ham bac 2/bac 1

Chuyên đề: các bài toán liên quan đến hàm số
ax
2
, ,
bx c
y
a x b
+ +
=
+
(1)

Ths Nguyễn Nh Học và các thành viên tổ Toán
Trờng THPT Lơng Tài 1 Bắc Ninh.
Bắt đầu từ năm học 2008-2009 trong chơng trình Giải tích 12, bài toán khảo sát, vẽ đồ
thị hàm số (1) chỉ có ở chơng trình nâng cao. Tuy nhiên học sinh học chơng trình chuẩn
vẫn phải làm các bài toán về hàm số (1) miễn là bài toán đó không liên quan đến việc
khảo sát, vẽ đồ thị hàm số (1), điều này đợc thể hiện ngay trong cấu trúc đề thi của Bộ
GD&ĐT. Trên tinh thần đó, chuyên đề này trình bày một số bài toán liên quan đến hàm
số (1) : Tính đơn điệu, Cực trị, Tiếp tuyến, Tiệm cận và một số bài toán khác về khoảng
cách, tính đối xứng, . . .Do điều kiện thời gian, khả năng còn hạn chế nên rất mong
nhận đợc sự góp ý của các đồng nghiệp.
I/ tính đơn điệu
Ví dụ 1. Tìm các giá trị của m để h/s
2
x mx 1
y
x 1
+
=

đồng biến trên từng khoảng
xác định.
Giải:
+/ TXĐ:
{ }
D R \ 1=
+/ Ta có
( )
2
2
x 2x 1 m
y'
x 1
+
=

.
+/ YCBT
2
y' 0 x 1 g(x) x 2x 1 m 0 x 1 = +
+/ #=
m 0
=> g(x) > 0
x 1
=> h/s đã cho đ/b trên từng khoảng xác định.
+/ Nếu #=m >0 => g(x) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x

1
< 1< x
2
. Khi đó hàm
số sẽ nghịch biến trên các khoảng (x
1
; 1) và (1; x
2
) => không thỏa mãn YCBT.
+/ Vậy các giá trị m phải tìm là
m 0
.
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số
2
mx 6x 2
y
x 2
+
=
+
nghịch biến trên
( )
1,+
1
Giải.
+/ TXĐ:
{ }
D R \ 2=
.
+/ Ta có

( )
2
2
mx 4mx 14
y'
x 2
+ +
=
+
.
+/ Do h/s đã cho liên tục tại x = 1nên h/s nghịch biến trên
( )
1,+
khi và chỉ khi nó
nghịch biến trên
[
)
1;+

2
y' 0 x 1 mx 4mx 14 0 x 1 + +

( )
( ) ( )
[
)
2
2
1;
14

m x 4x 14 x 1 u x m x 1 minu x 1
x 4x
+

+ =
+
+/ Ta có
( )
( )
( )
2
2
14 2x 4
u' x 0 x 1
x 4x
+
=
+
u(x) đồng biến trên
[
)
1;+
, do đó
[
)
( ) ( )
1;
14
minu x u 1
5

+
= =
.
+/ Vậy các giá trị phải tìm là
14
m
5

.
Bài tập đề nghị.
Tìm các giá trị của m để hàm số:
1/
2
2x 3x m
y
2x 1
+
=
+
nghịch biến trên từng khoảng xác định;
2/
2
2x 3x m
y
x 1
+
=

đồng biến trên
( )

3,+
;
3/
2
mx (m 1)x 3
y
x
+
=
đồng biến trên
[
)
4;+
;
4/
( )
2
m 1 x 2mx m 1
y
m x
+ + +
=

(C
m
) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Ii/ Cực trị.
2
Vớ d 1. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h/s
2 2 2

x 2m x m
y
x 1
+ +
=
+
cú cc tr.
Gii :
+/ TX
{ }
D R \ 1=
+/ Ta cú
2
2
1 m
y x 2m 1
x 1

= + +
+
t ú
( )
2 2
2
x 2x m
y'
x 1
+ +
=
+

+/ Hm s cú cc tr khi v ch khi PT y = 0 cú hai nghim phõn bit hay PT
2 2
g(x) x 2x m 0= + + =
cú hai nghim phõn bit khỏc (-1)
( )
2
2
' 0
1 m 0
1 m 1
g 1 0
m 1 0
>


