dạy học xác suất thống kê ở trường phổ thông

CHỦ ĐỀ:
“DẠY HỌC XÁC SUẤT-THỐNG
KÊ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG”


1. Vai trò của việc đưa một số yếu tố xác suất thống kê vào chương trình môn Toán ở trường
THPT

1.1.

1.2.

• Ứng dụng của xác suất - thống kê trong
đời sống và khoa học

• Vai trò của việc đưa một số yếu tố xác
suất - thống kê vào chương trình môn
Toán ở trường THPT


1.1. Ứng dụng của xác suất - thống kê
trong đời sống và khoa học
 Khoa học thống kê đóng vai trò quan trọng
trong các công trình NCKH như: y khoa,
sinh học, nông nghiệp, hóa học, xã hội
học.
 Một số ứng dụng của lý thuyết xác suất:
- Trong vật lý phân tử, để nghiên cứu các hệ
rất nhiều phân tử
- Sử dụng rộng rãi Lý thuyết xác suất trong
sinh vật học.

- Vận dụng các phương pháp Thống kê xác
suất trong việc tổ chức và điều khiển nền sản
xuất.


1.2. Vai trò của việc đưa một số yếu tố xác
suất - thống kê vào chương trình môn Toán ở
trường THPT
- Xu thế chung của giáo dục Toán học phổ thông
hiện nay trên thế giới là tăng cường thực hành ứng
dụng cho học sinh.Vì vậy đa số các nước trên thế
giới lựa chọn những tri thức có nhiều ứng dụng như
Thống kê toán và Lí thuyết xác suất.
Theo Nguyễn Bá Kim : “Thống kê Toán và Lí
thuyết xác suất có nhiều khả năng trong việc góp
phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học sinh.
Vi vậy, một số tri thức cơ bản của Thống kê toán và
Lí thuyết xác suất phải thuộc vào học vấn phổ
thông”


2. Nội dung xác suất trong chương trình Toán THPT.

Trước khi đến với định nghĩa về xác
suất và các tính chất của xác suất thì ta có
những kiến thức liên quan đến xác suất
như sau:
 Phép thử và không gian mẫu
 Biến cố
 Xác suất của biến cố

 Các quy tắc tính xác suất


2.3. Xác suất của biến cố

Khi đưa XS-TK vào trường phổ
thông, người ta quan tâm tới hai
cách định nghĩa khái niệm xác suất
sau đây: định nghĩa xác suất cổ
điển và định nghĩa thống kê của
xác suất.


2.3.1. Về cách tiếp cận cổ điển

Trong chương trình toán THPT,
định nghĩa xác suất thường tiếp cận
theo cách cổ điển


3. Nội dung thống kê trong chương
trình Toán THPT
Nội dung kiến thức thống kê chủ yếu ở
trường phổ thông gồm ba loại biến:
 Biến định tính
 Biến định hạng
 Biến định lượng


Những nội dung trên được đưa dần vào các lớp

ở trường phổ thông như sau:
• Lớp 3: Giới thiệu bảng số liệu đơn giản. Sắp
xếp lại số liệu của bảng theo mục đích, yêu cầu
cho trước.
• Lớp 4: Giới thiệu bước đầu về số trung bình
cộng. Lập và nhận xét bảng số liệu. Giới thiệu
biểu đồ và tập luyện cho HS nhận xét biểu đồ.
• Lớp 5: Nhận xét một số đặc điểm đơn giản của
bảng số liệu hoặc một biểu đồ thống kê. Thực
hành lập bảng số liệu và vẽ biểu đồ dạng đơn
giản.


• Lớp 7: Dành hẳn một chương cho thống
kê (chứa đựng nhiều kiến thức và kĩ
năng mới).
• Lớp 8, 9: Có những bài tập thực hành,
tính toán về thống kê, không đưa thêm
khái niệm mới.
• Lớp 10: Dành một chương hoàn thiện
dần kiến thức và kĩ năng về thống kê
miêu tả cho HS.


II. Phương pháp giải bài toán xác suất – thống kê.

1. Các dạng bài tập về xác suất.


Dạng 1: Tìm xác suất của một biến cố nhờ định

nghĩa về xác suất

Để sử dụng phương pháp này ta cần tính hai đại lượng
sau:
1. Số lượng các phần tử của không gian mẫu.
2. Số lượng các phần tử của tập hợp các khả năng
thuận lợi của biến cố.

A

Khi đó xác xuất của biến ngẫu nhiên A là: PA  


Ví dụ : Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất sao
cho hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.

