[toanmath.com] Bài tập phương pháp quy nạp toán học Lê Bá Bảo

Chuyên

: DÃY S - C P S

Chuyên
Ch

:
1:

DÃY S
PH

C NG- C P S

NHÂN

i s và Gi i tích 11

- C P S C NG – C P S
-----------------

NHÂN

NG PHÁP QUY N P TOÁN H C

I- LÝ THUY T:
ch ng minh m t m nh
úng v i m i n ∈ * b ng ph ng pháp quy n p toán h c,
ta th c hi n các b c sau:
B c 1: Ki m tra m nh

úng v i n = 1 .
B c 2: Gi s m nh
úng v i n = k ≥ 1 (gi thi t quy n p)
B c 3: C n ch ng minh m nh
úng v i n = k + 1 .
Chú ý: Trong TH ph i ch ng minh m t m nh
úng v i m i s t nhiên n ≥ p ( p là s t
nhiên) thì thu t toán là:
B c 1: Ki m tra m nh
úng v i n = p .
B c 2: Gi s m nh
úng v i n = p ≥ 1 (gi thi t quy n p)
B c 3: C n ch ng minh m nh
úng v i n = k + 1 .
II- BÀI T P MINH H A:
D ng toán 1:
CH NG MINH
NG TH C- B T
NG TH C
Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈ N * thì 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n 2

(1)

Bài gi i:
Ki m tra khi n = 1 : m nh (1) tr thành: 1 = 12 = 1 ( úng)
Gi s m nh (1) dúng khi n = k ≥ 1 , t c là:
S k = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2k − 1) = k 2 (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh m nh (1) úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh:
2
S k +1 = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2k − 1) + 2 2 ( k + 1) − 1 = ( k + 1)

Th t v y: S k +1 = S k + 2 ( k + 1) − 1 = k 2 + 2k + 1 = ( k + 1)
V y m nh

(1) úng v i m i n ∈

Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈

*

2

.
*

thì 2 + 5 + 8 + ... + ( 3n − 1) =

n ( 3n + 1)
2

(2)

Bài gi i:
Ki m tra khi n = 1 : m nh (2) tr thành 2 = 2 ( úng)
Gi s m nh (2) dúng khi n = k ≥ 1 , t c là:
k (3k + 1)
S k = 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k − 1) =
(gi thi t quy n p)
2
C n ch ng minh m nh (2) úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh:
( k + 1) 3 ( k + 1) + 1

S k +1 = 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k − 1) + 3 ( k + 1) − 1 =
2
k ( 3k + 1)
3k 2 + 7 k + 4
Th t v y: S k +1 = S k + 3 ( k + 1) − 1 =
+ 3 ( k + 1) − 1 =
2
2
Giáo viên: LÊ BÁ B O

T Toán THPT Phong i n


Chuyên

: DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN
4
3 ( k + 1) k +
( k + 1) 3 ( k + 1) + 1
3
=
=
2
2
*
V y m nh (1) úng v i m i n ∈ .
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥ 2 thì: 3n > 3n + 1
Bài gi i:
Ki m tra v i n = 2 : 9 > 7 ( úng)
Gi s b t ng th c úng v i n = k ( k ≥ 2 ) , t c là: 3k > 3k + 1

Ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh b t
3k +1 > 3 ( k + 1) + 1

i s và Gi i tích 11

ng th c:

Th t v y: 3k > 3k + 1 ⇔ 3k +1 > 9k + 3 ⇔ 3k +1 > 3k + 3 + 6k + 1 − 1
⇔ 3k +1 > 3 ( k + 1) + 1 + 6k − 1
V i k ≥ 2 , khi ó 6k − 1 > 0 nên: 3k +1 > 3 ( k + 1) + 1 .
V y 3n > 3n + 1 v i m i n ≥ 2, n ∈ N * .

Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥ 3 ta có: 3n > n 2 + 4n + 5
Bài gi i:
Ki m tra v i n = 3 : 27 > 26 ( úng)
Gi s b t ng th c úng v i n = k ≥ 3 , ngh a là: 3k > k 2 + 4k + 5 (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh:
2
3k +1 > ( k + 1) + 4 ( k + 1) + 5
Th t v y:
3k > k 2 + 4k + 5 ⇔ 3k +1 > 3k 2 + 12k + 15 ⇔ 3k +1 > ( k 2 + 2k + 1) + ( 4k + 4 ) + 2k 2 + 6k + 5 + 5
2

⇔ 3k +1 > ( k + 1) + 4 ( k + 1) + 5 + 2k 2 + 6k + 5
2

V i k ≥ 3 , khi ó 2k 2 + 6k + 5 nên: 3k +1 > ( k + 1) + 4 ( k + 1) + 5
V y: 3n > n 2 + 4n + 5 v i n ≥ 3

Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d

ng n ta có:

n

>

n

+ n

Bài gi i:
d) n > n + n
Ta th v i n = 1: 3 > 2 + 7 (Sai), n = 2 : 9 > 4 + 14 (Sai), n = 3 : 27 > 8 + 21 (Sai)
n = 4 : 81 > 16 + 28 ( úng), n = 5 : 243 > 32 + 35 ( úng)
D oán: n > n + n ∀n ≥ . Ch ng minh b ng qui n p toán h c.
Ki m tra v i n = 4 : 81 > 16 + 28 ( úng)
Gi s b t ng th c úng v i n = k ≥ 4 , ngh a là: k > k + k (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh:
k+
> k+ + (k + )
Th t v y: 3k > 2k + 7 k ⇔ 3k +1 > 3 ( 2k + 7 k ) = 3.2k + 21k
Xét 3.2k + 21k > 2k +1 + 7 ( k + 1) ⇔ 2k + 14k − 7 > 0 ∀k ≥ 4 (2)

Giáo viên: LÊ BÁ B O

T Toán THPT Phong i n


Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S

T (1) và (2) suy ra: k + > k + + ( k + )
V y:

n

>

n

NHÂN

i s và Gi i tích 11

+ n ∀n ≥

Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n > 1 , ta có:

1
1
1 13
(1)
+
+ ... +
>
n +1 n + 2
2n 24

Bài gi i:
1 1 7 13
+ =

>
( úng)
3 4 12 24
1
1
1 13
Gi s (1) úng v i n = k > 1 , t c là: S k =
+
+ ... +
>
(gi thi t quy n p)
k +1 k + 2
2k 24
C n c/m (1) úng v i n = k + 1 , t c là c n c/m:
1
1
1
1
1
13
S k +1 =
+
+ ... +
+
+
>
k +2 k +3
2k 2k + 1 2 ( k + 1) 24

Ki m tra (1) v i n = 2 :

Th t v y: S k +1 =

1
1
1
1
1
+
+ ... +
+
+
2k 2k + 1 2 ( k + 1)
k +2 k +3

1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
+
−
k +1 k + 2 k + 3
2k 2k + 1 2k + 2 k + 1

1
1
1
13
1
1
1
= Sk +
+
−
>
+
+
−
2k + 1 2k + 2 k + 1 24 2k + 1 2k + 2 k + 1
13 2 ( k + 1) + 2k + 1 − 2 ( 2k + 1)
>
+
24
2 ( k + 1)( 2k + 1)
=

>

13
1
13
+
>
24 2 ( k + 1)( 2k + 1) 24

( k > 1) .

1
1
1 13
+
+ ... +
>
úng v i m i n > 1.
n +1 n + 2
2n 24
D ng toán 2:
BÀI TOÁN CHIA H T

V y

Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈
Bài gi i:
t An = n3 − n
Ki m tra v i n = 1 , A1 = 0 3 ( úng)

*

thì n3 − n chia h t cho 3.

Gi s m nh
An úng khi n = k ≥ 1 , t c là: Ak = k 3 − k 3 (gi thi t quy n p)
C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh m nh :
3

Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) 3
3

Th t v y: Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 − k − 1
= ( k 3 − k ) + 3 ( k 2 + k ) = Ak + 3 ( k 2 + k ) 3
V y n3 − n 3 v i m i n ∈ * .
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈

Giáo viên: LÊ BÁ B O

*

thì n 7 − n chia h t cho 7.