>

< <






+/ Vy vi -1 < m < 1 thỡ h/s ó cho cú cc tr.
Vớ d 2. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h/s
2
x 2mx m
y
x m

+
=
+
cú cc i, cc tiu. Khi đó
tìm m để hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy.
Gii:
+/ TX:
{ }
D R \ m=

+/ Ta cú
2
m m
y x m
x m
+
= +
+
t ú
( )
2
2
x 2mx m
y'
x m
+
=
+
+/ Hm s cú cc tr khi v ch khi PT y = 0 cú hai nghim phõn bit hay PT
2

g(x) x 2mx m 0= + =
cú hai nghim phõn bit khỏc (-m)
( )
2
2
' 0
m m 0 m 0
g m 0
m 1
m m 0
>


+ > >






<





.
+/ Vy vi m > 0 hoc m < -1 thỡ h/s ó cho cú cc i, cc tiu.
+/ Gọi x
1

, x
2
là hoành độ hai điểm cực trị, khi đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của PT g(x) = 0.
+/ Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy khi và chỉ khi x
1
.x
2
< 0 hay m < 0 hay m
> 0.
+/ Vậy với m > 0 thì h/s đã cho có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục Oy
3
Ví dụ 3. Cho h/s
2
x mx m
y
x 1
+
=

. CMR với mọi m, h/s luôn có CĐ, CT và khoảng
cách giữa hai điểm CĐ, CT là không đổi.
Giải:
+/ TXĐ:
{ }
D R \ 1=
+/ Ta có

( )
2
2
x 2x
y'
x 1

=

, PT y = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x = 0, x = 2. thì
+/ y(0) = -m, y(2) = 4 m, h/s có hai điểm cực trị là (0; -m), (2; 4 m).
+/ Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là
d 2 5=
+/ Vậy với mọi m, h/s luôn có CĐ, CT và khoảng cách giữa hai điểm CĐ, CT là không
đổi.
Ví dụ 4. CMR: nếu h/s
u(x)
y
v(x)
=
có
( )
( )
0
0
y' x 0
v' x 0

=

thì
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0
0 0
u x u' x
y x
v x v' x
= =
..
Giải:
+/ Ta có
( )
[ ]
0 0 0 0
0 0 0 0 0
2
0
u'(x )v(x ) u(x )v'(x )
0 y' x u'(x )v(x ) u(x )v'(x ) 0
v(x )

= = =

( )
( )
( )
( )
0 0
0
0 0
u x u' x
y(x )
v x v' x
= =
(đpcm).
Ví dụ 5. Cho h/s
2
m
x 2x m 2
y (C )
x m 1
+ +
=
+
.
1/ Tìm m để h/s có cực trị.
2/ Viết PT đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C
m
).
Giải:
1/ TXĐ:

{ }
D R \ 1 m=
+/ Ta có
( )
2
2
x 2(m 1)x 3m
y'
x m 1
+
=
+
4
+/ Hàm số có cực trị khi và chỉ khi PT y = 0 có hai nghiệm phân biệt hay PT
( ) ( )
2
g x x 2 m 1 x 3m 0= + =
có hai nghiệm phân biệt khác (1- m)
2
' m m 1 0
m R
g(1 m) 0

= + + >




.
+/ áp dụng VD4

+/ G/s PT y = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, khi đó h/s đã cho đạt cực trị tại x
1
, x
2
.
+/ Đặt u(x) = x
2
2x + m+2 => u(x) = 2x -2
v(x) = x + m -1 => v(x) = 1
+/ Do y(x
1
) = y(x
2
) = 0 nên
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 1 1 2 2 2
1 2
u' x u' x
y y x 2x 2, y y x 2x 2
v' x v' x

= = = = = =
+/ Vậy PT đờng thẳng qua hai điểm cực trị là y = 2x -2.
Ví dụ 6. Tìm các giá trị của m để h/s
2
x 3x m
y
x 4
+ +
=

có CĐ, CT thoả mãn
CD CT
y y 4 =
.
Giải:
+/ TXĐ:
{ }
D R \ 4=
+/ Ta có
( )
2
2
x 8x m 12
y'
x 4
+
=

