Về sự xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (LA tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ QUANG NINH

VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ QUANG NINH

VỀ SỰ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62.46.01.02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TSKH. Hà Huy Khoái
2. TS. Vũ Hoài An

THÁI NGUYÊN-NĂM 2017

i

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
của GS. TSKH Hà Huy Khoái và TS Vũ Hoài An. Các kết quả viết chung
với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án.
Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ
công trình khoa học của ai khác.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2017
Tác giả
Lê Quang Ninh


ii

Lời cảm ơn
Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của
GS. TSKH Hà Huy Khoái và TS Vũ Hoài An. Tác giả luận án xin bày tỏ
lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các thầy.
Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo
Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm- Đại học
Thái Nguyên và các Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm
khoa Toán cùng toàn thể giảng viên trong khoa, đặc biệt là Bộ môn Giải
tích và Toán ứng dụng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô, bạn bè trong các Seminar
tại Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm -ĐHTN,
Trường Đại học Thăng Long và Trường Cao đẳng Hải Dương đã luôn giúp
đỡ, động viên tác giả trong nghiên cứu khoa học.

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH Trần Văn Tấn và PGS.
TSKH Tạ Thị Hoài An (hai cán bộ phản biện) và các nhà khoa học trong
Hội đồng bảo vệ luận án cấp cơ sở của tác giả đã dành rất nhiều thời gian
đọc, sửa, góp ý để luận án được hoàn thiện tốt hơn rất nhiều.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia đình,
những người đã chịu nhiều khó khăn, vất vả và dành hết tình cảm yêu
thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hoàn thành được luận án.
Tác giả
Lê Quang Ninh


1

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược
của tập hợp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2. Phương trình kiểu Fermat-Waring đối với hàm phân hình . . . .

17

1.3. Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm
26

Chương 2. Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh
ngược của tập hợp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2. Phương trình kiểu Fermat-Waring đối với đường cong chỉnh hình. .
47
2.3. Xác định đường cong chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập
hợp điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Chương 3. Xác định hàm phân hình và đường cong chỉnh hình
trên trường không Ác-si-mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.2. Phương trình kiểu Fermat-Waring nhiều biến đối với các hàm nguyên
trên một trường không Ác-si-mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.3. Xác định hàm phân hình và đường cong chỉnh hình trên trường
không Ác-si-mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong toán học, Định lý cơ bản của đại số khẳng định rằng mọi đa thức
một biến khác hằng với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức. Từ đó suy
ra mọi đa thức khác hằng với hệ số phức nhận giá trị phức bất kỳ. Picard
là người đầu tiên mở rộng Định lý cơ bản của Đại số cho hàm nguyên phức
mà ngày nay được gọi là Định lý Picard. Định lý Picard phát biểu như
sau: mọi hàm nguyên một biến khác hằng trên mặt phẳng phức C nhận
mọi giá trị phức, trừ ra cùng lắm là một giá trị.
Vào những thập niên đầu tiên của thế kỷ XX, Nevanlinna đã xây dựng
lý thuyết phân bố giá trị cho các hàm phân hình trên C mà ngày nay được
gọi là lý thuyết Nevanlinna. Kết quả chính của lý thuyết Nevanlinna là hai
định lý chính.
Định lý chính thứ nhất là mở rộng của Định lý cơ bản của đại số, mô
tả sự phân bố đều giá trị của hàm phân hình khác hằng trên C . Định lý
chính thứ hai là mở rộng của Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng của đạo
hàm đến sự phân bố giá trị của hàm phân hình.
Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng tương tự Lý thuyết phân bố
giá trị cho trường hợp p-adic. Ông và các học trò đã xây dựng tương tự
lý thuyết Nevanlinna cho trường số p-adic mà ngày nay thường gọi là lý
thuyết Nevanlinna p-adic. Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàm phân
hình và ánh xạ chỉnh hình p-adic.
Năm 1926, R.Nevanlinna đã chứng minh được rằng: Với hai hàm phân
hình f và g trên mặt phẳng phức C, nếu chúng có cùng ảnh ngược (không
tính tính bội) của 5 điểm phân biệt thì f = g (Định lý 5 điểm) và g có
af + b
dạng
(a, b, c, d là các số phức nào đó thỏa mãn ad − bc = 0) nếu f

cf + d


3

và g có cùng ảnh ngược (kể cả bội) của 4 điểm phân biệt (Định lý 4 điểm).
Một trong những ứng dụng sâu sắc của lý thuyết phân bố giá trị (phức
và p-adic) là vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng
(phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp các điểm phân biệt
mà ngày nay được gọi là Định lý 5 điểm của Nevanlinna (hoặc tương tự
của Định lý 5 điểm cho trường hợp p-adic). Có hai hướng mở rộng Định
lý 5 điểm.
Hướng thứ nhất: Xét nghịch ảnh riêng rẽ của điểm cho các hàm và
nghịch ảnh của siêu phẳng, siêu mặt cho các ánh xạ chỉnh hình trong các
trường hợp phức và p-adic đối với vấn đề xác định duy nhất hàm hoặc ánh
xạ chỉnh hình.
Hướng thứ nhất là sự mở rộng tự nhiên của Định lý 5 điểm. Vấn đề xác
định duy nhất theo hướng thứ nhất được nghiên cứu liên tục và mạnh mẽ
với các kết quả của nhiều tác giả: M.Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang,
Ha Huy Khoai, L.Lahiri, G.Dethloff, Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức
Quang, A.Escassut, Phạm Việt Đức, Hà Trần Phương. . .
Năm 1977, F.Gross đưa ra một ý tưởng mới là không xét ảnh ngược của
các điểm riêng rẽ mà xét ảnh ngược của các tập hợp điểm trong C ∪ {∞} .
Ông đưa ra hai câu hỏi sau:
i) Tồn tại hay không tập S của C ∪ {∞} để với bất kỳ các hàm phân
hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) ta có f = g?
ii) Tồn tại hay không hai tập Si , i = 1, 2 của C ∪ {∞} để với bất kỳ
các hàm phân hình f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, 2 ta
có f = g?
Các công trình trả lời câu hỏi của F.Gross đã hình thành và phát triển

hướng thứ hai: Xét nghịch ảnh của tập hợp điểm cho các hàm trong các
trường hợp phức và p-adic đối với hàm và ánh xạ chỉnh hình.
Hướng thứ hai đã nhận được nhiều kết quả sâu sắc của F.Gross và
C.C.Yang, H.X.Yi, B.Shiffman, C.C.Yang-X.Hua, E.Mues- M.Reinders,
P.Li, H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, Hà Huy Khoái, A.Escassut,. . .
Liên quan đến vấn đề duy nhất của hàm phân hình là khái niệm đa
thức duy nhất, đa thức duy nhất mạnh và phương trình hàm.
C.C.Yang và X.Hua [37] năm 1997 và B.Shiffman năm 2001 đã nghiên


