Công thức Toán lớp 12 ôn thi TNPT

THPT ……………..

ÔN THI TỐT NGHIỆP
CÔNG THỨC CƠ BẢN
MÔN TOÁN LỚP 12

(lƣu hành nội bộ)

1


PHẦN 1: HÀM SỐ
Đạo hàm

C 

'

Hàm số hợp

 k .u   k .u ' , k  R
'
u  v   u '  v'
'
 u.v   u ' .v  u.v '

 0 ( C là hằng số )

 x

'

'

1

x  x
 '

 1

u   u . .u
 '

 x   21x
'

'

 tan x 
 cot x 

'

  sin x

 cos u 

1
cos 2 x





1
sin 2 x

 a   a .ln a
e   e
'

x

x

'

x

x

 log x   x ln1 a
'

a

 ln x 

'



1
x

u'
2 u

'

 sin u 

'

 1

u'
1
   2
u
u

 cos x

'

'

u 

1
1
   2
x
x

 cosx 

'

 

'

 sin x 

Các quy tắc tính

'

 u '.cos u

'

 u ' .sin u

u'
 tan u   2
cos u
'

 cot u 

'



u'
sin 2 u

 a   u .a .ln a
 e   u .e
u

u



'

'

'

'



'

log a u 

u'
 ln u  
u
'

2

u

u

u'
u ln a

 u  u .v  u.v
  
v2
v
'

'

'

ad  bc
 ax  b 

 

2
 cx  d   cx  d 
'


I. ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN - CỰC TRỊ:
Dạng 1: Tìm m để hàm số luôn đb hoặc nb trên D.
Phƣơng pháp:
ax  b
- Hàm số y 
đồng biến trên D  y '  0 x  D
cx  d
ax  b
- Hàm số y 
đồng biến trên D  y '  0 x  D
cx  d
- Hàm số y  ax3  bx 2  cx  d đồng biến trên R
a  0
 y '  0 x   
  0
- Hàm số y  ax3  bx 2  cx  d nghịch biến trên R
a  0
 y '  0 x   
  0
Chú ý: y  ax3  bx 2  cx  d nếu a có chứa tham số ta xét thêm
trƣờng hợp a  0 khảo sát sự biến thiên xem có thỏa bài toán không.
Dạng 2: Tìm m để hàm số y  f  x  đạt cực trị tại x0
Phƣơng pháp:
- Tìm TXĐ

-

Tìm đạo hàm y '

Hàm số đạt cực trị tại x0 thì: f '  x0   0 giải tìm tham số m
Chú ý: Muốn kiểm tra xem hàm số đạt CĐ hay CT ta thế giá trị m vào
hàm số sau đó khảo sát tính tăng giảm của hàm số, rồi kết luận.
Dạng 3: : Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu:
- y  ax3  bx 2  cx  d có cực đại cực tiểu  y '  0 có 2 nghiệm phân biệt
- y  ax4  bx 2  c có cực đại cực tiểu  y '  0 có 3 nghiệm phân biệt

3


II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Dạng : Tìm GTLN_GTNN của hàm số y  f  x  trên đoạn  a; b 

Phƣơng pháp:
- Tìm đạo hàm y '

-

-

 x  x1
x  x
2
'
Giải phương trình y  0  
(chỉ nhận x   a; b )

.........

 x  xi

Tính y  a  , y  b  , y  x1  , y  x2  ..., y  xi  so sánh chúng và kết
luận giá trị LN và NN.

Nhận xét:
- Nếu hàm số không chỉ rõ đoạn  a; b ta tìm giá trị LN và NN
trên tập xác định của nó.
- Dùng bảng biến thiên để tìm giá trị LN và NN trong các
trường hợp không phải xét trên  a; b
- Nếu đặt ẩn phụ t phải tìm điều kiện của ẩn phụ đó (có thể dùng bbt)
1  sin x  1  0  sin 2 x  1

1  cosx  1  0  cos 2 x  1
 2  sin x  cox  2

4


III. MỘT SỐ BÀI TỐN THƢỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ:
1. Giao điểm của hai đồ thị :
Dạng: Giả sử hai hàm số y = f(x), y = g(x) lần lượt có hai đồ thò (C1) và (C2).