T Toán THPT Phong i n


Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S
Bài gi i:
t An = n 7 − n
B1: Ki m tra v i n = 1: A1 = 0 7 ( úng)

NHÂN

i s và Gi i tích 11

Ak úng khi n = k ≥ 1 , t c là: Ak = k 7 − k 7 (gi thi t quy n p)
B2: Gi s m nh
B3: C n ch ng minh m nh
An úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh m nh :

7

Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) 7
Th t v y:
7
Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) = k 7 + 7 k 6 + 21k 5 + 35k 4 + 21k 3 + 21k 2 + 7 k + 1 − k − 1
= ( k 7 − k ) + 7 ( k 6 + 3k 5 + 5k 4 + 5k 3 + 3k 2 + k ) 7
V y n7 − n 7 v i m i n ∈ * .
Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈
Bài gi i:
t An = 7 n − 1
Ki m tra v i n = 1: A1 = 6 6 ( úng)
Gi s m nh

*

thì 7 n − 1 chia h t cho 6.

Ak úng khi n = k ≥ 1 , t c là: Ak = 7 k − 1 6 (gi thi t quy n p)

C n ch ng minh m nh

An úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: Ak +1 = 7 k +1 − 1 6

Th t v y: Ak +1 = 7 k +1 − 1 = 7 ( 7 k − 1) + 6 6
V y 7n − 1 6 v i m i n ∈

*

.

M TS

BÀI TOÁN

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
( 2n − 1)( 2n + 1)
a) Tính S1 , S 2 , S3 , S 4 .
b) Hãy d oán công th c tính S n và ch ng minh b ng ph

Bài t p 5: Cho t ng S n =

ng pháp quy n p.

Bài gi i:
1 1
1 1
2
2 1
3
3 1
4
a) S1 =

= , S2 = +
= , S3 = +
= , S4 = +
= .
1.3 3
3 3.5 5
5 5.7 7
7 7.9 9
n
b) T k t qu câu a) ta d oán: S n =
(1) . Ta ch ng minh công th c (1) b ng ph ng
2n + 1
pháp quy n p.
1
Ki m tra v i n = 1: S1 = ( úng)
3
k
Gi s bi u th c (1) úng v i n = k ≥ 1 , t c là: S k =
2k + 1
k +1
C n ch ng minh bi u th c (1) úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: S k +1 =
2 ( k + 1) + 1
Giáo viên: LÊ BÁ B O

T Toán THPT Phong i n


Chuyên

: DÃY S - C P S

C NG- C P S NHÂN
1
1
Th t v y: S k +1 = S k +
= Sk +
2 ( k + 1) − 1 2 ( k + 1) + 1
( 2k + 1)( 2k + 3)

i s và Gi i tích 11

( k + 1)( 2k + 1)
1
2k 2 + 3k + 1
k
=
+
=
=
2k + 1 ( 2k + 1)( 2k + 3) ( 2k + 1)( 2k + 3) ( 2k + 1)( 2k + 3)
=

k +1
2 ( k + 1) + 1

n
∀n ∈ * ) .
(
2n + 1
Bài t p 5: Gi s x1 , x2 ,...xn ∈ R + và x1.x2 ....xn = 1 . Ch ng minh x1 + x2 + ... + xn ≥ n

V y Sn =

Bài gi i:
V i n = 1: x1 = 1 . M nh
úng .
úng v i n = k ( k ≥ 1)
Gi s m nh
⇔ x1 + x2 + x3 + .... + xk ≥ k ∨ x1 x2 x3 ..xk = 1 (*)
N u v i m i xk = 1 thì hi n nhiên : x1 + x2 + .. + xk + xk +1 ≥ k + 1 .
N u trong k + 1 s có ít nh t m t s l n h n 1, thì t ph i có s nh h n 1.
Không gi m tính t ng quát , gi s xk > 1 và xk +1 < 1 , khi ó ta có:
(1 − xk +1 )( xk − 1) > 0 ⇔ xk + xk +1 > 1 + xk xk +1 (1)
Do ó: x1 + x2 + ... + xk + xk +1 > x1 + x2 + ... + xk −1 + xk xk +1 + 1 ( 2 )
Theo gi thi t quy n p , ta suy ra t k s
v ph i:
x1 + x2 + ... + xk −1 + ( xk xk +1 ) ≥ k ( 3)
T (2) và (3) suy ra : x1 + x2 + ... + xk + xk +1 > k + 1 .
an + bn
a+b
Bài t p 5: Ch ng minh :
≥
2
2
Bài gi i:
V i n = 1 . M nh
úng
Gi s m nh