4

cứu vấn đề không tồn tại cặp hàm phân hình (hoặc hàm nguyên) khác
hằng phân biệt f, g thỏa mãn P (f ) = P (g). Năm 2000, H.Fujimoto [12]
đã xây dựng lớp đa thức duy nhất mạnh mà tập các nghiệm của nó là tập
xác định duy nhất. Năm 2004, Hà Huy Khoái và C.C.Yang [18] cũng đã
nghiên cứu vấn đề này đối với phương trình hàm P (f ) = Q(g). Năm 2010,
F.Pakovich [27] đã mô tả nghiệm là các hàm nguyên đối với phương trình
P (f ) = Q(g). Năm 2011, Tạ Thị Hoài An [2] đã xây dựng hai lớp đa thức
duy nhất mạnh mà tập các nghiệm của chúng là tập xác định duy nhất.
Từ các kết quả trên, chúng tôi nhận thấy: công việc xây dựng tập xác
định duy nhất gồm hai bước.
Bước 1. Từ điều kiện về ảnh ngược Ef (S) = Eg (S) hoặc E f (S) =
E g (S) đưa đến phương trình hàm P (f ) = cP (g), ở đó S là tập nghiệm
của đa thức P không có nghiệm bội, c = 0.
Bước 2. Dùng hai Định lý chính và các kỹ thuật đánh giá để chứng
minh c = 1 và chứng minh phương trình P (f ) = P (g) có nghiệm duy
nhất f = g hoặc dùng tính hyperbolic Brody của đường cong để chứng
minh phương trình P (f ) = cP (g), c = 0 có nghiệm duy nhất f = g.
Trong [33], M.Shirosaki đã xây dựng siêu mặt X xác định duy nhất

đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Công việc xây dựng
siêu mặt X gồm 2 bước:
Một là, dùng điều kiện bội giao để đưa ra phương trình hàm nhiều biến
đối với các hàm nguyên f1 , . . . , fN +1 ; g1 , . . . , gN +1 .
Hai là, chứng minh nghiệm của phương trình có dạng

(f1 , . . . , fN +1 , γg1 , . . . , γgN +1 ),
trong đó γ là hàm nguyên không có không điểm.
Từ đó, chúng tôi có nhận xét rằng: Phương trình hàm P (f ) = P (g)
(P (f1 , . . . , fN +1 ) = P (g1 , . . . , gN +1 )) gắn bó mật thiết với vấn đề xác định
duy nhất hàm phân hình (đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến
tính). Có thể nói rằng: mỗi tập xác định duy nhất (theo hướng thứ hai)
đều nảy sinh vấn đề duy nhất nghiệm của phương trình hàm P (f ) = P (g)
và ngược lại. Từ đây, nảy sinh hai câu hỏi.
Câu hỏi 1: Vấn đề vô nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm


5

duy nhất, mô tả nghiệm,. . . của phương trình hàm P (f ) = Q(g) liên quan
đến ảnh ngược của các tập đối với hàm phân hình như thế nào?
Câu hỏi 2: Vấn đề vô nghiệm, có nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có nghiệm
duy nhất, mô tả nghiệm,. . . của phương trình hàm nhiều biến đối với các
hàm nguyên P (f1 , . . . , fN +1 ) = Q(g1 , . . . , gN +1 ) liên quan đến ảnh ngược
của các siêu mặt đối với đường cong chỉnh hình như thế nào?
Hai câu hỏi trên có liên quan đến vấn đề nghiên cứu của F.Pakovich
[26] và Đinh Tiến Cường [10], [11].
Trong [26] có nhắc lại câu hỏi sau đây của C. C. Yang:
"Cho f1 , f2 là hai đa thức phức, S = {−1, 1} và f1−1 (S) = f2−1 (S). Khi
đó f1 = f2 hoặc f1 = −f2 ?"

Câu hỏi của C.C.Yang đã được giải quyết trong [36]. Họ đã chứng
minh rằng: Đối với bất kỳ tập compact K ∩ C chứa ít nhất hai điểm và
hai đa thức cùng bậc f1 (z), f2 (z), đẳng thức f1−1 (K) = f2−1 (K) suy ra
f1 (z) = σ(f2 (z)). Ở đây σ(z) = za + b, a, b ∈ C, sao cho σ(K) = K. Kết
quả này đã được mở rộng cho hai đa thức khác hằng có bậc bất kỳ (Xem
[11]).
Năm 2007, F.Pakovich [26] đã có ý tưởng xét ảnh ngược của hai tập
compact hữu hạn hoặc vô hạn K1 , K2 ∈ C đối với hai đa thức phức f1 ,
f2 . Ông đã đưa ra câu hỏi sau:
"Với điều kiện nào của f1 , f2 , K1 , K2 thì f1−1 (K1 ) = f2−1 (K2 )?"
Nhằm góp phần trả lời các câu hỏi của Gross, của Pakovich, câu hỏi 1,
2 và làm phong phú thêm những nghiên cứu trong lý thuyết Nevanlinna,
chúng tôi lựa chọn luận án: "Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua
điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm".
Luận án nghiên cứu các vấn đề sau:
Cho Si , Ti ⊂ C ∪ {∞} , Si = ∅, Ti = ∅, i = 1, . . . , k; Xi , Yi là các siêu
mặt của PN (C), i = 1, . . . , k.
Vấn đề 1: Xác định hàm phân hình qua điều kiện ảnh ngược của Si , Ti
nào đó.
Vấn đề 2: Xác định đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính
qua điều kiện ảnh ngược của Xi , Yi nào đó.
Vấn đề 3: Tương tự Vấn đề 1 và Vấn đề 2 cho trường hợp p-adic.