Hãy tìm các giao điểm của (C1) và (C2).

Phƣơng pháp:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ta có
nghiệm x0

- Thay x0 vào một trong hai hàm số ta có y0.
- Tọa độ giao điểm là M(x0,y0).
Nhận xét:
- Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm phương trình
f(x) = g(x)
2. Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị:
Dạng: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C) hãy biện
1
luận số nghiệm của phƣơng trình F  x, m   0  theo tham số m.

Phƣơng pháp:
- Chuyển pt F  x, m   0  f  x   g  m 
- Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của hai đường (C) và
đường thẳng y  g  m 
- Dựa vào đồ thị (C) đã vẽ biện luận số nghiệm pt (1) theo m.
Lƣu ý : y  g  m  có đồ thị song song ox. Cắt oy tại g(m)

5


3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến:
Dạng 1: Tiếp tại điểm thuộc đồ thị của hàm số.

Cho hàm số y  f  x  có đồ thị là (C). M  x0 ; y0    C  phương
trình tiếp tuyến tại M là:
- Tìm y '
- Tính y '  x0 
-

Tìm M  x0 ; y0 

-

Pttt tại M  x0 ; y0  là

 : y  y '  x0  x  x0   y0

Dạng 2: Phƣơng trình tiếp tuyến biết trƣớc hệ số góc của nó:

Cho hàm số y  f  x  có đồ thị là (C). Tìm phương trình tiếp
tuyến  với (C) biết  có hệ số góc là k.
Phƣơng pháp:
- Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm
-

Giải pt y '  x0   k tìm x0  y0  f  x0 

-

Phương trình

 : y  k  x  x0   y0

Nhận xét:  y  ax  b  k  a

  y  ax  b  k.a  1

Dạng 3: Phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm:

Cho hàm số y  f  x  có đồ thị là (C). Tìm phương trình tiếp

tuyến  với (C) biết  đi qua A  xA ; y A 
-

Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm  y0  f  x0 

-

y '  x0   k

- Phương trình  : y  k ( x  x0 )  y0
- A  xA ; y A    y A  k  xA  x0   y0  x0  y0  
6


PHẦN 2: MŨ-LÔGARIT
1. Công thức mũ hay sử dụng :
Giả sử các điều kiện đƣợc thỏa mãn.
n

a b
1   
b a

n

n

1
1
1

 a  n     a 1   a   
a
a
a

m

1

1

2 a n  n am  n a  a n
m

am
m
a
3  a.b   a m .b m     m
b
b
m
a
4 a m .a n  a m n  n  a mn
a

5 a m.n   a m    a n 
n

m

2. Công thức logarit hay sử dụng:
Giả sử các điều kiện đƣợc thỏa mãn.
1 log a b  m  a m  b , lg b  m  10m  b , ln b  m  em  b
b

2 alog a  b
 A
3 log a  A.B   log a A  log a B  log a    log a A  log a B
B
1
1
4 log a Am  m.log a A  log a m A  log a A m  .log a A
m
1
5 log m A  log a A
m
a
1
6 log a b 
l o gb a

log a c
7 logb c 
 log a b.logb c  log a c
log a b
7


3. Hàm số lũy thừa – hàm số mũ – hàm số logarit:
Định nghĩa

TXĐ
Đạo hàm
Hàm số lũy thừa
Phụ thuộc
 '   .x 1
 '   .u'.u 1
x
u


yx
x '  ex
u '  u '.eu
e
e
Hàm số mũ
D
'
'
y  a x  a  0; a  1
a x  a x .ln a
au  u ' au .ln a

 
 
 

Hàm số logarit
y  loga x  a  0; a  1

 ln x ' 

D   0;  

 
 
 

