Hệ phương trình bậc nhất nhiều ấn

Nguyễn Tuấn Linh – Trường THCS Kim Đồng

1.Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c. Khi
đó ta có hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:
( )
ax by c
I
a x b y c' ' '

+ =

+ =

Mỗi cặp số ( x
0
; y
o
) đồng thời là nghiệm của cả 2 phương
trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ
Ví du ï: Giải các hệ phương trình sau:
3x y 1
2x 5y 1 2x 6y 2
a
1 1
x 3y 5 x 3y 2
x y
3 3
) b) c)


− =
 
− = − − + =

  
+ = − = −
− =
 



Giải:
( )
( )
( ) ( )
( )
Thay 2 1
2x 5y 1 1
2 5 3y 5y 1
2x 5y 1
a
x 3y 5
x 5 3y 2
x 5 3y
vào

)



− = −

− − = −

− = −
 
⇔ ⇔
  
+ =
= −
= −
 



10 11y 1 y 1
x 5 3y x 2
 
− = − =
⇔ ⇔
 
= − =
 
( )
( )
( ) ( )
1 2
2x 6y 2 1
2x 6y 2 0x 0y 2
x 3y 2 2x 6y 4

2x 6y 4 2
Cộng và
vế theo vế

b)


− + =
 
− + = + = −

⇔ ⇔ ⇒
  
− = − − = −
− = −
 


Hệ phương trình vô nghiệm
3x y 1
3x y 1
3x y 1
1 1
3x y 1
x y
3 3
c)

− =


− =

⇔ ⇔ − =
 
− =
− =



⇒
Hệ phương trình có vô số nghiêm (x; y)
tính theo công thức
Giả sử đường thẳng d
và d’ lần lượt làđồ thò
của phương trình (1) và
(2) trong các câu
trên.Có nhận xét gì về
mối tương giao của 2
đường thẳng này trong
các câu a, b, c?
x
y 3x 1

∈

= −

¡
⇒

a) Xây dựng công thức:
Xét hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
( )
( )
( )
ax by c 1
I
a x b y c 2

' ' '

+ =


+ =


-
Nhân 2 vế của phương trình (1) với b’, hai vế của
phương trình (2) với –b rồi cộng các vế tương ứng, ta
được

( ) ( )
ab a b x cb c b 3' ' ' ' .
− = −
- Nhân 2 vế của phương trình (1) với –a’, hai vế của
phương trình (2) với a rồi cộng vế theo vế, ta được
( ) ( )
ab a b x ac a c 4' ' ' ' . − = −
( ) ( )

x y
ab a b D c3 4 b c b ac a cD ' ' , ' ' và D ' 'Trong và , ta đặt = − = − = −−
Khi đó, ta có hệ phương trình hệ quả
( )
X
y
D x D
II
D y D
.
.

=


=


2) Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn
Vì sao hệ (II)
không tương
đương hệ (I) mà
chỉ là hệ quả của
hệ (I)

Đối với hệ (II) ta xét các trường hợp sau
1)
D 0:≠
( ) ( ) ( ) ( )
y

X
y
X
D
D
x y
D
x
D
II H II
D
5
D
D D
y
ệ có nghiệm duy nhất ; ;
 
=
 ÷


=


⇔ ⇒


=



÷
 
Thay (5) vào hệ (I) ta thấy đây cũng là nghiệm của hệ phương
trình (I)
2)
( )
x x
y y
0 D
II
0 D
D 0 :

=
=
=

⇔



-Nếu
x y
D 0 0 hoac Dë≠ ≠
thì hệ (II) vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm
-Nếu
x y
D D 0= =
thì hệ (II) có vô số nghiệm.
Tuy nhiên, muốn tìm nghiệm của hệ (I), ta phải trở về hệ (I) ( Do (II)

chỉ là phương trình hệ quả ). Theo giả thiết, 2 số a và b không cùng
bằng 0 nên ta có thể giả sử ( trường hợp cũng giải
tương tự )
a 0
≠
b 0≠
( )
X
y
D x D
II
D y D
.
.

=


=



Ta có
y
a
D ab a b 0 b b
a
a
D ac a c 0 c c
a

'
' ' ' ;
'
' ' ' .
= − = ⇒ =
= − = ⇒ =
Bởi vậy, hệ (I) có thể viết thành
( )
ax by c
a a
ax by c
a a
' '

+ =


+ =


Do đó, tập nghiệm của hệ (I) trùng với tập nghiệm của phương trình ax
+ by = c.