6

2. Mục tiêu của luận án
2.1. Tìm Si , Ti , i = 1, . . . , k, với điều kiện: Tồn tại hai hàm phân hình
khác hằng f, g thỏa mãn Ef (Si ) = Eg (Ti ) hoặc E f (Si ) = E g (Ti ), i =
1, . . . , k. Khi đó, mô tả f, g và liên hệ với Vấn đề duy nhất của hàm phân

hình.
2.2. Tìm Si , Ti , i = 1, . . . , k, với điều kiện: Không tồn tại hai hàm phân
hình khác hằng f, g thỏa mãn Ef (Si ) = Eg (Ti ) hoặc E f (Si ) = E g (Ti ),
i = 1, . . . k.
2.3. Tìm Xi , Yi , i = 1, . . . , k với điều kiện: Tồn tại hai đường cong chỉnh
hình không suy biến tuyến tính f, g thỏa mãn νfXi = νgYi , i = 1, . . . , k. Khi
đó, mô tả f, g và liên hệ với Vấn đề duy nhất của đường cong chỉnh hình.
2.4. Tìm Xi , Yi , i = 1, . . . , k với điều kiện: Không tồn tại hai đường
cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính f, g thỏa mãn νfXi = νgYi ,
i = 1, . . . , k.
Ở đó, νfX là hàm bội giao của đường cong chỉnh hình f đối với siêu mặt
X.
Luận án tập trung vào nghiên cứu các mục tiêu trên trong trường hợp
i = 1.
2.5. Tìm các tập Si để từ E f (Si ) = E g (Si ) xác định được f, g với f, g
là các hàm phân hình p-adic.
2.6. Tìm siêu mặt X xác định duy nhất đường cong chỉnh hình p-adic
không suy biến.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hàm phân hình, đường cong chỉnh hình, tính chất nghiệm của một số
phương trình đa thức, ứng dụng của Lý thuyết Nevanlinna về sự phân bố
giá trị của ánh xạ chỉnh hình vào bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh
hình qua điều kiện về ảnh ngược của các tập hợp.
4. Phương pháp và công cụ nghiên cứu
Công cụ được dùng để giải quyết ba vấn đề nêu trên là hai Định lý
chính của lý thuyết Nevanlinna và các tương tự của nó, các kiểu Bổ đề
Borel và tương tự của nó trong trường hợp p-adic. Sử dụng các công cụ
này trong trường hợp các tập Si , Ti hoặc các siêu mặt Xi , Yi bất kỳ gặp rất
nhiều khó khăn. Vì vậy, trong luận án chúng tôi tìm các tập Si , Ti là tập

7

các không điểm của đa thức và các siêu mặt Xi , Yi kiểu Fermat-Waring.
Với công cụ nói trên, vấn đề nghiên cứu được thực hiện theo cách sau:
- Xét phương trình hàm P (f ) = Q(g); phương trình nhiều biến đối với
các hàm nguyên P (f1 , . . . , fN +1 ) = Q(g1 , . . . , gN +1 ), ở đó P, Q là các đa
thức một biến hoặc nhiều biến kiểu Fermat-Waring.
- Dùng các kết quả trên với các điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm
hoặc ảnh ngược của siêu mặt để đưa ra các kết quả tương ứng đối với vấn
đề xác định hàm và đường cong chỉnh hình.
- Xét phương trình hàm và vấn đề xác định hàm và đường cong chỉnh
hình trong trường hợp p-adic.
5. Ý nghĩa khoa học của luận án
Luận án góp phần làm sâu sắc thêm những nghiên cứu trong việc ứng
dụng Lý thuyết Nevanlinna về sự phân bố giá trị của ánh xạ chỉnh hình
vào bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình dưới điều kiện về ảnh
ngược của các tập hợp.
6. Cấu trúc và kết quả của luận án
Nội dung chính của luận án gồm ba chương tương ứng với ba vấn đề
nghiên cứu của luận án.
Chương 1: Đưa ra điều kiện để phương trình đa thức có dạng đặc biệt
có nghiệm. Nghiên cứu sự xác định của các hàm phân hình thông qua ảnh
ngược của tập hợp.
Khi chúng tôi bắt đầu nghiên cứu, các phương trình hàm P (f ) = Q(g),
P (f1 , . . . , fN +1 ) = Q(g1 , . . . , gN +1 ) có nghiệm và mô tả được nghiệm là
rất ít so với các phương trình hàm vô nghiệm hoặc chưa có thông tin gì về
nghiệm của nó.
Theo Định lý Picard ta thấy rằng đường cong P (x) = Q(y) không có
thành phần bất khả quy giống 0 hoặc 1 là tương đương với phương trình

P (f ) = Q(y) không có nghiệm là các hàm phân hình phân biệt.
Trong bài [3] của An-Diệp, các tác giả đã xét bài toán này bằng phương
pháp xây dựng 1-dạng chính quy chỉnh hình, đòi hỏi nhiều kiến thức về
hình học đại số. Trong chương này, chúng tôi sử dụng các kiến thức giải
tích phức để tiếp cận bài toán và thu được kết quả là Định lý 1.2.1.
Định lý 1.2.1 đưa ra điều kiện cần và đủ để phương trình hàm f n +