n

*

v i : a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈

a k + bk
a+b
úng v i n = k ( k ≥ 1) : ⇔
≥
2
2

k

(1)

k +1

a k +1 + b k +1
a+b
Ta ph i ch ng minh :
≥
2
2
a+b
Th t v y, ta nhân hai v c a (1) v i
, ta có :
2
a k + bk a + b
a+b
⇔

.
≥
2
2
2

k

a+b
a+b
.
=
2
2

a k +1 + a k b + ab k + b k +1
a+b
⇔
≥
4
2

k +1

k +1

( 2)

Nh ng v i a > 0, b > 0 thì : ( a k − b k ) ( a − b ) ≥ 0 ⇔ a k +1 + b k +1 ≥ a k b + ab k

Giáo viên: LÊ BÁ B O

T Toán THPT Phong i n


Chuyên

: DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN
a k +1 + a k b + ab k + b k +1 a k +1 + b k +1
Suy ra:
≤
( 3)
4
2
So sánh (2) và (3) ta
c i u ph i ch ng minh .

i s và Gi i tích 11

n

Bài t p 1: Cho s th c a > −1 . Ch ng minh r ng: (1 + a ) ≥ 1 + na ( ∀n ∈

*

)

Bài gi i:
1
V i n = 1: (1 + a ) ≥ 1 + a ( úng)

Gi s m nh

k

úng v i n = k ( k ≥ 1) : ⇔ (1 + a ) ≥ 1 + ka

(1)

Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: (1 + a )
k

Th t v y, ta có: (1 + a ) ≥ 1 + ka ⇔ (1 + a )
n

V y (1 + a ) ≥ 1 + na ( ∀n ∈

*

)(

k +1

k +1

≥ 1 + ( k + 1) a

≥ (1 + a )(1 + ka ) = 1 + ( k + 1) a + ka 2 ≥ 1 + ( k + 1) a

.p.c.m)

Bài t p 1: Cho n s th c x1 , x2 , x3 ,..., xn ∈ ( 0;1) . Ch ng minh r ng ( ∀n ≥ 2 ) :

(1 − x1 )(1 − x2 ) ...(1 − xn ) > 1 − x1 − x2 − ... − xn
Bài gi i:
V i n = 2 : (1 − x1 )(1 − x2 ) = 1 − x1 − x2 + x1 x2 > 1 − x1 − x2 ( úng)
úng v i n = k ( k ≥ 2 ) : ⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) ... (1 − xk ) > 1 − x1 − x2 − ... − xk (1)
Gi s m nh
Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh:
⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) ... (1 − xk )(1 − xk +1 ) > 1 − x1 − x2 − ... − xk − xk +1
Th t v y, ta có: (1 − x1 )(1 − x2 ) ... (1 − xk ) > 1 − x1 − x2 − ... − xk
⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) ... (1 − xk )(1 − xk +1 ) > (1 − x1 − x2 − ... − xk )(1 − xk +1 )
= (1 − x1 − x2 − ... − xk ) − xk +1 (1 − x1 − x2 − ... − xk )
= 1 − x1 − x2 − ... − xk +1 + ( x1 xk +1 + x2 xk +1 + ... + xk xk +1 )
> 1 − x1 − x2 − ... − xk +1
V y (1 − x1 )(1 − x2 ) ... (1 − xn ) > 1 − x1 − x2 − ... − xn ( ∀n ≥ 2 ) ( .p.c.m)

Bài t p 1: Xác

( un ) :

nh công th c t ng quát un c a các dãy ( un ) sau:
u1 =

u1 = −1

( un ) :

un +1 = 2un + 1 ( n ≥ 1)

5

4

un +1 =

un + 1
( n ≥ 1)
2

Bài gi i:
a) ( un ) :

u1 = −1
un +1 = 2un + 1 ( n ≥ 1)

. Ta có: u2 = −1, u3 = −1, u4 = −1 . D

oán: un = −1 ( ∀n ≥ 1) .