1
x

 log a x ' 

u'
u
 log a u ' 

 lnu ' 
1
x.ln a

u'
u .ln a

4. Phƣơng trình mũ – logarit hay gặp:
PT Mũ
Dạng cơ bản: a  0; a  1

PT Logarit
Dạng cơ bản: a  0; a  1

log a f ( x)  b  f  x   a b

TH : b  0 a  b  x  log a b
x

lg f  x   b  f  x   10b

TH : b  0 a x  b  x 

ln f  x   b  f  x   eb
Đƣa về cùng cơ số: a  0; a  1

Đƣa về cùng cơ số:
a  0; a  1

log a f ( x)  log a g ( x)

a f  x  a g  x  f  x   g  x 

- Điều kiện: f ( x)  0 hoặc g ( x)  0
- PT trở thành: f ( x)  g ( x)

8


Đặt ẩn phụ: a  0; a  1
Đƣa về dạng:

-



A. a f  x 



2

Đặt ẩn phụ: a  0; a  1
- Điều kiện logrit log a f  x  là

f  x  0

 B.a f  x   C  0

- Đặt t  a f  x 

- Đƣa về dạng:

- Điều kiện: t  0

A.  log a f  x    B.log a f  x   C  0

- Giải pt  so điều kiện

- Đặt: t  log a f  x 

t > 0t  x

- Giải pt  t  so điều kiện x  x

2

5. Bất phƣơng trình mũ và logarit:
Bất PT mũ
Đƣa về cùng cơ số:

Bất PT logarit
Đƣa về cùng cơ số:

TH : a  1

log a f  x   log a g  x 

a f  x  a g  x  f  x   g  x 

Đk ban đầu :

TH : 0  a  1

 f  x   0

 g  x   0

a f  x  a g  x  f  x   g  x 
Chú ý : cách đƣa về số mũ cơ
số a tùy ý

b  alog a b

TH : a  1
log a f  x   log a g  x   f  x   g  x 
TH : 0  a  1
log a f  x   log a g  x   f  x   g  x 

Giải xong so với Đk ban đầu  x
Chú ý : cách đƣa về logarit cơ số a tùy ý

b  log a ab

9


Đặt ẩn phụ:

Đặt ẩn phụ:

- Đƣa bpt về dạng chỉ a f  x 

- Tìm Đk ban đầu của logarit

- Đặt t  a

f  x

Đk: t  0

- Đƣa bpt dạng chỉ log a f  x 

- Giải BPT theo t

- Đặt t  log a f  x 

- So đk t  0

- Giải BPT theo t

- Giải BPT tìm x

- Giải BPT theo x
- So Đk ban đầu tìm x

10


PHẦN 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
BẢNG NGUYÊN HÀM:

I.

 f  x dx  G( x)  C  G( x)  C   f  x 
1  0dx  C ,  1dx  x  C

1  ax  b 

x

2   ax  b  dx  .
2  x dx 

C
a
 1
 1
'

ĐN:

1

1

C

1
dx    C
x

3

x

4

 xdx  ln x  C

2

1

1

4

5  e x dx  e x  C  a x dx 

7  cos xdx  sin x  C

1

 cos xdx  tan x  C

9

 sin

2

1
2

x

1

1
5  eax b dx  .eax b  C
a
1
6  sin(ax  b)dx   .cos  ax  b   C

a
1
7  cos(ax  b)dx  .sin  ax  b   C
a
1
1
8
dx  .tan  ax  b   C
2
cos  ax  b 
a

ax
C
ln a

6  sin xdx   cos x  C

8

1

 ax  bdx  a .ln ax  b  C

dx   cot x  C

9

1

1

 sin  ax  b dx   a cot  ax  b   C
2

TÍCH PHÂN- PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

II.
b

ĐN:

 f  x dx  F  x 

b
a

 F (b)  F (a)

a

b

1. Đổi biến số: I   f u  x  .u '( x).dx
a

-

Đặt: t  u  x   dt  u '( x)dx

-

Đổi cận:

x  a  t  u a
x  b  t  u b 
11


-

b

ub

a

u a

Thế vào: I   f u  x  .u '( x).dx 

 f t dt

2. Công thức từng phần:
b

b

I   u.dv  u.v a   vdu
b

a

a

Chú ý:
 I  P( x).sin axdx


 I  P( x).cosaxdx


a/ 
đặt u  P( x)
ax
I

P
(
x
).
e
dx



P( x)
P( x)
 I   2 dx I  
dx

sin x
cos 2 x

b/ I   P( x).ln(ax  b)dx đặt u  ln(ax  b)
b

3/ Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối: I   f  x  dx
a

- Giải phương trình f  x   0 tìm các nghiệm x1; x2 ; x3 ...   a; b
- I

x1


a

f  x  dx 

x2



f  x  dx  ... 