8

a1 f n−m + b1 = c(g n + a2 g n−m + b2 ), (với a1 , a2 , b1 , b2 là các số phức) có
nghiệm phân hình khác hằng. Điều kiện (m ≥ 4 hoặc (n, m) = 1, m ≥ 2)
mà chúng tôi đưa ra ở đây tốt hơn điều kiện ((n, m) = 1, m ≥ 2) được
P.Li và C.C.Yang nêu ra (xem [19]).
Trong trường hợp tổng quát hơn, chúng tôi nghiên cứu phương trình
P (f ) = hQ(g),
với h là hằng số và P, Q là các đa thức thỏa mãn điều kiện phân tách đối
với các nghiệm đạo hàm (nghĩa là, P (αi ) = P (αj ) với mọi αi = αj là các
nghiệm của P (điều kiện này được gọi là điều kiện (H))). Sau đó, đưa ra
các tập T và S để hàm phân hình xác định duy nhất (hoặc có mối quan
hệ phân tuyến tính) thông qua ảnh ngược của chúng.
Định lý 1.2.8 mô tả nghiệm của phương trình P (f ) = hQ(g), ở đó
h = 0, P, Q là hai đa thức cùng bậc, cùng chỉ số đạo hàm và thỏa mãn
điều kiện nào đó. Chứng minh của Định lý 1.2.8 là tương tự chứng minh
của Định lý 1.1 của H.Fujimoto trong [12].
Từ Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.8 và dùng hai Định lý chính và các tương
tự của nó (Bổ đề 1.1.3, Bổ đề 1.1.4) chúng tôi thiết lập được các kết quả
mới cho Vấn đề 1 là Định lý 1.3.3, Định lý 1.3.4, Định lý 1.3.7. Các định
lý này góp phần trả lời câu hỏi của Pakovich [26] trong trường hợp hàm
phân hình và tập compact gồm hữu hạn phần tử.

Định lý 1.3.3 đưa ra các điều kiện liên quan đến đa thức P (z) = z n +
a1 z n−m + b1 , Q(z) = z n + a2 z n−m + b2 (a1 , b1 , a2 , b2 = 0) để các tập nghiệm
tương ứng S, T xác định duy nhất hàm phân hình thông qua ảnh ngược
trong cả trường hợp tính bội và không tính bội.
Cũng vấn đề này, chúng tôi đưa ra được hai tập S1 , T1 tương ứng là tập
hợp các căn bậc n của a1 , a2 khác không thuộc C . Đó là Định lý 1.3.4.
Như vậy, có thể xem Định lý 1.3.3 và Định lý 1.3.4 là tương tự của Định
lý 5 điểm và Định lý 4 điểm trong trường hợp hai hàm phân hình có cùng
ảnh ngược đối với một cặp tập. Hơn nữa, từ Định lý 1.3.3, ta nhận được
kết quả của Li-Yang [21], của Yi [39] sau đây: với a, b = 0, n ≥ 2m + 9,
m ≥ 2, (n, m) = 1, tập {z ∈ C : z n + az n−m + b = 0} là tập xác định duy
nhất đối với hàm phân hình. Định lý 1.3.3 còn góp phần trả lời câu hỏi
của Gross.


9

Với hai đa thức một biến phức P (z), Q(z) thỏa mãn một số điều kiện
về nghiệm và nghiệm của đạo hàm (dựa trên các điều kiện được đưa ra bởi
Fujimoto năm 2000 [12]) và với hai hàm phân hình khác hằng f và g trên
mặt phẳng phức sao cho Ef (S) = Eg (T ) (E f (S) = E g (T )) , Định lí 1.3.5
và Định lí 1.3.6 chứng minh rằng khi đó f và g sai khác nhau một biến
đổi phân tuyến tính. Trong trường hợp P (f ) và Q(g) có cùng tập không
điểm thì f = g . Đây có thể được xem là sự mở rộng kết quả của Fujimoto
[12], ở đó ông nghiên cứu trường hợp P = Q để thu được f = g.
Trong kết quả tiếp theo (Định lý 1.3.7), chúng tôi chứng minh được có
vô hạn các cặp đa thức mà tập nghiệm của nó không thỏa mãn điều kiện
trong câu hỏi của Pakovich.
Nội dung Chương 1 sử dụng một vài kết quả được công bố trong công
trình [5], [16].

Chương 2 nghiên cứu bài toán như ở Chương 1 nhưng cho ánh xạ chỉnh
hình.
Vấn đề tìm nghiệm (f1 , . . . , fN +1 , g1 , . . . , gN +1 ), ở đó {f1 , . . . , fN +1 },
{g1 , . . . , gN +1 } là hai hệ hàm nguyên độc lập đại số hoặc độc lập tuyến
tính của phương trình P (f1 , . . . , fN +1 ) = P (g1 , . . . , gN +1 ), với P là đa thức
N + 1 biến, được quan tâm nghiên cứu với các kết quả của M.Shirosaki
[32], [33], Trần Văn Tấn [34], Vũ Hoài An và Trần Đình Đức [4]. Tuy nhiên
các thông tin, đặc biệt là vấn đề mô tả nghiệm của phương trình nhiều
biến P (f1 , . . . , fN +1 ) = Q(g1 , . . . , gN +1 ) chưa được công bố vào thời điểm
chúng tôi xem xét vấn đề này. Khó khăn ở đây là vấn đề "nhiều biến".
Chúng tôi đã giải quyết khó khăn này bằng cách: sử dụng các kiểu Bổ đề
Borel (Bổ đề 2.1.3 và Bổ đề 2.1.4) đưa phương trình hàm nhiều biến kiểu
Fermat- Waring về các hệ phương trình hàm.
Đối với phương trình hàm nhiều biến, các kết quả đáng chú ý là Định
lý 2.2.5, Định lý 2.2.8, Định lý 2.2.14 .
Với các số nguyên dương q, d, N và các hệ véc tơ uj (j = 1, . . . , q ) và
vj (j = 1, . . . , q ), Chúng tôi đã xem xét phương trình sau đối với các ánh
xạ chỉnh hình không suy biến tuyến tính f và g từ mặt phẳng phức vào