Ch ng minh b ng qui n p toán h c.
V i n = 1: u1 = −1 ( úng)
Gi s m nh
úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = −1

Giáo viên: LÊ BÁ B O

T Toán THPT Phong i n


Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN
i s và Gi i tích 11

Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: uk +1 = −1
Th t v y, ta có: uk +1 = 2uk + 1 = 2. ( −1) + 1 = −1
V y un = −1 ( ∀n ≥ 1) . (y.c.b.t)
u1 =
b) ( un ) :

5
4

.
un + 1
un+1 =
( n ≥ 1)
2
9 23 + 1
24 + 1
33 25 + 1
Ta có: u2 = = 3 , u3 = 4 , u4 =
= 5 ,... . D
8
2
2
32
2
Ch ng minh b ng qui n p toán h c.
5
V i n = 1: u1 = ( úng)
4
2k +1 + 1
Gi s m nh

úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = k +1
2
Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t

uk + 1
2k +1 + 1
1
Th t v y, ta có: uk +1 =
=
+1 .
k +1
2
2
2

oán: un =

2n+1 + 1
( ∀n ≥ 1) .
2n +1

2k + 2 + 1
c là c n ch ng minh: uk +1 = k + 2
2
k +2
2 +1
= k +2
2

2n+1 + 1

V y un = n+1 ( ∀n ≥ 1) . (y.c.b.t)
2
Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát un c a các dãy ( un ) sau:
un = 2 + 2 + 2 + ... + 2

( n ≥ 1)

n

Bài gi i:
Ta có:
u1 = 2 = 2cos , u2 = 2 + 2 = 2 + 2cos = 2 1 + cos = 2 2cos 2 = 2cos .
4
4
4
8
8

( ∀n ≥ 1) .
2n+1
Ch ng minh b ng qui n p toán h c.

D

oán: un = 2cos

V i n = 1: u1 = 2cos
Gi s m nh

4

= 2 ( úng)

úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = 2cos

2k +1

Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: uk +1 = 2cos

2k + 2

Th t v y, ta có: uk +1 = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2
+1

Giáo viên: LÊ BÁ B O

T Toán THPT Phong i n


Chuyên

: DÃY S - C P S

C NG- C P S

= 2 + uk = 2 + 2cos

( ∀n ≥ 1) . (y.c.b.t)
2n+1
III- BÀI T P T LUY N:

Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈

2

k +1

NHÂN

= 2 2cos 2

i s và Gi i tích 11
2k +1

= 2cos

2k + 2

V y un = 2cos

*

, ta có các

ng th c:

n

1 1 1
1 2 −1
1) + + + ... + n = n

2 4 8
2
2

2

5) 1.4 + 2.7 + 3.10... + n ( 3n + 1) = n ( n + 1)

9)

1
4

1−

1
9

1−

2

2

2) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) =

n ( 4n 2 − 1)

3
n ( 3n − 1)

4) 1 + 4 + 7 + ... + ( 3n − 2 ) =
2
2
6) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n

3) 1.2 + 2.5 + ... + n ( 3n − 1) = n 2 ( n + 1)

7) 1 −

2

2

1
1
n+2
... 1 −
=
2
16
2 ( n + 1)
( n + 1)

8) 1 + 3 + 9 + ... + 3n−1 =

3n − 1
2

1
1

1
1
n
+
+
+ ... +
=
1.4 4.7 7.10
( 3n − 2 )( 3n + 1) 3n + 1

10) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n ( n + 1) =

n ( n + 1)( n + 2 )
.
3

Bài t p 2: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N*:
n 2 ( n + 1)
2) 1 + 2 + 3 + + n =
4
2
4) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n

n(n + 1)
1) 1 + 2 + 3 + ... + n =
2
3) 2 + 4 + 6 + + 2n = n ( n + 1)

5)

1
1
+
+
1.2 2.3

+

3

1
n
=
n ( n + 1) n + 1

6)