x1

b

 f  x  dx

xn
b

-

P( x)
dx
Q( x)
a
Nếu bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x) thì lấy P(x) chia Q(x).
Đặt t  Q  x 

-

I 

4/ Tích phân hàm số hữu tỉ: I  

1
1
dx  .ln ax  b  C
ax  b
a

12


 1
1

1
1 
dx 


dx

ax  bx  c
a( x1  x2 )  x  x1 x  x2 
Công thức phân tích đa thức:
-

I 

2

P  x

 x  a  x  b
n

m



An
Bm
A1
A2
B

B2

 ... 
 1 
 ... 
n
m
2
x  a ( x  a)2
x

a
(
x

a
)
 x  a
 x  a

III.
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN:
1/ Tính điện tích hình phẳng:
 y  f  x

b
 y  0 (Ox)
H :
 S   f  x  dx
a

x  a
x  b


 y  f  x

b
 y  g ( x)
H :
 S    f ( x)  g ( x)  dx
a
x  a
x  b

Chú ý: giải pthđgđ: f  x   g ( x) tìm a và b (nếu chưa có)
2/ Thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox:
 y  f  x
2

b
 y  0 (Ox)
H :
 V     f  x   dx
x

a
a

x  b


Chú ý: giải pthđgđ: f  x   0 tìm a và b (nếu chưa có)

13


PHẦN 4: SỐ PHỨC

i 2  1
1 z  a  bi a, b  ( z  x  yi )
 z la thuan ao  a  0
 z la thuan thuc  b  0

  B 2  4 AC

 z  a 2  b2  z  a 2  b2

 0 z 

4 Pt : Az 2  Bz  C  0

2

 z  a  bi
 z  x  yi  M  x; y   Oxy
2 z  a  bi and z '  a ' b ' i
a  a '
a  0
 z  z' 
z0
b  b '

b  0
 z  z '  a  a '  b  b '  i
 z.z '   a  bi  a ' b ' i 


z z. z '
z. z '

 2
z ' z. z ' a '  b ' 2

3 pt Az  B  0  z 

B
A

B
2A


 B  i 
z 
2A
 0

 B  i 
z 

2A
B


 S  z1  z2  A
Viet 
P  z z  C
1 2

A
z  z  S
 1 2
 z1 z2  P
 z1 ; z2 là n0 pt : Z 2  SZ  P  0

5. Tìm số phức thỏa điều kiện cho trƣớc
Cách giải (chú ý bài toán thƣờng có giả thiết

z; z; z )

B1: Đặt z  a  bi  a, b   hay z  x  yi  x, y  
B2: Thế vào biến đổi giả thiết thường đưa về dạng hai số phức bằng nhau
B3: Biến đổi điều kiện hai số phức bằng nhau đưa về hệ phương trình
giải hệ  kq

14


PHẦN 5 : KHỐI ĐA DIỆN-MẶT CẦU-MẶT TRỤ-MẶT NÓN
1
V  B.h
Hình Chóp
- B diện tích đáy

3
- h chiều cao
V  B.h
Lăng trụ
- B diện tích đáy
1
1
V  B.h   r 2 .h
- h chiều cao
3
3
Hình nón
- r bán kính
S xq   rl
- l đường sinh
- B diện tích đáy
V  B.h   r 2 h
- h chiều cao
Hình trụ
- r bán kính
S xq  2 rl
- l đường sinh
- r bán kính mặt cầu
4
V   r3
Hình cầu
3
S  4 r 2

15

PHẦN 6: PP TỌA TRONG KHÔNG GIAN
CÔNG THỨC TỌA ĐỘ:

I.

a   a1; a2 ; a3 

b   b1; b2 ; b3 

1 k .a   ka1; ka2 ; ka2 
2 a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 
a1  b1

3 a  b  a2  b2
a  b
3
 3
4 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3


5  a; b   


 