10

không gian xạ ảnh phức N chiều:
q

q

(uj · f˜)d =
j=1

(vj · g˜)d .
j=1

Định lý 2.2.5 và các hệ quả đã đưa ra các tiêu chuẩn cho các số nguyên
dương và các hệ véc tơ để phương trình trên có nghiệm đối với f và g, sau
đó đưa ra mối quan hệ giữa f và g. Kết quả này có thể xem như là sự mở
rộng một kết quả của Shirosaki (xem [33]), ở đó ông nghiên cứu trường
hợp uj = vj .
Định lý 2.2.8 đưa ra điều kiện cần và đủ để phương trình hàm nhiều
biến A(f1 , . . . , fN +1 ) = B(g1 , . . . , gN +1 ) có nghiệm (f1 , . . . , fN +1 , g1 , . . . ,
gN +1 ), với {f1 , . . . , fN +1 } , {g1 , . . . , gN +1 } là hai hệ hàm nguyên độc lập
tuyến tính trên C .
Các phương trình xét trong Định lý 2.2.5, Định lý 2.2.8 đều xác định
được nghiệm nhờ dùng các kiểu Bổ đề Borel (Bổ đề 2.1.3, Bổ đề 2.1.4).
Với việc dùng các kiểu Bổ đề Borel (Bổ đề 2.1.3, Bổ đề 2.1.4) kết hợp với
tập xác định duy nhất của hàm phân hình để mô tả nghiệm của phương
trình hàm nhiều biến, chúng tôi đã thiết lập được các kết quả chính khi
giải quyết Vấn đề 2 là Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3 và Định lý
2.3.5. Các kết quả này trả lời câu hỏi của Pakovich và Gross trong trường
hợp siêu mặt. Cụ thể là:
Định lý 2.3.1 và Định lý 2.3.3 là hai kết quả theo hướng trả lời câu hỏi
của Pakovich trong trường hợp siêu mặt. Hai định lý này cho ta điều kiện
cần và đủ để tồn tại hai đường cong chỉnh hình có bội giao như nhau đối
với hai siêu mặt kiểu Fermat-Waring.
Ở các định lý và hệ quả trên, việc thiết lập siêu mặt xác định duy nhất
đường cong chỉnh hình không suy biến được xuất phát từ ý tưởng dùng
các kiểu Bổ đề Borel và các phương trình hàm giải được nghiệm.
Trong Định lý 2.3.7, chúng tôi đưa ra một siêu mặt xác định duy nhất
đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính từ việc dùng tập xác
định duy nhất đối với hàm phân hình để xác định nghiệm của phương trình

hàm thuần nhất hai biến tương ứng kết hợp với các kiểu Bổ đề Borel.
Nội dung Chương 2 sử dụng một vài kết quả được công bố trong công


11

trình [5], [16].
Chương 3 nghiên cứu các vấn đề như ở Chương 1 và Chương 2 cho
trường hợp p-adic.
Ký hiệu K là một trường đóng đại số với đặc số không, đầy đủ với giá
trị tuyệt đối không Ác-si-mét không tầm thường được ký hiệu là | . |.
W. W. Adam và E. G. Straus [1] (P. C. Hu and C. C. Yang [14]) đã
chứng minh được rằng: Với hai hàm phân hình f và g trên K nếu chúng
có cùng ảnh ngược (không tính tính bội) của 4 điểm phân biệt thì f = g
af + b
(Định lý 4 điểm p-adic) và g có dạng
(a, b, c, d ∈ K thỏa mãn
cf + d
ad − bc = 0) nếu f và g có cùng ảnh ngược (kể cả bội) của 2 điểm phân
biệt (Định lý 2 điểm p-adic).
Một câu hỏi tự nhiên được nảy sinh là: trong Định lý 4 điểm p-adic và
Định lý 2 điểm p-adic, nếu thay điểm bằng tập điểm thì quan hệ giữa f
và g thế nào?
Hai định lý sau đây trả lời cho câu hỏi đó.
Định lý 3.3.1 là một kiểu Định lý bốn điểm p-adic khi thay các ai ,
i = 1, 2, 3, 4, bởi các cặp tập hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện nào
đó.
Định lý 3.3.4 là một kiểu Định lý hai điểm p-adic khi vừa xét nghịch
ảnh của các điểm phân biệt vừa xét nghịch ảnh của các tập hai điểm.
Tiếp theo, chúng tôi thiết lập một siêu mặt xác định duy nhất đường

cong chỉnh hình p-adic không suy biến tuyến tính từ đa thức kiểu FermatWaring.
Lớp các đa thức kiểu Fermat-Waring được xây dựng như sau:
Một họ q các đa thức của N + 1 biến với hệ số thuộc K được gọi là ở
vị trí tổng quát trong KN +1 nếu tập N + 1 đa thức trong họ này không có
không điểm chung trong KN +1 \{0}.
Cho Li = Li (z1 , . . . , zN +1 ) = αi,1 z1 + αi,2 z2 + · · · + αi,N +1 zN +1 , i =
1, 2, . . . , q là q -dạng tuyến tính của N + 1 biến (q > N + 1) ở vị trí tổng
quát trong KN +1 . Với n, m, là các số nguyên dương, m < n, a, b ∈ K,
a, b = 0. Đa thức sau được gọi là đa thức Yi :

Y(m,n) (z1 , z2 ) = z1n − az1n−m z2m + bz2n .


12

Xét q đa thức thuần nhất:
n
P1 = P1 (z1 , . . . , zN +1 ) = Y(m,n) (L1 , L2 ) = Ln1 − aLn−m
Lm
2 + bL2
1

và với q ≥ i ≥ 2, đặt
i−1

Pi = Pi (z1 , . . . , zN +1 ) = Y(m,n) (Pi−1 , Lni+1 ).
Xét đa thức kiểu Fermat-Waring có bậc nq sau:

P (z1 , z2 , . . . , zN +1 ) = Pq (z1 , . . . , zN +1 ).
Đa thức P (z1 , z2 , . . . , zN +1 ) được gọi là một q -lặp của đa thức Yi .

