02 KI THUAT SU DUNG BDT CO SI p2

Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng

www.moon.vn

MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 2. SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ-SI
Ví dụ 1. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = xyz .
1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

1 + x2

+

1
1+ y2

+

1
1+ z2

Ví dụ 2. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x+ y
y+z
z+x
+

+
xy + z
yz + x
zx + y

Ví dụ 3. Cho x, y > 0 và x + y = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
1
+
3
x +y
xy
3

Ví dụ 4. Cho x, y > 0 và xyz = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
1 1
3
+ + +
xy yz xz x + y + z

 x
1  y
1  z
1
Ví dụ 5. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 

+ 
+ 
+ 
 y + z 2  x + z 2  x + y 2 
Hướng dẫn:
Ta có

x
1 2 x + y + z ( x + z) + ( y + z)
1
+ =
=
≥
( x + z )( y + z )
y+z 2
2( y + z )
2( y + z )
y+z

Tương tự cho hai biểu thức còn lại, sau đó nhân vào ta được P ≥ 1

Ví dụ 6. Cho x, y, z > 0 và

1
1
1
+
+
= 2.
1+ x 1+ y 1+ z

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz

Hướng dẫn:
Tách


1
1  
1 
y
z
yz
= 1 −
+
≥2
 + 1 −
=
1+ x  1+ y   1+ z  y +1 z +1
( y + 1)( z + 1)

Tương tự

1
xz
1
xy
≥2
≥2
;

1+ y
( x + 1)( z + 1) 1 + z
( x + 1)( y + 1)

Nhân vế theo vế các BĐT ta được

1
1 1
xyz
1
≥8
⇒ xyz ≤
1+ x 1+ y 1+ z
(1 + x)(1 + y )(1 + z )
8

Ví dụ 7. Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1 + x2 + y2
1+ y2 + z2
1 + z 2 + x2
+
+
xy
yz
zx

Ví dụ 8. Cho các số thực x > 1; y > 1
Chuyên đề 03: Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Facebook: LyHung95


Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

www.moon.vn

( x3 + y3 ) − ( x2 + y 2 )
( x − 1)( y − 1)
Hướng dẫn:

Ta có P =

( x3 − x2 ) + ( y3 − y 2 )
x2
y2
2 xy
=
+
≥
( x − 1)( y − 1)
y −1 x −1
( x − 1)( y − 1)

x

x

x
−
1
=
1.(
−
1)
≤

xy
2
Lại có 

→ ( x − 1)( y − 1) ≤
4
 y − 1 = 1.( y − 1) ≤ y

2
Từ đó dễ dàng suy ra P ≥ 8.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a)

a
b
c
1 1 1 1
+ 2 2+ 2
≤  + + 

2
2
a +b b +c c +a
2 a b c 

b)

a+b
b+c
c+a 1 1 1
+ 2 2+ 2
≤ + + 
2
2
a + b b + c c + a2  a b c 

2

Bài 2. Cho a, b, c > 0 và

1
1
1
1
+
+
≥ 2 . Chứng minh rằng abc ≤
1+ a 1+ b 1+ c
8

Bài 3. Cho a, b, c bất kỳ. Chứng minh rằng :
a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c )
2

 a , b, c > 0
Bài 4. Cho 
.
a + b + c = 1
 1  1  1 
Chứng minh rằng  − 1 − 1 − 1 ≥ 8
 a  b  c 

Bài 5. CMR

1
1
1
a+b+c
+ 2
+ 2
≤
, ∀a, b, c > 0
a + bc b + ca c + ab
2abc
2

Bài 6. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có

1

1
1
1
+ 3 3
+ 3
≤
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
3

Bài 7. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
Tìm giá trị lớn nhất của P =

1
1
1
+ 3 3
+ 3
3
a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1
3

*Bài 8. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
Tìm GTNN của P =

a 3 + b3
b3 + c3
c3 + a3
+

+
a 2 + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ca + a 2

Hướng dẫn:

Chuyên đề 03: Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Facebook: LyHung95


Khóa LTĐH 9 – 10 điểm môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng

www.moon.vn

( a + b ) ( a 2 + ab + b 2 ) − 2ab ( a + b )
2ab ( a + b )
2ab ( a + b ) a + b
a 3 + b3
=
= ( a + b) − 2
≥ ( a + b) −
=
2
2
2
2
2
a + ab + b
a + ab + b
a + b + ab

3ab
3
Tương tự cho các bất đẳng thức khác ta được Pmin = 2 khi a = b = c = 1.
Bài 9. Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 1.
Chứng minh rằng P =

x9 + y 9
y9 + z9
z 9 + x9
+
+
≥2
x6 + x3 y3 + y 6 y 6 + y3 z 3 + z 6 z 6 + z 3 x3 + x6

Bài 10. (Khối D – 2006) Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1.

1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx

Chứng minh rằng

Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 11. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng

2 y
2 x
2 z
1
1
1
+ 3 2+ 3
≤ 2+ 2+ 2
3
2
2
x +y
y +z
z +x
x
y
z

a2
b2
c2
Bài 12. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 2
+
+
≥1
a + 2bc b 2 + 2ac c 2 + 2ab
Bài 13. (Khối B – 2007) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi.
x 1 
y 1  z 1 

Tìm GTNN của biểu thức P = x  +  + y  +  + z  + 
 2 zx   2 xy 
 2 yz 
Bài 14. Cho các số thực x, y. Chứng minh rằng
a) x + y
2

2

( x + y)
≥

2

b) x + y
4

2

4

( x + y)
≥

4

8

1 1 1
+ + =4.

a b c
1
1
1
Chứng minh rằng :
+
+
≤1
2 a + b + c a + 2 b + c a + b + 2c

Bài 15. Cho a, b, c > 0 và thoả mãn

Bài 16. Cho x, y, z > 0 và thoả mãn x + 2 y + 4 z = 12 .
Chứng minh rằng:

2 xy
8yz
4 xz
+
+
≤ 6.
x + 2 y 2 y + 4z 4z + x

Bài 16. Cho x, y, z > 0 và thoả mãn: 2 xy + xz = 1 .
Tìm GTNN của biểu thức P =

3 yz 4 zx 5 xy
+
+
x

y
z

Bài 16. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy = 3( x + y + z ).
Tìm GTNN của biểu thức P = x + y + z +

20
+
x+z

20
.
y+2

Chuyên đề 03: Bất đẳng thức – Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Facebook: LyHung95