+/ Hàm số có cực trị khi và chỉ khi PT y = 0 có hai nghiệm phân biệt hay PT
( )

2
g x x 8x m 12 0= + =
có hai nghiệm phân biệt khác 4
' 4 m 0
m 4
g(m 4) m 4 0
= >

<

=

+/ áp dụng VD4
+/ G/s PT y = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, khi đó h/s đã cho đạt cực trị tại x
1
, x
2
.
+/ Đặt u(x) = -x
2
+ 3x + m => u(x) = -2x + 3
5
v(x) = x - 4 => v(x) = 1
+/ Do y(x
1
) = y(x

2
) = 0 nên
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 1 1 2 2 2
1 2
u' x u' x
y y x 2x 3, y y x 2x 3
v' x v' x
= = = + = = = +
+/ Ta có
2
CD CT 1 2 1 2 1 2
y y 4 2 x x 4 x x 2 x x 4
= = = =

( ) ( )
2
2
1 2 1 2
x x 4x x 4 8 4 m 12 4 16 4m 4 m 3
+ = = = =
thoả mãn đk
m < 4.
+/ Vậy với m = 3 thì h/s đã cho có CĐ, CT thoả mãn

CD CT
y y 4 =
.
Bài tập đề nghị
Bài 1. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau có cực trị:
1/
( )
2
x m 2 x m
y
x 1
+ +
=
+
2/
( )
2
mx m 1 x 1
y
mx 2
+ + +
=
+
3/
( )
( )
2 2 2
2m x 2 m mx 1
y
mx 1

+ +
=
+
Bài 2. Cho hàm số
( )
2 2
m
x mx m
y C
x m
+
=

1/ Tìm các giá trị của m để hàm sau có CĐ, CT;
2/ Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm CĐ, CT của (C
m
).
Bài 3. Tìm các giá trị của m để h/s
2
2x 3x m
y
x m
+
=

có CĐ, CT và | y
CĐ
- y
CT
| > 8.

Bài 4. Tìm các giá trị của m để h/s
( )
2
m 1 x x 2
y
m 1 x 2( )
+ +
=
+ +
có CĐ, CT và (y
CĐ
- y
CT
)(m+1) + 8 = 0.
Bài 5. Tìm các giá trị của m để h/s
2
x 2mx 2
y
x 1
+ +
=
+
có CĐ, CT và khoảng cách từ hai
điểm đó đến đờng thẳng x + y +2 =0 là bằng nhau.
6
Bài 6. Tìm các giá trị của m để h/s
2
x x m
y
x 1

+ +
=
+
có CĐ, CT và hai điểm CĐ, CT
nằm về hai phía trục Oy.
Bài 7. Tìm các giá trị của m để h/s
2
mx 3mx 2m 1
y
x 1
+ + +
=

có CĐ, CT và hai điểm
CĐ, CT nằm về hai phía trục Ox.
III. Tiếp tuyến.
Ví dụ 1 . Cho h/s
2
x 3x 4
y
2x 2
+
=

(C) và điểm M bất kỳ thuộc (C) .
Gọi I là giao điểm hai đờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận tại A và
B.
1/ CMR: M là trung điểm AB;
2/ CMR: Tích khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận là không đổi;
3/ CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi.

Giải:
1/ Dễ thấy (C) có hai tiệm cận: TCĐ x = 1, TCX
1
y x 1
2
=
tù đó
1
I 1
2
;


ữ

+/ Gọi M(x
M
; y
M
) , Đặt x
M
= m =>
M
m 1
y 1
2 m 1
= +

+/ Ta có
( )

( )
( )
2 2
1 1 1 1
y y m
2 2
x 1 m 1
' '= =

+/ PTTT của (C) tại M là (d): y= y(m) (x-m) + y(m)
=>
( )
( )
( )
2
1 1 m 1
d y x m 1
2 2 m 1
m 1
:

= + +





+/ Từ đó
( )
2 1

A d TCD A 1
m 1 2
;

=
ữ


( )
3
B d TCX B 2m 1 m
2
;

=
ữ

+/ Do A, M, B thẳng hàng và
A B
M
x x
m x
2
+
= =
nên M là trung điểm AB.
2/ Ta có khoảng cách từ M đến TCĐ là d
1
= | m 1 |, khoảng cách từ M đến TCX là
7