Cho các hàm nguyên f1 , . . . , fN +1 và g1 , . . . , gN +1 trên K, xét phương
trình P (f1 , . . . , fN +1 ) = P (g1 , . . . , gN +1 ).
Gọi X là một siêu mặt kiểu Fermat-Waring trong PN (K) được xác định
bởi phương trình P (z1 , . . . , zN +1 ) = 0.
Định lý 3.3.5 xét phương trình nhiều biến đối với các hàm nguyên
P (f1 , . . . , fN +1 ) = P (g1 , . . . , gN +1 ), ở đó P là các đa thức Yi nhiều biến
kiểu Fermat-Waring (với điều kiện n ≥ 2m + 8, m ≥ 3) từ đó xác định
hàm nguyên.
Tiếp theo, chúng tôi chứng minh được rằng: hai ánh xạ chỉnh hình
không suy biến tuyến tính từ K đến PN (K) xác định duy nhất nếu chúng
có bội giao như nhau đối với một siêu mặt kiểu Fermat-Waring (trong
trường hợp n ≥ 2m + 8, m ≥ 3). Đó là Định lý 3.3.6. Định lý này còn góp
phần trả lời cho câu hỏi của Gross đối với đường cong chỉnh hình không
suy biến tuyến tính từ K đến PN (K).
Các kết quả trong luận án được báo cáo tại các Hội nghị toàn quốc về
Đại số - Hình học – Tôpô: Thái Nguyên ngày 3-5/11/2011, Tuần Châu-Hạ
Long ngày 18-21/12/2014, Buôn Ma Thuật ngày 26-30/10/2016; Tại Hội
thảo quốc tế về giải tích phức và ứng dụng làn thứ 20 tại Hà Nội ngày
29/07-3/08/2012; Tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang
10-14/08/2013; Tại các Seminar của Bộ môn Giải tích, khoa Toán - trường
Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên; Tại Seminar của nhóm nghiên
cứu tại Đại học Thăng Long và Cao đẳng Hải Dương.


13

Chương 1
Xác định hàm phân hình qua điều
kiện ảnh ngược của tập hợp điểm
1.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả của lý
thuyết phân bố giá trị.
Cho f là hàm chỉnh hình khác hằng trên C. Với mỗi z0 ∈ C, f có thể
viết dưới dạng
f=
ai (z − z0 )i ,
ta định nghĩa

νf (z0 ) = min {i : ai = 0} , nf (r) =

νf (z),
|z|≤r

ν f (z0 ) = min {νf (z0 ), 1} , nf (r) =

ν f (z).
|z|≤r

Với mỗi a ∈ C, đặt νfa (z) = νf −a (z), ν af (z) = ν f −a (z), nf (a, r) =
nf −a (r), nf (a, r) = nf −a (r).
Với r > 1, mỗi a ∈ C, ta định nghĩa
r

1
N r,
f −a

nf (a, x)
dx,
x

=
1
r

1
N r,
f −a

nf (a, x)
dx,
x

=
1


14

r

Nl

1
r,
f −a

nl,f (a, x)
dx,
x

=
1

trong đó l là số nguyên dương và

min {νf −a (z), l} .

nl,f (a, r) =
|z|≤r

f1
là hàm phân hình khác hằng trên C (trong đó f1 và f2 là
f2
các hàm chỉnh hình trên C không có không điểm chung). Với mỗi a ∈ C,
z ∈ C và l là số nguyên dương ta định nghĩa
Cho f =

νfa (z) = νf1 −af2 (z),
1
1
N r,
,
= N r,
f −a
f1 − af2
1
N (r, f ) = N r,
,
f2

1 2π +
m(r, f ) =
log |f (reiθ )|dθ,
2π 0
T (r, f ) = N (r, f ) + m(r, f ).
1
1
Nl r,
= Nl r,
,
f −a
f1 − af2
1
Nl (r, f ) = Nl r,
.
f2
a
Cho m là một số nguyên dương. Với mỗi a ∈ C ∪ {∞} , hàm νf,m)
từ
C ∪ {∞} đến N được xác định bởi
a
νf,m)
(z)

=

0
nếu νfa (z) > m
.
νfa (z) nếu νfa (z) ≤ m

∞
0
Ta định nghĩa νf,m)
= ν 01 ,m) (z), ν ∞
f,m) = ν 1 ,m) (z), nf,m) (r) =
f

f

z ≤r

0
νf,m)
(z),

nf,m) (a, r) = nf −a,m) (r).
Hàm ν af,m) từ C ∪ {∞} đến N được xác định bởi ν af,m) (z) = min{ν af,m) (z),
1}.
Tương tự, ta định nghĩa nf,m) (r), nf,m) (a, r).


15

Chúng ta định nghĩa các hàm đếm
r

Nm)

1

r,
f −a

=

nf,m) (a, x)
dx,
x

1

Nm) (r, f ) = Nm) r,
r

N m)

1
r,
f −a

=

1
f2

,

nf,m) (a, x)
dx,
x

1

N m) (r, f ) = N m) r,

1
f2

.

a
Hàm νf,(m
từ C ∪ {∞} đến N được xác định bởi
a
νf,(m
(z)

=

0
nếu νfa (z) < m
.
νfa (z) nếu νfa (z) ≥ m

a
∞
a
Tương tự như trong trường hợp νf,m)
, ta định nghĩa νf,(m
, ν∞

f,(m , ν f,(m ,
1
1
nf,(m (r), nf,(m (r), N(m (r, f ); N(m r,
, N (m (r, f ), N (m r,
.
f −a
f −a
Chúng ta sẽ dùng các Bổ đề sau (xem [13],[33]).

Bổ đề 1.1.1. (Định lý chính thứ hai) Cho f là hàm phân hình khác hằng
trên C và a1 , a2 , . . . , aq là các điểm phân biệt trong C ∪ {∞}. Khi đó
q

(q − 2)T (r, f ) ≤

N r,
i=1

1
f − ai

+ S(r, f ),

trong đó S(r, f ) = O(T (r, f )) với mọi r trừ ra một tập có độ đo Lebesgue
hữu hạn.
Bổ đề 1.1.2. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a1 , a2 , . . . , aq
là các điểm phân biệt trong C ∪ {∞}. Giả sử f − ai không có không điểm
hoặc f − ai có không điểm bội ít nhất mi , i = 1, . . . , q . Khi đó
q

1−
i=1

1
mi

≤ 2.


16

Với f là hàm phân hình trên C, a ∈ C và tập S ⊂ C ∪ {∞} ta ký hiệu

(z, νfa (z)) : z ∈ S ,

Ef (S) =
a∈S

(z, ν af (z)) : z ∈ S .