Lời giải:
- Gọi  là tập hợp tất cả các kết quả của phép thử “Gieo hai
con súc sắc cân đối, đồng chất ”.
- Ta có:    6.6  36
- Gọi A là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn ”.
A   ( x; y ) : x, y � 2; 4;6 

- Ta có 3 cách chọn x và 3 cách chọn y. Suy ra A  9
Vậy xác suất của biến cố A là P( A)  A  9  1  0, 25
 36 4
 


Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh như sau:

GV: Gọi A là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt
chẵn ”.
 Biểu thị A theo ngôn ngữ tập hợp như thế nào ?
 Phần tử thuộc A có dạng như thế nào ?
HS: Có dạng (x,y).
GV: x, y có điều kiện gì không?
HS: x , y là những số chẵn 2 hoặc 4 hoặc 6.


GV: A   ( x; y ) : x, y � 2; 4; 6 
- Có bao nhiêu cách chọn số x ?
HS: Có 3 cách chọn.
GV: Số y có thể giống với số x hay không ? Có bào
nhiêu cách chọn số y?
HS: Số y có thể giống số x. Số y cũng có 3 cách chọn.
GV: Biến cố A có bao nhiêu phần tử?
HS: 9 phần tử.
GV: Yêu cầu học sinh phát biểu bài toán tổng quát
Bài toán tổng quát
Gieo đồng thời n con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính
xác suất sao cho n con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.


Dạng 2: Tìm xác suất của biến cố bằng cách sử
dụng các phép tính xác suất.

Để giải các bài toán dạng 2 ngoài việc dùng định
nghĩa của xác suất, ta còn phải sử dụng thành thạo
các quy tắc cộng xác suất, nhân xác suất và xác suất
của biến cố đối.

Dạng 2.1: Biến cố đối.
Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu A
A chỉ xảy ra khi A không xảy ra.
Ta có P ( A)  1  P( A)
* Để vận dụng được phương pháp này HS cần nắm
được 2 yếu tố:
- Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít
nhất”, “tối thiểu”, “tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vô
nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn hơn thì ta
dùng biến cố đối
- Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần
bù của một tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối.


Ví dụ : Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất
của các biến cố:
a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt
ngửa”.
b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Phân tích:
- HS có thể giải quyết bài toán theo định hướng: ít nhất 1 lần xuất
hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện
mặt ngửa, hai lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.
- Do vậy HS sẽ giải bài toán như sau:
Ω = {NSS, SNS, SSN, SNN, NNS, NSN, NNN}
A
7
P

(
A
)


→P(A)=

8
Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp.
Nếu để ý rằng biến cố đối của biến cố A là biến cố  A : “Không
có lần nào xuất hiện mặt ngửa”. Do đó bài toán này sẽ được giải
như sau:


Lời giải
Không gian mẫu   2.2.2  8
a) Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố : “Không
cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”
Và ta có  ={SSS}→n( A )=1→P( A )= 1→P(A)=1− 1 = 7
8

b) Tương tự ta có: B  ={SSS,NNN}→  =2
B
→P( B )=

1 →P(B)= 3
4
4

8

8


Dạng 2.2. Sử dụng quy tắc cộng, quy
tắc nhân xác suất.
Quy tắc cộng
• Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì P( A �B)  P( A)  P( B)
• Nếu A,B là hai biến cố tùy ý thì P( A �B)  P(A)  P(B)  P(A�B)
Quy tắc nhân.
• Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì
P(AB)=P(A).P(B)
• Nếu k biến cố A1,A2,…,Ak độc lập với nhau thì
P(A1…Ak)=P(A1)…P(Ak)
Chú ý: Nếu A và B độc lập thì A  và  B ; A  và B;
A và B cũng độc lập


Ví dụ : Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết
hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có
không quá 1 chi tiết hỏng.
Phân tích: Trong 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết
hỏng nghĩa là không có chi tiết nào hỏng hoặc có một chi
tiết hỏng. Bài toán này không thể giải theo dạng 1 mà
phải sử dụng phép tính xác suất. Đây là bài toán dùng
quy tắc cộng xác suất


Lời giải
Gọi A1 là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”

A2 là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”
A là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”
Khi đó A = A1 ∪ A2. Do A1 và A2 xung khắc nhau nên P(A) = P(A1) +
P(A2)



Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết là: C610→ 6 =C610=210
A1  C 8  28
Có 8 chi tiết không bị hỏng nên: C68→
Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là C58 
1
Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 
chi
tiết
hỏng
là C

2
A
2

Theo quy tắc nhân
có:  2 �C58.C12=112
A ta28
�
P ( A1 ) 


Do vậy ta có:   210 15 �� P( A)  P( A )  P( A )  2  8  2

�
1
2
1

P ( A2 ) 

A2 


112
8�

 �
210 15 �

15

15

3