3

3

2

3

1 1 1
+ + +
3 32 33

+

1 1 3n − 1
= .
3n 2 3n

n+
1 2
n 3 2n + 3
−
n
7) + 2 + ... + n = −
8) + + + ... + =
n
3 3
3
4 4.3
n ( 3n − 1)
n ( 3n + 1)
9) 1 + 4 + 7 + + ( 3n − 2 ) =
10) 2 + 5 + 8 + ... + ( 3n − 1) =
2
2
n ( n + 1)( 2n + 1)
2n(n + 1)(2n + 1)
11) 12 + 22 + 32 + + n 2 =
12) 22 + 42 + 62 + + (2n) 2 =
6
3
Bài t p 3: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N * :
n−

n
n
≥ n + ∀n ≥
> n ∀n ≥
nn ≥ ( n + )
∀n ≥

n

> n + n + ∀n ≥

sin

n

+ cos

n

≤ ∀n ≥

n! >
n−

n−

n+

∀n ≥

> n(n +

)

∀n >

∀n ≥

Bài t p 4: Ch ng minh r ng n u ∆ABC vuông t i A, có s
m i s t nhiên n ≥ , ta có b t ng th c : b n + c n ≤ a n .
Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d
Giáo viên: LÊ BÁ B O

> n+

o các c nh là a, b, c thì v i

ng n , ta có:

T Toán THPT Phong i n


Chuyên

: DÃY S - C P S
n+
>n + n
n

C NG- C P S

NHÂN
n
> n+
n

> n + n+

Bài t p 6: Ch ng minh r ng s
Bài t p 7: Cho t ng S n =

>

n

i s và Gi i tích 11

+ n

!ng chéo c a m t a giác l"i n c nh là

1
1
1
+
+
+
1.2 2.3 3.4

+

n ( n − 3)
.
2

1
, v i n ∈ N *.
n ( n + 1)

a) Tính S1 , S 2 , S3 , S 4 .
b) Hãy d oán công th c tính S n và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p.
1
1
1
1
+
+
+ +
Bài t p 8: Cho t ng S n =
, v i n ∈ *.
1.5 5.9 9.13
( 4n − 3)( 4n + 1)
a) Tính S1 , S 2 , S3 , S 4 .
b) Hãy d oán công th c tính S n và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p.

Bài t p 9: Cho n s th c a , a , a ,..., an th a − < ai ≤

(i = , n) .

Ch ng minh r ng: ∀n ∈ * ta có:

( + a )( + a ) ...( + an ) ≥ + a + a + ... + an

Bi t p 10: Ch ng minh r ng v i các s th c a , a , a ,..., an ( ∀n ∈ * ), ta có:
a + a + ... + an ≤ a + a + ... + an

Bài t p 11: Ch ng minh r ng ∀n ∈ N * :
n −n
n + n
n

+

n−
n+

+
+

n−

n

n+

n −n
n−

+

n+

n +
n

+

n − n +n

n+

Bài t p 13: Cmr s

( un ) :
( un ) :

>n + n

−

n +

Bài t p 12: V i giá tr nào c a s nguyên d

Bài t p 14: Xác

n

n

.

n−

+

n−

ng n ta có:
n

> n+

n

>n + n+

!ng chéo c a m t a giác l"i n c nh ( n ≥ 4 ) là

n ( n − 3)
.
2

nh công th c t ng quát un c a các dãy ( un ) sau:

u1 = 1
un +1 = un + 5 ( n ≥ 1)
u1 = −1, u2 = 3
un+ 2 = 5un+1 − 6un− 2 ( n ≥ 3)

u1 = 1

( un ) :
( un ) :

u
un +1 = n ( n ≥ 1)
un + 1

( un ) :

u1 = 1
un +1 = 5un ( n ≥ 1)

u1 = 1
un +1 = un + 5 ( n ≥ 1)

áp s :
Giáo viên: LÊ BÁ B O

T Toán THPT Phong i n


Chuyên

: DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN
1
u n = 5n − 4
un =
un = 5n−1
un = 5.3n − 6.2n

n

Giáo viên: LÊ BÁ B O

i s và Gi i tích 11
un = ( n + 2 ) .2n−1

T Toán THPT Phong i n