E f (S) =
a∈S

Ta có các kết quả sau (xem [37]).
Bổ đề 1.1.3. Cho a, b ∈ C, a, b = 0, f và g là các hàm phân hình khác
hằng trên C. Nếu Ef (a) = Eg (b) thì một trong ba hệ thức sau là đúng
1
1
1. T (r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 r,

+ N2 (r, g) + N2 r,
+ S(r, f ) +
f
g
S(r, g).
Bất đẳng thức tương tự xảy ra đối với T (r, g).
2. f g = ab.
f
g
3. = .
a
b
Bổ đề 1.1.4. Cho a, b ∈ C, a, b = 0, f và g là các hàm phân hình khác
hằng trên C. Nếu E f (a) = E g (b) thì một trong ba trường hợp sau đây là
đúng:
1.

T (r, f ) ≤N2 (r, f ) + N2 r,

1
f

+ N2 (r, g) + N2 r,

+ 2 N1 (r, f ) + N1 r,
+ N1 (r, g) + N2 r,

1
g

1
g

1
f
+ S(r, f ) + S(r, g).

Bất đẳng thức tương tự xảy ra đối với T (r, g).
2. f g = ab;
f
g
3. = .
a
b


17

1.2. Phương trình kiểu Fermat-Waring đối với hàm
phân hình
Định lý 1.2.1. Cho n > 2m + 3, a1 , b1 , c, a2 , b2 khác không thuộc C . Giả
sử m ≥ 4 hoặc (n, m) = 1, m ≥ 2. Khi đó phương trình

f n + a1 f n−m + b1 = c(g n + a2 g n−m + b2 )

(1.1)

b1
có nghiệm phân hình khác hằng (f, g) khi và chỉ khi c = , tồn tại h ∈ C
b2

a1
n
m
sao cho h = c, h =
và f = hg.
a2
Chứng minh. Từ (1.1) ta có T (r, f ) = T (r, g) + S(r, f ) suy ra S(r, f ) =
S(r, g).
Đặt f1 = f n−m (f m + a1 ), f2 = −cg n−m (g m + a2 ). Khi đó phương trình
(1.1) có dạng f1 + f2 = cb2 − b1 .
Giả sử cb2 − b1 = 0. Theo Bổ đề 1.1.1 ta có

T (r, f1 ) ≤ N1 (r, f1 ) + N1 r,

1
f1

+ N1 r,

1
f2

+ S(r, f1 ).

Do đó

nT (r, f ) ≤ N1 (r, f ) + N1 r,
+ N1 r,

1

g

1
f

+ N1 r,

+ N1 r,
1
g m + a2

1
f m + a1

+ S(r, f ).

Từ đây ta có

nT (r, f ) ≤ (2m + 3)T (r, f ) + S(r, f ).
Suy ra n ≤ 2m + 3, trái với giả thiết n > 2m + 3. Vì vậy cb2 − b1 = 0, tức
b1
là c = . Khi đó phương trình (1.1) trở thành
b2

f n + a1 f n−m = c(g n + a2 g n−m ).
Đặt h =

(1.2)

f

, ta có
g
n−m

(a2 c − a1 h

1
)
g

m

= hn − c.

(1.3)


18

Giả sử h khác hằng. Từ (1.3) ta có

−a1 hn−m −
gm =

a2 c
a1

hn − c

.

(1.4)

Xét các trường hợp sau.
Trường hợp 1. m ≥ 2, (m, n) = 1.
a2 c
Nếu hn − c = 0, hn−m −
= 0 không có không điểm chung. Khi đó
a1
tất cả các không điểm của hn − c có bội lớn hơn hoặc bằng m. Vì vậy
1
1
1
≤ N r, n
.
N1 r, n
h −c
m
h −c
Áp dụng Bổ đề 1.1.1 ta có

nT (r, h) ≤ N1 (r, h) + N1 r,
≤ 2T (r, h) +

1
h

+ N1 r,

1

1
N r, n
m
h −c

1
hn − c

+ S(r, f )

+ S(r, f )

n
T (r, h) + S(r, f ).
m
Suy ra n < 2m + 3, trái với giả thiết n > 2m + 3.
a2 c
Nếu hn − c = 0, hn−m −
= 0 có không điểm chung. Khi đó tồn tại
a1
a2 c
z sao cho hn (z) = c, hn−m (z) =
. Đặt a = h(z). Từ (1.4) ta có
a1
a2 an
n−m
−a1 h
−
a1
m

g =
.
(1.5)
hn − an
h
Đặt h1 = , (1.5) trở thành
a
a2 am
−
−a1 hn−m
1
a1
m
g =
.
(1.6)
n
m
a (h1 − 1)
a2 c
a1
a2 am
n
n−m
m
Mà h (z) = c và h
(z) =
suy ra
= a . Vì vậy
= 1. Từ

a1
a2
a1
đây và (1.6) ta có
−a1 (hn−m
− 1)
1
m
g =
.
am (hn1 − 1)
≤ 2+


19

Do (m, n) = 1 suy ra phương trình z n − 1 = 0 và z n−m − 1 = 0 có các
nghiệm khác nhau trừ nghiệm z = 1. Gọi ri , i = 1, . . . , 2n − m − 2 là các
nghiệm của chúng. Khi đó các không điểm của h1 − ri có bội lớn hơn hoặc
1
bằng m. Áp dụng Bổ đề 1.1.2 ta có 1 −
(2n − m − 2) ≤ 2. Suy ra
m
m2 + 3m − 2
< 2m + 3, trái với giả thiết n > 2m + 3. Do đó h là
n≤
2(m − 1)
a1
hàm hằng. Từ (1.3) ta có hm = .
a2

Trường hợp 2. m ≥ 4.
Phương trình z n − c = 0 có n không điểm phân biệt, phương trình
a2 c
z n−m −
= 0 có n − m không điểm phân biệt. Khi đó z n − c = 0, z n−m −
a1
a2 c
= 0 có nhiều nhất n − m không điểm chung. Do đó phương trình
a1
z n − c = 0 có ít nhất m nghiệm phân biệt không phải là nghiệm của
a2 c
z n−m −
= 0. Gọi r1 , . . . , rm là các nghiệm. Khi đó tất cả các không
a1
điểm phân biệt của h − rj có bội lớn hơn hoặc bằng m. Áp dụng Bổ đề
1
≤ 2. Từ đó m ≤ 3, trái với giả thiết m ≥ 4. Suy
1.1.2 ta có m 1 −
m
ra h là hàm hằng. Do đó f = hg. Từ đây và (1.2) ta có