6 cos a, b 

a2 a3

b2 b3

a.b

,


a .b

a3 a
1
b3 b1

aa 
, b1b2 
1 2 

a1b1  a2b2  a3b3
a12  a22  a32 b12  b22  b32

- Hai vectơ a; b vuông góc  a.b  0
- Hai vectơ a; b cùng phương 

A  xA ; y A ; z A  B  xB ; yB ; zB 

a1 a2 a3

   a; b   0
b1 b 2 b3

1 AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  z A 
2 AB 

 xB  xA 

2

  yB  y A    z B  z A 
2

2

3 M là trung điểm của AB thì xM  xA  xB ; yM  y A  yB ; zM  z A  zB
2

M  Ox  M ( xM ,0,0)

Nhận xét: M  Oy  M  0, yM ,0 

M  Oz  M  0,0, zM 
16

2

2


II.
PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
1. Phƣơng trình tổng quát của mp :

Ax  By  Cz  D  0  VTPT : n   A; B; C 

2. PT mp đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có VTPT n   A; B; C  là:

A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0

Nhận xét: nếu mp có 2 VTCP : a   a1; a2 ; a3  , b   b1; b2 ; b3 
Thì VTPT : n   a; b 



- Mp qua



A  a;0;0 , B(0; b;0), C  0;0; c  là:

 ABC :

x y z
  1
a b c

3. Khoảng cách từ M ( xM ; yM ; zM ) đến mp  :Ax  By  Cz  D  0
là d  M ,    

A.xM  B. yM  C.zM  D
A2  B 2  C 2

Chú ý:
- Mp:  Oxy  : z  0  M   Oxy   M  xM ; yM ;0 
- Mp:  Oxz  : y  0  M   Oxz   M  xM ;0; zM 
- Mp:  Oyz  : x  0  M   Oyz   M  0; yM ; zM 

III.
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG:
Đường thẳng  đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP u   a; b; c 

 x  x0  at

- Pt tham số  :  y  y0  bt
 z  z ct
0

x  x0 y  y0 z  z0


- abc  0 Pt chính tắt  :
a
b
c
Nhận xét: M   M  x0  at; y0  bt; z0  ct 

17


IV.
PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU:
- Mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) bán kính R có phương trình là:

 x  a   y  b   z  c
2

2

2

 R2

- PT: x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
Là phương trình mặt cầu nếu: a2  b2  c2  d  0
Tâm: I (a; b; c) bán kính R  a 2  b2  c 2  d
V.
VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI:
1. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng:
 x  x0  at
 x  x '0  a ' t '


 :  y  y0  bt  u   a; b; c  và  ' :  y  y '0  b ' t '  u '   a '; b '; c ' 
 z  z  ct
z  z '  c 't '
0
0


Xét hệ phƣơng trình:
 x0  at  x '0  a ' t '



   y0  bt  y '0  b ' t '
 ' 
 z0  ct  z '0  c ' t '
TH1: nếu hệ có nghiệm thì 2 đƣờng cắt nhau tại I ( xI ; yI ; zI ) là
nghiệm của hệ.
TH2: nếu hệ vô nghiệm
- u, u ' cùng phƣơng thì   '
- u, u ' không cùng phƣơng thì  chéo với  '
Chú ý:    '  u.u '  0

18


2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng:
 x  x0  at

 :  y  y0  bt và   : Ax  By  Cz  D  0
 z  z  ct
0

Xét hệ phƣơng trình:
  : Ax  By  Cz  D  0

 
 x  x0  at



 y  y0  bt

 z  z  ct
0

TH1: hệ vô nghiệm    
TH2: hệ có nghiệm duy nhất       I tọa độ là no của hệ
TH3: hệ vô số nghiệm     
3. Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:
Cho mp   : Ax  By  Cz  D  0
Và mặt cầu (S) tâm I  a; b; c  bán kính R
Tính: d  I ;( ) 
TH1: d  R    tiếp xúc với (S)
TH2: d  R    cắt (S) theo đường tròn (C) có bán kính

r  R2  d 2
TH3: d  R    và (S) không có điểm chung.

Thầy chúc các em học tốt !

19