhận H1 hay có hiện tượng phương sai sai số thay đổi.
2. Cách khắc phục

Cách khắc phục phương sai sai số thay đổi: Chia mô hình hồi quy cho
Chạy mô hình với câu lệnh: LS Y/ C / ta được:


Chạy lại kiểm định white ta được bảng sau:


Giả thiết H0 : : = 0
Nhìn vào mô hình ta có:
n*R^2 có xác suất p-value=0.127470 > α = 0.05
Nên chấp nhận GT H_0
=> Mô hình hồi quy của Y theo X_2 và X_3 không còn phương sai sai số thay đổi.
Vậy là hiện tượng phương sai sai số thay đổi đã được khắc phục!