(hn − c)g n + (a1 hn−m − ca2 )g n−m = 0.
ca2
Vì vậy hn = c và hn−m =
. Định lý được chứng minh.
a1
Hệ quả 1.2.2. Cho n, m ∈ N∗ , n > 2m, a1 , c, a2 khác không thuộc C. Giả
sử (n, m) = 1, m ≥ 2 hoặc m ≥ 4. Khi đó phương trình

f n + a1 f n−m = c(g n + a2 g n−m )

(1.7)

có nghiệm phân hình khác hằng (f, g) khi và chỉ khi tồn tại h ∈ C sao cho
a1
hn = c, hm =
và f = hg
a2
Hệ quả 1.2.3. Cho n, m ∈ N∗ , n > 2m + 3, m ≥ 2, (n, m) = 1,
a1 , b1 , c, a2 , b2 khác không thuộc C và phương trình hàm

f n + a1 f n−m + b1 = c(g n + a2 g n−m + b2 ).
Nếu (f, g1 ), (f, g2 ) là hai nghiệm khác hằng của (1.8) thì g1 = g2 .

(1.8)


20

Định nghĩa 1.2.4. Một đa thức khác hằng P (z) ∈ C[z] được gọi là đa
thức duy nhất cho hàm phân hình trên C nếu với mọi cặp hàm phân hình
f, g khác hằng trên C thỏa mãn điều kiện P (f ) = P (g) ta có f = g.
Tương tự, đa thức khác hằng P (z) ∈ C[z] được gọi là đa thức duy nhất
mạnh cho hàm phân hình nếu với mọi cặp hàm phân hình f, g khác hằng
trên C và hằng số c = 0 thỏa mãn điều kiện P (f ) = cP (g) ta có f = g.
Đa thức duy nhất (tương ứng, duy nhất mạnh) đối với các hàm phân
hình được ký hiệu là UPM (tương ứng, SUPM).
Hệ quả 1.2.5. Cho n, m ∈ N∗ , n > 2m + 3, m ≥ 2, (n, m) = 1, a, b khác
không thuộc C . Khi đó đa thức P (z) = z n + az n−m + b là đa thức duy nhất
mạnh.

Hệ quả 1.2.6. Cho n, m ∈ N∗ , m ≥ 2, n > 2m, (n, m) = 1, a1 , c, a2 là
các số phức khác không và phương trình hàm

f n + a1 f n−m = c(g n + a2 g n−m ).

(1.9)

Nếu (f, g1 ), (f, g2 ) là hai nghiệm khác hằng của (1.9) thì g1 = g2 .
Hệ quả 1.2.7. Cho n, m ∈ N∗ , n > 2m, (n, m) = 1, m ≥ 2, a là các số
phức khác không. Khi đó đa thức P (z) = z n + az n−m là đa thức duy nhất.
Các Hệ quả 1.2.3, Hệ quả 1.2.6 cho kết quả về tính duy nhất của nghiệm.
Hệ quả 1.2.5 cho kết quả về đa thức duy nhất mạnh, Hệ quả 1.2.7 cho kết
quả về đa thức duy nhất.
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng. Với a ∈ C ta xét hàm χaf : C −→
Z được xác định bởi

χaf (z) =

0
1

nếu f (z) = a
nếu f (z) = a.

Trong trường hợp a = ∞, đặt χ∞
f (z) = −1 nếu z là cực điểm của f và
∞
χf (z) = 0 trong trường hợp còn lại.
Với điều kiện C cho trước, ta định nghĩa

χ∗f

(z; C) =

χaf (z) nếu z thỏa mãn điều kiện C và f (z) = dj với mọi j
0
trong các trường hợp còn lại.


21

Cho đa thức P (z) = (z − a1 ) . . . (z − aq ), Q(z) = (z − b1 ) . . . (z − bq ),
với ai = aj , bi = bj , P (z), Q(z) có bậc q và cùng chỉ số đạo hàm là k. Viết

P (z) = q(z − d1 )m1 . . . (z − dk )mk ,
Q (z) = q(z − e1 )n1 . . . (z − ek )nk .

(1.10)

P (z), Q(z) thỏa mãn điều kiện sau:
P (di ) = P (dj ) với mọi i = j, i, j ∈ {1, . . . , k} ,
Q(ei ) = Q(ej ) với mọi i = j, i, j ∈ {1, . . . , k} .

(H)

Đặt

A = {i, j : i ∈ {1, . . . , k} , j ∈ {1, . . . , k} , P (di ) = cQ(ej ), c = 0} ;
m = #A. Trong trường hợp A = ∅ ta đặt m = 0.
Định lý 1.2.8. Cho P và Q là các đa thức thỏa mãn (H), k ≥ 4 hoặc

k > m. Với h là hằng số khác không, giả sử phương trình P (f ) = hQ(g)
có nghiệm phân hình khác hằng (f, g). Khi đó

f=

ag + b
, ad − bc = 0.
cg + d

ag + b
. Do P (di ) = P (dj ), i = j,
cg + d
i, j ∈ {1, . . . , k} và Q(li ) = Q(lj ), i = j, i, j ∈ {1, . . . , k} nên nếu (n1 , l1 ),
(n2 , l2 ) là các phần tử nào đó của A thỏa mãn n1 = n2 hoặc l1 = l2 thì
(m1 , l1 ) = (m2 , l2 ). Từ đây suy ra m ≤ k. Ta xét các trường hợp sau đây:
1 1
ag + b
Trường hợp 1. m = 0. Đặt ϕ = − . Do f ≡
nên ϕ là hàm
f
g
cg + d
phân hình không đồng nhất không và
Chứng minh. Giả sử trái lại, f ≡

T (r, ϕ) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + S(r, f ).

(1.11)

Vì P (f ) = hQ(g) nên S(r, f ) = S(r, g), pT (r, f ) = pT (r, g) + S(r, f )

và P (f )f = hQ (g)g .